Phương trình lượng giác thường gặp

MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

I. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

A. Phương pháp

Định nghĩa: Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng:

$at+b=0$ trong đó $a,b$ là các hằng số $(a\ne 0)$ và $t$ là một hàm số lượng giác.
Cách giải: Chuyển vế rồi chia hai vế của phương trình cho $a$ , đưa về phương trình lượng giác cơ bản.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1: Gọi $S$ là tập nghiệm của phương trình $2\cos x-\sqrt{3}=0$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\frac{5\pi }{6}\in S$ . B. $\frac{11\pi }{6}\in S$ . C. $\frac{13\pi }{6}\notin S$ . D. $-\frac{13\pi }{6}\notin S$ .

Lời giải:

Ta có $2\cos x-\sqrt{3}=0\Leftrightarrow \cos x=\cos \frac{\pi }{6}$ .

$\Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{6}+k2\pi ,(k\in \mathbb{Z})$

Ta thấy với họ nghiệm $x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi$ , thay $k=1$ ta được $\frac{11\pi }{6}\in S$ .

Chọn B.

Ví dụ 2: Số vị trí điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình $\tan \left( 2x-\frac{\pi }{3} \right)+\sqrt{3}=0$ trên đường tròn lượng giác là?

A. 4. B. 3. C. 2. D. 1.

Lời giải:

Ta có $\displaystyle \tan \left( 2x-\frac{\pi }{3} \right)+\sqrt{3}=0\Leftrightarrow \tan \left( 2x-\frac{\pi }{3} \right)=-\sqrt{3}$

$\displaystyle \Leftrightarrow \tan \left( 2x-\frac{\pi }{3} \right)=\tan \left( -\frac{\pi }{3} \right)$

$\Leftrightarrow 2x-\frac{\pi }{3}=-\frac{\pi }{3}+k\pi \Leftrightarrow x=\frac{k\pi }{2},(k\in \mathbb{Z})$ .

Do đó có 4 điểm biểu diễn nghiệm của phương trình đã cho trên đường tròn lượng giác là $A,B,C,D$ .

Chọn A.

Ví dụ 3: Phương trình $(\sin x+1)(\sin x-\sqrt{2})=0$ có nghiệm là

A. $x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi ,(k\in \mathbb{Z})$ . B. $x=\pm \frac{\pi }{4}+k2\pi ;-\frac{\pi }{8}+k\pi ,(k\in \mathbb{Z})$ .

C. $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$ . D. $x=\pm \frac{\pi }{2}+k2\pi$ .

Lời giải:

$(\sin x+1)(\sin x-\sqrt{2})=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x=-1\\\sin x=\sqrt{2}\end{array} \right.$ .

$\Leftrightarrow x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi ,(k\in \mathbb{Z})$

Chọn A.

Ví dụ 4: Nghiệm của phương trình ${{\sin }^{4}}x-{{\cos }^{4}}x=0$ là

A. $x=-\frac{\pi }{4}+k\pi$ . B. $x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}$ . C. $x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi$ . D. $x=\pm \frac{\pi }{4}+k2\pi$ .

Lời giải:

${{\sin }^{4}}x-{{\cos }^{4}}x=0\Leftrightarrow ({{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x)({{\sin }^{2}}-{{\cos }^{2}}x)=0$

$\Leftrightarrow {{\sin }^{2}}-{{\cos }^{2}}x=0\Leftrightarrow {{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x=0\Leftrightarrow \cos 2x=0$

$\Leftrightarrow 2x=\frac{\pi }{2}+k\pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2},(k\in \mathbb{Z})$

Chọn B.

Ví dụ 5: Giải phương trình $4({{\sin }^{6}}x+{{\cos }^{6}}x)+2({{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x)=8-4{{\cos }^{2}}2x$ .

A. $x=\pm \frac{\pi }{3}+\frac{k\pi }{2},\,k\in \mathbb{Z}$ . B. $x=\pm \frac{\pi }{24}+\frac{k\pi }{2},\,k\in \mathbb{Z}$ .

C. $x=\pm \frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{2},\,k\in \mathbb{Z}$ . D. $x=\pm \frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{2},\,k\in \mathbb{Z}$ .

