Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn

BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT.

1. Giải và biện luận bất phương trình dạng $\displaystyle ax+b<0$ .

Giải bất phương trình dạng $\displaystyle ax+b<0$ (1)

+ Nếu $a=0$ thì bất phương trình có dạng $\displaystyle 0.x+b<0$

– Với $b<0$ thì tập nghiệm BPT là S = Ø

– Với $b\ge 0$ thì tập nghiệm BPT là $\displaystyle \text{S}=\mathbb{R}$

+ Nếu $a>0$ thì $\left( 1 \right)\Leftrightarrow x<-\frac{b}{a}$ suy ra tập nghiệm là $S=\left( -\infty ;-\frac{b}{a} \right)$
+ Nếu $a<0$ thì $\left( 1 \right)\Leftrightarrow x>-\frac{b}{a}$ suy ra tập nghiệm là $S=\left( -\frac{b}{a};+\infty \right)$

Các bất phương trình dạng $\displaystyle ax+b>0,\,\,ax+b\le 0,\,\,ax+b\ge 0$ được giải hoàn toán tương tự

2. Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn

Để giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn ta giải từng bất phương trình của hệ bất phương trình. Khi đó tập nghiệm của hệ bất phương trình là giao của các tập nghiệm từng bất phương trình.

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

DẠNG TOÁN 1: GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH DẠNG $\displaystyle ax+b<0$ .

1. Các ví dụ minh họa.

Ví dụ 1: Khẳng định nào sau đây là Sai?

a) $\displaystyle mx+6\le 2x+3m$

A. $m=2$ bất phương trình nghiệm đúng với mọi $\displaystyle x$ (có tập nghiệm là $S=\mathbb{R}$ ).

B. $m>2$ bất phương trình có nghiệm là $\displaystyle x<3$ (có tập nghiệm là $S=\left( -\infty ;3 \right)$ )

C. $m<2$ bất phương trình có nghiệm là $\displaystyle x>3$ (có tập nghiệm là $S=\left( 3;+\infty \right)$ )

D. Cả A, B, C đều sai

b) $\displaystyle \left( x+m \right)m+x>3x+4$

A. $m=2$ bất phương trình vô nghiệm

B. $m>2$ bất phương trình có nghiệm là $\displaystyle x>-m-2$

C. $m<2$ bất phương trình có nghiệm là $\displaystyle x<-m-2$

D. Cả A, B, C đều sai

c) $\left( {{m}^{2}}+9 \right)x+3\ge m\left( 1-6x \right)$

A. $m=-3$ bất phương trình nghiệm đúng với mọi $\displaystyle x$ .

B. $m\ne -3$ bất phương trình có nghiệm là $x\ge \frac{m-3}{{{\left( m+3 \right)}^{2}}}$ .

C. Cả A, B đều đúng

D. Cả A, B đều sai

d) $m\left( {{m}^{2}}x+2 \right)<x+{{m}^{2}}+1$

A. $m=2$ bất phương trình vô nghiệm

B. $m>1$ bất phương trình có nghiệm là $\displaystyle x<\frac{m-1}{{{m}^{2}}+m+1}$

C. $m<1$ bất phương trình có nghiệm là $\displaystyle x>\frac{m-1}{{{m}^{2}}+m+1}$ .

D. Cả A, B, C đều sai

Lời giải:

a) Bất phương trình tương đương với $\displaystyle \left( m-2 \right)x<3m-6$

Với $m=2$ bất phương trình trở thành $0x\le 0$ suy ra bất phương trình nghiệm đúng với mọi $\displaystyle x$ .

Với $m>2$ bất phương trình tương đương với $\displaystyle x<\frac{3m-6}{m-2}=3$

Với $m<2$ bất phương trình tương đương với $\displaystyle x>\frac{3m-6}{m-2}=3$

Kết luận

$m=2$ bất phương trình nghiệm đúng với mọi $\displaystyle x$ (có tập nghiệm là $S=\mathbb{R}$ ).

$m>2$ bất phương trình có nghiệm là $\displaystyle x<3$ (có tập nghiệm là $S=\left( -\infty ;3 \right)$ )

$m<2$ bất phương trình có nghiệm là $\displaystyle x>3$ (có tập nghiệm là $S=\left( 3;+\infty \right)$ )

b) Bất phương trình tương đương với $\displaystyle \left( m-2 \right)x>4-{{m}^{2}}$

Với $m=2$ bất phương trình trở thành $0x>0$ suy ra bất phương trình vô nghiệm.

Với $m>2$ bất phương trình tương đương với $\displaystyle x>\frac{4-{{m}^{2}}}{m-2}=-m-2$

Với $m<2$ bất phương trình tương đương với $\displaystyle x<\frac{4-{{m}^{2}}}{m-2}=-m-2$

Kết luận

$m=2$ bất phương trình vô nghiệm

$m>2$ bất phương trình có nghiệm là $\displaystyle x>-m-2$

$m<2$ bất phương trình có nghiệm là $\displaystyle x<-m-2$

c) Bất phương trình tương đương với ${{\left( m+3 \right)}^{2}}x\ge m-3$

Với $m=-3$ bất phương trình trở thành $0x\ge -6$ suy ra bất phương trình nghiệm đúng với mọi $\displaystyle x$ .

Với $m\ne -3$ bất phương trình tương đương với $x\ge \frac{m-3}{{{\left( m+3 \right)}^{2}}}$

Kết luận

$m=-3$ bất phương trình nghiệm đúng với mọi $\displaystyle x$ .

