Đường thẳng

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

I. Phương trình tổng quát của đường thẳng

• $\overrightarrow{n}\ne 0$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng d khi và chỉ khi giá của $\overrightarrow{n}$ vuông góc với d.
• Phương trình tổng quát của đường thẳng d:
                 $Ax+By+C=0\left( {{A}^{2}}+{{B}^{2}}\ne 0 \right)$        (1)
                $\overrightarrow{n}=(A;B)$ là vecto pháp tuyến của d.
• Đặc biệt. Phương trình của d:
Qua điểm ${{M}_{0}}({{x}_{0}};{{y}_{0}})$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(A;B)$ là:
                $A(x-{{x}_{0}})+B(y-{{y}_{0}})=0$
Qua gốc toạ độ O:
Song song hay trùng với ${{x}^{'}}Ox$ : By + C = 0
Song song hay trùng với ${{y}^{'}}Oy$ : Ax + C = 0
Có hệ số góc k và qua ${{M}_{0}}({{x}_{0}};{{y}_{0}})$ : $y=k(x-{{x}_{0}})+{{y}_{0}}.$
Có hệ số góc k và qua B(0 ; b) : y = kx + b .
Qua A(a ; 0) và B(0 ; b): $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\left( a,b\ne 0 \right)$ . Đây là dạng phương trình đường thẳng theo đoạn chắn

Trường hợp đường thẳng d có phương trình tổng quát ax+by+c=0

Nếu b khác 0 thì phương trình đưa được về dạng: $y=kx+m$ với $k=-\frac{a}{b},m=-\frac{c}{b}$ , khi đó k là hệ số góc của đường thẳng d và đây là phương trình của d theo hệ số góc.

II. Phương trình tham số của đường thẳng

• $\overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{0}$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng d khi và chỉ khi giá của $\overrightarrow{a}$ cùng phương với d .
• Phương trình tham số : Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a}=({{a}_{1}};{{a}_{2}})$ và qua ${{M}_{0}}({{x}_{0}};{{y}_{0}})$ . Phương trình tham số của d:

Chú ý:
1. d có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(A;B)$ thì d có vectơ chì phương là $\overrightarrow{a}=\left( B;-A \right)$ hay $\overrightarrow{{{a}^{'}}}=\left( -B;A \right).$
2. d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a}=({{a}_{1}};{{a}_{2}})$ thì d có:
* Hệ số góc $k=\frac{{{a}_{2}}}{{{a}_{1}}}\left( {{a}_{1}}\ne 0 \right)$
* Vectơ pháp tuyến : $\overrightarrow{n}=({{a}_{2}};-{{a}_{1}})$ hay $\overrightarrow{{{n}^{'}}}=(-{{a}_{2}};{{a}_{1}}).$

III. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng ${{d}_{1}}:{{A}_{1}}x+{{B}_{1}}y+{{C}_{1}}=0,{{d}_{2}}:{{A}_{2}}x+{{B}_{2}}y+{{C}_{2}}=0$
Đặt: D = $|\begin{matrix} A_{1} & B_{1} \\ A_{2} & B_{2} \end{matrix}|$ ; D_x = $|\begin{matrix} B_{1} & C_{1} \\ B_{2} & C_{2} \end{matrix}|$ ; D_y = $|\begin{matrix} C_{1} & A_{1} \\ C_{2} & A_{2} \end{matrix}|$

IV. Khoảng cách và góc

• Khoảng cách từ điểm ${{M}_{0}}({{x}_{0}};{{y}_{0}})$ đến đường thẳng $d:Ax+By+C=0$

Cho hai đường thẳng ${{d}_{1}}:{{A}_{1}}x+{{B}_{1}}y+{{C}_{1}}=0,{{d}_{2}}:{{A}_{2}}x+{{B}_{2}}y+{{C}_{2}}=0$
• Phương trình hai phân giác của góc tạo bởi ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ là :

• Góc giữa ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ được cho bởi công thức :

• ${{d}_{1}}\bot {{d}_{2}}<=>{{A}_{1}}{{A}_{2}}+{{B}_{1}}{{B}_{2}}=0.$
Ghi chú: ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ lần lượt có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a}=({{a}_{1}};{{a}_{2}}),\overrightarrow{b}=({{b}_{1}};{{b}_{2}})$ thì

• ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ lần lượt có hệ số góc ${{k}_{1}},{{k}_{2}}$ thì góc định hướng giữa ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ cho bởi công thức:

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

DẠNG 1: Viết phương trình của đường thẳng

1. Phương pháp giải:

Để viết phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ ta cần xác định

– Điểm $A({{x}_{0}};{{y}_{0}})\in \Delta$

– Một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}\left( a;b \right)$ của $\Delta$

Khi đó phương trình tổng quát của $\Delta$ là $a\left( x-{{x}_{0}} \right)+b\left( y-{{y}_{0}} \right)=0$

Chú ý:

Đường thẳng $\Delta$ có phương trình tổng quát là $\displaystyle ax+by+c=0,\,\,{{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ne 0$ nhận $\overrightarrow{n}\left( a;b \right)$ làm vectơ pháp tuyến.
Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì VTPT đường thẳng này cũng là VTPT của đường thẳng kia.
Phương trình đường thẳng $\Delta$ qua điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ có dạng

$\Delta :a\left( x-{{x}_{0}} \right)+b\left( y-{{y}_{0}} \right)=0$ với ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ne 0$

hoặc ta chia làm hai trường hợp

+ $x={{x}_{0}}$ : nếu đường thẳng song song với trục $Oy$

+ $y-{{y}_{0}}=k\left( x-{{x}_{0}} \right)$ : nếu đường thẳng cắt trục $Oy$

Phương trình đường thẳng đi qua $A\left( a;0 \right),\,B\left( 0;b \right)$ với $ab\ne 0$ có dạng $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$

Ví dụ 1:
Cho tam giác $ABC$ biết $A\left( 2;0 \right),\,\,B\left( 0;4 \right),\,\,C(1;3)$ . Viết phương trình tổng quát của

a) Đường cao $AH$

b) Đường trung trực của đoạn thẳng $BC$ .

c) Đường thẳng $AB$ .

d) Đường thẳng qua $C$ và song song với đường thẳng $AB$ .

Lời giải:

a) Vì $AH\bot BC$ nên $\overrightarrow{BC}$ là vectơ pháp tuyến của $AH$

Ta có $\overrightarrow{BC}\left( 1;-1 \right)$ suy ra đường cao $AH$ đi qua $\displaystyle A$ và nhận $\overrightarrow{BC}$ là vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là $1.\left( x-2 \right)-1.\left( y-0 \right)=0$ hay $x-y-2=0$ .

b) Đường trung trực của đoạn thẳng $BC$ đi qua trung điểm $BC$ và nhận vectơ $\overrightarrow{BC}$ làm vectơ pháp tuyến.

Gọi $I$ là trung điểm $BC$ khi đó ${{x}_{I}}=\frac{{{x}_{B}}+{{x}_{C}}}{2}=\frac{1}{2},\,\,{{y}_{I}}=\frac{{{y}_{B}}+{{y}_{C}}}{2}=\frac{7}{2}\Rightarrow I\left( \frac{1}{2};\frac{7}{2} \right)$

Suy ra phương trình tổng quát của đường trung trực $BC$ là $1.\left( x-\frac{1}{2} \right)-1.\left( y-\frac{7}{2} \right)=0$ hay $x-y+3=0$

c) Phương trình tổng quát của đường thẳng $AB$ có dạng $\frac{x}{2}+\frac{y}{4}=1$ hay $2x+y-4=0$ .

d) Cách 1: Đường thẳng $AB$ có VTPT là $\overrightarrow{n}\left( 2;1 \right)$ do đó vì đường thẳng cần tìm song song với đường thẳng $AB$ nên nhận $\overrightarrow{n}\left( 2;1 \right)$ làm VTPT do đó có phương trình tổng quát là $2.\left( x-1 \right)+1.\left( y-3 \right)=0$ hay $2x+y-5=0$ .

Cách 2: Đường thẳng $\Delta$ song song với đường thẳng $AB$ có dạng $2x+y+c=0$ .

Điểm $C$ thuộc $\Delta$ suy ra $2.1+3+c=0\Rightarrow c=-5$ .

Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình tổng quát là $2x+y-5=0$ .

Ví dụ 2: Biết hai cạnh của một hình bình hành có phương trình $x-y=0$ và $x+3y-8=0$ , tọa độ một đỉnh của hình bình hành là $\left( -2;2 \right)$ . Viết phương trình các cạnh còn lại của hình bình hành.

A. $x-y+4=0$ B. $x+3y-3=0$

C. $x+3y-2=0$ D. $x-y-1=0$

Lời giải:

Đặt tên hình bình hành là $ABCD$ với $A\left( -2;2 \right)$ , do tọa độ điểm A không là nghiệm của hai phương trình đường thẳng trên nên ta giả sử $BC:x-y=0$ , $CD:x+3y-8=0$

Vì $AB//CD$ nên cạnh AB nhận $\overrightarrow{{{n}_{CD}}}\left( 1;3 \right)$ làm VTPT do đó có phương trình là $1.\left( x+2 \right)+3.\left( y-2 \right)=0$ hay $x+3y-4=0$

Tương tự cạnh AD nhận $\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\left( a>b>0 \right)$ làm VTPT do đó có phương trình là $1.\left( x+2 \right)-1.\left( y-2 \right)=0$ hay $x-y+4=0$

DẠNG 2: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng.

1. Phương pháp giải:

Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng ${{d}_{1}}:{{a}_{1}}x+{{b}_{1}}y+{{c}_{1}}=0;\text{ }{{d}_{2}}:{{a}_{2}}x+{{b}_{2}}y+{{c}_{2}}=0$ .

