Hàm số bậc hai

HÀM SỐ BẬC HAI

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.

1. Định nghĩa:

Hàm số bậc hai là hàm số có dạng $y=a{{x}^{2}}+bx+c\left( a\ne 0 \right)$ .

2. Sự biến thiên

$\bullet \text{ }$ TXĐ: $D=\mathbb{R}$

$\bullet \text{ }$ Khi $a>0$ hàm số đồng biến trên $\left( -\frac{b}{2a};+\infty \right)$ , nghịch biến trên $\left( -\infty ;-\frac{b}{2a} \right)$ và có giá trị nhỏ nhất là $-\frac{\Delta }{4a}$ khi $x=-\frac{b}{2a}$ . Khi $a<0$ hàm số đồng biến trên $\left( -\infty ;-\frac{b}{2a} \right)$ , nghịch biến trên $\left( -\frac{b}{2a};+\infty \right)$ và có giá trị lớn nhất là $-\frac{\Delta }{4a}$ khi $x=-\frac{b}{2a}$ .

Bảng biến thiên

3. Đồ thị

Khi $a>0$ đồ thị hàm số bậc hai bề lõm hướng lên trên và có tọa độ đỉnh là $I\left( -\frac{b}{2a};-\frac{\Delta }{4a} \right)$

Khi $a<0$ đồ thị hàm số bậc hai bề lõm hướng lên trên và có tọa độ đỉnh là $I\left( -\frac{b}{2a};-\frac{\Delta }{4a} \right)$

Đồ thị nhận đường thẳng $x=-\frac{b}{2a}$ làm trục đối xứng.

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

DẠNG TOÁN 1: XÁC ĐỊNH HÀM SỐ BẬC HAI .

1. Phương pháp giải.

Để xác định hàm số bậc hai ta là như sau

Gọi hàm số cần tìm là $y=a{{x}^{2}}+bx+c,\,a\ne 0$ . Căn cứ theo giả thiết bài toán để thiết lập và giải hệ phương trình với ẩn $\displaystyle a,\,b,c$ , từ đó suy ra hàm số cần tìm.

2. Các ví dụ minh họa.

Ví dụ 1. Xác định parabol $\left( P \right)$ : $y=a{{x}^{2}}+bx+c$ , $a\ne 0$ biết:

a) $\left( P \right)$ đi qua $A(2;3)$ có đỉnh $I(1;2)$

b) $c=2$ và $\left( P \right)$ đi qua $B\left( 3;-4 \right)$ và có trục đối xứng là $\displaystyle x=-\frac{3}{2}$ .

c) Hàm số $y=a{{x}^{2}}+bx+c$ có giá trị nhỏ nhất bằng $\frac{3}{4}$ khi $x=\frac{1}{2}$ và nhận giá trị

bằng $1$ khi $\displaystyle x=1$ .

d) $\left( P \right)$ đi qua $M(4;3)$ cắt $Ox$ tại $N(3;0)$ và $P$ sao cho $\Delta INP$ có diện tích bằng 1 biết hoành độ điểm $P$ nhỏ hơn $3$ .

Lời giải:

a) Vì $A\in \left( P \right)$ nên $3=4a+2b+c$ (1).

Mặt khác $\left( P \right)$ có đỉnh $I(1;2)$ nên $-\frac{b}{2a}=1\Leftrightarrow 2a+b=0$ (2) và $I\in \left( P \right)$ suy ra $2=a+b+c$ (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có $\left\{ \begin{array}{l}4a+2b+c=3\\2a+b=0\\a+b+c=2\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a=1\\b=-2\\c=3\end{array} \right.$

Vậy $\left( P \right)$ cần tìm là $\displaystyle y={{x}^{2}}-2x+3$ .

b) Ta có $c=2$ và $\left( P \right)$ đi qua $B\left( 3;-4 \right)$ nên $-4=9a+3b+2\Leftrightarrow 3a+b=-2$ (4)

$\left( P \right)$ có trục đối xứng là $\displaystyle x=-\frac{3}{2}$ nên $-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2}\Leftrightarrow b=3a$ thay vào (4) ta được:

$3a+3a=-2\Leftrightarrow a=-\frac{1}{3}\Rightarrow b=-1$ .

