Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

ĐẠO HÀM VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM

A. Lí thuyết cơ bản

1. Định nghĩa đạo hàm

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định trên $\displaystyle \left( a;\text{ }b \right)$ và $\displaystyle {{x}_{0}}\in \left( a;\text{ }b \right)$ .

Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) $\displaystyle \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}$ thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số $y=f\left( x \right)$ tại $\displaystyle {{x}_{0}}$ được kí hiệu là y'(x₀) hoặc f'(x₀), tức là $\displaystyle {f}'({{x}_{0}})=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}$ .

Chú ý:

- Số gia đối số là: $\Delta \,x\,=\,x-{{x}_{o}}$
- Số gia tương ứng của hàm số là: $\Delta \,y\,=\,f\left( x \right)\,-\,f\left( {{x}_{o}} \right)$ , khi đó $\displaystyle {y}'=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}$ .

2. Đạo hàm một bên

Đạo hàm bên trái của hàm số $\displaystyle y=f\left( x \right)$ tại điểm $\displaystyle {{x}_{0}}$ , kí hiệu là $\displaystyle {f}'(x_{0}^{-})$ được định nghĩa là:

$\displaystyle {f}'(x_{0}^{-})=\underset{\Delta x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{x\to {{x}_{0}}^{-}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}$

trong đó $\displaystyle x\to x_{0}^{-}$ được hiểu là $\displaystyle x\to x_{0}^{{}}$ và $\displaystyle x<x_{0}^{{}}$ .

Đạo hàm bên phải của hàm số y = f(x) tại điểm $\displaystyle {{x}_{0}}$ , kí hiệu là được định nghĩa là:

$\displaystyle {f}'(x_{0}^{+})=\underset{\Delta x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{x\to {{x}_{0}}^{+}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}$

trong đó được hiểu là và .

Nhận xét: Hàm $\displaystyle f(x)$ có đạo hàm tại $\displaystyle {{x}_{0}}\Leftrightarrow \exists \text{ }f(x_{0}^{+})$ và $\displaystyle f'(x_{0}^{-})$ đồng thời $\displaystyle f'(x_{0}^{+})=f'(x_{0}^{-})$ .

3. Đạo hàm trên một khoảng

$\bullet$ Hàm số $\displaystyle f(x)$ có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên $\displaystyle (a;b)$ nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc $\displaystyle (a;b)$ .

$\bullet$ Hàm số $\displaystyle f(x)$ có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên $\displaystyle \text{ }\!\![\!\!\text{ }a;b\text{ }\!\!]\!\!\text{ }$ nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc $\displaystyle (a;b)$ đồng thời tồn tại đạo hàm trái $\displaystyle f'({{b}^{-}})$ và đạo hàm phải $\displaystyle f'({{a}^{+}})$ .

4. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số

Định lí: Nếu hàm số $\displaystyle f(x)$ có đạo hàm tại $\displaystyle {{x}_{0}}$ thì $\displaystyle f(x)$ liên tục tại $\displaystyle {{x}_{0}}$ .

Chú ý: Định lí trên chỉ là điều kiện cần, tức là một hàm có thể liên tục tại điểm $\displaystyle {{x}_{0}}$ nhưng hàm đó không có đạo hàm tại $\displaystyle {{x}_{0}}$ .

Chẳng hạn: Xét hàm $\displaystyle f(x)=\left| x \right|$ liên tục tại $\displaystyle x=0$ nhưng không liên tục tại điểm đó.

Vì $\displaystyle \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(0)}{x}=1$ , còn $\displaystyle \underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(0)}{x}=-1$ .

5. Ý nghĩa của đạo hàm

a) Ý nghĩa hình học:
Tiếp tuyến của đường cong phẳng:

Cho đường cong phẳng $\displaystyle \left( C \right)$ và một điểm cố định $\displaystyle {{M}_{0}}$ trên $\displaystyle \left( C \right)$ , M là điểm di động trên $\displaystyle \left( C \right)$ . Khi đó $\displaystyle {{M}_{0}}M$ là một cát tuyến của $\displaystyle \left( C \right)$ .

