Tập hợp và các phép toán trên tập hợp

TẬP HỢP VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP

A.Tóm tắt lí thuyết

1. Tập hợp

Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học, không định nghĩa.

Cách xác định tập hợp:

+ Liệt kê các phần tử: viết các phần tử của tập hợp trong hai dấu móc { … }.

+ Chỉ ra tính chất đăc trưng cho các phần tử của tập hợp.

Tập rỗng: là tập hợp không chứa phần tử nào, kí hiệu Æ.

2. Tập hợp con – Tập hợp bằng nhau

$A\subset B\Leftrightarrow \left( \forall x\in A\Rightarrow x\in B \right)$

Các tính chất:

+ $A\subset A,\,\,\forall A$ + $\varnothing \subset A,\,\,\forall A$ + $A\subset B,\,B\subset C\,\Rightarrow A\subset C$

$A=B\Leftrightarrow (A\subset B$ và $B\subset A)\Leftrightarrow \left( \forall x,x\in A\Leftrightarrow x\in B \right)$

3. Một số tập con của tập hợp số thực

4. Các phép toán tập hợp

· Giao của hai tập hợp: $A\cap B\Leftrightarrow \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }x|x\in A$ và $x\in B\text{ }\!\!\}\!\!\text{ }$

· Hợp của hai tập hợp: $A\cup B\Leftrightarrow \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }x|x\in A\,$ hoặc $x\in B\text{ }\!\!\}\!\!\text{ }$

· Hiệu của hai tập hợp: $A\backslash B\Leftrightarrow \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }x|x\in A$ và $x\notin B\text{ }\!\!\}\!\!\text{ }$

Phần bù: Cho $B\subset A$ thì ${{C}_{A}}B=A\backslash B$ .

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

DẠNG TOÁN 1: XÁC ĐỊNH TẬP HỢP VÀ PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP .

Các ví dụ minh họa.

Ví dụ 1: Xác định các tập hợp sau bằng cách nêu tính chất đặc trưng

$\displaystyle A=\left\{ 0\text{ };\text{ }1;\text{ }2;\text{ }3;\text{ }4 \right\}$

$\displaystyle B=\left\{ 0\text{ };\text{ }4;\text{ }8;\text{ }12;16 \right\}$

$C=\left\{ 1;2;4;8;16 \right\}$

A. $\displaystyle A=\left\{ x\in N|x\le 4 \right\}$ B. $B=\{x\in N|\,\,x\vdots 4$ và $\displaystyle x\le 16\text{ }\!\!\}\!\!\text{ }$

C. $C=\text{ }\!\!\{\!\!\text{ }{{2}^{n}}|\,\,n\le 4$ và $n\in N\text{ }\!\!\}\!\!\text{ }$ D.Cả A, B, C đều đúng

Lời giải:

Ta có các tập hợp $A,B,C$ được viết dưới dạng nêu các tính chất đặc trưng là

$\displaystyle A=\left\{ x\in N|x\le 4 \right\}$

$B=\{x\in N|\,\,x\vdots 4$ và $\displaystyle x\le 16\text{ }\!\!\}\!\!\text{ }$

$C=\text{ }\!\!\{\!\!\text{ }{{2}^{n}}|\,\,n\le 4$ và $n\in N\text{ }\!\!\}\!\!\text{ }$

Ví dụ 2: Cho tập hợp $A=\left\{ x\in {\mathrm Z}|\frac{{{x}^{2}}+2}{x}\in {\mathrm Z} \right\}$

a) Hãy xác định tập $A$ bằng cách liệt kê các phần tử

A. $\displaystyle A=\left\{ -2;;0;1;2 \right\}$ B. $\displaystyle A=\left\{ -2;-1;0;2 \right\}$

C. $\displaystyle A=\left\{ -2;-1;1;2 \right\}$ D. $\displaystyle A=\left\{ -2;-1;0;1;2 \right\}$

b) có bao nhiêu tập con của tập hợp $\displaystyle A$ mà số phần tử của nó nhỏ hơn 3.