Lời giải:

Ta có:

$4({{\cos }^{6}}x+{{\sin }^{6}}x)+2({{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x)=8-4{{\cos }^{2}}2x$

$\begin{array}{l}\Leftrightarrow 4\left[ {{({{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x)}^{3}}-3{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x({{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}) \right]\\+2\left[ {{({{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x)}^{2}}-2{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x \right]\end{array}$

$=8-4{{\cos }^{2}}2x$

$\Leftrightarrow 4(1-3{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x)+2(1-2{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x)=8-4{{\cos }^{2}}2x$

$\Leftrightarrow 6-16{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x=8-4{{\cos }^{2}}2x$

$\Leftrightarrow 6-4{{\sin }^{2}}2x=8-4{{\cos }^{2}}2x$

$\Leftrightarrow 4{{\cos }^{2}}2x-4{{\sin }^{2}}2x=2\Leftrightarrow 4\cos 4x=2$

$\Leftrightarrow \cos 4x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{2},\,k\in \mathbb{Z}$

Chọn C.

Ví dụ 6: Phương trình $\frac{\sin 3x}{\cos 2x}+\frac{\cos 3x}{\sin 2x}=\frac{2}{\sin 3x}$ có nghiệm là

A. $x=\frac{\pi }{8}+k\frac{\pi }{4}$ . B. $x=\frac{\pi }{6}+k\frac{\pi }{3}$ . C. $x=\frac{\pi }{3}+k\frac{\pi }{2}$ . D. $x=\frac{\pi }{4}+k\pi$ .

Lời giải:

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}\cos 2x\ne 0\\\sin 2x\ne 0\\\sin 3x\ne 0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x\ne \frac{k\pi }{2}\\3x\ne k\pi \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\ne \frac{k\pi }{4}\\x\ne \frac{k\pi }{3}\end{array} \right.$

Phương trình tương đương: $\frac{\sin 3x.\sin 2x+\cos 2x.\cos 3x}{\sin 2x.\cos 2x}=\frac{2}{\sin 3x}$

$\Leftrightarrow \frac{2\cos x}{\sin 4x}=\frac{2}{\sin 3x}\Leftrightarrow \sin 3x.\cos x=\sin 4x$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}(\sin 2x+\sin 4x)=\sin 4x$

$\Leftrightarrow \sin 2x=\sin 4x\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x=4x+k2\pi \\2x=\pi -4x+k2\pi \end{array} \right.$ .

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=-k\pi \\x=\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3}\end{array} \right.$

Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm $x=\frac{\pi }{6}+k\frac{\pi }{3}$ .

Chọn B.

II. Phương trình bậc nhất đối với $\sin x$ và $\cos x$

A. Phương pháp

Định nghĩa: Phương trình bậc nhất đối với $\sin x$ và $\displaystyle \cos x$ là phương trình có dạng:

$\displaystyle a\sin x+b\cos x=c$
Cách giải: Điều kiện để phương trình có nghiệm: ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge {{c}^{2}}$ .

Chia hai vế của phương trình cho $\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$ ta được:

$\displaystyle \frac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\sin x+\frac{b}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\cos x=\frac{c}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}$

Do $\displaystyle {{\left( \frac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{b}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}} \right)}^{2}}=1$ nên đặt $\left\{ \begin{array}{l}\frac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}=\cos \alpha \\\frac{b}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}=\sin \alpha \end{array} \right.$ .

Khi đó phương trình trở thành:

$\cos \alpha .\sin x+\sin \alpha .\cos x=\frac{c}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}$ . $\Leftrightarrow \sin (x+\alpha )=\frac{c}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}$

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1: Cho phương trình $m\sin x-\sqrt{1-3m}\cos x=m-2$ . Tìm tất cả các giá trị thực của $m$ để phương trình có nghiệm.

A. $\frac{1}{3}\le m\le 3$ . B. $m\le \frac{1}{3}$ . C. $m\in \varnothing$ . D. $m\ge 3$ .

Lời giải:

$\sqrt{1-3m}$ có nghĩa $\Leftrightarrow 1-3m\ge 0\Leftrightarrow m\le \frac{1}{3}$ (1)

Phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow {{m}^{2}}+{{\left( -\sqrt{1-3m} \right)}^{2}}\ge {{(m-2)}^{2}}\Leftrightarrow m\ge 3$ (2)

Từ (1), (2) suy ra không có giá trị nào của $m$ để phương trình có nghiệm.