Định nghĩa:
Nếu cát tuyến $\displaystyle {{M}_{0}}M$ có vị trí giới hạn $\displaystyle {{M}_{0}}T$ khi điểm $\displaystyle M$ di chuyển trên $\displaystyle \left( C \right)$ và dần tới điểm $\displaystyle {{M}_{0}}$ thì đường thẳng $\displaystyle {{M}_{0}}T$ được gọi là tiếp tuyến của đường cong $\displaystyle \left( C \right)$ tại điểm $\displaystyle {{M}_{0}}$ . Điểm $\displaystyle {{M}_{0}}$ được gọi là tiếp điểm.

Ý nghĩa hình học của đạo hàm:

Cho hàm số $\displaystyle y=f\left( x \right)$ xác định trên khoảng $\displaystyle \left( a;\text{ }b \right)$ và có đạo hàm tại $\displaystyle {{x}_{0}}\in \left( a;\text{ }b \right)$ , gọi $\displaystyle \left( C \right)$ là đồ thị hàm số đó.

Định lí 1: Đạo hàm của hàm số $\displaystyle f\left( x \right)$ tại điểm $\displaystyle {{x}_{0}}$ là hệ số góc của tiếp tuyến $\displaystyle {{M}_{0}}T$ của $\displaystyle \left( C \right)$ tại điểm $\displaystyle {{M}_{0}}\left( {{x}_{0}};\text{ }f({{x}_{0}}) \right)$

Phương trình của tiếp tuyến:

Định lí 2: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị $\displaystyle \left( C \right)$ của hàm số $\displaystyle y=f\left( x \right)$ tại điểm $\displaystyle {{M}_{0}}\left( {{x}_{0}};\text{ }f({{x}_{0}}) \right)$ là:

$y-{{y}_{o}}=f'\left( x \right)(x-{{x}_{o}})$

b) Ý nghĩa vật lí:

Vận tốc tức thời: Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: $\displaystyle s=f\left( t \right)$ , với $\displaystyle f\left( t \right)$ là hàm số có đạo hàm. Khi đó, vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm $\displaystyle {{t}_{0}}$ là đạo hàm của hàm số $\displaystyle s=f\left( t \right)$ tại $\displaystyle {{t}_{0}}$ .

$\displaystyle v\left( {{t}_{0}} \right)={s}'\left( {{t}_{0}} \right)={f}'\left( {{t}_{0}} \right)$

Cường độ tức thời: Điện lượng $\displaystyle Q$ truyền trong dây dẫn xác định bởi phương trình: $\displaystyle Q=f\left( t \right)$ , với $\displaystyle f\left( t \right)$ là hàm số có đạo hàm. Khi đó, cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm t₀ là đạo hàm của hàm số $\displaystyle Q=f\left( t \right)$ tại $\displaystyle {{t}_{0}}$ .

$\displaystyle I\left( {{t}_{0}} \right)={Q}'\left( {{t}_{0}} \right)={f}'\left( {{t}_{0}} \right)$

B. Bài tập

Dạng 1. Tính đạo hàm bằng định nghĩa

A. Phương pháp

$\bullet$ $f'({{x}_{0}})=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}$

$\bullet$ $f'(x_{0}^{+})=\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}$

$\bullet$ $f'(x_{0}^{-})=\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}$

$\bullet$ Hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm tại điểm $x={{x}_{0}}\Leftrightarrow f'(x_{0}^{+})=f'(x_{0}^{-})$

$\bullet$ Hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm tại điểm thì trước hết phải liên tục tại điểm đó.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1.1: Tính đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra:

1. $\displaystyle f(x)=2{{x}^{3}}+1$ tại $\displaystyle x=2$ 2. $\displaystyle f(x)=\sqrt{{{x}^{2}}+1}$ tại $\displaystyle x=1$

3. $\displaystyle f(x)=\left\{ \begin{array}{l}\frac{\sqrt{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+1}-1}{x}\text{ khi }x\ne 0\\0\text{ khi }x=0\text{ }\end{array} \right.$ tại $\displaystyle x=0$

Lời giải:

1. Ta có $\displaystyle \underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{2{{x}^{3}}-16}{x-2}=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,2({{x}^{2}}+2x+4)=24$ $\displaystyle \Rightarrow f'(2)=24$ .

