Nhị thức Newton

NHỊ THỨC NEWTON

A. Lí thuyết cơ bản

1. Công thức Nhị thức Newton

$\displaystyle {{(a+b)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{a}^{n-k}}.{{b}^{k}}=C_{n}^{0}}{{a}^{n}}+C_{n}^{1}{{a}^{n-1}}b+...+C_{n}^{n-1}a{{b}^{n-1}}+C_{n}^{n}{{b}^{n}}$

2. Nhận xét

- Trong khai triển $\displaystyle {{(a\pm b)}^{n}}$ có $\displaystyle n+1$ số hạng và các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối thì bằng nhau : $\displaystyle C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k}$
- Số hạng tổng quát dạng : $\displaystyle {{T}_{n+1}}=C_{n}^{k}{{a}^{n-k}}{{b}^{k}}$ và số hạng thứ $\displaystyle N$ thì $\displaystyle k=N-1$ .
- Trong khai triển $\displaystyle {{(a-b)}^{n}}$ thì dấu đan nhau nghĩa là $\displaystyle +$ , rồi $\displaystyle -$ , rồi $\displaystyle +$ ,…..
- Số mũ của a giảm dần, số mũ của b tăng dần nhưng tổng số mũ của a và b bằng n.
- Nếu trong khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a và b những giá trị đặc biệt thì sẽ thu được những công thức đặc biệt. Chẳng hạn như :
$\displaystyle {{(1+x)}^{n}}=C_{n}^{0}{{x}^{n}}+C_{n}^{1}{{x}^{n-1}}+....+C_{n}^{n}\xrightarrow{x=1}C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+....+C_{n}^{n}={{2}^{n}}$ .
- $\displaystyle {{(1-x)}^{n}}=C_{n}^{0}{{x}^{n}}-C_{n}^{1}{{x}^{n-1}}+....+{{(-1)}^{n}}C_{n}^{n}\xrightarrow{x=1}C_{n}^{0}-C_{n}^{1}+....+{{(-1)}^{n}}C_{n}^{n}=0$

Từ khai triển này ta có các kết quả sau

* $C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+...+C_{n}^{n}={{2}^{n}}$

* $C_{n}^{0}-C_{n}^{1}+C_{n}^{2}-...+{{(-1)}^{n}}C_{n}^{n}=0$

3. Tam giác Pascal

Các hệ số của khai triển: $\displaystyle {{(a+b)}^{0}},{{(a+b)}^{1}},{{(a+b)}^{2}},....,{{(a+b)}^{n}}$ có thể xếp thành một tam giác gọi

là tam giác PASCAL.

n = 0 : 1

n = 1 : 1 1

n = 2 : 1 2 1

n = 3 : 1 3 3 1

n = 4 : 1 4 6 4 1

n = 5 : 1 5 10 10 5 1

n = 6 : 1 6 15 20 15 6 1

n = 7 : 1 7 21 35 35 21 7 1

Hằng đẳng thức PASCAL

B. Bài tập

Dạng 1. Xác định các hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức Newton

A. Phương pháp

Bước 1: Khai triển nhị thức Newton để tìm số hạng tổng quát:

${{\left( a{{x}^{p}}+b{{x}^{q}} \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{\left( a{{x}^{p}} \right)}^{n-k}}{{\left( b{{x}^{q}} \right)}^{k}}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{a}^{n-k}}{{b}^{k}}{{x}^{np-pk+qk}}}$

Bước 2: Dựa vào đề bài, giải phương trình hai số mũ bằng nhau:

Số hạng chứa ${{x}^{m}}$ ứng với giá trị $k$ thỏa: $np-pk+qk=m$ .

Từ đó tìm $k=\frac{m-np}{p-q}$

Vậy hệ số của số hạng chứa ${{x}^{m}}$ là: $C_{n}^{k}{{a}^{n-k}}.{{b}^{k}}$ với giá trị $k$ đã tìm được ở trên.

