Giới hạn của hàm số

GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

A. Lí thuyết cơ bản

1. Giới hạn hữu hạn

Giới hạn tại một điểm: Cho khoảng $\displaystyle K$ chứa điểm $\displaystyle {{x}_{0}}$ và hsố $\displaystyle y=f\left( x \right)$ xác định trên $\displaystyle K$ hoặc trên $\displaystyle K\backslash \left\{ {{x}_{0}} \right\}$ . Dãy $\displaystyle \left( {{x}_{n}} \right)$ bất kì, $\displaystyle {{x}_{n}}\in K\backslash \left\{ {{x}_{0}} \right\}$ và $\displaystyle {{x}_{n}}\to {{x}_{0}}$ , thì $\displaystyle \lim f\left( {{x}_{n}} \right)=L$
Giới hạn bên phải: Cho hàm số $\displaystyle y=f\left( x \right)$ xác định trên khoảng $\displaystyle \left( {{x}_{0}};\text{ }b \right)$ :

$\displaystyle \underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=L\Leftrightarrow$ dãy $\displaystyle \left( {{x}_{n}} \right)$ bất kì, $\displaystyle {{x}_{0}}<\underset{x\to x_{0}^{{}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=L<{{x}_{n}}<b$ và $\displaystyle {{x}_{n}}\to {{x}_{0}}$ thì $\displaystyle \lim f\left( {{x}_{n}} \right)=L$

Giới hạn bên trái: Cho hàm số $\displaystyle y=f\left( x \right)$ xác định trên khoảng $\displaystyle \left( a;\,\,{{x}_{0}} \right)$ :

$\displaystyle \underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=L\Leftrightarrow$ dãy $\displaystyle \left( {{x}_{n}} \right)$ bất kì, $\displaystyle a<{{x}_{n}}<\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=-\infty <{{x}_{0}}$ và $\displaystyle {{x}_{n}}\to {{x}_{0}}$ thì $\displaystyle \lim f\left( {{x}_{n}} \right)=L$

Cho hàm số $\displaystyle y=f\left( x \right)$ xác định trên khoảng $\displaystyle (a;\text{ }+\infty )$ :

$\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=L\Leftrightarrow$ dãy $\displaystyle \left( {{x}_{n}} \right)$ bất kì, $\displaystyle {{x}_{n}}>a$ và $\displaystyle {{x}_{n}}\to +\infty$ thì $\displaystyle \lim f\left( {{x}_{n}} \right)=L$

Cho hàm số $\displaystyle y=f\left( x \right)$ xác định trên khoảng $\displaystyle (-\infty ;\text{ }a)$ :

$\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=L\Leftrightarrow$ dãy $\displaystyle \left( {{x}_{n}} \right)$ bất kì, $\displaystyle {{x}_{n}}<a$ và $\displaystyle {{x}_{n}}\to -\infty$ thì $\displaystyle \lim f\left( {{x}_{n}} \right)=L$

2. Giới hạn vô cực

Cho hàm số $\displaystyle y=f\left( x \right)$ xác định trên khoảng $\displaystyle (a;\text{ }+\infty )$

dãy $\displaystyle \left( {{x}_{n}} \right)$ bất kì, $\displaystyle {{x}_{n}}>a$ và $\displaystyle {{x}_{n}}\to +\infty$ thì $\displaystyle \lim f\left( {{x}_{n}} \right)=-\infty$

Cho khoảng $\displaystyle K$ chứa điểm $\displaystyle {{x}_{0}}$ và hàm số $\displaystyle y=f\left( x \right)$ xác định trên $\displaystyle K$ hoặc trên $\displaystyle K\backslash \left\{ {{x}_{0}} \right\}$ .

$\displaystyle \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty \Leftrightarrow$ dãy $\displaystyle \left( {{x}_{n}} \right)$ bất kì, $\displaystyle {{x}_{n}}>a$ , $\displaystyle {{x}_{n}}\in K\backslash \left\{ {{x}_{0}} \right\}$ và $\displaystyle {{x}_{n}}\to {{x}_{0}}$ thì $\displaystyle \lim f\left( {{x}_{n}} \right)=+\infty$

Các giới hạn: $\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty$ , $\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty$ , $\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\mathop{lim}}\,f(x)=-\infty$ được định nghĩa tương tự.