Ta xét hệ $\left\{ \begin{array}{l}{{a}_{1}}x+{{b}_{1}}y+{{c}_{1}}=0\\{{a}_{2}}x+{{b}_{2}}y+{{c}_{2}}=0\end{array} \right.$ (I)

+ Hệ (I) vô nghiệm suy ra ${{d}_{1}}//{{d}_{2}}$ .

+ Hệ (I) vô số nghiệm suy ra ${{d}_{1}}\equiv {{d}_{2}}$

+ Hệ (I) có nghiệm duy nhất suy ra d₁ và d₂ cắt nhau và nghiệm của hệ là tọa độ giao điểm.

Chú ý: Với trường hợp ${{a}_{2}}.{{b}_{2}}.{{c}_{2}}\ne 0$ khi đó

+ Nếu $\frac{{{a}_{1}}}{{{a}_{2}}}\ne \frac{{{b}_{1}}}{{{b}_{2}}}$ thì hai đường thẳng cắt nhau.

+ Nếu $\frac{{{a}_{1}}}{{{a}_{2}}}=\frac{{{b}_{1}}}{{{b}_{2}}}\ne \frac{{{c}_{1}}}{{{c}_{2}}}$ thì hai đường thẳng song song nhau.

+ Nếu $\frac{{{a}_{1}}}{{{a}_{2}}}=\frac{{{b}_{1}}}{{{b}_{2}}}=\frac{{{c}_{1}}}{{{c}_{2}}}$ thì hai đường thẳng trùng nhau.

2. Các ví dụ:

Ví dụ 1: Xét vị trí tương đối các cặp đường thẳng sau

a) ${{\Delta }_{1}}:x+y-2=0;\text{ }\,\,\,\,\text{ }\,\,\,\,{{\Delta }_{2}}:2x+y-3=0$

b) ${{\Delta }_{1}}:-x-2y+5=0;\text{ }{{\Delta }_{2}}:2x+4y-10=0$

c) ${{\Delta }_{1}}:2x-3y+5=0;\text{ }\,\,\,{{\Delta }_{\text{2}}}:x-5=0$

d) ${{\Delta }_{1}}:2x+3y+4=0;\text{ }\,\,\,{{\Delta }_{\text{2}}}:-4x-6y=0$

Lời giải:

a) Ta có $\frac{1}{2}\ne \frac{1}{1}$ suy ra ${{\Delta }_{1}}$ cắt ${{\Delta }_{2}}$

b) Ta có $\frac{-1}{2}=\frac{-2}{4}=\frac{5}{-10}$ suy ra ${{\Delta }_{1}}$ trùng ${{\Delta }_{2}}$

c) Ta có $\frac{1}{2}\ne \frac{0}{-3}$ suy ra ${{\Delta }_{1}}$ cắt ${{\Delta }_{2}}$

d) Ta có $\frac{-4}{2}=\frac{-6}{3}\ne \frac{0}{4}$ suy ra ${{\Delta }_{1}}//{{\Delta }_{2}}$

DẠNG 3. Xác định tọa độ điểm thuộc đường thẳng.

1. Phương pháp giải.

Để xác định tọa độ điểm thuộc đường thẳng ta dựa vào nhận xét sau:

Điểm A thuộc đường thẳng $4{{x}^{2}}+6{{y}^{2}}=24$ ( hoặc $AB=2$ ) có dạng ${{y}^{2}}=2px$
Điểm A thuộc đường thẳng $M\left( {{x}_{M}};{{y}_{M}} \right)$ (ĐK: $M\in \left( P \right)\Leftrightarrow y_{M}^{2}=2p{{x}_{M}}$ ) có dạng ${{x}_{M}},\,\,{{y}_{M}}$ với $Oxy$ hoặc $A\left( \frac{-bt-c}{a};t \right)$ với $a\ne 0$

2. Các ví dụ.

Ví dụ 1: Cho đường thẳng $\Delta :4x-3y+5=0$

a) Tìm tọa độ điểm A thuộc $M\left( {{x}_{M}};{{y}_{M}} \right)\in \left( P \right)$ và cách gốc tọa độ một khoảng bằng bốn

A. ${{A}_{1}}\left( 4;0 \right)$ B. ${{A}_{2}}\left( \frac{-28}{25};\frac{-96}{25} \right)$ C. ${{A}_{1}}\left( 4;0 \right)$ và ${{A}_{2}}\left( \frac{-28}{25};\frac{-96}{25} \right)$ D. ${{A}_{1}}\left( 0;-3 \right)$

b) Tìm tọa độ hình chiếu của điểm $M\left( 1;2 \right)$ lên đường thẳng $\Delta$

A. $H\left( 4;0 \right)$ B. $H\left( 0;-3 \right)$ C. $H\left( \frac{-28}{25};\frac{-96}{25} \right)$ D. $H\left( \frac{76}{25};-\frac{18}{25} \right)$

Lời giải:

Ví dụ 2: Cho tam giác $ABC$ vuông ở A. Biết $A\left( -1;4 \right),\,\,B\left( 1;-4 \right)$ , đường thẳng BC đi qua điểm $K\left( \frac{7}{3};2 \right)$ . Tìm toạ độ đỉnh C.