2. Ta có : $\displaystyle f'(1)=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{{{x}^{2}}+1}-\sqrt{2}}{x-1}$

$\displaystyle =\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(\sqrt{{{x}^{2}}+1}+\sqrt{2})}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ .

3. Ta có $\displaystyle f(0)=0$ , do đó:

$\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(0)}{x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+1}-1}{{{x}^{2}}}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+1}{\sqrt{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+1}+1}=\frac{1}{2}$

Vậy $\displaystyle f'(0)=\frac{1}{2}$ .

Ví dụ 1.2: Chứng minh rằng hàm số $\displaystyle f(x)=\frac{2{{x}^{2}}+\left| x+1 \right|}{x-1}$ liên tục tại $\displaystyle x=-1$ nhưng không có đạo hàm tại điểm đó.

Lời giải:

Vì hàm $\displaystyle f(x)$ xác định tại $\displaystyle x=-1$ nên nó liên tục tại đó.

Ta có: $\displaystyle f'(-{{1}^{+}})=\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(-1)}{x+1}=\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x}{x-1}=1$

$\displaystyle f'(-{{1}^{-}})=\underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(-1)}{x+1}=\underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,2=2$

$\displaystyle \Rightarrow f'(-{{1}^{+}})\ne f'(-{{1}^{-}})\Rightarrow f(x)$ không có đạo hàm tại $\displaystyle x=-1$ .

Ví dụ 1.3: Tìm $a$ để hàm số $\displaystyle f\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x}^{2}}-1}{x-1}\text{ khi }x\ne 1\\a\text{ khi }x=1\end{array} \right.$ có đạo hàm tại $\displaystyle x=1$

Lời giải:

Để hàm số có đạo hàm tại $\displaystyle x=1$ thì trước hết $\displaystyle f(x)$ phải liên tục tại $\displaystyle x=1$

Hay $\displaystyle \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-1}{x-1}=2=f(1)=a$ .

Khi đó, ta có: $\displaystyle \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{{{x}^{2}}-1}{x-1}-2}{x-1}=1$ .

Vậy $\displaystyle a=2$ là giá trị cần tìm.

Dạng 2.Tiếp tuyến

Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm

A. Phương pháp

Phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): $y=f(x)$ tại tiếp điểm M $\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ có dạng:

Áp dụng trong các trường hợp sau:

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1.1: Cho hàm số $\displaystyle y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+1$ có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) :

1. Tại điểm $\displaystyle \text{M}\left( -\text{1};\text{3} \right)$ ; 2. Tại điểm có hoành độ bằng 2 ;

3. Tại điểm có tung độ bằng 1 ; 4. Tại giao điểm (C) với trục tung ;

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định $\displaystyle D=\mathbb{R}$ .

Ta có: $\displaystyle y'=3{{x}^{2}}+6x$

1. Phương trình tiếp tuyến $\displaystyle \left( t \right)$ tại $\displaystyle \text{M}\left( -\text{1};\text{3} \right)$ có phương trình : $\displaystyle y=y'\left( -1 \right)\left( x+1 \right)+3$

Ta có: $\displaystyle y'\left( -1 \right)=-3$ , khi đó phương trình $\displaystyle \left( t \right)$ là: $\displaystyle y=-3x+6$

2. Thay $\displaystyle x=2$ vào đồ thị của (C) ta được $\displaystyle y=21$ .

Tương tự câu 1, phương trình $\displaystyle \left( t \right)$ là: $\displaystyle y=24x-27$

3. Thay $\displaystyle y=1$ vào đồ thị của (C) ta được $\displaystyle {{x}^{2}}\left( x+3 \right)=0\Leftrightarrow x=0$ hoặc $\displaystyle x=-3$ .

Tương tự câu 1, phương trình $\displaystyle \left( t \right)$ là: $\displaystyle y=1$ , $\displaystyle y=9x+28$

4. Trục tung Oy : $\displaystyle x=0\Rightarrow y=1$ .Tương tự câu 1, phương trình $\displaystyle \left( t \right)$ là: $\displaystyle y=1$

Ví dụ 1.2: Cho hàm số $y={{x}^{3}}+3m{{x}^{2}}+\left( m+1 \right)x+1$ (1), m là tham số thực. Tìm các giá trị của m để tiếp tuyến của đồ thị của hàm số (1) tại điểm có hoành độ $x=-1$ đi qua điểm $A\left( 1;2 \right)$ .