Vậy $\left( P \right)$ cần tìm là $\displaystyle y=-\frac{1}{3}{{x}^{2}}-x+2$ .

c) Hàm số $y=a{{x}^{2}}+bx+c$ có giá trị nhỏ nhất bằng $\frac{3}{4}$ khi $x=\frac{1}{2}$ nên ta có

$-\frac{b}{2a}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow a+b=0$ (5) $,\,\,\frac{3}{4}=a{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}+b\left( \frac{1}{2} \right)+c\Leftrightarrow a+2b+4c=3$ (6) và $\displaystyle a>0$

Hàm số $y=a{{x}^{2}}+bx+c$ nhận giá trị bằng $1$ khi $\displaystyle x=1$ nên $a+b+c=1$ (7)

Từ (5), (6) và (7) ta có $\left\{ \begin{array}{l}a+b=0\\a+2b+4c=3\\a+b+c=1\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a=1\\b=-1\\c=1\end{array} \right.$

Vậy $\left( P \right)$ cần tìm là $\displaystyle y={{x}^{2}}-x+1$ .

d) Vì $\left( P \right)$ đi qua $M(4;3)$ nên $3=16a+4b+c$ (8)

Mặt khác $\left( P \right)$ cắt $Ox$ tại $N(3;0)$ suy ra $0=9a+3b+c$ (9), $\left( P \right)$ cắt $Ox$ tại $P$ nên $P\left( t;0 \right),\,\,t<3$

Theo định lý Viét ta có

Ta có ${{S}_{\Delta IBC}}=\frac{1}{2}IH.NP$ với $H$ là hình chiếu của $I\left( -\frac{b}{2a};-\frac{\Delta }{4a} \right)$ lên trục hoành

Do $IH=\left| -\frac{\Delta }{4a} \right|$ , $NP=3-t$ nên ${{S}_{\Delta INP}}=1\Leftrightarrow \frac{1}{2}\left| -\frac{\Delta }{4a} \right|.\left( 3-t \right)=1$

$\Leftrightarrow \left( 3-t \right)\left| {{\left( \frac{b}{2a} \right)}^{2}}-\frac{c}{a} \right|=\left| \frac{2}{a} \right|\Leftrightarrow \left( 3-t \right)\left| {{\frac{\left( t+3 \right)}{4}}^{2}}-3t \right|=\left| \frac{2}{a} \right|$ $\Leftrightarrow {{\left( 3-t \right)}^{3}}=\frac{8}{\left| a \right|}$ (10)

Từ (8) và (9) ta có $7a+b=3\Leftrightarrow b=3-7a$ suy ra $t+3=-\frac{3-7a}{a}\Leftrightarrow \frac{1}{a}=\frac{4-t}{3}$

Thay vào (10) ta có ${{\left( 3-t \right)}^{3}}=\frac{8\left( 4-t \right)}{3}$ $\Leftrightarrow 3{{t}^{3}}-27{{t}^{2}}+73t-49=0\Leftrightarrow t=1$

Suy ra $\displaystyle a=1\Rightarrow b=-4\Rightarrow c=3$ .

Vậy $\left( P \right)$ cần tìm là $\displaystyle y={{x}^{2}}-4x+3$ .

DẠNG TOÁN 2: XÉT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SÔ BẬC HAI.

1. Phương pháp giải

Để vẽ đường parabol $y=a{{x}^{2}}+bx+c$ ta thực hiện các bước như sau:

– Xác định toạ độ đỉnh $I\left( -\frac{b}{2a};-\frac{\Delta }{4a} \right)$ .

– Xác định trục đối xứng $x=-\frac{b}{2a}$ và hướng bề lõm của parabol.

– Xác định một số điểm cụ thể của parabol (chẳng hạn, giao điểm của parabol với các trục toạ độ và các điểm đối xứng với chúng qua trục trục đối xứng).

– Căn cứ vào tính đối xứng, bề lõm và hình dáng parabol để vẽ parabol.

2. Các ví dụ minh họa.

Ví dụ 1: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau

a) $y={{x}^{2}}+3x+2$ b) $y=-{{x}^{2}}+2\sqrt{2}x$

Lời giải:

a) Ta có $-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2},\,\,-\frac{\Delta }{4a}=-\frac{1}{4}$

Bảng biến thiên

Suy ra đồ thị hàm số $y={{x}^{2}}+3x+2$ có đỉnh là $I\left( -\frac{3}{2};-\frac{1}{4} \right)$ , đi qua các điểm

$A\left( -2;0 \right),\,\,B\left( -1;0 \right),\,\,C\left( 0;2 \right),\,\,D\left( -3;2 \right)$

Nhận đường thẳng $\displaystyle x=-\frac{3}{2}$ làm trục đối xứng và hướng bề lõm lên trên

b) Ta có $-\frac{b}{2a}=\sqrt{2},\,\,-\frac{\Delta }{4a}=2$

Bảng biến thiên

Suy ra đồ thị hàm số $y=-{{x}^{2}}+2\sqrt{2}x$ có đỉnh là $I\left( \sqrt{2};2 \right)$ , đi qua các điểm $O\left( 0;0 \right),\,\,B\left( 2\sqrt{2};0 \right)$

Nhận đường thẳng $\displaystyle x=\sqrt{2}$ làm trục đối xứng và hướng bề lõm xuống dưới