Nhận xét: $\displaystyle f\left( x \right)$ có giới hạn $+\infty$ $\Leftrightarrow -f\left( x \right)$ có giới hạn $-\infty$ .

3. Các giới hạn đặc biệt

1) $\displaystyle \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim \,x}}\,={{x}_{0}}$ 2) $\displaystyle \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim \,x}}\,={{x}_{0}}$ (c: hằng số)

3) $\displaystyle \underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{c}{x}=0$ (c: hằng số) 4) $\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{{{x}^{k}}}=0$

5) $\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{k}}=+\infty$ ( $\displaystyle k\in \mathbb{N}*$ ) 6) $\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{k}}=\left\{ \begin{array}{l}+\infty \,\,\,\,\,khi\,\,k\,\,chan\\-\,\infty \,\,\,\,\,khi\,\,k\,\,le\end{array} \right.$

4. Định lí về giới hạn ở hữu hạn

Định lí 1.

–    Nếu $\displaystyle \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim \,}}\,f(x)=L$ và $\displaystyle \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim \,}}\,g(x)=M$ , thì:

     $\displaystyle \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim \,}}\,c.f(x)=c.L$ (với C là hằng số)      $\displaystyle \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim \,}}\,[f(x)+g(x)]=L + M$

     $\displaystyle \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim \,}}\,[f(x)-g(x)]=L - M$      $\displaystyle \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim \,}}\,[f(x).g(x)]=L . M$

     $\displaystyle \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim \,}}\,\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}$ (M ¹ 0)      $\displaystyle \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim \,}}\,\left| f(x) \right|=\left| L \right|$

     $\displaystyle \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim \,}}\,\sqrt[3]{f(x)}=\sqrt[3]{L}$     Nếu $\displaystyle \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim \,}}\,\left| f(x) \right|=+\,\infty$ thì $\displaystyle \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim \,}}\,\frac{1}{f(x)}=0$

–    Nếu $\displaystyle f\left( x \right)\ge 0$ và $\displaystyle \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim \,}}\,f(x)=L$ thì $\displaystyle L\ge 0$ và $\displaystyle \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim \,}}\,\sqrt{f(x)}=\sqrt{L}$

Chú ý: Định lí 1 vẫn đúng khi $\displaystyle x\to \pm \infty$
- Định lí 2. $\displaystyle \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim \,}}\,f(x)=L\Leftrightarrow \underset{x\to x_{_{0}}^{+}}{\mathop{\lim \,}}\,f(x)=\underset{x\to x_{_{0}}^{-}}{\mathop{\lim \,}}\,f(x)=L$
- Định lí 3. Định lí kẹp: Giả sử J là một khoảng chứa x₀ và f, g, h là ba hàm số xác định trên tập hợp $\displaystyle J\backslash \left\{ {{x}_{0}} \right\}$ . Nếu $\displaystyle f\left( x \right)\le g\left( x \right)\le h\left( x \right)$ , $\displaystyle \forall x\in J\backslash \left\{ {{x}_{0}} \right\}$ và $\displaystyle \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim \,}}\,f(x)=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim \,}}\,h(x)=L$ thì $\displaystyle \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{lim\,}}\,g(x)=L$ .

5. Quy tắc về giới hạn vô cực

B. Bài tập

Dạng 1. Định nghĩa giới hạn

A. Phương pháp

- Định nghĩa và các tính chất (Xem trong phần tóm tắt lí thuyết)
Chú ý:

Theo định nghĩa thì giới hạn hàm số $\displaystyle f\left( x \right)$ trên cơ sở giới hạn các dãy $\displaystyle f\left( {{x}_{n}} \right)$ . Nếu có 2 dãy $\displaystyle {{x}_{n}}$ và $\displaystyle {{{x}'}_{n}}$ cùng tiến đến $\displaystyle {{x}_{0}}$ mà $\displaystyle \lim f({{x}_{n}})\ne \lim f({{{x}'}_{n}})$ thì không tồn tại $\displaystyle \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)$
Với mọi số nguyên dương $\displaystyle k$ , ta có: $\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{k}}=+\infty$ ; $\displaystyle f(x)=\left\{ \begin{array}{l}2x+1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\quad \quad \,\,\,\,\,\,\,\,\,v\hat{o}\grave{u}i\,\,x\le 1\\{{x}^{2}}-3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\quad \quad \,\,\,\,\,\,\,\,\,v\hat{o}\grave{u}i\,\,x>1\end{array} \right.$ , $\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{2k+1}}=-\infty$ , $\displaystyle \underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{{{x}^{k}}}=0$
Xác định dấu $\displaystyle +\infty$ hoặc dựa trên dấu của tích số, thương số, $\displaystyle x\to x_{0}^{+}$ , $\displaystyle x\to x_{0}^{-}$ , $\displaystyle x\to \pm \infty$