Lời giải:

Tập xác định $D=\mathbb{R}$

$y'=f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+6mx+m+1$

Với ${{x}_{0}}=-1\Rightarrow {{y}_{0}}=2m-1,f'\left( -1 \right)=-5m+4$

Phương trình tiếp tuyến tại điểm $M\left( -1;2m-1 \right):y=\left( -5m+4 \right)\left( x+1 \right)+2m-1\left( d \right)$

Ta có $A\left( 1;2 \right)\in \left( d \right)\Leftrightarrow \left( -5m+4 \right).2+2m-1=2\Leftrightarrow m=\frac{5}{8}$

Ví dụ 1.3: Cho hàm số $y=\frac{3x+1}{x+1}$ (1). Tính diện tích của tam giác tạo bởi các trục tọa độ và tiếp tuyến của đồ thị của hàm số (1) tại điểm $M\left( -2;5 \right)$ .

Lời giải:

Tập xác định $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -1 \right\}$ . Có $y'=\frac{2}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}$ .

Phương trình tiếp tuyến $\left( d \right)$ tại điểm $M\left( -2;5 \right)$ : $y=2\left( x+2 \right)+5\Leftrightarrow y=2x+9$

Gọi A là giao điểm của d và trục hoành $\Rightarrow {{y}_{A}}=0\Rightarrow {{x}_{A}}=-\frac{9}{2}$ , vậy $A\left( -\frac{9}{2};0 \right)$

Gọi B là giao điểm của d và trục tung $\Rightarrow {{x}_{B}}=0\Rightarrow {{y}_{B}}=9$ , vậy $B\left( 0;9 \right)$

Ta có tam giác OAB vuông tại O nên ${{S}_{\Delta OAB}}=\frac{1}{2}OA.OB=\frac{1}{2}\left| -\frac{9}{2} \right|\left| 9 \right|=\frac{81}{4}$ .

Nhận xét:
Viết PTTT Δ của $\left( C \right):y=f\left( x \right)$ , biết Δ cắt hai trục tọa độ tại A và B sao cho tam giác OAB vuông cân hoặc có diện tích S cho trước

+ Gọi $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ là tiếp điểm và tính hệ số góc $k=y'\left( {{x}_{0}} \right)$ theo ${{x}_{0}}$ .
+ $\Delta OAB$ vuông cân $\Leftrightarrow \Delta$ tạo với $\displaystyle Ox$ một góc ${{45}^{0}}$ và $O\notin \Delta$ (i)

${{S}_{\Delta OAB}}=S\Leftrightarrow OA.OB=2S$ (ii)
+ Giải (i) hoặc (ii) $\xrightarrow[{}]{{}}{{x}_{0}}\xrightarrow[{}]{{}}{{y}_{0}};k\xrightarrow[{}]{{}}$ phương trình tiếp tuyến Δ.

Bài toán 2. Viết phương trình tiếp khi biết hệ số góc

A. Phương pháp

Viết PTTT Δ của $\left( C \right):y=f\left( x \right)$ , biết Δ có hệ số góc k cho trước

– Gọi $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ là tiếp điểm. Tính $y'\Rightarrow y'\left( {{x}_{0}} \right)$

– Do phương trình tiếp tuyến Δ có hệ số góc k $\Rightarrow y'\left( {{x}_{0}} \right)=k$ (i)

– Giải (i) tìm được ${{x}_{0}}\xrightarrow[{}]{{}}{{y}_{0}}=f\left( {{x}_{0}} \right)\xrightarrow[{}]{{}}\Delta :y=k\left( x-{{x}_{0}} \right)+{{y}_{0}}$

Lưu ý: Hệ số góc $k=y'\left( {{x}_{0}} \right)$ của tiếp tuyến Δ thường cho gián tiếp như sau:

– Phương trình tiếp tuyến $\Delta //d:y=ax+b\Rightarrow k=a$

– Phương trình tiếp tuyến $\Delta \bot d:y=ax+b\Rightarrow k=-\frac{1}{a}$

– Phương trình tiếp tuyến Δ tạo với trục hoành góc $\alpha \Rightarrow \left| k \right|=\tan \alpha$

– Phương trình tiếp tuyến Δ tạo với $d:y=ax+b$ góc $\alpha \Rightarrow \left| \frac{k-a}{1+k.a} \right|=\tan \alpha$ .

