Tích vô hướng của hai vecto

I. Định nghĩa và tính chất tích vô hướng của hai vectơ
1. Định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ
$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left| \overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{b} \right|.cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right).$

2. Bình phương vô hướng
• $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a}$ được kí hiệu: ${{\overrightarrow{a}}^{2}}$ và được gọi là bình phương vô hướng của $\overrightarrow{a}$ .
• ${{\overrightarrow{a}}^{2}}=\left| \overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{a} \right|.cos{{0}^{0}}=>{{\overrightarrow{a}}^{2}}={{\left| \overrightarrow{a} \right|}^{2}}$

3. Tính chất của tích vô hướng
Với ba vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ tuỳ ý và số thực k bất kì, ta có :
• $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}.\overrightarrow{a}$ (tính giao hoán)
• $\left( k\overrightarrow{a} \right).\overrightarrow{b}=k\left( \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} \right)$
• $\overrightarrow{a}.\left( \overrightarrow{b}+\overrightarrow{c} \right)=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}$ (tính phân phối đối với phép cộng).
• $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0<=>\overrightarrow{a}\bot \overrightarrow{b}.$

Kết quả:
a)
$\begin{array}{l}{{\left( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right)}^{2}}={{\overrightarrow{a}}^{2}}+2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+{{\overrightarrow{b}}^{2}};\\{{\left( \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right)}^{2}}={{\overrightarrow{a}}^{2}}-2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+{{\overrightarrow{b}}^{2}};\\\left( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right)\left( \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right)={{\overrightarrow{a}}^{2}}-{{\overrightarrow{b}}^{2}}.\end{array}$

b) Độ dài của vectơ và góc giữa hai vectơ :
Cho $\overrightarrow{a}=\left( {{a}_{1}};{{a}_{2}} \right),\overrightarrow{b}\left( {{b}_{1}};{{b}_{2}} \right).$ Ta có :
• $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}={{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}$ (biểu thức toạ độ của tích vô hướng).
• $\left| \overrightarrow{a} \right|=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}$
• $\left\{ \begin{array}{l}A({{x}_{A}};{{y}_{A}})\\B({{x}_{B}};{{y}_{B}})\end{array} \right.=>AB=\sqrt{{{\left( {{x}_{B}}-{{x}_{A}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{B}}-{{y}_{A}} \right)}^{2}}}$
• $\cos \left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right)=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{b} \right|}=\frac{{{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}.\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}$
• $\overrightarrow{a}\bot \overrightarrow{b}<=>{{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}=0.$

4. Công thức hình chiếu
Cho hai vectơ $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$ . Gọi ${{B}^{'}}$ là hình chiếu của B trên đường thẳng OB.
Công thức hình chiếu: $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{O{{B}^{'}}}$ .

II. Một số dạng toán cơ bản áp dụng tích vô hướng của hai vecto

DẠNG I. Tính các biểu thức lượng giác của góc từ ${{0}^{0}}$ đến ${{180}^{0}}$
Phương pháp giải: Dùng định nghĩa, các công thức đã học, góc bù nhau, phụ nhau.

Ví dụ: Tính $A=\sin {{90}^{0}}-\tan {{120}^{0}}+\tan {{135}^{0}}+{{\cot }^{2}}{{150}^{0}}$
Giải

$\begin{array}{l}A=\sin {{90}^{0}}-\tan {{120}^{0}}-\tan {{135}^{0}}+{{\cot }^{2}}{{150}^{0}}\\=1-\frac{1}{2}-1+{{\left( -\sqrt{3} \right)}^{2}}=\frac{5}{2}.\end{array}$

DẠNG II. Tính tích vô hướng của hai vectơ
Phương pháp giải:
Tuỳ theo đề bài, có thể dùng:
• Định nghĩa, dùng biểu thức toạ độ của tích vô hướng.
• Công thức hình chiếu.
• Có thể sử dụng tính chất của tích vô hướng để đưa về tổng, hiệu của nhữngtích vô hướng đơn giản.
Cần lưu ý vài trường hợp đặc biệt:
• $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0<=>\overrightarrow{a}\bot \overrightarrow{b}.$
• Trường hợp A, B , C thẳng hàng :
+ Nếu A ở ngoài đoạn BC thì $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC.$
+ Nếu A ở giữa B và C thì $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=-AB.AC.$

