Hàm số lượng giác

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

A. Lí thuyết cơ bản:

1. Hàm số $y=\sin x$

- Tập xác định: $D=\mathbb{R}$ .
- Tập giá trị: $\displaystyle \text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;1]$ , tức là $-1\le \sin x\le 1,\,\forall x\in \mathbb{R}$ .
- Hàm số tuần hoàn với chu kì $T=2\pi$ , có nghĩa là $\displaystyle \sin (x+k2\pi )=\sin x$ , với $\displaystyle k\in \mathbb{Z}$ .
- Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $\left( -\frac{\pi }{2}+k2\pi ;\frac{\pi }{2}+k2\pi \right)$ và nghịch biến trên mỗi khoảng $\left( \frac{\pi }{2}+k2\pi ;\frac{3\pi }{2}+k2\pi \right),\,k\in \mathbb{Z}$ .
- Hàm số $y=\sin x$ là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
- Đồ thị hàm số $y=\sin x$ :

2. Hàm số $y=\cos x$

- Tập xác định: $D=\mathbb{R}$ .
- Tập giá trị: $\displaystyle \text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;1]$ , tức là $-1\le \cos x\le 1,\,\forall x\in \mathbb{R}$ .
- Hàm số tuần hoàn với chu kì $T=2\pi$ , có nghĩa là $\displaystyle \cos (x+k2\pi )=\cos x$ , với $\displaystyle k\in \mathbb{Z}$ .
- Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $\left( -\pi +k2\pi ;k2\pi \right)$ và nghịch biến trên mỗi khoảng $\left( k2\pi ;\pi +k2\pi \right),\,k\in \mathbb{Z}$ .
- Hàm số $y=\cos x$ là hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận Oy tam trục đối xứng.
- Đồ thị hàm số $y=\cos x$ :

3. Hàm số $y=\tan x$

- Tập xác định: $\displaystyle D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{2}+k\pi |k\in \mathbb{Z} \right\}$ .
- Tập giá trị: $\mathbb{R}$ .
- Hàm số tuần hoàn với chu kì $\displaystyle T=\pi$ , có nghĩa là $\tan (x+k\pi )=\tan x,\,(k\in \mathbb{Z})$ .
- Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $\left( -\frac{\pi }{2}+k\pi ;\frac{\pi }{2}+k\pi \right)$ với $\displaystyle k\in \mathbb{Z}$ .
- Hàm số $y=\tan x$ là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng và nhận mỗi đường thẳng $x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,\,k\in \mathbb{Z}$ làm đường tiệm cận.
- Đồ thị hàm số $y=\tan x$ :

4. Hàm số $y=\cot x$

- Tập xác định: $\displaystyle D=\mathbb{R}\backslash \left\{ k\pi |k\in \mathbb{Z} \right\}$ .
- Tập giá trị: $\mathbb{R}$ .
- Hàm số tuần hoàn với chu kì $\displaystyle T=\pi$ , có nghĩa là $\cot (x+k\pi )=\cot x,\,(k\in \mathbb{Z})$ .
- Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $\left( k\pi ;\pi +k\pi \right)$ với $\displaystyle k\in \mathbb{Z}$ .
- Hàm số $y=\cot x$ là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng và nhận mỗi đường thẳng $x=k\pi ,\,k\in \mathbb{Z}$ làm đường tiệm cận.
- Đồ thị hàm số $y=\cot x$ :

B. Bài tập:

Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số

A. Phương pháp

Khi tìm tập xác định của hàm số, ta cần chú ý:

- Các hàm số $y=\sin x,\,y=\cos x$ xác định trên $\mathbb{R}$ .
- Hàm số $y=\frac{P(x)}{Q(x)}$ xác định khi $Q(x)\ne 0$ . Từ đó suy ra:
- + Hàm số $y=\tan x$ xác định khi $\cos x\ne 0\Leftrightarrow x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,\,k\in \mathbb{Z}$ .
- + Hàm số $y=\cot x$ xác định khi $\displaystyle \sin x\ne 0\Leftrightarrow x\ne k\pi ,\,k\in \mathbb{Z}$ .
- Hàm số $y=\sqrt{f(x)}$ xác định khi $f(x)\ge 0$ .

