Elip

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1) Định nghĩa:

Cho hai điểm cố định ${{F}_{1}},\,\,{{F}_{2}}$ với ${{F}_{1}}{{F}_{2}}=2c\left( c>0 \right)$ và hằng số $a>c$ . Elip(E) là tập hợp các điểm M thỏa mãn $M{{F}_{1}}+M{{F}_{2}}=2a$ .

Các điểm ${{F}_{1}},\,\,{{F}_{2}}$ là tiêu điểm của (E). Khoảng cách ${{F}_{1}}{{F}_{2}}=2c$ là tiêu cự của (E). $M{{F}_{1}},\,\,M{{F}_{2}}$ được gọi là bán kính qua tiêu.

2) Phương trình chính tắc của elip:

Với ${{F}_{1}}\left( -c;0 \right),\,\,{{F}_{2}}\left( c;0 \right)$ :

$\displaystyle M\left( x;y \right)\in \left( E \right)\Leftrightarrow \frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\,\,\,\left( 1 \right)$ trong đó ${{b}^{2}}={{a}^{2}}-{{c}^{2}}$ (1) được gọi là phương trình chính tắc của (E)

3) Hình dạng và tính chất của elip:

Elip có phương trình (1) nhận các trục tọa độ là trục đối xứng và gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

+ Tiêu điểm: Tiêu điểm trái ${{F}_{1}}\left( -c;0 \right)$ , tiêu điểm phải ${{F}_{2}}\left( c;0 \right)$

+ Các đỉnh : ${{A}_{1}}\left( -a;0 \right),\,\,{{A}_{2}}\left( a;0 \right),\,\,{{B}_{1}}\left( 0;-b \right),\,\,{{B}_{2}}\left( 0;b \right)$

+ Trục lớn : ${{A}_{1}}{{A}_{2}}=2a$ , nằm trên trục Ox; trục nhỏ : ${{B}_{1}}{{B}_{2}}=2b$ , nằm trên trục Oy

+ Hình chữ nhật tạo bởi các đường thẳng $x=\pm a,\,y=\pm b$ gọi là hình chữ nhật cơ sở.

+ Tâm sai : $e=\frac{c}{a}<1$

+ Bán kính qua tiêu điểm của điểm $M\left( {{x}_{M}};{{y}_{M}} \right)$ thuộc (E) là:

$M{{F}_{1}}=a+e{{x}_{M}}=a+\frac{c}{a}{{x}_{M}},\,\,M{{F}_{2}}=a-e{{x}_{M}}=a-\frac{c}{a}{{x}_{M}}$

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

DẠNG 1. Xác định các yếu tố của elip khi biết phương trình chính tắc của elip.

1. Phương pháp giải.

Từ phương trình chính tắc ta xác định các đại lượng $a,\,b$ và ${{b}^{2}}={{a}^{2}}-{{c}^{2}}$ ta tìm được $c$ elip từ đó ta suy ra được các yếu tố cần tìm.

2. Các ví dụ.

Ví dụ. Elip có phương trình sau $\displaystyle \frac{{{x}^{2}}}{4}+\frac{{{y}^{2}}}{1}=1$ . Xác định các đỉnh, độ dài trục, tiêu cự, tiêu điểm và tâm sai

Lời giải:

Từ phương trình của (E) ta có $\displaystyle a=2,\,\,b=1\Rightarrow c=\sqrt{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}=\sqrt{3}$ .

Suy ra tọa độ các đỉnh là ${{A}_{1}}\left( -2;0 \right);\,\,{{A}_{2}}\left( 2;0 \right);\,\,{{B}_{1}}\left( 0;-1 \right);\,\,{{B}_{2}}\left( 0;1 \right)$

Độ dài trục lớn $\displaystyle {{A}_{1}}{{A}_{2}}=4$ , độ dài trục bé ${{B}_{1}}{{B}_{2}}=2$

Tiêu cự ${{F}_{1}}{{F}_{2}}=2c=2\sqrt{3}$ , tiêu điểm là ${{F}_{1}}\left( -\sqrt{3};0 \right);\,\,{{F}_{2}}\left( \sqrt{3};0 \right)$ ,

Tâm sai của (E) là $\displaystyle e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Ta có $4{{x}^{2}}+25{{y}^{2}}=100\Leftrightarrow \frac{{{x}^{2}}}{25}+\frac{{{y}^{2}}}{4}=1$ suy ra $a=5;\,\,b=2\Rightarrow c=\sqrt{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}=\sqrt{21}$