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1. Tìm giới hạn các hàm số sau bằng định nghĩa :

1. $A=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,(3{{x}^{2}}+x+1)$ 2. $B=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{3}}-1}{x-1}$

3. $C=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x+2}-2}{x-2}$ 4. $D=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3x+2}{x-1}$

Lời giải.

1. Với mọi dãy $({{x}_{n}})$ mà $\lim {{x}_{n}}=1$ ta có:

$A=\lim \left( 3x_{n}^{2}+{{x}_{n}}+1 \right)=3+1+1=5$

2. Với mọi dãy $({{x}_{n}})$ mà $\lim {{x}_{n}}=1$ và ${{x}_{n}}\ne 1\text{ }\forall n$ ta có:

$B=\lim \frac{({{x}_{n}}-1)(x_{n}^{2}+{{x}_{n}}+1)}{{{x}_{n}}-1}=\lim \left( x_{n}^{2}+{{x}_{n}}+1 \right)=3$ .

3. Với mọi dãy $({{x}_{n}})$ mà $\lim {{x}_{n}}=2$ và ${{x}_{n}}\ne 2\text{ }\forall n$ ta có:

$B=\lim \frac{\sqrt{{{x}_{n}}+2}-2}{{{x}_{n}}-2}=\lim \frac{({{x}_{n}}-2)}{({{x}_{n}}-2)\left( \sqrt{{{x}_{n}}+2}+2 \right)}$ $=\lim \frac{1}{\sqrt{{{x}_{n}}+2}+2}=\frac{1}{4}$

4. Với mọi dãy $({{x}_{n}})$ mà $\lim {{x}_{n}}=+\infty$ ta có:

$D=\lim \frac{3{{x}_{n}}+2}{{{x}_{n}}-1}=\lim \frac{3+\frac{2}{{{x}_{n}}}}{1-\frac{1}{{{x}_{n}}}}=3$ .

Ví dụ 2. Chứng minh rằng hàm số sau không có giới hạn:

1. $f(x)=\sin \frac{1}{\sqrt{x}}$ khi $x\to 0$ 2. $f(x)={{\cos }^{5}}2x$ khi $x\to -\infty$ .

Lời giải.

1. Xét hai dãy $({{x}_{n}}):{{x}_{n}}=\frac{1}{{{\left( \frac{\pi }{2}+n2\pi \right)}^{2}}},({{y}_{n}}):{{y}_{n}}=\frac{1}{{{(n\pi )}^{2}}}$

Ta có: $\lim {{x}_{n}}=\lim {{y}_{n}}=0$ và $\lim f({{x}_{n}})=1;\text{ }\lim f({{y}_{n}})=0$ .

Nên hàm số không có giới hạn khi $x\to 0$ .

2. Tương tự ý 1 xét hai dãy: ${{x}_{n}}=n\pi ;\text{ }{{y}_{n}}=\frac{\pi }{4}+n\pi$

Ví dụ 3. Chứng minh rằng nếu $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\left| f(x) \right|=0$ thì $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=0$ .

Lời giải:

Với mọi dãy $({{x}_{n}}):\lim {{x}_{n}}={{x}_{0}}$ ta có: $\lim \left| f({{x}_{n}}) \right|=0\Rightarrow \lim f({{x}_{n}})=0$

$\Rightarrow \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=0$ .