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1: Cho đường cong $\left( C \right):y=\frac{3x+1}{1-x}$ .

a). Viết phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $\left( d \right):x-4y-21=0$

b). Viết phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $\left( \Delta \right):2x+2y-9=0$

c). Viết phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng: $\left( d \right):x-2y+5=0$ một góc 30°.

Lời giải:

Tập xác định $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$ . Ta có: $y'=f'\left( x \right)=\frac{4}{{{\left( 1-x \right)}^{2}}}$

a). Có $\left( d \right):x-4y-21=0\Leftrightarrow y=\frac{1}{4}x-\frac{21}{4}\Rightarrow {{k}_{d}}=\frac{1}{4}$

Vì tiếp tuyến song song với d nên ${{k}_{tt}}={{k}_{d}}=\frac{1}{4}$

Gọi $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến, ta có $f'\left( {{x}_{0}} \right)={{k}_{tt}}\Leftrightarrow \frac{4}{{{\left( 1-{{x}_{0}} \right)}^{2}}}=\frac{1}{4}$

$\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}=16\Leftrightarrow {{x}_{0}}=5\vee {{x}_{0}}=-3$

Với ${{x}_{0}}=5\Rightarrow {{y}_{0}}=-4$ , phương trình tiếp tuyến tại điểm này là: $y=f'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+{{y}_{0}}$

$\Leftrightarrow y=\frac{1}{4}\left( x-5 \right)-4\Leftrightarrow y=\frac{1}{4}x-\frac{21}{4}$ (loại, vì trùng với d)

Với ${{x}_{0}}=-3\Rightarrow {{y}_{0}}=-2$ , phương trình tiếp tuyến tại điểm này là: $y=f'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+{{y}_{0}}$

$\Leftrightarrow y=\frac{1}{4}\left( x+3 \right)-2\Leftrightarrow y=\frac{1}{4}x-\frac{5}{4}$ .

b). $\left( \Delta \right):2x+2y-9=0\Leftrightarrow y=-x+\frac{9}{2}\Rightarrow {{k}_{\Delta }}=-1$

Vì tiếp tuyến vuông góc với Δ nên ${{k}_{tt}}.{{k}_{\Delta }}=-1\Rightarrow {{k}_{tt}}=1$

Gọi $N\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến, ta có $f'\left( {{x}_{0}} \right)={{k}_{tt}}\Leftrightarrow \frac{4}{{{\left( 1-{{x}_{0}} \right)}^{2}}}=1$

$\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}=4\Leftrightarrow {{x}_{0}}=3\vee {{x}_{0}}=-1$ .

Với ${{x}_{0}}=3\Rightarrow {{y}_{0}}=-5$ , phương trình tiếp tuyến tại điểm này là $y=f'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+{{y}_{0}}$

$\Leftrightarrow y=-1\left( x-3 \right)-5\Leftrightarrow y=-x-2$

Với ${{x}_{0}}=-1\Rightarrow {{y}_{0}}=-1$ , phương trình tiếp tuyến tại điểm này là $y=f'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+{{y}_{0}}$

$\Leftrightarrow y=-1\left( x+1 \right)-1\Leftrightarrow y=-x-2$ .

c). $\left( d \right):x-2y+5=0\Leftrightarrow y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}\Rightarrow {{k}_{d}}=\frac{1}{2}$

Ta có tiếp tuyến hợp với d một góc 30°, nên có $\left| \frac{{{k}_{tt}}-{{k}_{d}}}{1+{{k}_{tt}}{{k}_{d}}} \right|=\tan 30{}^\circ$

$\left| \frac{{{k}_{tt}}-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}{{k}_{tt}}} \right|=\frac{1}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow 3{{\left( {{k}_{tt}}-\frac{1}{2} \right)}^{2}}={{\left( 1+\frac{1}{2}{{k}_{tt}} \right)}^{2}}$ $\Leftrightarrow \frac{11}{4}k_{tt}^{2}-4{{k}_{tt}}-\frac{1}{4}=0$

Ví dụ 2: Gọi $\left( {{C}_{m}} \right)$ là đồ thị của hàm số $y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\frac{m}{2}{{x}^{2}}+\frac{1}{3}$ (*) (m là tham số).