Ví dụ 2: Cho hàm số $y={{x}^{2}}-6x+8$

a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số trên

b) Sử dụng đồ thị để biện luận theo tham số $m$ số điểm chung của đường thẳng $y=m$ và đồ thị hàm số trên

c) Sử dụng đồ thị, hãy nêu các khoảng trên đó hàm số chỉ nhận giá trị dương

d) Sử dụng đồ thị, hãy tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số đã cho trên $\left[ -1;5 \right]$

Lời giải:

a) Ta có $-\frac{b}{2a}=3,\,\,-\frac{\Delta }{4a}=-1$

Bảng biến thiên

Suy ra đồ thị hàm số $y={{x}^{2}}+3x+2$ có đỉnh là $I\left( 3;-1 \right)$ , đi qua các điểm $A\left( 2;0 \right),\,\,B\left( 4;0 \right)$

Nhận đường thẳng $\displaystyle x=3$ làm trục đối xứng và hướng bề lõm lên trên

b) Đường thẳng $y=m$ song song hoặc trùng với trục hoành do đó dựa vào đồ thị ta có

Với $m<-1$ đường thẳng $y=m$ và parabol $y={{x}^{2}}-6x+8$ không cắt nhau

Với $m=-1$ đường thẳng $y=m$ và parabol $y={{x}^{2}}-6x+8$ cắt nhau tại một điểm(tiếp xúc)

Với $m>-1$ đường thẳng $y=m$ và parabol $y={{x}^{2}}-6x+8$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt

c) Hàm số nhận giá trị dương ứng với phần đồ thị nằm hoàn toàn trên trục hoành

Do đó hàm số chỉ nhận giá trị dương khi và chỉ khi $x\in \left( -\infty ;2 \right)\cup \left( 4;+\infty \right)$ .

d) Ta có $y\left( -1 \right)=15,\,\,y\left( 5 \right)=13,\,\,y\left( 3 \right)=-1$ , kết hợp với đồ thị hàm số suy ra

$\displaystyle \underset{\left[ -1;5 \right]}{\mathop{\max }}\,y=15$ khi và chỉ khi $x=-1$

$\displaystyle \underset{\left[ -1;5 \right]}{\mathop{\min }}\,y=-1$ khi và chỉ khi $x=3$

DẠNG TOÁN 3: ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CHO BỞI NHIỀU CÔNG THỨC VÀ HÀM SỐ CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI.

1. Các ví dụ minh họa.

Ví dụ 1: Vẽ đồ thị của hàm số sau

Lời giải

a) Đồ thị hàm số

gồm :

+ Vẽ đường thẳng $y=x-2$ đi qua $\displaystyle \text{A}\left( 2;0 \right),\,\,B\left( 0;-2 \right)$ và lấy phần nằm bên phải của đường thẳng $\displaystyle x=2$

+ Parabol $y=-{{x}^{2}}+2x$ có đỉnh $I\left( 1;2 \right)$ , trục đối xứng $\displaystyle x=1$ , đi qua các điểm $O\left( 0;0 \right),\,\,C\left( 2;0 \right)$ và lấy phần đồ thị nằm bên trái của đường thẳng $\displaystyle x=2$

b) Vẽ parabol $\left( P \right)$ của đồ thị hàm số $y={{x}^{2}}-x-2$ có đỉnh $I\left( \frac{1}{2};-\frac{5}{4} \right)$ , trục đối xứng $\displaystyle x=\frac{1}{2}$ , đi qua các điểm $A\left( -1;0 \right),\,\,B\left( 2;0 \right),\,C\,\left( 0;-2 \right),\,\,D\left( 1;-2 \right)$ .

Khi đó đồ thị hàm số $y=\left| {{x}^{2}}-x-2 \right|$ gồm

+ Phần parabol $\left( P \right)$ nằm phía trên trục hoành và phần đối xứng của $\left( P \right)$ nằm dưới trục hoành qua trục hoành.

Ví dụ 2: Vẽ đồ thị của hàm số $y={{x}^{2}}-3\left| x \right|+2$

Lời giải:

Vẽ đồ thị hàm số $\left( P \right):\,y={{x}^{2}}-3x+2$ có đỉnh $I\left( \frac{3}{2};-\frac{1}{4} \right)$ , trục đối xứng $\displaystyle x=\frac{3}{2}$ , đi qua các điểm $A\left( 1;0 \right),\,\,B\left( 2;0 \right),\,C\,\left( 0;2 \right),\,\,D\left( 3;2 \right)$ . Bề lõm hướng lên trên.

Khi đó đồ thị hàm số $y={{x}^{2}}-3\left| x \right|+2$ là $\left( {{P}_{1}} \right)$ gồm phần bên phải trục tung của $\left( P \right)$ và phần lấy đối xứng của nó qua trục tung.