Dạng 2.Giới hạn một bên

A. Phương pháp

Nếu $\displaystyle \underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f(x)\ne \underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f(x)$ thì không tồn tại $\displaystyle \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)$
Nếu $\displaystyle \underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=L$ thì $\displaystyle \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=L$

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 2.1: Tính các giới hạn sau: $\displaystyle \underset{x\to {{3}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x+1}{x-3}$ ; $\displaystyle \underset{x\to {{3}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x+1}{x-3}$ ; $\displaystyle \underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x+1}{x-3}$

Lời giải:

+ $\displaystyle \underset{x\to {{3}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x+1}{x-3}=+\infty$ (vì $\underset{x\to {{3}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( 2x+1 \right)=7>0,\,\underset{x\to {{3}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( x-3 \right)=0$ và $x-3>0$ ).

+ $\displaystyle \underset{x\to {{3}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x+1}{x-3}=-\infty$ (vì $\underset{x\to {{3}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( 2x+1 \right)=7>0,\,\underset{x\to {{3}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( x-3 \right)=0$ và $x-3<0$ ).

Vì $\displaystyle \underset{x\to {{3}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x+1}{x-3}\ne \underset{x\to {{3}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x+1}{x-3}$ nên không tồn tại $\displaystyle \underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x+1}{x-3}$ .

Ví dụ 2.2: Tính các giới hạn sau: $\displaystyle \underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left| x-2 \right|}{x-2}$ ; $\displaystyle \underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left| x-2 \right|}{x-2}$ ; $\displaystyle \underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left| x-2 \right|}{x-2}$

Lời giải:

+ $\displaystyle \underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left| x-2 \right|}{x-2}=\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-2}{x-2}=\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,1=1$ .

+ $\displaystyle \underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left| x-2 \right|}{x-2}=\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2-x}{x-2}=\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,(-1)=-1$ .

Vì $\displaystyle \underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left| x-2 \right|}{x-2}\ne \underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left| x-2 \right|}{x-2}$ nên không tồn tại $\displaystyle \underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left| x-2 \right|}{x-2}$ .

Ví dụ 2.3: Tính các giới hạn sau: a) $\displaystyle \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+2\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}}$ b) $\displaystyle \underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{4-{{x}^{2}}}{2-x}$

Lời giải:

a) $\displaystyle \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+2\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-1}=-2$ .

b) $\displaystyle \underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{4-{{x}^{2}}}{2-x}=\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( 2-x \right)\left( 2+x \right)}{2-x}=\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( 2+x \right)=4$ .

Dạng 3.Khử dạng vô định $\frac{\infty }{\infty }$

A. Phương pháp

- Trước khi giải bài toán tìm giới hạn là thế thử $\displaystyle x={{x}_{0}}$ hoặc $\displaystyle x\to +\infty$ , theo yêu cầu đề xem xét giới hạn cần tìm có dạng vô định không.

- Nếu kết quả cho giá trị xác định, căn thức xác định, phân thức xác định, … thì dùng định lí về các phép toán tổng, hiệu, thương để giải.
- Nếu mẫu thức tiến đến +¥ hoặc –¥ và tử tiến đến một số khác 0 thì giới hạn cho bằng 0.
- Nếu mẫu thức tiến đến 0 là tử và tử thức tiến đến một số khác 0 thì giới hạn là dạng +¥ hoặc –¥, tùy theo dấu các thừa số, của tử và của mẫu. (Xem bảng Quy tắc tìm giới hạn của thương)
- Nếu có dạng vô định: $\displaystyle \frac{0}{0}$ , $\displaystyle \frac{\infty }{\infty }$ , $\displaystyle 0.\infty$ , $\displaystyle \infty -\infty$ thì chọn phương pháp tương ứng để khử dạng vô định.

Phương pháp khử dạng vô định $\displaystyle \frac{\infty }{\infty }$ khi x → +∞, x → -∞

- Đối với hàm phân thức, ta chia tử thức và mẫu thức cho lũy thừa cao nhất của x, việc này cũng như đặt thừa số chung cho lũy thừa cao nhất đó. (Làm tương tự như giái hạn của dãy số)

Xét hàm số: $\displaystyle f(x)=\frac{{{a}_{0}}{{x}^{m}}+{{a}_{1}}{{x}^{m-1}}+...+{{a}_{m}}}{{{b}_{0}}{{x}^{n}}+{{b}_{1}}{{x}^{n-1}}+...+{{b}_{n}}},\,\,{{a}_{0}}\ne 0,\,\,{{b}_{0}}\ne 0$
- (dấu +¥ hoặc –¥ tùy theo dấu của $\displaystyle \frac{{{a}_{0}}}{{{b}_{0}}}$ )
- Đối với biểu thức chứa căn, ta nhân lượng liên hợp để khử căn thức đưa về dạng phân thức đã nêu.
  - Chú ý: 1) Hướng tìm giới hạn hàm số này tương tự như dãy số
  2) Với các biểu thức hỗn hợp, ta thêm bớt đại lượng đơn giản nhất theo x hoặc hằng số để chia tách thành các phân thức mà các giới hạn mới vẫn giữa nguyên dạng vô định $\displaystyle \frac{\infty }{\infty }$ .
  