Nếu $k$ không nguyên hoặc $k>n$ thì trong khai triển không chứa ${{x}^{m}}$ , hệ số phải tìm bằng 0.

Chú ý: Xác định hệ số của số hạng chứa ${{x}^{m}}$ trong khai triển

$P\left( x \right)={{\left( a+b{{x}^{p}}+c{{x}^{q}} \right)}^{n}}$ được viết dưới dạng ${{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+...+{{a}_{2n}}{{x}^{2n}}$ .

Ta làm như sau:

* Viết $P\left( x \right)={{\left( a+b{{x}^{p}}+c{{x}^{q}} \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{a}^{n-k}}{{\left( b{{x}^{p}}+c{{x}^{q}} \right)}^{k}}}$ ;

* Viết số hạng tổng quát khi khai triển các số hạng dạng ${{\left( b{{x}^{p}}+c{{x}^{q}} \right)}^{k}}$ thành một đa thức theo luỹ thừa của x.

* Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của ${{x}^{m}}$ .

Chú ý: Để xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn

Ta làm như sau:

* Tính hệ số ${{a}_{k}}$ theo $k$ và $n$ ;

* Giải bất phương trình ${{a}_{k-1}}\le {{a}_{k}}$ với ẩn số $k$ ;

* Hệ số lớn nhất phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn nhất thoả mãn bất phương trình trên.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1: Trong khai triển ${{\left( 2a-b \right)}^{5}}$ , hệ số của số hạng thứ $3$ bằng:

A. $-80$ . B. $80$ . C. $-10$ . D. $10$ .

Lời giải:

Chọn B.

Ta có: ${{\left( 2a-b \right)}^{5}}=C_{5}^{0}{{\left( 2a \right)}^{5}}-C_{5}^{1}{{\left( 2a \right)}^{4}}b+C_{5}^{2}{{\left( 2a \right)}^{3}}{{b}^{2}}+...$

Do đó hệ số của số hạng thứ $3$ bằng $C_{5}^{2}.8=80$ .

Ví dụ 2: Trong khai triển ${{\left( 3{{x}^{2}}-y \right)}^{10}}$ , hệ số của số hạng chính giữa là:

A. ${{3}^{4}}.C_{10}^{4}$ . B. $-{{3}^{4}}.C_{10}^{4}$ . C. ${{3}^{5}}.C_{10}^{5}$ . D. $-{{3}^{5}}.C_{10}^{5}$ .

Lời giải:

Chọn D.

Trong khai triển ${{\left( 3{{x}^{2}}-y \right)}^{10}}$ có tất cả $11$ số hạng nên số hạng chính giữa là số hạng thứ $6$ .

Vậy hệ số của số hạng chính giữa là $-{{3}^{5}}.C_{10}^{5}$ .

Ví dụ 3: Trong khai triển ${{\left( x+\frac{2}{\sqrt[{}]{x}} \right)}^{6}}$ , hệ số của ${{x}^{3}},\left( x>0 \right)$ là:

A. $60$ . B. $80$ . C. $160$ . D. $240$ .

Lời giải:

Chọn C.

Số hạng tổng quát trong khai triển trên là ${{T}_{k+1}}=C_{6}^{k}.{{x}^{6-k}}{{2}^{k}}.{{x}^{-\frac{1}{2}k}}$

Yêu cầu bài toán xảy ra khi $6-k-\frac{1}{2}k=3\Leftrightarrow k=3$ .

Khi đó hệ số của ${{x}^{3}}$ là: $C_{6}^{3}{{.2}^{3}}=160$ .

Ví dụ 4: Tìm hệ số của ${{x}^{7}}$ trong khai triển biểu thức sau:
$g(x)={{(1+x)}^{7}}+{{(1-x)}^{8}}+{{(2+x)}^{9}}$

A. 29 B. 30 C. 31 D. 32

Lời giải:

Chọn A.