Do đó tọa độ các đỉnh là ${{A}_{1}}\left( -5;0 \right);\,\,{{A}_{2}}\left( 5;0 \right);\,\,{{B}_{1}}\left( 0;-2 \right);\,\,{{B}_{2}}\left( 0;-2 \right)$

Độ dài trục lớn $\displaystyle {{A}_{1}}{{A}_{2}}=10$ , độ dài trục bé ${{B}_{1}}{{B}_{2}}=4$

Tiêu cự ${{F}_{1}}{{F}_{2}}=2c=2\sqrt{21}$ , tiêu điểm là ${{F}_{1}}\left( -\sqrt{21};0 \right);\,\,{{F}_{2}}\left( \sqrt{21};0 \right)$ ,

Tâm sai của (E) là $\displaystyle e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{21}}{5}$

DẠNG 2. Viết phương trình chính tắc của đường elip.

1. Phương pháp giải.

Để viết phương trình chính tắc của elip ta làm như sau:

+ Gọi phương trình chính tắc elip là $\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\left( a>b>0 \right)$

+ Từ giả thiết của bài toán ta thiết lập các phương trình, hệ phương trình từ giải thiết của bài toán để tìm các đại lượng $a,\,b$ của elip từ đó viết được phương trình chính tắc của nó.

2. Các ví dụ.

Ví dụ.Viết phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp sau:

a) (E) có độ dài trục lớn là 6 và tâm sai $e=\frac{2}{3}$

b) (E)có tọa độ một đỉnh là $\left( 0;\sqrt{5} \right)$ và đi qua điểm $M\left( \frac{4\sqrt{10}}{5};-1 \right)$

c) (E) có tiêu điểm thứ nhất $\left( -\sqrt{3};0 \right)$ và đi qua điểm $M(1;\frac{4\sqrt{33}}{5})$ .

d) Hình chữ nhật cơ sở của (E) có một cạnh nằm trên đường thẳng $y+2=0$ và có diện tích bằng 48.

e) (E) có tâm sai bằng $\frac{\sqrt{5}}{3}$ và hình chữ nhật cơ sở của (E) có chu vi bằng 20.

Lời giải:

Phương trình chính tắc của (E) có dạng: $\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\left( a>b>0 \right)$

a) (E) có độ dài trục lớn là 6 suy ra $2a=6\Leftrightarrow a=3$ , Tâm sai $e=\frac{2}{3}$ nên $\frac{c}{a}=\frac{2}{3}\Rightarrow c=2,\,\,{{b}^{2}}={{a}^{2}}-{{c}^{2}}=5$

Vậy phương trình chính tắc (E) là $\frac{{{x}^{2}}}{9}+\frac{{{y}^{2}}}{5}=1$

b) (E) có một đỉnh có tọa độ là $\left( 0;\sqrt{5} \right)$ nằm trên trục tung nên $b=\sqrt{5}$ do đó phương trình chính tắc của (E) có dạng: $\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{5}=1\left( a>\sqrt{5} \right)$ .

Mặt khác (E) đi qua điểm $M\left( \frac{4\sqrt{10}}{5};-1 \right)$ nên $\frac{160}{25{{a}^{2}}}+\frac{1}{5}=1\Rightarrow {{a}^{2}}=8$

Vậy phương trình chính tắc (E) là $\frac{{{x}^{2}}}{8}+\frac{{{y}^{2}}}{5}=1$

c) (E) có tiêu điểm ${{F}_{1}}(-\sqrt{3};0)$ nên $c=\sqrt{3}$ suy ra ${{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}={{b}^{2}}+3$ (1)

Mặt khác $M(1;\frac{4\sqrt{33}}{5})\in (E)\Rightarrow \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{528}{25{{b}^{2}}}=1$ (2)

Thế (1) vào (2) ta được:

$\frac{1}{{{b}^{2}}+3}+\frac{528}{25{{b}^{2}}}=1\Leftrightarrow 25{{b}^{4}}-478{{b}^{2}}-1584=0$ $\Leftrightarrow {{b}^{2}}=22\Rightarrow {{a}^{2}}=25$

