Phương trình lượng giác cơ bản

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

A. Lí thuyết cơ bản

1. Phương trình $\sin x=a$ (1)

+ $|a|\,>1$ : Phương trình (1) vô nghiệm.
+ $|a|\,\le 1$ : Gọi $\alpha$ là một cung sao cho $\sin x=\sin \alpha$ . Khi đó

$(1)\Leftrightarrow \sin x=\sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=\alpha +k2\pi \\x=\pi -\alpha +k2\pi \end{array} \right.(k\in \mathbb{Z})$ .

Phương trình $\sin x=\sin {{\beta }^{0}}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x={{\beta }^{0}}+k{{360}^{0}}\\x=\pi -{{\beta }^{0}}+k{{360}^{0}}\end{array} \right.(k\in \mathbb{Z})$ .
+ Các trường hợp đặc biệt:

$\displaystyle \sin x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+k2\pi ,\,k\in \mathbb{Z}$

$\displaystyle \sin x=-1\Leftrightarrow x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi ,\,k\in \mathbb{Z}$ $\sin x=0\Leftrightarrow x=k\pi ,\,(k\in \mathbb{Z})$

Chú ý:
- + Tổng quát: $\sin f(x)=\sin g(x)$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f(x)=g(x)+k2\pi \\f(x)=\pi -g(x)+k2\pi \end{array} \right.(k\in \mathbb{Z})$
- + $\sin x=a\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=\arcsin a+k2\pi \\x=\pi -\arcsin a+k2\pi \end{array} \right.(k\in \mathbb{Z})$ .
- + Trong công thức nghiệm của phương trình lượng giác không được dùng đồng thời cả hai đơn vị độ và radian.

2. Phương trình $\cos x=a$ (2)

+ $|a|\,>1$ : Phương trình (1) vô nghiệm.
+ $|a|\,\le 1$ : Gọi $\alpha$ là một cung sao cho $\cos x=\cos \alpha$ . Khi đó

$(2)\Leftrightarrow \cos x=\cos \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=\alpha +k2\pi \\x=-\alpha +k2\pi \end{array} \right.(k\in \mathbb{Z})$ .

Phương trình $\cos x=\cos {{\beta }^{0}}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x={{\beta }^{0}}+k{{360}^{0}}\\x=-{{\beta }^{0}}+k{{360}^{0}}\end{array} \right.(k\in \mathbb{Z})$ .
Các trường hợp đặc biệt:

$\displaystyle \cos x=1\Leftrightarrow x=k2\pi ,\,k\in \mathbb{Z}$ .

$\displaystyle \cos x=-1\Leftrightarrow x=\pi +k2\pi ,\,k\in \mathbb{Z}$ . $\cos x=0\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,\,(k\in \mathbb{Z})$ .

Chú ý:
- + Tổng quát: $\cos f(x)=\cos g(x)$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f(x)=g(x)+k2\pi \\f(x)=-g(x)+k2\pi \end{array} \right.(k\in \mathbb{Z})$
- + $\cos x=a\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=\arccos a+k2\pi \\x=-\arccos a+k2\pi \end{array} \right.(k\in \mathbb{Z})$ .
- + Trong công thức nghiệm của phương trình lượng giác không được dùng đồng thời cả hai đơn vị độ và radian.

3. Phương trình $\tan x=a$ (3)

+ TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}$ .
+ $\forall a\in \mathbb{R}$ , tồn tại cung $\alpha$ sao cho $\tan \alpha =a$ . Khi đó:

$(3)\Leftrightarrow \tan x=\tan \alpha \Leftrightarrow x=\alpha +k\pi ,\,k\in \mathbb{Z}$ .
+ Phương trình $\tan x=\tan {{\beta }^{0}}\Leftrightarrow x={{\beta }^{0}}+k{{180}^{0}},\,k\in \mathbb{Z}$ .
Chú ý:
- + Tổng quát: $\tan f(x)=\tan g(x)\Leftrightarrow f(x)=g(x)+k\pi ,(k\in \mathbb{Z})$ .
- + $\tan x=a\Leftrightarrow x=\arctan a+k\pi ,(k\in \mathbb{Z})$ .
- + Trong công thức nghiệm của phương trình lượng giác không được dùng đồng thời cả hai đơn vị độ và radian.