  3) Đưa biểu thức ra ngoài dấu căn:
  
  $\displaystyle \sqrt{{{A}^{2}}}=\left| A \right|,\,\,\sqrt[3]{{{B}^{3}}}=B$
  
  Khi $\displaystyle x\to -\infty$ thì $\displaystyle \sqrt{{{x}^{2}}}=-x$ ; Khi $\displaystyle x\to +\infty$ thì $\displaystyle \sqrt{{{x}^{2}}}=x$
4) Một số bài phức tạp có thể đặt ẩn phụ và chuyển quan hệ giới hạn sang ẩn mới.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 3.1: Tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3{{x}^{2}}-x+7}{2{{x}^{3}}-1}$ b) $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( 4{{x}^{2}}+1 \right)\left( 7x-1 \right)}{\left( 2{{x}^{3}}-1 \right)\left( x+3 \right)}$

Lời giải:

a). $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3{{x}^{2}}-x+7}{2{{x}^{3}}-1}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}\left( 3-\frac{1}{x}+\frac{7}{{{x}^{2}}} \right)}{{{x}^{3}}\left( 2-\frac{1}{{{x}^{3}}} \right)}$ $=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3-\frac{1}{x}+\frac{7}{{{x}^{2}}}}{x\left( 2-\frac{1}{{{x}^{3}}} \right)}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3}{2x}=0$

b). $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( 4{{x}^{2}}+1 \right)\left( 7x-1 \right)}{\left( 2{{x}^{3}}-1 \right)\left( x+3 \right)}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}\left( 4+\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)x\left( 7-\frac{1}{x} \right)}{{{x}^{3}}\left( 2-\frac{1}{{{x}^{3}}} \right)x\left( 1+\frac{3}{x} \right)}$ $=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( 4+\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)\left( 7-\frac{1}{x} \right)}{x\left( 2-\frac{1}{{{x}^{3}}} \right)\left( 1+\frac{3}{x} \right)}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{28}{2x}=0$

Ví dụ 3.2: Tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\left( x-1 \right)}^{2}}{{\left( 5x+2 \right)}^{2}}}{{{\left( 3x+1 \right)}^{4}}}$ b) $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2\left| x \right|+3}{\sqrt{{{x}^{2}}+x+5}}$ c) $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2\left| x \right|+3}{\sqrt{{{x}^{2}}+x+5}}$

Lời giải:

a). $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\left( x-1 \right)}^{2}}{{\left( 5x+2 \right)}^{2}}}{{{\left( 3x+1 \right)}^{4}}}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}{{\left( 1-\frac{1}{x} \right)}^{2}}{{x}^{2}}{{\left( 5+\frac{2}{x} \right)}^{2}}}{{{x}^{4}}{{\left( 3+\frac{1}{x} \right)}^{4}}}$ $=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\left( 1-\frac{1}{x} \right)}^{2}}{{\left( 5+\frac{2}{x} \right)}^{2}}}{{{\left( 3+\frac{1}{x} \right)}^{4}}}=\frac{25}{81}$

b). $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{{{x}^{6}}+2}}{3{{x}^{3}}-1}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{{{x}^{6}}\left( 1+\frac{2}{{{x}^{6}}} \right)}}{{{x}^{3}}\left( 3-\frac{1}{{{x}^{3}}} \right)}$ $=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{3}}\sqrt{1+\frac{2}{{{x}^{3}}}}}{{{x}^{3}}\left( 3-\frac{1}{{{x}^{3}}} \right)}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{\left( 1+\frac{2}{{{x}^{3}}} \right)}}{3-\frac{1}{{{x}^{3}}}}=\frac{1}{3}$

c). $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2\left| x \right|+3}{\sqrt{{{x}^{2}}+x+5}}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-2x+3}{\sqrt{{{x}^{2}}\left( 1+\frac{1}{x}+\frac{5}{{{x}^{2}}} \right)}}$ $=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x\left( -2+\frac{3}{x} \right)}{x\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{5}{{{x}^{2}}}}}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-2+\frac{3}{x}}{1+\frac{1}{x}+\frac{5}{{{x}^{2}}}}=-2$