Gọi M là điểm thuộc $\left( {{C}_{m}} \right)$ có hoành độ bằng $-1$ . Tìm m để tiếp tuyến của $\left( {{C}_{m}} \right)$ tại điểm Msong song với đường thẳng $5x-y=0$ .

Lời giải:

Tập xác định $D=\mathbb{R}$ . Ta có $y'={{x}^{2}}-mx$

Điểm thuộc $\left( {{C}_{m}} \right)$ có hoành độ $x=-1$ là $M\left( -1;-\frac{m}{2} \right)$

Phương trình tiếp tuyến của $\left( {{C}_{m}} \right)$ tại M là:

$\left( \Delta \right):y=f'\left( 1 \right)\left( x+1 \right)-\frac{m}{2}\Leftrightarrow y=\left( m+1 \right)x+\frac{m+2}{2}$

Để Δ song song với $d:5x-y=0\Leftrightarrow y=5x$ khi và chỉ khi: $\left\{ \begin{array}{l}m+1=5\\m+2\ne 0\end{array} \right.\Leftrightarrow m=4$

Kết luận $m=4$ .

Ví dụ 3: Cho hàm số $y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-9x+5\left( C \right)$ . Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$ , hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.

Lời giải:

Ta có $y'=f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+6x-9$

Gọi ${{x}_{0}}$ là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến, vậy $f'\left( {{x}_{0}} \right)=3x_{0}^{2}+6{{x}_{0}}-9$

Ta có $3x_{0}^{2}+6{{x}_{0}}-9=3\left( x_{0}^{2}+2{{x}_{0}}+1 \right)-12$ $=3{{\left( {{x}_{0}}+1 \right)}^{2}}-12\ge -12,\forall {{x}_{0}}\in \left( C \right)$

Vậy $\min f'\left( {{x}_{0}} \right)=-12$ tại ${{x}_{0}}=-1\Rightarrow {{y}_{0}}=16$

Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm: $y=-12\left( x+1 \right)+16\Leftrightarrow y=-12x+4$

Ví dụ 4: Cho hàm số $y=\frac{x+2}{2x+3}$ (1). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O.

Lời giải:

Tập xác định $D=R\backslash \left\{ -\frac{3}{2} \right\}$ . Ta có $y'=f'\left( x \right)=\frac{-1}{{{\left( 2x+3 \right)}^{2}}}$

Vì tiếp tuyến (d) cắt hai trục Ox, Oy lần lượt tại A, B tạo thành tam giác OAB vuông cân, nên đường thẳng (d) hợp với trục Ox một góc 45°.

Vậy có ${{k}_{tt}}=\pm \tan 45{}^\circ \Leftrightarrow {{k}_{tt}}=\pm 1$

Gọi ${{x}_{0}}$ là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến, ta có $f'\left( {{x}_{0}} \right)=\pm 1$

Với $f'\left( {{x}_{0}} \right)=1\Leftrightarrow \frac{-1}{{{\left( 2{{x}_{0}}+3 \right)}^{2}}}=1$ (phương trình vô nghiệm)

Với $f'\left( {{x}_{0}} \right)=-1\Leftrightarrow \frac{-1}{{{\left( 2{{x}_{0}}+3 \right)}^{2}}}=-1$ $\Leftrightarrow {{\left( 2{{x}_{0}}+3 \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow {{x}_{0}}=-1\vee {{x}_{0}}=-2$

Với ${{x}_{0}}=-1\Rightarrow {{y}_{0}}=1$ , phương trình tiếp tuyến tại điểm này $y=-1\left( x+1 \right)+1\Leftrightarrow y=-x$ . Tiếp tuyến này loại vì đường thẳng này đi qua gốc tọa độ nên không tạo thành được tam giác.