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1.1: Tìm tập xác định D của hàm số $y=\frac{1-\sin x}{\cos x-1}$ .

A. $D=\mathbb{R}$ . B. $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}$ .

C. $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ k\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}$ . D. $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ k2\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}$ .

Lời giải:

Hàm số xác định khi và chỉ khi $\cos x-1\ne 0\Leftrightarrow \cos x\ne 1\Leftrightarrow x\ne k2\pi ,\,k\in \mathbb{Z}$ .

Vậy tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ k2\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}$ . Chọn C.

Ví dụ 1.2: Tìm tập xác định của hàm số $y=2\cot x+\sin 3x$ .

A. $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}$ . B. $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ k\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}$ .

C. $\displaystyle D=\mathbb{R}$ . D. $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ k2\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}$ .

Lời giải:

Hàm số xác định $\Leftrightarrow \sin x\ne 0\Leftrightarrow x\ne k\pi ,\,k\in \mathbb{Z}$ .

Vậy tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ k\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}$ . Chọn B.

Ví dụ 1.3: Tìm tập xác định của hàm số $y=\frac{\cos x}{2\cos x-\sqrt{3}}$ .

A. $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \pm \frac{\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}$ . B. $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z} \right\}$ .

C. $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}$ . D. $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{6}+k2\pi ,\frac{5\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}$ .

Lời giải:

Hàm số xác định khi và chỉ khi $\displaystyle 2\cos x-\sqrt{3}\ne 0\Leftrightarrow \cos x\ne \frac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow \cos x\ne \cos \frac{\pi }{6}$ $\displaystyle \Leftrightarrow x\ne \pm \frac{\pi }{6}+k2\pi ,(k\in \mathbb{Z})$ .

Vậy tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \pm \frac{\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}$ . Chọn A.

Ví dụ 1.4: Tìm tập xác định của hàm số $y=\frac{2018}{\cos x-\cos 3x}$ .

A. $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ k\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}$ . B. $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ k\frac{\pi }{4},k\in \mathbb{Z} \right\}$ .

C. $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{3}+k2\pi ,k\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}$ . D. $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{2}+k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z} \right\}$ .

Lời giải:

Hàm số xác định khi và chỉ khi

$\cos x\ne \cos 3x\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\ne 3x+k2\pi \\x\ne -3x+k2\pi \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\ne k\pi \\x\ne k\frac{\pi }{4}\end{array} \right.(k\in \mathbb{Z})$ .

Biểu diễn các điều kiện lên đường tròn lượng giác rồi kết hợp điều

kiện ta được: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ k\frac{\pi }{4},k\in \mathbb{Z} \right\}$ .

Chọn B.

Ví dụ 1.5: Tìm tập xác định của hàm số $y=\sqrt{\frac{1-\cos 3x}{1+\sin 4x}}$

A. $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -\frac{\pi }{8}+k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z} \right\}$ . B. $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -\frac{3\pi }{8}+k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z} \right\}$ .

C. $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z} \right\}$ . D. $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{3\pi }{4}+k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z} \right\}$ .

Lời giải:

Do $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}1-\cos 3x\ge 0\\1+\sin 4x\ge 0\end{array} \right.,\forall x\in \mathbb{R}$ nên hàm số có nghĩa $\Leftrightarrow 1+\sin 4x\ne 0\Leftrightarrow \sin 4x\ne -1$ $\Leftrightarrow x\ne -\frac{\pi }{8}+k\frac{\pi }{2},\,k\in \mathbb{Z}$ .

Vậy tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -\frac{\pi }{8}+k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z} \right\}$ .

Chọn A.

Ví dụ 1.6: Tìm tập xác định của hàm số $y=\sqrt{1-\cos 4x}$ .

A. $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ k\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}$ . B. $D=\mathbb{R}$ .

C. $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{4}+k\pi ,\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}$ . D. $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}$ .

Lời giải:

Hàm số xác định $\Leftrightarrow 1-\cos 4x\ge 0\Leftrightarrow \cos 4x\le 1,\,\forall x\in \mathbb{R}$ .

Vậy tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}$ . Chọn B.

Ví dụ 1.7: Hàm số nào sau đây có tập xác đinh là $\mathbb{R}$ .