4. Phương trình $\cot x=a$ (4)

+ TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ k\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}$ .
+ $\forall a\in \mathbb{R}$ , tồn tại cung $\alpha$ sao cho $\cot \alpha =a$ . Khi đó:

$(4)\Leftrightarrow \cot x=\cot \alpha \Leftrightarrow x=\alpha +k\pi ,\,k\in \mathbb{Z}$ .
+ Phương trình $\cot x=\cot {{\beta }^{0}}\Leftrightarrow x={{\beta }^{0}}+k{{180}^{0}},\,k\in \mathbb{Z}$ .
Chú ý:
- + Tổng quát: $\cot f(x)=\cot g(x)\Leftrightarrow f(x)=g(x)+k\pi ,(k\in \mathbb{Z})$ .
- + $c o t x = a \Leftrightarrow x = a r c c o t a + k π, (k \in ℤ)$
- + Trong công thức nghiệm của phương trình lượng giác không được dùng đồng thời cả hai đơn vị độ và radian.

B. Bài tập

1. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1: Giải phương trình $\sin \left( \frac{2x}{3}-\frac{\pi }{3} \right)=0$ .

A. $x=k\pi ,\,(k\in \mathbb{Z})$ . B. $x=\frac{2\pi }{3}+\frac{k3\pi }{2},\,(k\in \mathbb{Z})$ .

C. $x=\frac{\pi }{3}+k\pi ,\,(k\in \mathbb{Z})$ . D. $x=\frac{\pi }{2}+\frac{k3\pi }{2},\,(k\in \mathbb{Z})$ .

Lời giải:

Phương trình $\sin \left( \frac{2x}{3}-\frac{\pi }{3} \right)=0\Leftrightarrow \frac{2x}{3}-\frac{\pi }{3}=k\pi$

$\Leftrightarrow \frac{2x}{3}=\frac{\pi }{3}+k\pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+\frac{k3\pi }{2},\,(k\in \mathbb{Z})$ .

Chọn D.

Ví dụ 2: Giải phương trình $\cot (3x-1)=-\sqrt{3}$ .

A. $x=\frac{1}{3}+\frac{5\pi }{18}+k\frac{\pi }{3},\,(k\in \mathbb{Z})$ . B. $x=\frac{1}{3}+\frac{\pi }{18}+k\frac{\pi }{3},\,(k\in \mathbb{Z})$ .

C. $x=\frac{5\pi }{18}+k\frac{\pi }{3},\,(k\in \mathbb{Z})$ . D. $x=\frac{1}{3}-\frac{\pi }{6}+k\pi ,\,(k\in \mathbb{Z})$ .

Lời giải:

Ta có $\cot (3x-1)=-\sqrt{3}\Leftrightarrow \cot (3x-1)=\cot \left( -\frac{\pi }{6} \right)$

$\Leftrightarrow 3x-1=-\frac{\pi }{6}+k\pi$

$\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}-\frac{\pi }{18}+k\frac{\pi }{3}=\frac{1}{3}+\frac{5\pi }{18}+k\frac{\pi }{3}$

Chọn A.

Ví dụ 3: Trên $(0;\pi )$ phương trình $\sin 2x=-\frac{1}{2}$ có bao nhiêu nghiệm?

A. 0. B. 2. C. 3. D. Vô số nghiệm.

Lời giải:

Ta có $\displaystyle \sin 2x=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow \sin 2x=\sin \frac{-\pi }{6}$

$\displaystyle \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \\2x=\pi -\left( -\frac{\pi }{6} \right)+k2\pi \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{12}+k\pi \\x=\frac{7\pi }{12}+k2\pi \end{array} \right.$ .

Trên $(0;\pi )$ ta có:

+ $0<-\frac{\pi }{12}+k\pi <\pi \Leftrightarrow \frac{1}{12}<k<\frac{13}{12}$ với $k\in \mathbb{Z}\Rightarrow k=1\Rightarrow x=\frac{11\pi }{12}$ .
+ $0<\frac{7\pi }{12}+k\pi <\pi \Leftrightarrow \frac{-7}{12}<k<\frac{5}{12}$ với $k\in \mathbb{Z}\Rightarrow k=0\Rightarrow x=\frac{7\pi }{12}$ .

