Đường tròn

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Phương trình đường tròn

Phương trình đường tròn (C) tâm $I\left( a;b \right)$ , bán kính R là : ${{(x-a)}^{2}}+{{(y-b)}^{2}}={{R}^{2}}$

Dạng khai triển của (C) là : $\displaystyle {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2ax-2by+c=0\text{ }$ với $\displaystyle c={{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{R}^{2}}$

Phương trình $\displaystyle {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2ax-2by+c=0\text{ }$ với điều kiện $\displaystyle {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-c>0$ , là phương trình đường tròn tâm $I\left( a;b \right)$ bán kính $R=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-c}$

2. Phương trình tiếp tuyến :

Cho đường tròn (C) : ${{(x-a)}^{2}}+{{(y-b)}^{2}}={{R}^{2}}$

Tiếp tuyến $\displaystyle \Delta$ của (C) tại điểm $\displaystyle M\left( {{x}_{0~}};{{y}_{0}} \right)$ là đường thẳng đi qua M và vuông góc với IM

nên phương trình : $\displaystyle \Delta :({{x}_{0}}-a)(x-a)+({{y}_{0}}-a)(y-a)={{R}^{2}}$

$\displaystyle \Delta$ : $\displaystyle ax+by+c=0$ là tiếp tuyến của (C) $\displaystyle \Leftrightarrow d(I,\Delta )=R\text{ }$
Đường tròn (C) : $\displaystyle {{(x-a)}^{2}}+{{(y-b)}^{2}}={{R}^{2}}$ có hai tiếp tuyến cùng phương với Oy là

$\displaystyle x=a\pm R$ . Ngoài hai tiếp tuyến này các tiếp tuyến còn lại đều có dạng : $\displaystyle y=kx+m$

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

DẠNG 1: Nhận dạng phương trình đường tròn. Tìm tâm và bán kính đường tròn.

1. Phương pháp giải.

Cách 1:
+ Đưa phương trình về dạng: $\displaystyle \left( C \right)\,:\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2ax-2by+c=0\text{ }$ (1)

+ Xét dấu biểu thức $P={{a}^{2}}+{{b}^{2}}-c$

Nếu $P>0$ thì (1) là phương trình đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( a;b \right)$ và bán kính $R=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-c}$

Nếu $P\le 0$ thì (1) không phải là phương trình đường tròn.

Cách 2: Đưa phương trình về dạng: ${{(x-a)}^{2}}+{{(y-b)}^{2}}=P$ (2).

Nếu $P>0$ thì (2) là phương trình đường tròn có tâm $I\left( a;b \right)$ và bán kính $R=\sqrt{P}$

Nếu $P\le 0$ thì (2) không phải là phương trình đường tròn.

2. Các ví dụ.

Ví dụ 1:
Trong các phương trình sau, phương trình nào biểu diễn đường tròn? Tìm tâm và bán kính nếu có.

$a)\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-4y+9=0$ (1)

$b)\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x+4y+13=0\,$ (2)

$c)\,\,2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}-6x-4y-1=0$ (3)

Lời giải:

a) Phương trình (1) có dạng $\displaystyle \,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2ax-2by+c=0\text{ }$ với $a=-1;\,\,\,b=2;\,\,\,c=9$

Ta có ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}-c=1+4-9<0$

Vậy phương trình (1) không phải là phương trình đường tròn.

b) Ta có: ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}-c=9+4-13=0$

Suy ra phương trình (2) không phải là phương trình đường tròn.

c) Ta có: $\left( 3 \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-3x-2y-\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow {{\left( x-\frac{3}{2} \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=\frac{5}{2}$

Vậy phương trình (3) là phương trình đường tròn tâm $I\left( \frac{3}{2};1 \right)$ bán kính $R=\frac{\sqrt{10}}{2}$

Ví dụ 2: Cho phương trình $\displaystyle ~{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2mx-4\left( m-2 \right)y+6-m=0$ (1)

a) Tìm điều kiện của $m$ để (1) là phương trình đường tròn.

b) Nếu (1) là phương trình đường tròn hãy tìm toạ độ tâm và bán kính theo m

Lời giải:

a) Phương trình (1) là phương trình đường tròn khi và chỉ khi ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}-c>0$

Với $a=m;\,\,b=2\left( m-2 \right);\,\,c=6-m$

Hay ${{m}^{2}}+4{{\left( m-2 \right)}^{2}}-6+m>0\Leftrightarrow 5{{m}^{2}}-15m+10>0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m>2\\m<1\end{array} \right.$

b) Với điều kiện trên thì đường tròn có tâm $I\left( m;2\left( m-2 \right) \right)$ và bán kính: $R=\sqrt{5{{m}^{2}}-15m+10}$

DẠNG 2: Viết phương trình đường tròn

1. Phương pháp giải.

Cách 1: + Tìm toạ độ tâm $I\left( a;b \right)$ của đường tròn (C)

+ Tìm bán kính R của đường tròn (C)

+ Viết phương trình của (C) theo dạng ${{(x-a)}^{2}}+{{(y-b)}^{2}}={{R}^{2}}$ .