Hệ số của ${{x}^{7}}$ trong khai triển ${{(1+x)}^{7}}=\sum\limits_{k=0}^{7}{C_{7}^{k}{{x}^{k}}}$ là : $C_{7}^{7}=1$

Hệ số của ${{x}^{7}}$ trong khai triển ${{(1-x)}^{8}}=\sum\limits_{k=0}^{8}{C_{8}^{k}{{(-1)}^{k}}{{x}^{k}}}$ là : $C_{8}^{7}{{(-1)}^{7}}=-8$

Hệ số của ${{x}^{7}}$ trong khai triển ${{(1+x)}^{9}}=\sum\limits_{k=0}^{9}{C_{9}^{k}{{x}^{k}}}$ là : $C_{7}^{9}=36$ .

Vậy hệ số chứa ${{x}^{7}}$ trong khai triển $g(x)$ thành đa thức là: $29$ .

Chú ý:

* Với $a\ne 0$ ta có: ${{a}^{-n}}=\frac{1}{{{a}^{n}}}$ với $n\in \mathbb{N}$ .

* Với $a\ge 0$ ta có: $\sqrt[n]{{{a}^{m}}}={{a}^{\frac{m}{n}}}$ với $m,n\in \mathbb{N};n\ge 1$ .

Ví dụ 5: Tìm hệ số của số hạng chứa ${{x}^{8}}$ trong khai triển nhị thức Niutơn của ${{\left( \frac{1}{{{x}^{3}}}+\sqrt{{{x}^{5}}} \right)}^{n}}$ biết $C_{n+4}^{n+1}-C_{n+3}^{n}=7\left( n+3 \right)$ .

A. 495 B. 313 C. 1303 D. 13129

Lời giải:

Chọn A.

Ta có: $C_{n+4}^{n+1}-C_{n+3}^{n}=7\left( n+3 \right)\Leftrightarrow \left( C_{n+3}^{n}+C_{n+3}^{n+1} \right)-C_{n+3}^{n}=7\left( n+3 \right)$

$\Leftrightarrow C_{n+3}^{n+1}=7\left( n+3 \right)\Leftrightarrow \frac{\left( n+2 \right)\left( n+3 \right)}{2!}=7\left( n+3 \right)$

$\Leftrightarrow n+2=7.2!=14\Leftrightarrow n=12$ .

Khi đó: ${{\left( \frac{1}{{{x}^{3}}}+\sqrt{{{x}^{5}}} \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{12}{C_{12}^{k}{{\left( {{x}^{-3}} \right)}^{k}}.{{\left( {{x}^{\frac{5}{2}}} \right)}^{12-k}}}=\sum\limits_{k=0}^{12}{C_{12}^{k}{{x}^{\frac{60-11k}{2}}}}$ .

Số hạng chứa ${{x}^{8}}$ ứng với $k$ thỏa: $\frac{60-11k}{2}=8\Leftrightarrow k=4$ .

Do đó hệ số của số hạng chứa ${{x}^{8}}$ là: $C_{12}^{4}=\frac{12!}{4!\left( 12-4 \right)!}=495$ .

Ví dụ 6: Xác định hệ số của ${{x}^{8}}$ trong các khai triển sau: $f(x)={{(1+x+2{{x}^{2}})}^{10}}$

A. 37845 B. 14131 C. 324234 D. 131239

Lời giải:

Chọn A.

Ta có: $f(x)=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}{{(2{{x}^{2}})}^{10-k}}{{(1+x)}^{k}}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{\sum\limits_{j=0}^{k}{C_{10}^{k}C_{k}^{j}{{.2}^{10-k}}{{x}^{20-2k+j}}}}$

Số hạng chứa ${{x}^{8}}$ ứng với cặp $(k,j)$ thỏa: $\left\{ \begin{array}{l}0\le j\le k\le 10\\j=2k-12\end{array} \right.$

Nên hệ số của ${{x}^{8}}$ là:

$C_{10}^{6}C_{6}^{0}{{.2}^{4}}+C_{10}^{7}C_{7}^{2}{{2}^{3}}+C_{10}^{8}C_{8}^{4}{{2}^{2}}+C_{10}^{9}C_{9}^{6}2+C_{10}^{10}C_{10}^{8}=37845$