Ví dụ 2: Nghiệm của phương trình $\sin 2x-\sqrt{3}\cos 2x=0$ là

A. $x=\frac{\pi }{3}+k\frac{\pi }{2},\,k\in \mathbb{Z}$ . B. $x=\frac{\pi }{6}+k\pi ,\,k\in \mathbb{Z}$ .

C. $x=\frac{\pi }{3}+k\pi ,\,k\in \mathbb{Z}$ . D. $x=\frac{\pi }{6}+k\frac{\pi }{2},\,k\in \mathbb{Z}$ .

Lời giải:

$\sin 2x-\sqrt{3}\cos 2x=0\Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin 2x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x=0$

$\Leftrightarrow \cos \frac{\pi }{3}.\sin 2x-\sin \frac{\pi }{3}.\cos 2x=0\Leftrightarrow -\sin \left( \frac{\pi }{3}-2x \right)=0$

$\Leftrightarrow \frac{\pi }{3}-2x=k\pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{6}+k\frac{\pi }{2},(k\in \mathbb{Z})$

Chọn D.

Ví dụ 3: Phương trình nào sau đây vô nghiệm:

A. $2\sin x-\cos x=-3$ . B. $\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

C. $\sqrt{3}\sin 2x-\cos 2x=2$ . D. $3\sin x-4\cos x=5$ .

Lời giải:

Dựa vào điều kiện có nghiệm của phương trình $a\sin x+b\cos x=c$ là ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge {{c}^{2}}$ .

Chọn A.

Ví dụ 4: Số nghiệm của phương trình $\sin x+\cos x=1$ trên khoảng $(0;\pi )$ là

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

Lời giải:

$\sin x+\cos x=1\Leftrightarrow \sqrt{2}\sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right)=1$ $\Leftrightarrow \sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\x+\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}+k2\pi \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \\x=k2\pi \end{array} \right.(k\in \mathbb{Z})$

Trên khoảng $(0;\pi )$ phương trình có một nghiệm là $x=\frac{\pi }{2}$ .

Chọn B.

Ví dụ 5: Giải phương trình $\frac{\cos x-2\sin x\cos x}{2{{\cos }^{2}}x+\sin x-1}=\sqrt{3}$ .

A. $x=\frac{5\pi }{18}+\frac{k\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$ . B. $x=\frac{5\pi }{18}+\frac{k2\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$ .

C. $x=\frac{5\pi }{18}+\frac{k4\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$ . D. $x=\frac{5\pi }{18}+\frac{k5\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$ .

Lời giải:

Điều kiện: $2{{\cos }^{2}}x+\sin x-1\ne 0\Leftrightarrow 1-2{{\sin }^{2}}x+\sin x-1\ne 0$

$\Leftrightarrow 2{{\sin }^{2}}x-\sin x\ne 0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin x\ne 0\\\sin x\ne \frac{1}{2}\end{array} \right.$ .

Phương trình $\Leftrightarrow \cos x-\sin 2x=\sqrt{3}\left[ (2{{\cos }^{2}}x-1)+\sin x \right]$

$\Leftrightarrow \cos x-\sin 2x=\sqrt{3}(\cos 2x+\sin x)$

$\Leftrightarrow \cos x-\sqrt{3}\sin x=\sqrt{3}\cos 2x+\sin 2x$

$\Leftrightarrow \sin \left( 2x+\frac{\pi }{3} \right)=\sin \left( x-\frac{\pi }{6} \right)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \\x=\frac{5\pi }{18}+\frac{k2\pi }{3}\end{array} \right.(k\in \mathbb{Z})$

Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm $x=\frac{5\pi }{18}+\frac{k2\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$ .

Chọn B.

Ví dụ 6: Giải phương trình $4({{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x)+\sqrt{3}\sin 4x=2$ .

A. $\left[ \begin{array}{l}x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{7}\\x=-\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{7}\end{array} \right.(k\in \mathbb{Z})$ . B. $\left[ \begin{array}{l}x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{5}\\x=-\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{5}\end{array} \right.(k\in \mathbb{Z})$ .