Dạng 4. Khử dạng vô định $\frac{0}{0}$

A. Phương pháp giải
- - Đối với hàm phân thức: $\displaystyle \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{g(x)}$ , ta phân tích $\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{(x-{{x}_{0}}).{{f}_{1}}(x)}{(x-{{x}_{0}}).{{g}_{1}}(x)}$ rồi rút gọn cho $\displaystyle x-{{x}_{0}}$
- - Đối với biểu thức chứa căn thức, ta nhân lượng liên hợp để khử căn thức, tạo ra thừa số $\displaystyle x-{{x}_{0}}$ rồi rút gọn.
  - Chú ý: 1) Sử dụng các hằng đẳng thức, nhóm số hạng, phân tích ra thừa số bậc 2, chia đa thức, sơ đồ Hoócne, …
  2)    Chia tách thành các phân thức bằng cách thêm bớt đại lượng đơn giản nhất theo x hoặc hằng số mà các giới hạn mới vẫn giữ nguyên dạng vô định $\displaystyle \frac{0}{0}$ .
  
  3)    Nếu $\displaystyle \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty ;\,\,\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g(x)=+\infty$ thì $\displaystyle \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\left[ (x)+g(x) \right]=+\infty ;\,\,\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\left[ (x).g(x) \right]=+\infty$
  
  4)    Mở rộng HĐT:
  
  $\displaystyle {{a}^{n}}-{{b}^{n}}=(a-b)({{a}^{n-1}}+{{a}^{n-2}}b+{{a}^{n-3}}{{b}^{2}}+...+{{a}^{2}}{{b}^{n-3}}+a{{b}^{n-2}}+{{b}^{n-1}})$
B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 4.1: Tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to -2}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{3}}+8}{{{x}^{2}}+11x+18}$ b) $L=\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{2{{x}^{3}}-5{{x}^{2}}-2x-3}{4{{x}^{3}}-13{{x}^{2}}+4x-3}$

c) $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{2{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}+4x+1}{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-x-1}$   d) $\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{1}{x-2}-\frac{12}{{{x}^{3}}-8} \right)$

Lời giải:

a). Ta có ${{x}^{3}}+8={{x}^{3}}+{{2}^{3}}=\left( x+2 \right)\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)$ (áp dụng hằng đẳng thức), và ${{x}^{2}}+11x+18=\left( x+2 \right)\left( x+9 \right)$ (với ${{x}_{1}}=-2$ và ${{x}_{2}}=-9$ là hai nghiệm của phương trình ${{x}^{2}}+11x+18=0$ ).

Do đó $\underset{x\to -2}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{3}}+8}{{{x}^{2}}+11x+18}=\underset{x\to -2}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x+2 \right)\left( {{x}^{2}}-2x+4 \right)}{\left( x+2 \right)\left( x+9 \right)}$ $=\underset{x\to -2}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-2x+4}{x+9}=\frac{12}{7}$

b). $L=\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{2{{x}^{3}}-5{{x}^{2}}-2x-3}{4{{x}^{3}}-13{{x}^{2}}+4x-3}$

$L=\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x-3 \right)\left( 2{{x}^{2}}+x+1 \right)}{\left( x-3 \right)\left( 4{{x}^{2}}-x+1 \right)}=\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{2{{x}^{2}}+x+1}{4{{x}^{2}}-x+1}=\frac{11}{17}$

c). $L=\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,\frac{2{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}+4x+1}{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-x-1}$

$L=\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,\frac{2{{x}^{2}}+3x+1}{{{x}^{2}}-1}=\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x+1 \right)\left( 2x+1 \right)}{\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)}$ $=\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x+1}{x-1}=\frac{1}{2}$ .

d). Bước đầu tiên ta phải quy đồng mẫu, sau đó phân tích đa thức của tử thành phân tử và rút gọn hạng tử vô định