A.16 B.12 C.15 D.10

Lời giải:

a) Ta có $\frac{{{x}^{2}}+2}{x}=x+\frac{2}{x}\in {\mathrm Z}$ với $x\in {\mathrm Z}$ khi và chỉ khi $x$ là ước của $2$ hay $\displaystyle x\in \left\{ -2;-1;0;1;2 \right\}$

Vậy $\displaystyle A=\left\{ -2;-1;0;1;2 \right\}$

b) Tất cả các tập con của tập hợp $\displaystyle A$ mà số phần tử của nó nhỏ hơn 3 là

Tập không có phần tử nào: $\varnothing$

Tập có một phần tử: $\left\{ -2 \right\},\,\,\left\{ -1 \right\},\,\,\left\{ 0 \right\},\,\,\left\{ 1 \right\},\,\,\left\{ 2 \right\}$

Tập có hai phần thử: $\left\{ -2;-1 \right\},\,\,\left\{ -2;0 \right\},\,\,\left\{ -2;1 \right\},\,\,\left\{ -2;2 \right\},\,\,\left\{ -1;0 \right\}$

$\left\{ -1;1 \right\},\,\,\left\{ -1;2 \right\},\,\,\left\{ 0;1 \right\},\,\,\left\{ 0;2 \right\},\,\,\left\{ 1;2 \right\}$ .

DẠNG TOÁN 2: SỬ DỤNG BIỂU ĐỒ VEN ĐỂ GIẢI TOÁN .

1. Phương pháp giải.

$\bullet$ Chuyển bài toán về ngôn ngữ tập hợp

$\bullet$ Sử dụng biểu đồ ven để minh họa các tập hợp

$\bullet$ Dựa vào biểu đồ ven ta thiết lập được đẳng thức(hoặc phương trình hệ phương trình) từ đó tìm được kết quả bài toán

Trong dạng toán này ta kí hiệu $n\left( X \right)$ là số phần tử của tập $\displaystyle X$ .

2. Các ví dụ minh họa.

Ví dụ 1: Mỗi học sinh của lớp 10A₁ đều biết chơi đá cầu hoặc cầu lông, biết rằng có 25 em biết chơi đá cầu , 30 em biết chơi cầu lông , 15 em biết chơi cả hai . Hỏi lớp 10A₁có bao nhiêu em chỉ biết đá cầu?

A.10 B.40 C.15 D.25

Lời giải:

Dựa vào biểu đồ ven ta suy ra số học sinh chỉ biết đá cầu là $25-15=10$

Số học sinh chỉ biết đánh cầu lông là $30-15=15$

Do đó ta có sĩ số học sinh của lớp 10A₁là $10+15+15=40$

Trong số 220 học sinh khối 10 có 163 bạn biết chơi bóng chuyền, 175 bạn biết chơi bóng bàn còn 24 bạn không biết chơi môn bóng nào cả. Tìm số học sinh biết chơi cả 2 môn bóng.

Ví dụ 2: Trong lớp 10C có 45 học sinh trong đó có 25 em thích môn Văn, 20 em thích môn Toán, 18 em thích môn Sử, 6 em không thích môn nào, 5 em thích cả ba môn. Hỏi số em thích chỉ một môn trong ba môn trên.

A.15 B.20 C.25 D.30

Lời giải:

Gọi $\displaystyle a,b,c$ theo thứ tự là số học sinh chỉ thích môn Văn, Sử, Toán;

$x$ là số học sịnh chỉ thích hai môn là văn và toán

$y$ là số học sịnh chỉ thích hai môn là Sử và toán

$z$ là số học sịnh chỉ thích hai môn là văn và Sử

Ta có số em thích ít nhất một môn là $45-6=39$

Sựa vào biểu đồ ven ta có hệ phương trình

$\left\{ \begin{array}{l}a+x+z+5=25\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\b+y+z+5=18\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\\c+x+y+5=20\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)\\x+y+z+a+b+c+5=39\,\,\,\,(4)\end{array} \right.$

Cộng vế với vế (1), (2), (3) ta có

$a+b+c+2\left( x+y+z \right)+15=63$ (5)

Từ (4) và (5) ta có

$a+b+c+2\left( 39-5-a-b-c \right)+15=63$ $\Leftrightarrow a+b+c=20$

Vậy chỉ có 20 em thích chỉ một môn trong ba môn trên.