C. $\left[ \begin{array}{l}x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{3}\\x=-\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{3}\end{array} \right.(k\in \mathbb{Z})$ . D. $\left[ \begin{array}{l}x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}\\x=-\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{2}\end{array} \right.(k\in \mathbb{Z})$ .

Lời giải:

Phương trình $\Leftrightarrow 4\left[ {{({{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x)}^{2}}-2{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x \right]+\sqrt{3}\sin 4x=2$

$\Leftrightarrow 4\left( 1-\frac{1}{2}{{\sin }^{2}}2x \right)+\sqrt{3}\sin 4x-2=0$

$\Leftrightarrow 2-2{{\sin }^{2}}2x+\sqrt{3}\sin 4x=0$

$\Leftrightarrow 2-(1-\cos 4x)+\sqrt{3}\sin 4x=0$

$\Leftrightarrow \cos 4x+\sqrt{3}\sin 4x=-1$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}\cos 4x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 4x=-\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \cos \left( 4x-\frac{\pi }{3} \right)=\cos \frac{2\pi }{3}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}\\x=-\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{2}\end{array} \right.(k\in \mathbb{Z})$

Chọn D.

III. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

A. Phương pháp

Định nghĩa: Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng:

$a{{t}^{2}}+bt+c=0$ trong đó $a,b,c$ là các hằng số $(a\ne 0)$ và $t$ là một hàm số lượng giác.
Cách giải: Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có) rồi giải phương trình bậc hai theo ẩn phụ này. Cuối cùng đưa về giải các phương trình lượng giác cơ bản.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1: Nghiệm của phương trình $2{{\sin }^{2}}x-3\sin x+1=0$ thuộc khoảng $\displaystyle \left[ 0;\frac{\pi }{2} \right)$ là?

A. $x=\frac{\pi }{3}$ . B. $x=\frac{\pi }{2}$ . C. $x=\frac{\pi }{6}$ . D. $x=\frac{5\pi }{6}$ .

Lời giải:

Đặt $t=\sin x,\,(-1\le t\le 1)$ , phương trình trở thành: $2{{t}^{2}}-3t+1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t=1\\t=\frac{1}{2}\end{array} \right.$ .

Với $t=1$ ta có: $\sin x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+k2\pi ,(k\in \mathbb{Z})$ .

Do $0\le x<\frac{\pi }{2}$ nên $0\le \frac{\pi }{2}+k2\pi <\frac{\pi }{2}\Leftrightarrow \frac{-1}{4}\le k<0$ . Vì $k\in \mathbb{Z}$ nên không tồn tại $k$ .
Với $t=\frac{1}{2}$ ta có: $\sin x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \end{array} \right.$ .

Do $0\le x<\frac{\pi }{2}$ nên $x=\frac{\pi }{6}$ .

Chọn C.

Ví dụ 2: Phương trình $\sqrt{3}\tan x+\cot x-\sqrt{3}-1=0$ có nghiệm là

A. $\left[ \begin{array}{l}x=\frac{\pi }{4}+k\pi \\x=\frac{\pi }{6}+k\frac{\pi }{2}\end{array} \right.(k\in \mathbb{Z})$ . B. $\left[ \begin{array}{l}x=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \end{array} \right.(k\in \mathbb{Z})$ .

C. $\left[ \begin{array}{l}x=\frac{\pi }{4}+k3\pi \\x=\frac{\pi }{6}+k3\pi \end{array} \right.(k\in \mathbb{Z})$ . D. $\left[ \begin{array}{l}x=\frac{\pi }{4}+k\pi \\x=\frac{\pi }{6}+k\pi \end{array} \right.(k\in \mathbb{Z})$ .

Lời giải:

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}\sin x\ne 0\\\cos x\ne 0\end{array} \right.\Leftrightarrow \sin 2x\ne 0$ (*)

Phương trình $\Leftrightarrow \sqrt{3}\tan x+\frac{1}{\tan x}-\sqrt{3}-1=0$

$\Leftrightarrow \sqrt{3}{{\tan }^{2}}x-(\sqrt{3}+1)\tan x+1=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x=1\\\tan x=\frac{1}{\sqrt{3}}\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=\frac{\pi }{4}+k\pi \\x=\frac{\pi }{6}+k\pi \end{array} \right.$ (thỏa mãn điều kiện (*))

Chọn D.