Với ${{x}_{0}}=-2\Rightarrow {{y}_{0}}=0$ , phương trình tiếp tuyến tại điểm này $y=-1\left( x+2 \right)\Leftrightarrow y=-x-2$

Bài toán 3. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm

A. Phương pháp

Viết PTTT Δ của $\left( C \right):y=f\left( x \right)$ , biết Δ đi qua (kẻ từ) điểm $A\left( {{x}_{A}};{{y}_{A}} \right)$

– Gọi $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ là tiếp điểm. Tính ${{y}_{0}}=f\left( {{x}_{0}} \right)$ và $k=y'\left( {{x}_{0}} \right)$ theo ${{x}_{0}}$ .

– Phương trình tiếp tuyến Δ tại $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ là $\Delta :y=k\left( x-{{x}_{0}} \right)+{{y}_{0}}$

– Do $A\left( {{x}_{A}};{{y}_{A}} \right)\in \Delta \Rightarrow {{y}_{A}}=k\left( {{x}_{A}}-{{x}_{0}} \right)+{{y}_{0}}$ (i)

– Giải phương trình (i) $\xrightarrow[{}]{{}}{{x}_{0}}\xrightarrow[{}]{{}}{{y}_{0}}$ và $k\xrightarrow[{}]{{}}$ phương trình Δ.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1: Cho đường cong $\left( C \right):y=f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}$ . Viết phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ biết tiếp tuyến đi qua điểm $A\left( -1;-4 \right)$

Lời giải:

Gọi $\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ là tọa độ tiếp điểm của phương trình tiếp tuyến d đi qua điểm A

Vì điểm $\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\in \left( C \right)\Rightarrow {{y}_{0}}=x_{0}^{3}-3x_{0}^{2}$ , và $f'\left( {{x}_{0}} \right)=3x_{0}^{2}-6{{x}_{0}}$

Phương trình d: $y=f'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+{{y}_{0}}\Leftrightarrow y=\left( 3x_{0}^{2}-6{{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+x_{0}^{3}-3x_{0}^{2}$

Vì $A\left( -1;-4 \right)\in d$ nên $\left( 3x_{0}^{2}-6{{x}_{0}} \right)\left( -1-{{x}_{0}} \right)+x_{0}^{3}-3x_{0}^{2}=-4$

$\Leftrightarrow 2x_{0}^{3}-6{{x}_{0}}-4=0\Leftrightarrow {{x}_{0}}=2\vee {{x}_{0}}=-1$

Với ${{x}_{0}}=2\Rightarrow {{y}_{0}}=-4,f'\left( 2 \right)=0$ , phương trình tiếp tuyến $y=-4$

Với ${{x}_{0}}=-1\Rightarrow {{y}_{0}}=-4,f'\left( -1 \right)=9$ , phương trình tiếp tuyến $y=9\left( x+1 \right)-4\Leftrightarrow y=9x+5$

Ví dụ 2: Cho hàm số $\left( C \right):y=\frac{x+2}{x-2}$ . Viết phương trình tiếp tuyến đi qua $A\left( -6;5 \right)$ của đồ thị $\left( C \right)$ .

Lời giải:

Tập xác định $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}$ . Ta có $y'=\frac{-4}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}$

Gọi $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến $\left( d \right)$ cần tìm với đồ thị hàm số $\left( C \right)$ nên ${{y}_{0}}=\frac{{{x}_{0}}+2}{{{x}_{0}}-2}$ và $f'\left( {{x}_{0}} \right)=\frac{-4}{{{\left( {{x}_{0}}-2 \right)}^{2}}}$ . Phương trình tiếp tuyến $\left( d \right)$ :

$y=f'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+{{y}_{0}}\Leftrightarrow y=\frac{-4}{{{\left( {{x}_{0}}-2 \right)}^{2}}}\left( x-{{x}_{0}} \right)+\frac{{{x}_{0}}+2}{{{x}_{0}}-2}$

Ta có $A\left( -6;5 \right)\in d\Leftrightarrow \frac{-4}{{{\left( {{x}_{0}}-2 \right)}^{2}}}\left( -6-{{x}_{0}} \right)+\frac{{{x}_{0}}+2}{{{x}_{0}}-2}=5$ $\Leftrightarrow 4x_{0}^{2}-24{{x}_{0}}=0\Leftrightarrow {{x}_{0}}=0\vee {{x}_{0}}=6$