Ví dụ 3: Trong lớp 10C₁ có 16 học sinh giỏi môn Toán, 15 học sinh giỏi môn Lý và 11 học sinh giỏi môn Hóa. Biết rằng có 9 học sinh vừa giỏi Toán và Lý, 6 học sinh vừa giỏi Lý và Hóa, 8 học sinh vừa giỏi Hóa và Toán, trong đó chỉ có 11 học sinh giỏi đúng hai môn.

Hỏi có bao nhiêu học sinh của lớp

a) Giỏi cả ba môn Toán, Lý, Hóa

A.4 B.5 C.7 D.8

b) Giỏi đúng một môn Toán, Lý hoặc hóa.

A.4 B.5 C.7 D.8

Lời giải:

Gọi $T,\,\,L,\,\,H$ lần lượt là tập hợp các học sinh giỏi môn Toán, Lý, Hóa. B là tập hợp học sinh giỏi đúng hai môn.

Theo giả thiết ta có $n\left( T \right)=16,\,\,n\left( L \right)=15,\,\,n\left( H \right)=11,\,\,n\left( B \right)=11$

$n\left( T\bigcap L \right)=9,\,\,n\left( L\bigcap H \right)=6,\,\,n\left( H\bigcap T \right)=8$ và

a) Xét tổng $\displaystyle n(T\cap L)+n(L\cap H)+n(H\cap T)$ thì mỗi phần tử của tập hợp $T\cap L\cap H$ được tính ba lần do đó ta có

$\displaystyle n(T\cap L)+n(L\cap H)+n(H\cap T)-3n\left( T\cap L\cap H \right)=n\left( B \right)$

Hay

$\displaystyle n\left( T\cap L\cap H \right)=$ $\displaystyle \frac{1}{3}\left[ n(T\cap L)+n(L\cap H)+n(H\cap T)-n\left( B \right) \right]=4$

Suy ra có 4 học sinh giỏi cả ba môn Toán, Lý, Hóa.

b) Xét $n\left( T\bigcap L \right)+\,n\left( L\bigcap T \right)$ thì mỗi phần tử của tập hợp $T\cap L\cap H$ được tính hai lần do đó số học sinh chỉ giỏi đúng môn toán là

$n\left( T \right)-\left[ n\left( T\bigcap L \right)+\,n\left( H\bigcap T \right)-n\left( T\cap L\cap H \right) \right]$ $=16-\left( 9+8-4 \right)=3$

Tương tự ta có:

Số học sinh chỉ giỏi đúng môn Lý

$n\left( L \right)-\left[ n\left( T\bigcap L \right)+\,n\left( L\bigcap H \right)-n\left( T\cap L\cap H \right) \right]$ $=15-\left( 9+6-4 \right)=4$

Số học sinh chỉ giỏi đúng môn Hóa

$n\left( H \right)-\left[ n\left( H\bigcap T \right)+\,n\left( L\bigcap H \right)-n\left( T\cap L\cap H \right) \right]$ $=11-\left( 8+6-4 \right)=1$

Suy ra số học sinh giỏi đúng một môn Toán, Lý hoặc hóa là $3+4+1=8$ .

DẠNG TOÁN 3: PHÉP TOÁN TRÊN TẬP CON CỦA TẬP SỐ THỰC .