Ví dụ 3: Phương trình $3\cos 4x+2\cos 2x-5=0$ có nghiệm là

A. $k2\pi$ . B. $\frac{\pi }{3}+k2\pi$ . C. $k\pi$ . D. $-\frac{\pi }{3}+k2\pi$ .

Lời giải:

Phương trình $\Leftrightarrow 3(2{{\cos }^{2}}2x-1)+2\cos 2x-5=0$

$\Leftrightarrow 6{{\cos }^{2}}2x+2\cos 2x-8=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x=1\\\cos 2x=-\frac{4}{3}\end{array} \right.\Rightarrow \cos 2x=1$ .

$\Leftrightarrow 2x=k2\pi \Leftrightarrow x=k\pi ,\,k\in \mathbb{Z}$

Chọn C.

Ví dụ 4: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $\cos 2x-(2m+1)\cos x+m+1=0$ có nghiệm trên khoảng $\left( \frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2} \right)$ ?

A. $-1\le m\le 0$ . B. $-1\le m<0$ . C. $-1<m<0$ . D. $-1\le m<\frac{1}{2}$ .

Lời giải:

Phương trình $\Leftrightarrow 2{{\cos }^{2}}x-(2m+1)\cos x+m=0$ .

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x=\frac{1}{2}\\\cos x=m\end{array} \right.$

Nhận thấy phương trình $\cos x=\frac{1}{2}$ không có nghiệm trên khoảng $\left( \frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2} \right)$ . Do đó phương trình đã cho có nghiệm thuộc khoảng $\left( \frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2} \right)$ khi và chỉ khi phương trình $\cos x=m$ có nghiệm thuộc $\left( \frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2} \right)$ $\Leftrightarrow -1\le m<0$ .

Chọn B.

IV. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với $\sin x$ và $\cos x$

A. Phương pháp

Định nghĩa: Phương trình bậc hai đối với $\sin x$ và $\cos x$ là phương trình có dạng:

$\displaystyle a{{\sin }^{2}}x+b\sin x\cos x+c{{\cos }^{2}}x=0$

Cách giải:
- + Kiểm tra xem $\cos x=0\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+k\pi$ có là nghiệm của phương trình không.
- + Khi $\cos x\ne 0\Leftrightarrow x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$ , chia hai vế của phương trình cho ${{\cos }^{2}}x$ ta thu được phương trình: $\displaystyle a{{\tan }^{2}}x+b\tan x+c=0$
  
  Đây là phương trình bậc hai đối với $\tan x$ mà ta đã biết cách giải.

Chú ý:
- + Phương trình dạng $\displaystyle a{{\sin }^{2}}x+b\sin x\cos x+c{{\cos }^{2}}x=d$ ta làm như sau:
- + Đối với phương trình đẳng cấp bậc ba: $\displaystyle a{{\sin }^{3}}x+b{{\sin }^{2}}x\cos x+c\sin x{{\cos }^{2}}x+d{{\cos }^{3}}x=0$
  
  thì cách giải cũng hoàn toàn tương tự như trên.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1: Cho phương trình ${{\cos }^{2}}x-3\sin x\cos x+1=0$ . Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. $x=k\pi$ không là nghiệm của phương trình.

B. Nếu chia hai vế của phương trình cho ${{\cos }^{2}}x$ thì ta được phương trình ${{\tan }^{2}}x-3\tan x+2=0$ .

C. Nếu chia 2 vế của phương trình cho ${{\sin }^{2}}x$ thì ta được phương trình $2{{\cot }^{2}}x+3\cot x+1=0$ .

D. Phương trình đã cho tương đương với $\cos 2x-3\sin 2x+3=0$ .

Lời giải:

Với $x=k\pi \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin x=0\\\cos x=\pm 1\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin x=0\\{{\cos }^{2}}x=1\end{array} \right.$ . Thay vào phương trình ta thấy thỏa mãn. Vậy A đúng.
Chia cả hai vế của phương trình cho ${{\cos }^{2}}x$ ta được:

$\frac{{{\cos }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}-\frac{3\sin x\cos x}{{{\cos }^{2}}x}+\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}=0$ $\Leftrightarrow 1-\frac{3\sin x}{\cos x}+(1+{{\tan }^{2}}x)=0$