A. $y=2\cos \sqrt{x}$ . B. $y=\frac{\tan 2x}{{{\sin }^{2}}x+1}$ .

C. $y=\cos \frac{1}{x}$ . D. $y=\sqrt{\frac{\sin 2x+3}{\cos 4x+5}}$ .

Lời giải:

+ Hàm số $y=2\cos \sqrt{x}$ có tập xác định $D=\text{ }\!\![\!\!\text{ }0;+\infty )$ .

+ Hàm số $y=\frac{\tan 2x}{{{\sin }^{2}}x+1}$ có tập xác định $\cos 2x\ne 0\Leftrightarrow x\ne \frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$ .

+ Hàm số $y=\cos \frac{1}{x}$ có tập xác định là $D=\mathbb{R}\backslash \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }0\}$ .

+ Hàm số $y=\sqrt{\frac{\sin 2x+3}{\cos 4x+5}}$ : ta có $|\sin 2x|\,\le 1;\,|\cos 4x|\,\le 1$ nên $\frac{\sin 2x+3}{\cos 4x+5}>0$ .

Vậy tập xác định của hàm số $y=\sqrt{\frac{\sin 2x+3}{\cos 4x+5}}$ là $D=\mathbb{R}$ .

Chọn D.

Ví dụ 1.8: Tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y=\sqrt{2m+1-\cos x}$ xác định trên $\mathbb{R}$ là

A. $m\ge 0$ . B. $m\le 1$ . C. $m\ge 1$ . D. $m\ge -1$ .

Lời giải:

Cách 1: Hàm số $y=\sqrt{2m+1-\cos x}$ xác định trên $\mathbb{R}$

$\Leftrightarrow 2m+1-\cos x\ge 0,\,\forall x$ $\Leftrightarrow \cos x\le 2m+1,\,\forall x$

$\Leftrightarrow 2m+1\ge 1\Leftrightarrow m\ge 0$ .

Cách 2:

Chọn $m=-1\Rightarrow y=\sqrt{-1-\cos x}$ không xác định trên $\mathbb{R}$ do $-1-\cos x\le 0,\forall x$ . Loại B, D.

Chọn $m=\frac{1}{2}\Rightarrow y=\sqrt{2-\cos x}$ xác định trên $\mathbb{R}$ do $2-\cos x\ge 0,\forall x$ . Chọn A.

Dạng 2. Xác định tính chẵn lẻ của hàm số

A. Phương pháp

Để xác định tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác ta thực hiện các bước như sau:

Bước 1: Tìm tập xác định $D$ của hàm số, khi đó:
- + Nếu $D$ là tập đối xứng (tức là $\forall x\in D\Rightarrow -x\in D$ ), ta thực hiện tiếp bước 2.
- + Nếu $D$ không là tập đối xứng (tức là $\exists x\in D$ mà $-x\notin D$ ), ta kết luận hàm số không chẵn không lẻ.
Bước 2: Xác định $f(-x)$ , khi đó:
- + Nếu $f(-x)=f(x)$ kết luận là hàm số chẵn.
- + Nếu $f(-x)=-f(x)$ kết luận là hàm số lẻ.
- + Nếu $\left\{ \begin{array}{l}f(-x)\ne f(x)\\f(-x)\ne -f(x)\end{array} \right.$ , kết luận là hàm số không chẵn cũng không lẻ.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 2.1: Hàm số $y=1-{{\sin }^{2}}x$ là

A. Hàm số lẻ. B. Hàm số không tuần hoàn.

C. Hàm số chẵn. D. Hàm số không chẵn không lẻ.

Lời giải:

Xét hàm số $f(x)=1-{{\sin }^{2}}x={{\cos }^{2}}x$ .

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$ . Do đó $\forall x\in D\Rightarrow -x\in D$ .

Ta có $f(-x)={{\cos }^{2}}(-x)={{\cos }^{2}}x=f(x)$ .

Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn. Chọn C.

Ví dụ 2.2: Cho hai hàm số $f(x)=\sin x-\cos x,\,g(x)=\cot x$ . Chọn khẳng định đúng.