Cách 2:
Giả sử phương trình đường tròn (C) là: $\displaystyle {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2ax-2by+c=0\text{ }$ (Hoặc $\displaystyle {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2ax+2by+c=0\text{ }$ ).

+ Từ điều kiện của đề bài thành lập hệ phương trình với ba ẩn là a, b, c.

+ Giải hệ để tìm a, b, c từ đó tìm được phương trình đường tròn (C).

Chú ý:

* $A\in \left( C \right)\Leftrightarrow IA=R$

* $\left( C \right)$ tiếp xúc với đường thẳng $\Delta$ tại $A\Leftrightarrow IA=d\left( I;\Delta \right)=R$

* $\left( C \right)$ tiếp xúc với hai đường thẳng ${{\Delta }_{1}}$ và ${{\Delta }_{2}}\Leftrightarrow d\left( I;{{\Delta }_{1}} \right)=d\left( I;{{\Delta }_{2}} \right)=R$

2. Các ví dụ.

Ví dụ : Viết phương trình đường tròn trong mỗi trường hợp sau:

a) Có tâm $I\left( 1;-5 \right)$ và đi qua $O\left( 0;0 \right).$

b) Nhận $AB$ làm đường kính với $A\left( 1;1 \right),\,\,B\left( 7;5 \right)$ .

c) Đi qua ba điểm: $M\left( -2;4 \right),\,\,N\left( 5;5 \right),\,\,P\left( 6;-2 \right)$ .

Lời giải:

a) Đường tròn cần tìm có bán kính là $OI=\sqrt{{{1}^{2}}+{{5}^{2}}}=\sqrt{26}$ nên có phương trình là ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+5 \right)}^{2}}=26$

b) Gọi I là trung điểm của đoạn $AB$ suy ra $I\left( 4;3 \right)$

$AI=\sqrt{{{\left( 4-1 \right)}^{2}}+{{\left( 3-1 \right)}^{2}}}=\sqrt{13}$

Đường tròn cần tìm có đường kính là $AB$ suy ra nó nhận $I\left( 4;3 \right)$ làm tâm và bán kính $R=AI=\sqrt{13}$ nên có phương trình là ${{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=13$

c) Gọi phương trình đường tròn (C) có dạng là: $\displaystyle {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2ax-2by+c=0\text{ }$ .

Do đường tròn đi qua ba điểm $M,\,N,\,P$ nên ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}4+16+4a-8b+c=0\\25+25-10a-10b+c=0\\36+4-12a+4b+c=0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a=2\\b=1\\c=-20\end{array} \right.$

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: $\displaystyle {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x-2y-20=0\text{ }$

Nhận xét: Đối với ý c) ta có thể làm theo cách sau

Gọi $I\left( x;y \right)$ và R là tâm và bán kính đường tròn cần tìm.

DẠNG 3: Vị trí tương đối của điểm; đường thẳng; đường tròn với đường tròn

1. Phương pháp giải.

Vị trí tương đối của điểm M và đường tròn (C)

Xác định tâm I và bán kính R của đường tròn (C) và tính $IM$

+ Nếu $IM<R$ suy ra M nằm trong đường tròn

+ Nếu $IM=R$ suy ra M thuộc đường tròn

+ Nếu $IM>R$ suy ra M nằm ngoài đường tròn

Vị trí tương đối giữa đường thẳng $\Delta$ và đường tròn (C)

Xác định tâm I và bán kính R của đường tròn (C) và tính $d\left( I;\Delta \right)$

+ Nếu $d\left( I;\Delta \right)<R$ suy ra $\Delta$ cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt

+ Nếu $d\left( I;\Delta \right)~=R$ suy ra $\Delta$ tiếp xúc với đường tròn

+ Nếu $d\left( I;\Delta \right)>R$ suy ra $\Delta$ không cắt đường tròn

Chú ý: Số nghiệm của hệ phương trình tạo bởi phương trình đường thẳng $\Delta$ và đường tròn (C) bằng số giao điểm của chúng. Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ.

Vị trí tương đối giữa đường tròn (C) và đường tròn (C’)

Xác định tâm I, bán kính R của đường tròn (C) và tâm I’, bán kính R’ của đường tròn (C’) và tính $II'$ , $R+R',\,\,\left| R-R' \right|$

+ Nếu $II'>R+R'$ suy ra hai đường tròn không cắt nhau và ở ngoài nhau

+ Nếu $II'~=R+R'$ suy ra hai đường tròn tiếp xúc ngoài với nhau

+ Nếu $II'~<\left| R-R' \right|$ suy ra hai đường tròn không cắt nhau và lồng vào nhau

+ Nếu $II'~=\left| R-R' \right|$ suy ra hai đường tròn tiếp xúc trong với nhau

+ Nếu $\,\left| R-R' \right|<II'<R+R'$ suy ra hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt

Chú ý: Số nghiệm của hệ phương trình tạo bởi phương trình đường thẳng (C) và đường tròn (C’) bằng số giao điểm của chúng. Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ.