$\Leftrightarrow {{\tan }^{2}}x-3\tan x+2=0$

Vậy B đúng.
Chia cả hai vế của phương trình cho ${{\sin }^{2}}x$ ta được:

$\frac{{{\cos }^{2}}x}{{{\sin }^{2}}x}-\frac{3\sin x\cos x}{{{\sin }^{2}}x}+\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}=0$ $\Leftrightarrow {{\cot }^{2}}x-\frac{3\cos x}{\sin x}+(1+{{\cot }^{2}}x)=0$

$\Leftrightarrow 2{{\cot }^{2}}x-3\cot x+1=0$

Vậy C sai.
Phương trình $\Leftrightarrow \frac{1+\cos 2x}{2}-\frac{3}{2}\sin 2x+1=0$ .

$\Leftrightarrow \cos 2x-3\sin 2x+3=0$

Vậy D đúng.

Chọn C.

Ví dụ 2: Phương trình ${{\sin }^{2}}x-4\sin x\cos x+4{{\cos }^{2}}x=5$ tương đương với phương trình nào sau đây?

A. $\cos x=0$ . B. $\cot x=1$ . C. $\tan x=\frac{1}{2}$ . D. $\tan x=-\frac{1}{2}$ .

Lời giải:

Xét $\cos x=0\Rightarrow \sin x=\pm 1\Rightarrow {{\sin }^{2}}x=1$ , thay vào phương trình ta được: $1=5$ (vô lí).

Do đó $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$ không là nghiệm của phương trình.
Với $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$ , chia cả hai vế của phương trình cho ${{\cos }^{2}}x$ ta được:

$\frac{{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}-\frac{4\sin x\cos x}{{{\cos }^{2}}x}+\frac{4{{\cos }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}=\frac{5}{{{\cos }^{2}}x}$

$\Leftrightarrow {{\tan }^{2}}x-4\tan x+4-5(1+{{\tan }^{2}}x)=0$

$\Leftrightarrow 4{{\tan }^{2}}x+4\tan x+1=0\Leftrightarrow {{(2\tan x+1)}^{2}}=0$

$\Leftrightarrow \tan x=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=-\arctan \frac{1}{2}+k\pi$

Chọn D.

Ví dụ 3: Số nghiệm của phương trình ${{\cos }^{2}}x-3\sin x\cos x+2{{\sin }^{2}}x=0$ trên khoảng $(-2\pi ;2\pi )$ là

A. 2. B. 4. C. 6. D. 8.

Lời giải:

Xét $\cos x=0\Rightarrow \sin x=\pm 1\Rightarrow {{\sin }^{2}}x=1$ , thay vào phương trình ta được: $2=0$ (vô lí). Do đó $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$ không là nghiệm của phương trình.
Xét $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$ , chia cả hai vế của phương trình cho ${{\cos }^{2}}x$ ta được:

$1-3\tan x+2{{\tan }^{2}}x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x=1\\\tan x=\frac{1}{2}\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=\frac{\pi }{4}+k\pi \\x=\arctan \frac{1}{2}+k\pi \end{array} \right.(k\in \mathbb{Z})$

+ Với $x=\frac{\pi }{4}+k\pi$ :

Vì $x\in (-2\pi ;2\pi )\Rightarrow -2\pi <\frac{\pi }{4}+k\pi <2\pi$ $\Leftrightarrow -\frac{9}{4}<k<\frac{7}{4}\Rightarrow k\in \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }-2;-1;0;1\}$
+ Với $x=\arctan \frac{1}{2}+k\pi$ :

Vì $x\in (-2\pi ;2\pi )\Rightarrow -2\pi <\arctan \frac{1}{2}+k\pi <2\pi$

$\Rightarrow -28,565<k<-24,565$

$\Rightarrow k\in \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }-28;-27;-26;-25\}$ .

Vậy có tất cả 8 nghiệm.

Chọn D.