A. $f(x)$ là hàm số lẻ, $g(x)$ là hàm số chẵn.

B. $f(x)$ là hàm số chẵn, $g(x)$ là hàm số lẻ.

C. $f(x)$ không có tính chất chẵn lẻ, $g(x)$ là hàm số lẻ.

D. $f(x),g(x)$ đều là hàm số lẻ.

Lời giải:

Hàm số $f(x)$ có tập xác định $D=\mathbb{R}$ . Do đó $\forall x\in D\Rightarrow -x\in D$ .

Ta có $f(-x)=\sin (-x)-\cos (-x)=-\sin x-\cos x\ne \pm f(x)$ . Do đó $f(x)$ không có tính chẵn lẻ.

Hàm số $g(x)=\cot x$ là hàm số lẻ.

Chọn C.

Ví dụ 2.3: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?

A. $y=-\sin x$ . B. $y=\cos x-\sin x$ . C. $y=\cos x+{{\sin }^{2}}x$ . D. $y=\cos x\sin x$ .

Lời giải:

Tất cả các hàm số đều có tập xác định $D=\mathbb{R}$ . Do đó $\forall x\in D\Rightarrow -x\in D$ .

Ta sẽ kiểm tra $f(-x)=f(x)$ hoặc $f(-x)=-f(x)$ .

+ Với $y=f(x)=-\sin x$ . Ta có: $f(-x)=-\sin (-x)=\sin x=-(-\sin x)$ .

$\Rightarrow f(-x)=-f(x)$ . Suy ra hàm số $y=-\sin x$ là hàm số lẻ.

+ Với $y=f(x)=\cos x-\sin x$ . Ta có $f(-x)=\cos (-x)-\sin (-x)=\cos x+\sin x$ .

Suy ra hàm số $y=\cos x-\sin x$ là hàm số không chẵn không lẻ.

+ Với $y=f(x)=\cos x+{{\sin }^{2}}x$ . Ta có $f(-x)=\cos (-x)+{{\sin }^{2}}(-x)=\cos x+{{\sin }^{2}}x=f(x)$ .

Suy ra hàm số $y=\cos x+{{\sin }^{2}}x$ là hàm số chẵn.

+ Với $y=f(x)=\cos x\sin x$ . Ta có $f(-x)=\cos (-x).\sin (-x)=-\cos x.\sin x=-f(x)$ .

Suy ra hàm số $y=\cos x\sin x$ là hàm số lẻ.

Chọn C.

Dạng 3.Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác

A. Phương pháp

- Hàm số $y=\sin (ax+b)$ và hàm số $y=\cos (ax+b)$ với $a\ne 0$ tuần hoàn với chu kì: $T=\frac{2\pi }{|a|}$ .
- Hàm số $y=\tan (ax+b)$ và $y=\cot (ax+b)$ với $a\ne 0$ tuần hoàn với chu kì: $T=\frac{\pi }{|a|}$ .
- Hàm số $f(x),g(x)$ tuần hoàn trên tập $D$ có các chu kì lần lượt là $a$ và $b$ với $\frac{a}{b}\in Q$ . Khi đó $\displaystyle F(x)=f(x)+g(x),\,G(x)=f(x)g(x)$ cũng tuần hoàn trên $D$ .
- Hàm số $F(x)=m.f(x)+n.g(x)$ tuần hoàn với chu kì $T$ là $\displaystyle BCNN(a,b)$ .

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 3.1: Tìm chu kì $T$ của hàm số $\displaystyle y=\sin \left( 5x-\frac{\pi }{4} \right)$ .

A. $T=\frac{2\pi }{5}$ . B. $T=\frac{5\pi }{2}$ . C. $T=\frac{\pi }{2}$ . D. $T=\frac{\pi }{8}$ .

Lời giải:

Hàm số $\displaystyle y=\sin \left( 5x-\frac{\pi }{4} \right)$ tuần hoàn với chu kì: $T=\frac{2\pi }{5}$ . Chọn A.

Ví dụ 3.2: Tìm chu kì $T$ của hàm số $y=\cos \left( \frac{x}{2}+2016 \right)$ .