2. Các ví dụ.

Ví dụ 1: Cho đường thẳng $\Delta :x-y+1=0$ và đường tròn $\left( C \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x+2y-4=0$

a) Chứng minh điểm $M\left( 2;1 \right)$ nằm trong đường tròn

b) Xét vị trí tương đối giữa $\Delta$ và $\left( C \right)$

c) Viết phương trình đường thẳng $\Delta '$ vuông góc với $\Delta$ và cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt sao cho khoảng cách của chúng là lớn nhất.

Lời giải:

a) Đường tròn (C) có tâm $I\left( 2;-1 \right)$ và bán kính $R=3$ .

Ta có $IM=\sqrt{{{\left( 2-2 \right)}^{2}}+{{\left( 1+1 \right)}^{2}}}=2<3=R$ do đó M nằm trong đường tròn.

b) Vì $d\left( I;\Delta \right)=\frac{\left| 2+1+1 \right|}{\sqrt{1+1}}=2\sqrt{2}<3=R$ nên $\Delta$ cắt $\left( C \right)$ tại hai điểm phân biệt.

c) Vì $\Delta '$ vuông góc với $\Delta$ và cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt sao cho khoảng cách của chúng là lớn nhất nên $\Delta '$ vuông góc với $\Delta$ và đi qua tâm I của đường tròn (C).

Do đó $\Delta '$ nhận vectơ $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( 1;1 \right)$ làm vectơ pháp tuyến suy ra $\Delta ':1\left( x-2 \right)+1\left( y+1 \right)=0$ hay $x+y-1=0$

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là $\Delta ':x+y-1=0$

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng $Oxy$ , cho hai đường tròn $\left( C \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-6y-15=0$ và $\left( C' \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x-2y-3=0$

a) Chứng minh rằng hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B

b) Viết phương trình đường thẳng đi qua A và B

c) Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm A, B và O

Lời giải:

a) Cách 1: $\left( C \right)$ có tâm $I\left( 1;3 \right)$ và bán kính $R=5$ , $\left( C \right)$ có tâm $I'\left( 3;1 \right)$ và bán kính $R=\sqrt{13}$

$II'=\sqrt{{{\left( 3-1 \right)}^{2}}+{{\left( 1-3 \right)}^{2}}}=2\sqrt{2}$

Ta thấy $\left| {{R}_{1}}-{{R}_{2}} \right|<{{I}_{1}}{{I}_{2}}<\left| {{R}_{1}}+{{R}_{2}} \right|$ suy ra hai đường tròn cắt nhau.

Cách 2: Vì A, B là giao điểm của hai đường tròn (C) và (C’) nên tọa độ đều thỏa mãn phương trình

${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-6y-15+m\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x-2y-3 \right)=0$ (*)

Tọa độ điểm O thỏa mãn phương trình (*) khi và chỉ khi $-15+m.\left( -3 \right)=0\Leftrightarrow m=-5$

Khi đó phương trình (*) trở thành ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-7x-y=0$

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-7x-y=0$

DẠNG 4: Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn

1. Phương pháp giải.

Cho đường tròn (C) tâm $I\left( a;b \right)$ , bán kính R

Nếu biết tiếp điểm là $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ thì tiếp tuyến đó đi qua M và nhận vectơ $\overrightarrow{IM}\left( {{x}_{0}}-a;{{y}_{0}}-b \right)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là $\left( {{x}_{0}}-a \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+\left( {{y}_{0}}-b \right)\left( y-{{y}_{0}} \right)=0$
Nếu không biết tiếp điểm thì dùng điều kiện: Đường thẳng $\Delta$ tiếp xúc đường tròn (C) khi và chỉ khi $d\left( I;\Delta \right)=R$ để xác định tiếp tuyến.

2. Các ví dụ.

Ví dụ:
Cho đường tròn (C) có phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x+2y+6=0$ và điểm hai điểm $A\left( 1;-1 \right);\,\,B\left( 1;3 \right)$

a) Chứng minh rằng điểm A thuộc đường tròn, điểm B nằm ngoài đường tròn

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ B.

Lời giải:

Đường tròn (C) có tâm $I\left( 3;-1 \right)$ bán kính $R=\sqrt{{{3}^{2}}+1-6}=2$ .

a) Ta có: $IA=2=R;\,IB=2\sqrt{5}>R$ suy ra điểm A thuộc đường tròn và điểm B nằm ngoài đường tròn

b) Tiếp tuyến của (C) tại điểm A nhận $\overrightarrow{IA}=\left( 2;0 \right)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là $2\left( x-1 \right)+0\left( y+1 \right)=0$ hay $x=1$

b) Phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua B có dạng:

$a\left( x-1 \right)+b\left( y-3 \right)=0$ (với ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ne 0$ ) hay $\displaystyle ax+by-a-3b=0$

Đường thẳng $\Delta$ là tiếp tuyến của đường tròn $\Leftrightarrow d\left( I;\Delta \right)=R$

$\displaystyle \Leftrightarrow \frac{\left| 3a-b-a-3b \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}=2$ $\displaystyle \Leftrightarrow {{\left( a-2b \right)}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}\Leftrightarrow 3{{b}^{2}}-4ab=0$ ⇔ b = 0 hoặc 3b = 4a.