Ví dụ 4: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình sau có nghiệm:

${{\sin }^{2}}x-2(m-1)\sin x\cos x-(m-1){{\cos }^{2}}x=m$

A. 2. B. 1. C. 0. D. Vô số.

Lời giải:

Xét $\cos x=0\Rightarrow \sin x=\pm 1\Rightarrow {{\sin }^{2}}x=1$ , thay vào phương trình ta được: $1=m$ . Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $m=1$ .
Xét $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$ , chia cả hai vế của phương trình cho ${{\cos }^{2}}x$ ta được:

$\begin{array}{l}{{\tan }^{2}}x-2(m-1)\tan x-(m-1)=m(1+{{\tan }^{2}}x)\\\Leftrightarrow (1-m){{\tan }^{2}}x-2(m-1)\tan x-(2m-1)=0\,\,\,\,\,\,\,(*)\end{array}$

Nếu $m-1=0\Leftrightarrow m=1$ ta có: $-1=0$ (vô lí).
Nếu $m\ne 1$ , phương trình (*) có nghiệm $\Leftrightarrow \Delta '\ge 0\Leftrightarrow -{{m}^{2}}+m\ge 0\Leftrightarrow 0\le m<1$ .

Vậy $0\le m\le 1$ thì phương trình đã cho có nghiệm. Do đó có 2 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài.

Cách 2:

Phương trình $(1-m).\frac{1-\cos 2x}{2}-(m-1)\sin 2x-(2m-1).\frac{1+\cos 2x}{2}=0$

$\Leftrightarrow 2(m-1)\sin 2x+m\cos 2x=2-3m$

Phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow 4{{(m-1)}^{2}}+{{m}^{2}}\ge {{(2-3m)}^{2}}$

$\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-4m\le 0\Leftrightarrow 0\le m\le 1$

Chọn A.

V. Phương trình chứa $\sin x\pm \cos x$ và $\sin x\cos x$

A. Phương pháp

Định nghĩa: Là phương trình có dạng: $a(\sin x\pm \cos x)+b\sin x\cos x+c=0$
Cách giải: Đặt $t=\sin x\pm \cos x$ (điều kiện $-\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2}$ ). Biểu diễn $\sin x\cos x$ theo $t$ ta được phương trình cơ bản.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1: Cho $x$ thỏa mãn phương trình $\sin 2x+\sin x-\cos x=1$ . Tính $\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right)$ .

A. $\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=0$ hoặc $\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=1$ .

B. $\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=0$ hoặc $\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

C. $\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=0$ hoặc $\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

D. $\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Lời giải:

Đặt $\displaystyle t=\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right),\,-\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2}$ .

Ta có ${{t}^{2}}={{(\sin x-\cos x)}^{2}}=1-2\sin x\cos x$ $\Rightarrow \sin x\cos x=1-{{t}^{2}}$

Phương trình trở thành: $1-{{t}^{2}}+t=1\Leftrightarrow {{t}^{2}}-t=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t=0\\t=1\end{array} \right.$ .

Với $t=1$ , ta được $\sqrt{2}\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=1\Leftrightarrow \sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Với $t=0$ , ta được $\sqrt{2}\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=0\Leftrightarrow \sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=0$ .

Chọn B.

Ví dụ 2: Phương trình $(1+\sin x)(1+\cos x)=2$ có nghiệm là

A. $\left[ \begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \\x=k\pi \end{array} \right.(k\in \mathbb{Z})$ . B. $\left[ \begin{array}{l}x=\frac{\pi }{4}+k\pi \\x=k\pi \end{array} \right.(k\in \mathbb{Z})$ .

C. $\left[ \begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \\x=k2\pi \end{array} \right.(k\in \mathbb{Z})$ . D. $\left[ \begin{array}{l}x=\frac{\pi }{3}+k2\pi \\x=k2\pi \end{array} \right.(k\in \mathbb{Z})$ .

Lời giải:

Phương trình $\Leftrightarrow \sin x+\cos x+\sin x\cos x-1=0$ .

Đặt $t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\cos \left( x-\frac{\pi }{4} \right),\,t\in \left[ -\sqrt{2};\sqrt{2} \right]$ .

$\Rightarrow {{t}^{2}}=1+2\sin x\cos x\Rightarrow \sin x\cos x=\frac{{{t}^{2}}-1}{2}$ .

Phương trình trở thành: $t+\frac{{{t}^{2}}-1}{2}-1=0$

$\Leftrightarrow {{t}^{2}}+2t-3=0\Leftrightarrow t=1$

Với $t=1$ ta có:

$\sqrt{2}\cos \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=1\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\x-\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{4}+k2\pi \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \\x=k2\pi \end{array} \right.(k\in \mathbb{Z})$