A. $T=4\pi$ . B. $T=2\pi$ . C. $T=-2\pi$ . D. $T=\pi$ .

Lời giải:

Hàm số $y=\cos \left( \frac{x}{2}+2016 \right)$ có chu kì tuần hoàn là $T=\frac{2\pi }{|a|}=\frac{2\pi }{\frac{1}{2}}=4\pi$ . Chọn A.

Ví dụ 3.3: Chu kì tuần hoàn của hàm số $f(x)=-{{\sin }^{2}}x$ là

A. $T=\pi$ . B. $T=2\pi$ . C. $T={{\pi }^{2}}$ . D. $T=4\pi$ .

Lời giải:

Ta có: $f(x)=-{{\sin }^{2}}x=-\frac{1}{2}(1-\cos 2x)$ có chu kì tuần hoàn là $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$ .

Chọn A.

Ví dụ 3.4: Tìm chu kì tuần hoàn của hàm số $y=\sin 2x+\cos 3x$ .

A. $\displaystyle T=\pi$ . B. $\displaystyle T=3\pi$ . C. $\displaystyle T=\frac{\pi }{6}$ . D. $\displaystyle T=2\pi$ .

Lời giải:

Do hàm số $y=\sin 2x$ tuần hoàn với chu kì $\pi$ và hàm số $y=\cos 3x$ tuần hoàn với chu kì $\frac{2\pi }{3}$ .

Do đó hàm số $y=\sin 2x+\cos 3x$ tuần hoàn với chu kì $\displaystyle T=2\pi$ .

Chọn D.

Dạng 4. Tính đơn điệu của hàm số lượng giác

A. Phương pháp

- Hàm số $y=\sin x$ đồng biến trên mỗi khoảng $\left( -\frac{\pi }{2}+k2\pi ;\frac{\pi }{2}+k2\pi \right)$ và nghịch biến trên mỗi khoảng $\left( \frac{\pi }{2}+k2\pi ;\frac{3\pi }{2}+k2\pi \right),\,k\in \mathbb{Z}$ .

Tức là hàm số $y=\sin x$ đồng biến khi $x$ thuộc góc phần tư thứ $(IV),(I)$ và nghịch biến khi $x$ thuộc góc phần tư thứ $(II),(III)$ .
- Hàm số $y=\cos x$ đồng biến trên mỗi khoảng $\left( -\pi +k2\pi ;k2\pi \right)$ và nghịch biến trên mỗi khoảng $\left( k2\pi ;\pi +k2\pi \right),\,k\in \mathbb{Z}$ .

Tức là hàm số $y=\cos x$ đồng biến khi $x$ thuộc góc phần tư thứ $(III),(IV)$ và nghịch biến khi $x$ thuộc góc phần tư thứ $(I),(II)$ .
- Hàm số $y=\tan x$ đồng biến trên mỗi khoảng $\left( -\frac{\pi }{2}+k\pi ;\frac{\pi }{2}+k\pi \right)$ với $\displaystyle k\in \mathbb{Z}$ .
- Hàm số $y=\cot x$ nghịch biến trên mỗi khoảng $\left( k\pi ;\pi +k\pi \right)$ với $\displaystyle k\in \mathbb{Z}$ .

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 4.1: Cho hàm số $y=\sin x$ . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng $\displaystyle \left( \frac{\pi }{2};\pi \right)$ , nghịch biến trên khoảng $\left( \pi ;\frac{3\pi }{2} \right)$ .

B. Hàm số đồng biến trên khoảng $\displaystyle \left( -\frac{3\pi }{2};-\frac{\pi }{2} \right)$ , nghịch biến trên khoảng $\left( -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right)$ .

C. Hàm số đồng biến trên khoảng $\displaystyle \left( 0;\frac{\pi }{2} \right)$ , nghịch biến trên khoảng $\left( -\frac{\pi }{2};0 \right)$ .

D. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right)$ , nghịch biến trên khoảng $\left( \frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2} \right)$ .

Lời giải:

Hàm số $y=\sin x$ đồng biến khi $x$ thuộc góc phần tư thứ $(IV),(I)$ và nghịch biến khi $x$ thuộc góc phần tư thứ $(II),(III)$ .Chọn D.

Ví dụ 4.2: Với $x\in \left( \frac{31\pi }{4};\frac{33\pi }{4} \right)$ , mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Hàm số $\displaystyle y=\cot x$ nghịch biến. B. Hàm số $y=\tan x$ nghịch biến.