Vậy phương trình chính tắc (E) là $\frac{{{x}^{2}}}{25}+\frac{{{y}^{2}}}{22}=1$

d) (E) có hình chữ nhật cơ sở có một cạnh nằm trên đường thẳng $y+2=0$ suy ra $b=2$

Mặt khác hình chữ nhật cơ sở diện tích bằng 48 nên $2a.2b=48\Rightarrow b=6$

Vậy phương trình chính tắc (E) là $\frac{{{x}^{2}}}{36}+\frac{{{y}^{2}}}{4}=1$

e) (E) có tâm sai bằng $\frac{\sqrt{5}}{3}$ suy ra $\frac{\sqrt{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}$ hay $4{{a}^{2}}=9{{b}^{2}}$ (3)

Hình chữ nhật cơ sở của (E) có chu vi bằng 20 suy ra $4\left( a+b \right)=20$ (4).

Từ (3) và (4) suy ra $a=3,\,\,b=2$

Vậy phương trình chính tắc (E) là $\displaystyle \frac{{{x}^{2}}}{9}+\frac{{{y}^{2}}}{4}=1$

DẠNG 3. Xác định điểm nằm trên đường elip thỏa mãn điều kiện cho trước.

1. Phương pháp giải.

Để xác định tọa độ điểm M thuộc elip có phương trình chính tắc là $\left( E \right):\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\left( a>b>0 \right)$ ta làm như sau

Giả sử $M\left( {{x}_{M}};{{y}_{M}} \right)$ , điểm $M\in \left( E \right)\Leftrightarrow \frac{x_{M}^{2}}{{{a}^{2}}}+\frac{y_{M}^{2}}{{{b}^{2}}}=1$ ta thu được phương trình thứ nhất.
Từ điều kiện của bài toán ta thu được phương trình thứ hai; giải phương trình, hệ phương trình ẩn ${{x}_{M}},\,\,{{y}_{M}}$ ta tìm được tọa độ của điểm M

2. Các ví dụ:

Ví dụ: Cho elip (E) : $\displaystyle \frac{{{x}^{2}}}{4}+\frac{{{y}^{2}}}{1}=1$ và $C\left( 2;0 \right)$ . Tìm $A,\,B$ thuộc (E) biết $A,\,B$ đối xứng nhau qua trục hoành và tam giác $ABC$ đều.

Lời giải:

Giả sử $A\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ . Vì $A,\,B$ đối xứng nhau qua trục hoành nên $B\left( {{x}_{0}};-{{y}_{0}} \right)$ với ${{y}_{0}}>0$ .

Vì $A\in \left( E \right)$ nên $\frac{x_{0}^{2}}{4}+\frac{y_{0}^{2}}{1}=1\Leftrightarrow y_{0}^{2}=1-\frac{x_{0}^{2}}{4}$ (1)

Vì tam giác $ABC$ đều nên $A{{B}^{2}}=A{{C}^{2}}\Rightarrow {{\left( -2{{y}_{0}} \right)}^{2}}={{\left( 2-{{x}_{0}} \right)}^{2}}+{{\left( -{{y}_{0}} \right)}^{2}}$

$\Leftrightarrow 3y_{0}^{2}=4-4{{x}_{0}}+x_{0}^{2}$ (2)

Thay (1) vào (2) ta có

$3\left( 1-\frac{x_{0}^{2}}{4} \right)=4-4{{x}_{0}}+x_{0}^{2}\Leftrightarrow 7x_{0}^{2}-16{{x}_{0}}+4=0$ ⇔ ${{x}_{0}}=2$ hoặc ${{x}_{0}}=\frac{2}{7}$

+ Nếu ${{x}_{0}}=2$ thay vào (1) ta có ${{y}_{0}}=0$ . Trường hợp này loại vì $A\equiv C$

+ Nếu ${{x}_{0}}=\frac{2}{7}$ thay vào (1) ta có ${{y}_{0}}=\pm \frac{4\sqrt{3}}{7}$

Vậy $\displaystyle A\left( \frac{2}{7};\frac{4\sqrt{3}}{7} \right)$ , $\displaystyle B\left( \frac{2}{7};-\frac{4\sqrt{3}}{7} \right)$ hoặc $\displaystyle A\left( \frac{2}{7};-\frac{4\sqrt{3}}{7} \right)$ , $\displaystyle B\left( \frac{2}{7};\frac{4\sqrt{3}}{7} \right)$ .