Vậy phương trình có hai nghiệm trên $(0;\pi )$ . Chọn C.

Ví dụ 4: Với những giá trị nào của $x$ thì giá trị của các hàm số $y=\tan \left( \frac{\pi }{4}-x \right)$ và $y=\tan 2x$ bằng nhau?

A. $x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2},\,(k\in \mathbb{Z})$ . B. $x=\frac{\pi }{12}+k\frac{\pi }{3},\,(k\in \mathbb{Z})$ .

C. $x=\frac{\pi }{12}+k\pi ,\,(k\in \mathbb{Z})$ . D. $x=\frac{\pi }{12}+k\frac{\pi }{3},k\ne \frac{3m+1}{2}\,(k,m\in \mathbb{Z})\,$ .

Lời giải:

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}\cos \left( \frac{\pi }{4}-x \right)\ne 0\\\cos 2x\ne 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\ne -\frac{\pi }{4}+m\pi \\x\ne \frac{\pi }{4}+m\frac{\pi }{2}\end{array} \right.\Leftrightarrow x\ne \frac{\pi }{4}+m\frac{\pi }{2},\,(m\in \mathbb{Z})$

Xét phương trình $\tan \left( \frac{\pi }{4}-x \right)=\tan 2x$

$\Leftrightarrow 2x=\frac{\pi }{4}-x+k\pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{12}+k\frac{\pi }{3},\,(k\in \mathbb{Z})$

Kết hợp với điều kiện ta có $\frac{\pi }{12}+k\frac{\pi }{3}\ne \frac{\pi }{4}+m\frac{\pi }{2}$ $\Leftrightarrow k\ne \frac{3m+1}{2}\,(k,m\in \mathbb{Z})$

Vậy phương trình có nghiệm $x=\frac{\pi }{12}+k\frac{\pi }{3},k\ne \frac{3m+1}{2}\,(k,m\in \mathbb{Z})\,$ .

Chọn D.

Ví dụ 5: Giải phương trình $\sin (2x+1)+\cos (3x-1)=0$ .

A. $\left[ \begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+2+k2\pi \\x=\frac{\pi }{10}+k\frac{2\pi }{5}\end{array} \right.(k\in \mathbb{Z})$ . B. $\left[ \begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+2+k2\pi \\x=-\frac{\pi }{10}+k\frac{2\pi }{5}\end{array} \right.(k\in \mathbb{Z})$ .

C. $\left[ \begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+3+k2\pi \\x=-\frac{\pi }{10}+k\frac{2\pi }{5}\end{array} \right.(k\in \mathbb{Z})$ . D. $\left[ \begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+6+k2\pi \\x=\frac{\pi }{10}+k\frac{2\pi }{5}\end{array} \right.(k\in \mathbb{Z})$ .

Lời giải:

Phương trình $\displaystyle \Leftrightarrow \cos (3x-1)=-\sin (2x+1)$

$\displaystyle \Leftrightarrow \cos (3x-1)=\cos \left( \frac{\pi }{2}+2x+1 \right)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x-1=\frac{\pi }{2}+2x+1+k2\pi \\3x-1=-\frac{\pi }{2}-2x-1+k2\pi \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+2+k2\pi \\x=-\frac{\pi }{10}+k\frac{2\pi }{5}\end{array} \right.$ .

Chọn B.

Ví dụ 6: Gọi ${{x}_{0}}$ là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình $\frac{2\cos 2x}{1-\sin 2x}=0$ . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. ${{x}_{0}}\in \left( 0;\frac{\pi }{4} \right)$ . B. $\displaystyle {{x}_{0}}\in \left( \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2} \right)$ . C. $\displaystyle {{x}_{0}}\in \left( \frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{4} \right)$ . D. $\displaystyle {{x}_{0}}\in \left( \frac{3\pi }{4};\pi \right)$ .