C. Hàm số $y=\sin x$ đồng biến. D. Hàm số $\displaystyle y=\cos x$ nghịch biến.

Lời giải:

Ta có $\left( \frac{31\pi }{4};\frac{33\pi }{4} \right)=\left( -\frac{\pi }{4}+8\pi ;\frac{\pi }{4}+8\pi \right)$ thuộc góc phần tư thứ $(I)$ và thứ $(IV)$ .

Do đó hàm số $y=\sin x$ đồng biến. Chọn C.

Ví dụ 4.3: Với $x\in \left( 0;\frac{\pi }{4} \right)$ , mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Cả hai hàm số $y=-\sin 2x$ và $y=-1+\cos 2x$ đều nghịch biến.

B. Cả hai hàm số $y=-\sin 2x$ và $y=-1+\cos 2x$ đều đồng biến.

C. Hàm số $y=-\sin 2x$ nghịch biến, hàm số $y=-1+\cos 2x$ đồng biến.

D. Hàm số $y=-\sin 2x$ đồng biến, hàm số $y=-1+\cos 2x$ nghịch biến.

Lời giải:

Ta có $x\in \left( 0;\frac{\pi }{4} \right)\Rightarrow 2x\in \left( 0;\frac{\pi }{2} \right)$ thuộc góc phần tư thứ $(I)$ . Do đó:

+ Hàm số $y=\sin 2x$ đồng biến, suy ra $y=-\sin 2x$ nghịch biến.

+ Hàm số $y=\cos 2x$ nghịch biến, suy ra $y=-1+\cos 2x$ nghịch biến.

Chọn A.

Dạng 5. Đồ thị của hàm số lượng giác

A. Phương pháp

- Khi xác định hàm số lượng giác có đồ thị cho trước, ta cần chú ý đến các yếu tố sau:
- + Các điểm đặc biệt mà đồ thị đi qua.
- + Xác định chu kì của đồ thị hàm số thông qua đồ thị.
- Phép tịnh tiến đồ thị: Cho $(C)$ là đồ thị của hàm số $y=f(x)$ và $p>0$ , ta có:
- + Tịnh tiến $(C)$ lên trên $p$ đơn vị thì được đồ thị của hàm số $y=f(x)+p$ .
- + Tịnh tiến $(C)$ xuống dưới $p$ đơn vị thì được đồ thị của hàm số $y=f(x)-p$ .
- + Tịnh tiến $(C)$ sang trái $p$ đơn vị thì được đồ thị của hàm số $y=f(x+p)$ .
- + Tịnh tiến $(C)$ sang phải $p$ đơn vị thì được đồ thị của hàm số $y=f(x-p)$ .

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 5.1: Đồ thị hàm số $y=\cos \left( x-\frac{\pi }{2} \right)$ được suy từ đồ thị $(C)$ của hàm số $y=\cos x$ bằng cách:

A. Tịnh tiến $(C)$ qua trái một đoạn có độ dài là $\frac{\pi }{2}$ .

B. Tịnh tiến $(C)$ qua phải một đoạn có độ dài là $\frac{\pi }{2}$ .

C. Tịnh tiến $(C)$ lên trên một đoạn có độ dài là $\frac{\pi }{2}$ .

D. Tịnh tiến $(C)$ xuống dưới một đoạn có độ dài là $\frac{\pi }{2}$ .

Lời giải:

Đồ thị hàm số $y=\cos \left( x-\frac{\pi }{2} \right)$ được suy từ đồ thị $(C)$ của hàm số $y=\cos x$ bằng cách tịnh tiến $(C)$ qua phải một đoạn có độ dài là $\frac{\pi }{2}$ . Chọn B.

Ví dụ 5.2: Hình vẽ sau là một phần đồ thị của hàm số nào sau đây?

A. $\displaystyle y=\sin \frac{x}{2}$ . B. $y=\sin x$ . C. $y=\cos \frac{x}{2}$ . D. $\displaystyle y=\cos x$ .

Lời giải:

+ Chu kì tuần hoàn: $4\pi$ nên loại đáp án B và D.