$L=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{1}{x-2}-\frac{12}{{{x}^{3}}-8} \right)=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{1}{x-2}-\frac{12}{\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)} \right)$

     $=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}+2x-8}{\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)}$ $=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x-2 \right)\left( x+4 \right)}{\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)}=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+4}{{{x}^{2}}+2x+4}=\frac{1}{2}$ .
Ví dụ 4.2: Tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to 9}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x}-3}{9x-{{x}^{2}}}$ b) $\underset{x\to 6}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}$

Lời giải:

a). $\underset{x\to 9}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x}-3}{9x-{{x}^{2}}}=\underset{x\to 9}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-9}{-x\left( x-9 \right)\left( \sqrt{x}+3 \right)}$ $=\underset{x\to 9}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{-x\left( \sqrt{x}+3 \right)}=-\frac{5}{4}$

b). $\underset{x\to 6}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}=\underset{x\to 6}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x+3-9 \right)}{\left( x-6 \right)\left( \sqrt{x+3}+3 \right)}$ $=\underset{x\to 6}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-6}{\left( x-6 \right)\left( \sqrt{x+3}+3 \right)}=\underset{x\to 6}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\sqrt{x+3}+3}=\frac{1}{6}$

Ví dụ 4.3: Tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{3x+1}-\sqrt{x+3}}{\sqrt{x+8}-3}$ b) $\underset{x\to 9}{\mathop{\lim }}\,\frac{3-\sqrt{x}}{\sqrt{x-5}-2}$

Lời giải:

a). $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{3x+1}-\sqrt{x+3}}{\sqrt{x+8}-3}=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( 3x+1-x-3 \right)\left( \sqrt{x+8}+3 \right)}{\left( x+8-9 \right)\left( \sqrt{3x+1}+\sqrt{x+3} \right)}$

$=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{2\left( x-1 \right)\left( \sqrt{x+8}+3 \right)}{\left( x-1 \right)\left( \sqrt{3x+1}+\sqrt{x+3} \right)}=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{2\left( \sqrt{x+8}+3 \right)}{\sqrt{3x+1}+\sqrt{x+3}}=3$

b). $\underset{x\to 9}{\mathop{\lim }}\,\frac{3-\sqrt{x}}{\sqrt{x-5}-2}=\underset{x\to 9}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( 9-x \right)\left( \sqrt{x-5}+2 \right)}{\left( x-5-4 \right)\left( 3+\sqrt{x} \right)}$ $=\underset{x\to 9}{\mathop{\lim }}\,\frac{-\left( x-9 \right)\left( \sqrt{x-5}+2 \right)}{\left( x-9 \right)\left( 3+\sqrt{x} \right)}=\underset{x\to 9}{\mathop{\lim }}\,\frac{-\left( \sqrt{x-5}+2 \right)}{3+\sqrt{x}}=-\frac{2}{3}$

Ví dụ 4.4: Tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[3]{5x-3}+2}{x+1}$ b) $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\sqrt[3]{1-x}}{x}$

Lời giải:

a). $\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[3]{5x-3}+2}{x+1}$ $=\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,\frac{5x-3+8}{\left( x+1 \right)\left[ {{\left( \sqrt[3]{5x-3} \right)}^{2}}-2\sqrt[3]{5x-3}+4 \right]}$

$=\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,\frac{5\left( x+1 \right)}{\left( x+1 \right)\left[ \left( \sqrt[3]{5x-3}-2.\sqrt[3]{5x-3}+4 \right) \right]}$ $=\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,\frac{5}{\left[ {{\left( \sqrt[3]{5x-3} \right)}^{2}}-2\sqrt[3]{5x-3}+4 \right]}=\frac{5}{12}$

b). $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\sqrt[3]{1-x}}{x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\left( 1-x \right)}{x\left[ 1+\sqrt[3]{1-x}+{{\left( \sqrt[3]{1-x} \right)}^{2}} \right]}$ $=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{1+\sqrt[3]{1-x}+{{\left( \sqrt[3]{1-x} \right)}^{2}}}=\frac{1}{3}$

Ví dụ 4.5: Tìm các giới hạn sau: (THÊM BỚT ĐỂ NHÂN LIÊN HỢP)

a) $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x+9}+\sqrt{x+16}-7}{x}$ b) $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[3]{{{x}^{3}}+7}-\sqrt{{{x}^{2}}+3}}{x-1}$