Ví dụ: Cho tam giác ABC có AB = 5, AC = 8, $\widehat{BAC}={{120}^{0}}.$ Tính $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}?$
Giải
• $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC.cos\widehat{BAC}=5.8.cos{{120}^{0}}=-20.$
• $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}\left( \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB} \right)=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}-{{\overrightarrow{AB}}^{2}}=-20-25=-45.$

DẠNG III. Chứng minh một đẳng thức về tích vô hướng hay đẳng thức về độ dài.
Phương pháp giải:
• Dùng định nghĩa, các tính chất về tích vô hướng như dạng II.
• Đưa bình phương độ dài về bình phương vectơ :

$A{{B}^{2}}={{\overrightarrow{AB}}^{2}}={{\left( \overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA} \right)}^{2}}$

Ví dụ: Cho tam giác ABC có các trung tuyến AM, BN, CP. Chứng minh:
$\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BN}.\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CP}.\overrightarrow{AB}=0$
Giải
Ta có

$\begin{array}{l}\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} \right).\left( \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB} \right)=\frac{1}{2}\left( A{{C}^{2}}-A{{B}^{2}} \right)(1)\\\overrightarrow{BN}.\overrightarrow{CA}=\frac{1}{2}\left( B{{A}^{2}}-B{{C}^{2}} \right)(2)\\\overrightarrow{CP}.\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\left( C{{B}^{2}}-C{{A}^{2}} \right)(3)\end{array}$
Cộng (1), (2), (3) và thu gọn ta có:
$\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BN}.\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CP}.\overrightarrow{AB}=0$

DẠNG IV. Chứng minh hai đường thẳng hay hai vectơ vuông góc.
Phương pháp giải:
• Sử dụng: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0<=>\overrightarrow{a}\bot \overrightarrow{b}.$

Ví dụ: Cho hình thang vuông ABCD. Đường cao AB và hai cạnh đáyAD, BC có độ dài lần lượt là h, a, b. Tìm điều kiện giữa a, b, h để AC và BD vuông góc với nhau.
Giải
$\begin{array}{l}AC\bot BD<=>\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=0<=>\left( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} \right)\left( \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB} \right)=0\\<=>\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AD}-A{{B}^{2}}-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=0\end{array}$
Mà $AB\bot AD,AB\bot BC$ nên: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=0$
Vậy $AC\bot BD<=>\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AD}-A{{B}^{2}}=0<=>ab-{{h}^{2}}=0<=>{{h}^{2}}=ab.$

DẠNG V. Tìm tập hợp điểm
Phương pháp giải:
Các dạng cơ bản:
1. $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=k.$
• $k=0$ : Tập hợp điểm là đường tròn đường kính AB.
• $k\ne 0$ : Gọi I là trung điểm của AB.
$\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=k<=>M{{I}^{2}}=k+\frac{A{{B}^{2}}}{4}$
Tập hợp điểm là đường tròn tâm I, bán kính $R=\sqrt{k+\frac{A{{B}^{2}}}{4}}$ nếu $k+\frac{A{{B}^{2}}}{4}>0$ .

Chú ý: Khi $k+\frac{A{{B}^{2}}}{4}<0$ : Tập hợp các điểm M là tâp Ø.
2. $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}=k.$
• $k=0$ : Tập hợp điểm M là đường thẳng qua A và vuông góc BC.
• $k\ne 0$ : Gọi ${{A}^{'}}$ ; H lần lượt là hình chiếu của A, M lên đường thẳng BC.Tập hợp phải tìm là đường thẳng vuông góc với BC tại H cho bởi hệ thức: $\overrightarrow{{{A}^{'}}H}.\overrightarrow{BC}=k.$