+ Đồ thị hàm số đi qua điểm $(\pi ;1)$ nên chọn đáp án A.

Chọn A.

Ví dụ 5.3: Đường cong trong hình vẽ dưới đây là một phần đồ thị của hàm số nào sau đây?

A. $y=1+\sin 2x$ . B. $\displaystyle y=\cos x$ . C. $y=-\sin x$ . D. $\displaystyle y=-\cos x$ .

Lời giải:

Đồ thị hàm số đi qua điểm $(0;1)$ nên loại đáp án C và D.

Tại $x=\frac{\pi }{2}$ thì $y=0$ . Do đó chỉ có đáp án B thỏa mãn. Chọn B.

Dạng 6. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác

A. Phương pháp

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên tập $D$ .

$M=\underset{D}{\mathop{\max }}\,f(x)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f(x)\le M,\forall x\in D\\\exists {{x}_{0}}\in D:f({{x}_{0}})=M\end{array} \right.$ .
$m=\underset{D}{\mathop{\min }}\,f(x)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f(x)\ge m,\forall x\in D\\\exists {{x}_{0}}\in D:f({{x}_{0}})=m\end{array} \right.$ .

Chú ý:

+ $\displaystyle -1\le \sin x\le 1;-1\le \cos x\le 1;\forall x\in \mathbb{R}$ .
+ $\displaystyle 0\le {{\sin }^{2}}x\le 1;0\le {{\cos }^{2}}x\le 1;\forall x\in \mathbb{R}$ .
+ Hàm số $y={{\sin }^{2}}x+b\sin x+c$ (tương tự với hàm $\cos ,\tan ,\cot )$ thì tim min, max theo hàm bậc hai.
+ Với hàm số $\displaystyle y=a\sin x+b\cos x$ ta có: ${{y}_{\max }}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}},\,{{y}_{\min }}=-\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$ .
+ Hàm số có dạng $y=\frac{{{a}_{1}}\sin x+{{b}_{1}}\cos x+{{c}_{1}}}{{{a}_{2}}\sin x+{{b}_{2}}\cos x+{{c}_{2}}}$ ta tìm tập xác định. Đưa về dạng: $a\sin x+b\cos x=c$ .

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 6.1: Tìm giá trị lớn nhất $M$ và giá trị nhỏ nhất $m$ của hàm số $y=3\sin x-2$ .

A. $M=1,m=-5$ . B. $M=3,m=1$ . C. $M=2,m=-2$ . D. $M=0,m=-2$ .

Lời giải:

Ta có $-1\le \sin x\le 1\Rightarrow -3\le 3\sin x\le 3\Rightarrow -5\le 3\sin x-2\le 1$ .

$\Rightarrow -5\le y\le 1$ . Vậy $M=1,m=-5$ . Chọn A.

Ví dụ 6.2: Tập giá trị của hàm số $y=-3+2{{\cos }^{2}}\left( 3x-\frac{\pi }{3} \right)$ là

A. $\displaystyle \text{ }\!\![\!\!\text{ }-3;1]$ . B. $\displaystyle \text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;2]$ . C. $\displaystyle \text{ }\!\![\!\!\text{ }-5;-1]$ . D. $\displaystyle \text{ }\!\![\!\!\text{ }-3;-1]$ .

Lời giải:

Ta có $0\le {{\cos }^{2}}\left( 3x-\frac{\pi }{3} \right)\le 1\Leftrightarrow 0\le 2{{\cos }^{2}}\left( 3x-\frac{\pi }{3} \right)\le 2$

$\Leftrightarrow -3\le -3+2{{\cos }^{2}}\left( 3x-\frac{\pi }{3} \right)\le -1\Leftrightarrow -3\le y\le -1$ .

Vậy tập giá trị của hàm số đã cho là $\displaystyle \text{ }\!\![\!\!\text{ }-3;-1]$ . Chọn D.

Ví dụ 6.3: Tổng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f(x)=4{{\cos }^{2}}x+\cos x-1$ là

A. $5$ . B. $\frac{43}{16}$ . C. $\frac{47}{16}$ . D. $\frac{81}{16}$ .

Lời giải:

Ta có: ${{(2\cos x)}^{2}}+2.(2\cos x).\frac{1}{4}+\frac{1}{16}-\frac{17}{16}$ $={{\left( 2\cos x+\frac{1}{4} \right)}^{2}}-\frac{17}{16}$ .