1. Phương pháp giải.

$\bullet$ Để tìm $A\cap B$ ta làm như sau

– Sắp xếp theo thứ tự tăng dần các điểm đầu mút của các tập hợp $A,\,\,B$ lên trục số

– Biểu diễn các tập $A,\,\,B$ trên trục số(phần nào không thuộc các tập đó thì gạch bỏ)

– Phần không bị gạch bỏ chính là giao của hai tập hợp $A,\,\,B$

$\bullet$ Để tìm $A\cup B$ ta làm như sau

– Sắp xếp theo thứ tự tăng dần các điểm đầu mút của các tập hợp $A,\,\,B$ lên trục số

– Tô đậm các tập $A,\,\,B$ trên trục số

– Phần tô đậm chính là hợp của hai tập hợp $A,\,\,B$

$\bullet$ Để tìm $A\backslash B$ ta làm như sau

– Sắp xếp theo thứ tự tăng dần các điểm đầu mút của các tập hợp $A,\,\,B$ lên trục số

– Biểu diễn tập $A$ trên trục số(gạch bỏ phần không thuộc tập $A$ ), gạch bỏ phần thuộc tập $B$ trên trục số

– Phần không bị gạch bỏ chính là $A\backslash B$ .

2. Các ví dụ minh họa.

Ví dụ 1: Cho các tập hợp:

$\displaystyle A=\left\{ x\in R|\,x<3 \right\}\text{ }B=\left\{ x\in R|\,1<x\le 5 \right\}\text{ }C=\left\{ x\in R|\,-2\le x\le 4 \right\}$

a) Hãy viết lại các tập hợp $\displaystyle A,\text{ }B,\text{ }C$ dưới kí hiệu khoảng, nửa khoảng, đoạn.

A. $A=\left( -\infty ;3 \right]\text{ }B=\left( 1;5 \right]\text{ }C=\left[ -2;4 \right]$

B. $\displaystyle A=\left( -\infty ;3 \right)\text{ }B=\left[ 1;5 \right)\text{ }C=\left[ -2;4 \right]$

C. $A=\left( -\infty ;3 \right)\text{ }B=\left( 1;5 \right]\text{ }C=\left( -2;4 \right)$

D. $A=\left( -\infty ;3 \right)\text{ }B=\left( 1;5 \right]\text{ }C=\left[ -2;4 \right]$

b) Tìm $A\cup B,\,\,\,\,A\cap B,\,\,A\backslash B$ .

A. $A\cup B=\left( -\infty ;5 \right]$ B. $A\cap B=\left( 1;3 \right)$

C. $A\backslash B=\left( -\infty ;1 \right]$ D.Cả A, B, C đều đúng

c) Tìm $\displaystyle \left( B\cup C \right)\backslash \left( A\cap C \right)$

A. $\displaystyle \left[ 3;5 \right]$ B. $\displaystyle \left[ 3;4 \right]$ C. $\displaystyle \left( 3;5 \right)$ D. $\displaystyle \left[ 1;5 \right]$

Lời giải:

a) Ta có: $A=\left( -\infty ;3 \right)\text{ }B=\left( 1;5 \right]\text{ }C=\left[ -2;4 \right]$ .

b) $\bullet$ Biểu diễn trên trục số

Suy ra $A\cup B=\left( -\infty ;5 \right]$

$\bullet$ Biểu diễn trên trục số

Suy ra $A\cap B=\left( 1;3 \right)$

$\bullet$ Biễu diễn trên trục số

Suy ra $A\backslash B=\left( -\infty ;1 \right]$

c) Bằng cách biểu diễn trên trục số ta có

$A\cap C=\left[ -2;3 \right)$ và $B\cup C=\left[ -2;5 \right]$

Suy ra ta có $\displaystyle \left( B\cup C \right)\backslash \left( A\cap C \right)=\left[ 3;5 \right]$

Nhận xét: Việc biểu diễn trên trục số để tìm các phép toán tập hợp ta làm trên giấy nháp và trình bày kết quả vào.