Dạng 2. Tính tổng $\sum\limits_{k=0}^{n}{{{a}_{k}}C_{n}^{k}}{{b}^{k}}$

A. Phương pháp

Phương pháp 1: Dựa vào khai triển nhị thức Newton

${{(a+b)}^{n}}=C_{n}^{0}{{a}^{n}}+{{a}^{n-1}}bC_{n}^{1}+{{a}^{n-2}}{{b}^{2}}C_{n}^{2}+...+{{b}^{n}}C_{n}^{n}$ .

Ta chọn những giá trị $a,b$ thích hợp thay vào đẳng thức trên.

Một số kết quả ta thường hay sử dụng:

* $C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k}$

* $C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+...+C_{n}^{n}={{2}^{n}}$

* $\sum\limits_{k=0}^{n}{{{(-1)}^{k}}C_{n}^{k}}=0$

* $\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{2n}^{2k}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{2n}^{2k-1}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{k=0}^{2n}{C_{2n}^{k}}$

* $\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{a}^{k}}}={{(1+a)}^{n}}$ .

Phương pháp 2: Dựa vào đẳng thức đặc trưng

Mẫu chốt của cách giải trên là ta tìm ra được đẳng thức (*) và ta thường gọi (*) là đẳng thức đặc trưng.

Cách giải ở trên được trình bày theo cách xét số hạng tổng quát ở vế trái (thường có hệ số chứa $k$ ) và biến đổi số hạng đó có hệ số không chứa k hoặc chứa k nhưng tổng mới dễ tính hơn hoặc đã có sẵn.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1: Tính các tổng sau:

a) ${{S}_{1}}=C_{7}^{0}+2C_{7}^{1}+4C_{7}^{2}+8C_{7}^{3}+16C_{7}^{4}+32C_{7}^{5}+64C_{7}^{6}+128C_{7}^{7}$ .

b) ${{S}_{2}}={{3}^{10}}C_{10}^{0}-{{3}^{9}}C_{10}^{1}+...-{{3.2}^{9}}C_{10}^{9}+{{2}^{10}}C_{10}^{10}$ .

c) ${{S}_{3}}=C_{15}^{0}{{2}^{16}}+C_{15}^{2}{{2}^{14}}+C_{15}^{4}{{2}^{12}}+C_{15}^{6}{{2}^{10}}+C_{15}^{8}{{2}^{8}}+C_{15}^{10}{{2}^{6}}+C_{15}^{12}{{2}^{4}}+C_{15}^{14}{{2}^{2}}$ .

Lời giải:

a) Ta có: ${{\left( a+b \right)}^{7}}=C_{7}^{0}{{a}^{7}}+C_{7}^{1}{{a}^{6}}b+C_{7}^{2}{{a}^{5}}{{b}^{2}}+C_{7}^{3}{{a}^{4}}{{b}^{3}}+C_{7}^{4}{{a}^{3}}{{b}^{4}}+C_{7}^{5}{{a}^{2}}{{b}^{5}}+C_{7}^{6}a{{b}^{6}}+C_{7}^{7}{{b}^{7}}$

Chọn $a=1,\,b=2$ ta được ${{\left( 1+2 \right)}^{7}}=C_{7}^{0}+2C_{7}^{1}+4C_{7}^{2}+8C_{7}^{3}+16C_{7}^{4}+32C_{7}^{5}+64C_{7}^{6}+128C_{7}^{7}$ .

Vậy ${{S}_{1}}={{3}^{7}}$ .

b) Ta có: ${{\left( a-b \right)}^{10}}=C_{10}^{0}{{a}^{10}}-C_{10}^{1}{{a}^{9}}b+C_{10}^{2}{{a}^{8}}{{b}^{2}}-...-C_{10}^{9}a{{b}^{9}}+C_{10}^{10}{{b}^{10}}$ .