Vì $-1\le \cos x\le 1\Leftrightarrow -2\le \cos x\le 2$ $\Leftrightarrow \frac{-7}{4}\le 2\cos x\le \frac{9}{4}$

$\Leftrightarrow 0\le {{\left( 2\cos x+\frac{1}{4} \right)}^{2}}\le \frac{81}{16}$ $\Leftrightarrow -\frac{17}{16}\le {{\left( 2\cos x+\frac{1}{4} \right)}^{2}}-\frac{17}{16}\le 4$ .

Vậy $\min y=-\frac{17}{16},\max y=4$ . Chọn C.

Ví dụ 6.4: Tập giá trị của hàm số $y=\frac{\sin x+2\cos x+1}{\sin x+\cos x+2}$ là

A. $T=\text{ }\!\![\!\!\text{ }-2;1]$ . B. $T=\text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;1]$ .

C. $T=(-\infty ;-2]\cup \text{ }\!\![\!\!\text{ }1;+\infty )$ . D. $T=\mathbb{R}\backslash \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }1\}$ .

Lời giải:

Ta có $\sin x+\cos x+2>0,\forall x\in \mathbb{R}$ . Tập giá trị của hàm số là tập hợp các giá trị của $y$ để phương trình $(y-1).\sin x+(y-2).\cos x=(1-2y)$ có nghiệm.

$\Leftrightarrow {{(y-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}\ge {{(1-2y)}^{2}}\Leftrightarrow y\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }-2;1]$ .

Vậy tập giá trị của hàm số là $T=\text{ }\!\![\!\!\text{ }-2;1]$ . Chọn A.

Ví dụ 6.5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$ : ${{(3\sin x-4\cos x)}^{2}}-6\sin x+8\cos x\ge 2m-1$ .

A. $m>0$ . B. $m\le 0$ . C. $m<0$ . D. $m\le 1$ .

Lời giải:

Đặt $t=3\sin x-4\cos x\Rightarrow t\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }-5;5]$ .

Khi đó: $y={{(3\sin x-4\cos x)}^{2}}-2(3\sin x-4\cos x)$ $={{t}^{2}}-2t={{(t-1)}^{2}}-1$ .

Do $-5\le t\le 5\Rightarrow 0\le {{(t-1)}^{2}}\le 36\Rightarrow \min y=-1$ .

Suy ra yêu cầu bài toán $-1\ge 2m-1\Leftrightarrow m\le 0$ .

Chọn B.

Ví dụ 6.5: Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A trong ngày thứ $t$ của năm 2017 được cho bởi một hàm số $y=4\sin \left[ \frac{\pi }{178}(t-60) \right]+10$ với $t\in \mathbb{Z}$ và $0<t\le 365$ . Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất?

A. 28 tháng 5. B. 29 tháng 5. C. 30 tháng 5. D. 31 tháng 5.

Lời giải:

Vì $\sin \left[ \frac{\pi }{178}(t-60) \right]\le 1$ $\Leftrightarrow y=4\sin \left[ \frac{\pi }{178}(t-60) \right]+10\le 14$ .

Này có ánh sáng mặt trời nhiều nhất $\Leftrightarrow {{y}_{\max }}=14\Leftrightarrow \sin \left[ \frac{\pi }{178}(t-60) \right]=1$ .

$\Leftrightarrow \frac{\pi }{178}(t-60)=\frac{\pi }{2}+k2\pi \Leftrightarrow t=149+356k$ .

Do $0<t\le 365\Leftrightarrow 0<149+356k\le 365$ $\Leftrightarrow -\frac{149}{356}<k\le \frac{54}{89}$ .

Mà $k\in \mathbb{Z}\Rightarrow k=0\Rightarrow t=149$ .

Do đó vào ngày 29 tháng 5 thì thành phố A có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất (vì năm 2017 không phải năm nhuận nên tháng 1 và tháng 3 có 31 ngày, tháng 2 có 28 ngày và tháng 4 có 30 ngày).

Chọn B.