Ví dụ 2: Xác định các tập số sau?

a) $\left( -4;2 \right]\cap \left[ 0;4 \right)$

A. $\displaystyle \left[ 0;2 \right]$ B. $\left( -4;4 \right)$ C. $\left[ 2;4 \right)$ D. $\left[ -4;4 \right)$

b) $\left( 0;3 \right)\cup \left[ 1;4 \right]$

A. $\displaystyle \left( 0;4 \right]$ B. $\left( 0;4 \right)$ C. $\left[ 3;4 \right]$ D. $\left[ 0;1 \right)$

c) $\,\left[ -4;3 \right]\backslash \left[ -2;1 \right]$

A. $\displaystyle \left( 1;3 \right]$ B. $\displaystyle \left[ -4;-2 \right)$ C. $\displaystyle \left[ -4;-2 \right)\cup \left( 1;3 \right]$ D.Cả A, B, C đều đúng

d) $\mathbb{R}\backslash \left[ 1;3 \right]$

A. $\displaystyle \left( -\infty ;1 \right)\cup \left( 3;+\infty \right)$ B. $\displaystyle \left( -\infty ;1 \right]\cup \left[ 3;+\infty \right)$

C. $\displaystyle \left( 1;3 \right)$ D. $\displaystyle \left[ 1;3 \right]$

Lời giải:

a) Ta có $\displaystyle \left( -4;2 \right]\cap \left[ 0;4 \right)=\left[ 0;2 \right]$

Biểu diễn tập đó trên trục số là

b) Ta có $\displaystyle \left( 0;3 \right)\cup \left[ 1;4 \right]=\left( 0;4 \right]$

Biểu diễn tập đó trên trục số là

c) Ta có $\displaystyle \,\left[ -4;3 \right]\backslash \left[ -2;1 \right]=\left[ -4;-2 \right)\cup \left( 1;3 \right]$

Biểu diễn tập đó trên trục số là

d) Ta có $\displaystyle \mathbb{R}\backslash \left[ 1;3 \right]=\left( -\infty ;1 \right)\cup \left( 3;+\infty \right)$

Biểu diễn tập đó trên trục số là

Ví dụ 3: Cho các tập hợp $\displaystyle A=\left( -\infty ;m \right)$ và $B=\left[ 3m-1;3m+3 \right]$ . Tìm $m$ để

a) $A\cap B=\varnothing$

A. $m>\frac{1}{2}$ B. $m<\frac{1}{2}$ C. $m\ge \frac{1}{2}$ D. $m\le \frac{1}{2}$

b) $B\subset A$

A. $m>-\frac{3}{2}$ B. $m\le -\frac{3}{2}$ C. $m\ge -\frac{3}{2}$ D. $m<-\frac{3}{2}$

c) $\displaystyle A\subset {{C}_{\mathbb{R}}}B$

A. $m<\frac{1}{2}$ B. $m\ge \frac{1}{2}$ C. $m\le \frac{1}{2}$ D. $m>\frac{1}{2}$

d) ${{C}_{\mathbb{R}}}A\cap B\ne \varnothing$

A. $m>-\frac{3}{2}$ B. $m\le -\frac{3}{2}$ C. $m\ge -\frac{3}{2}$ D. $m<-\frac{3}{2}$

Lời giải:

Ta có biểu diễn trên trục số các tập $A$ và $B$ trên hình vẽ

a) Ta có $A\cap B=\varnothing$ $\Leftrightarrow m\le 3m-1\Leftrightarrow m\ge \frac{1}{2}$

Vậy $m\ge \frac{1}{2}$ là giá trị cần tìm.

b) Ta có $B\subset A\Leftrightarrow 3m+3<m\Leftrightarrow m<-\frac{3}{2}$

Vậy $m<-\frac{3}{2}$ là giá trị cần tìm.

c) Ta có $\displaystyle {{C}_{\mathbb{R}}}B=\left( -\infty ;3m-1 \right)\cup \left( 3m+3;+\infty \right)$

Suy ra $\displaystyle A\subset {{C}_{\mathbb{R}}}B\Leftrightarrow m\le 3m-1\Leftrightarrow m\ge \frac{1}{2}$

Vậy $m\ge \frac{1}{2}$ là giá trị cần tìm.

d) Ta có $\displaystyle {{C}_{\mathbb{R}}}A=\left[ m;+\infty \right)$ suy ra ${{C}_{\mathbb{R}}}A\cap B\ne \varnothing \Leftrightarrow m\le 3m+3\Leftrightarrow m\ge -\frac{3}{2}$