Chọn $a=3,\,b=2$ ta được: ${{S}_{2}}=1$ .

c) Ta có:

${{\left( x+1 \right)}^{15}}=C_{15}^{0}{{x}^{15}}+C_{15}^{1}{{x}^{14}}+C_{15}^{2}{{x}^{13}}+...+C_{15}^{14}x+C_{15}^{15}$

Cho $x=1$ ta được: $\displaystyle {{2}^{15}}=C_{15}^{0}+C_{15}^{1}+C_{15}^{2}+...+C_{15}^{14}+C_{15}^{15}$ (1)

${{\left( x-1 \right)}^{15}}=C_{15}^{0}{{x}^{15}}-C_{15}^{1}{{x}^{14}}+C_{15}^{2}{{x}^{13}}-...+C_{15}^{14}x-C_{15}^{15}$

Cho $x=1$ ta được: $\displaystyle 0=C_{15}^{0}-C_{15}^{1}+C_{15}^{2}-...+C_{15}^{14}-C_{15}^{15}$ (2)

Cộng theo vế của (1) và (2) ta được:

${{2}^{15}}=C_{15}^{0}{{2}^{16}}+C_{15}^{2}{{2}^{14}}+C_{15}^{4}{{2}^{12}}+C_{15}^{6}{{2}^{10}}+C_{15}^{8}{{2}^{8}}+C_{15}^{10}{{2}^{6}}+C_{15}^{12}{{2}^{4}}+C_{15}^{14}{{2}^{2}}$ .

Ví dụ 2: Tìm số nguyên dương n sao cho: $C_{n}^{0}+2C_{n}^{1}+4C_{n}^{2}+...+{{2}^{n}}C_{n}^{n}=243$

A. 4 B. 11 C. 12 D. 5

Lời giải:

Chọn D.

Xét khai triển: ${{(1+x)}^{n}}=C_{n}^{0}+xC_{n}^{1}+{{x}^{2}}C_{n}^{2}+...+{{x}^{n}}C_{n}^{n}$

Cho $x=2$ ta có: $C_{n}^{0}+2C_{n}^{1}+4C_{n}^{2}+...+{{2}^{n}}C_{n}^{n}={{3}^{n}}$

Do vậy ta suy ra ${{3}^{n}}=243={{3}^{5}}\Rightarrow n=5$ .

Ví dụ 3: Tính tổng ${{\left( C_{n}^{0} \right)}^{2}}+{{\left( C_{n}^{1} \right)}^{2}}+{{\left( C_{n}^{2} \right)}^{2}}+...+{{\left( C_{n}^{n} \right)}^{2}}$

A. $C_{2n}^{n}$ B. $C_{2n}^{n-1}$ C. $2C_{2n}^{n}$ D. $C_{2n-1}^{n-1}$

Lời giải:

Chọn A.

Ta có: ${{\left( x+1 \right)}^{n}}{{\left( 1+x \right)}^{n}}={{\left( x+1 \right)}^{2n}}$ .

Vế trái của hệ thức trên chính là:

$\left( C_{n}^{0}{{x}^{n}}+C_{n}^{1}{{x}^{n-1}}+...+C_{n}^{n} \right)\left( C_{n}^{0}+C_{n}^{1}x+...+C_{n}^{n}{{x}^{n}} \right)$

Và ta thấy hệ số của ${{x}^{n}}$ trong vế trái là

${{\left( C_{n}^{0} \right)}^{2}}+{{\left( C_{n}^{1} \right)}^{2}}+{{\left( C_{n}^{2} \right)}^{2}}+...+{{\left( C_{n}^{n} \right)}^{2}}$

Còn hệ số của ${{x}^{n}}$ trong vế phải ${{\left( x+1 \right)}^{2n}}$ là $C_{2n}^{n}$

Do đó ${{\left( C_{n}^{0} \right)}^{2}}+{{\left( C_{n}^{1} \right)}^{2}}+{{\left( C_{n}^{2} \right)}^{2}}+...+{{\left( C_{n}^{n} \right)}^{2}}=C_{2n}^{n}$