$m\ne -3$ bất phương trình có nghiệm là $x\ge \frac{m-3}{{{\left( m+3 \right)}^{2}}}$ .

d) Bất phương trình tương đương với $\Leftrightarrow \left( {{m}^{3}}-1 \right)x<{{m}^{2}}-2m+1$

$\Leftrightarrow \left( m-1 \right)x<\frac{{{\left( m-1 \right)}^{2}}}{{{m}^{2}}+m+1}$ (vì ${{m}^{2}}+m+1={{\left( m+\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{4}>0$ )

Với $m=1$ bất phương trình trở thành $0x<0$ suy ra bất phương trình vô nghiệm.

Với $m>1$ bất phương trình tương đương với $\displaystyle x<\frac{m-1}{{{m}^{2}}+m+1}$

Với $m<1$ bất phương trình tương đương với $\displaystyle x>\frac{m-1}{{{m}^{2}}+m+1}$

Kết luận

$m=2$ bất phương trình vô nghiệm

$m>1$ bất phương trình có nghiệm là $\displaystyle x<\frac{m-1}{{{m}^{2}}+m+1}$

$m<1$ bất phương trình có nghiệm là $\displaystyle x>\frac{m-1}{{{m}^{2}}+m+1}$ .

Ví dụ 2. Tìm $m$ để bất phương trình $\displaystyle \left( {{m}^{2}}-m \right)x+m<6x-2$ vô nghiệm.

A. $m=-2$ và $m=3$

B. $m=-2$ và $m=5$

C. $m=5$ và $m=3$

D. $m=5$ và $m=2$

Lời giải:

Bất phương trình tương đương với $\displaystyle \left( {{m}^{2}}-m-6 \right)x<-2-m$

Rõ ràng nếu $m^{2} - m - 6 = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} m \neq - 2 \\ m \neq 3 \end{cases}$ thì bất phương trình luôn có nghiệm.

Với $m=-2$ bất phương trình trở thành $0x<0$ suy ra bất phương trình vô nghiệm

Với $m=3$ bất phương trình trở thành $0x<-5$ suy ra bất phương trình vô nghiệm

Vậy giá trị cần tìm là $m=-2$ và $m=3$ .

Ví dụ 3. Tìm $m$ để bất phương trình $\displaystyle 4{{m}^{2}}\left( 2x-1 \right)\ge \left( 4{{m}^{2}}+5m+9 \right)x-12m$ có nghiệm đúng $\forall x\in \mathbb{R}$ .

A. $m=\frac{9}{4}$ B. $m=\frac{7}{4}$ C. $m=\frac{5}{4}$ D. $m=\frac{3}{4}$

Lời giải:

Bất phương trình tương đương với $\displaystyle \left( 4{{m}^{2}}-5m-9 \right)x\ge 4{{m}^{2}}-12m$

Dễ dàng thấy nếu $4 m^{2} - 5 m - 9 \neq 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} m \neq - 1 \\ m \neq \frac{9}{4} \end{cases}$ thì bất phương trình không thể có nghiệm đúng $\forall x\in \mathbb{R}$

Với $m=-1$ bất phương trình trở thành $0x\ge 16$ suy ra bất phương trình vô nghiệm

Với $m=\frac{9}{4}$ bât phương trình trở thành $0x\ge -\frac{27}{4}$ suy ra bất phương trình nghiệm đúng với mọi $\displaystyle x$ .

Vậy giá trị cần tìm là $m=\frac{9}{4}$ .

DẠNG TOÁN 2: GIẢI HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN.

1. Các ví dụ minh họa.

Ví dụ 1. Giải các hệ bất phương trình sau:

a) $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}5x-2>4x+5\\5x-4<x+2\end{array} \right.$ b) $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}6x+\frac{5}{7}<4x+7\\\frac{8x+3}{2}<2x+5\end{array} \right.$

c) $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}5x-2<4x+5\\{{x}^{2}}<{{\left( x+2 \right)}^{2}}\end{array} \right.$ d) $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x-1\le 2x-3\\3x<x+5\\\frac{5-3x}{2}\le x-3\end{array} \right.$

Lời giải:

a) Hệ bất phương trình tương đương với

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}5x-2>4x+5\\5x-4<x+2\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x>7\\x<\frac{3}{2}\end{array} \right.$

Suy ra hệ bất phương trình vô nghiệm.

b) Hệ bất phương trình tương đương với

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}6x+\frac{5}{7}<4x+7\\\frac{8x+3}{2}<2x+5\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x<\frac{22}{7}\\x<\frac{7}{4}\end{array} \right.\Leftrightarrow x<\frac{7}{4}$

Vậy hệ bất phương trình có nghiệm là $\displaystyle x<\frac{7}{4}$

c) Hệ bất phương trình tương đương với $\{\begin{array}{l} x < 7 \\ x > - 1 \end{array} \Leftrightarrow - 1 < x < 7$

Vậy hệ bất phương trình có nghiệm là $-1<x<7$ .

d) Hệ bất phương trình tương đương với $\left\{ \begin{array}{l}x\ge 2\\x<\frac{5}{2}\\x\ge \frac{11}{5}\end{array} \right.\Leftrightarrow \frac{11}{5}\le x\le \frac{5}{2}$

Vậy hệ bất phương trình có nghiệm là $\frac{11}{5}\le x\le \frac{5}{2}$ .

Ví dụ 2. Tìm $m$ để hệ bất phương trình $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}2x-1\le x+2\\m\left( m+1 \right)x+4m\ge \left( m-2 \right)x+3{{m}^{2}}+6\end{array} \right.$ có nghiệm.

A. $m\ge 0$ B. $m<0$ C. $m\le 0$ D. $m=0$

Lời giải:

a) Hệ bất phương trình tương đương với $\{\begin{cases} x \leq 3 \\ (m^{2} + 2) x \geq 3 m^{2} - 4 m + 6 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \leq 3 \\ x \geq \frac{3 m^{2} - 4 m + 6}{m^{2} + 2} \end{cases}$