Lời giải:

a). $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x+9}+\sqrt{x+16}-7}{x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x+9}-3+\sqrt{x+16}-7}{x}$

   $=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x+9}-3}{x}+\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x+16}-4}{x}$ $=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+9-9}{\left( \sqrt{x+9}+3 \right)x}+\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+16-16}{\left( \sqrt{x+16}+4 \right)x}$

$=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{\left( \sqrt{x+9}+3 \right)x}+\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{\left( \sqrt{x+16}+4 \right)x}$ $=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\sqrt{x+9}+3}+\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\sqrt{x+16}+4}=\frac{7}{24}$

b). $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[3]{{{x}^{3}}+7}-\sqrt{{{x}^{2}}+3}}{x-1}=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[3]{{{x}^{3}}+7}-2+2-\sqrt{{{x}^{2}}+3}}{x-1}$

   $=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[3]{{{x}^{3}}+7}}{x-1}+\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{2-\sqrt{{{x}^{2}}+3}}{x-1}$

   $=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{3}}+7-8}{\left[ {{\left( \sqrt[3]{{{x}^{3}}+7} \right)}^{2}}+2\sqrt[3]{{{x}^{3}}+7}+4 \right]\left( x-1 \right)}+\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{2-{{x}^{2}}-3}{\left( 2+\sqrt{{{x}^{2}}+3} \right)\left( x-1 \right)}$

   $=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)}{\left[ {{\left( \sqrt[3]{{{x}^{3}}+7} \right)}^{2}}+2\sqrt[3]{{{x}^{3}}+7}+4 \right]\left( x-1 \right)}+\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{-\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)}{\left( 2+\sqrt{{{x}^{2}}+3} \right)\left( x-1 \right)}$

   $=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}+x+4}{{{\left( \sqrt[3]{{{x}^{3}}+7} \right)}^{2}}+2\sqrt[3]{{{x}^{3}}+7}+4}+\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+1}{2+\sqrt{{{x}^{2}}+3}}=\frac{3}{4}$

Dạng 5. Khử dạng vô định $\infty -\infty ;\,0.\infty$

A. Phương pháp
- - Đặt nhân tử chung là lũy thừa cao nhất của x
- - Quy đồng mẫu phân số
- - Nhân chia lượng liên hợp để khử căn
Chuyển về dạng $\displaystyle \frac{0}{0}$ hoặc $\displaystyle \frac{\infty }{\infty }$ đã biết.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 5.1: Tính các giới hạn sau:

a)     $\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,(3{{x}^{3}}-8{{x}^{2}}+7)$             b)     $\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt{2{{x}^{4}}-3x+12}$

c)     $\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt{{{x}^{2}}+3}-x \right)$             d)     $\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt{{{x}^{2}}+x}-\sqrt{4+{{x}^{2}}} \right)$

Lời giải:

a) $\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,(3{{x}^{3}}-8{{x}^{2}}+7)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{3}}\left( 3-\frac{8}{x}+\frac{7}{{{x}^{3}}} \right)=-\infty$ .

b) $\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt{2{{x}^{4}}-3x+12}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt{{{x}^{4}}\left( 2-\frac{3}{{{x}^{3}}}+\frac{12}{{{x}^{4}}} \right)}=+\infty$ .

c) $\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt{{{x}^{2}}+3}-x \right)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( {{x}^{2}}+3 \right)-{{x}^{2}}}{\sqrt{{{x}^{2}}+3}+x}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3}{\sqrt{{{x}^{2}}+3}+x}=0$ .

d) $\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt{{{x}^{2}}+x}-\sqrt{4+{{x}^{2}}} \right)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( {{x}^{2}}+x \right)-\left( 4+{{x}^{2}} \right)}{\sqrt{{{x}^{2}}+x}+\sqrt{4+{{x}^{2}}}}$

   $\displaystyle =\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x-4}{\sqrt{{{x}^{2}}+x}+\sqrt{4+{{x}^{2}}}}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\frac{4}{x}}{\sqrt{1+\frac{4}{x}}+\sqrt{\frac{4}{{{x}^{2}}}+1}}=\frac{1}{2}$ .