Các quy tắc đạo hàm

CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM

A. Lí thuyết cơ bản

1. Quy tắc tính đạo hàm

a) Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của hàm số

$\displaystyle \bullet \text{ }({{u}_{1}}\pm {{u}_{2}}\pm ...\pm {{u}_{n}})'=u_{1}^{'}\pm u_{2}^{'}\pm ...\pm u_{n}^{'}$
$\bullet$ $\displaystyle (k.u(x))'=k.u'(x)$

$\bullet$ $\displaystyle (uvw)'=u'vw+uv'w+uvw'$
$\bullet$ $\displaystyle ({{u}^{n}}(x))'=n{{u}^{n-1}}(x).u'(x)$

$\bullet$ $\displaystyle {{\left( \frac{u(x)}{v(x)} \right)}^{'}}=\frac{u'(x)v(x)-v'(x)u(x)}{{{v}^{2}}(x)}$
$\bullet$ $\displaystyle \left( \frac{c}{u(x)} \right)'=-\frac{c.u'(x)}{{{u}^{2}}(x)}$ .

b) Đạo hàm của hàm số hợp

Cho hàm số $\displaystyle y=f(u(x))=f(u)$ với $\displaystyle u=u(x)$ . Khi đó $\displaystyle y{{'}_{x}}=y{{'}_{u}}.u{{'}_{x}}$ .

2. Bảng công thức đạo hàm các hàm sơ cấp cơ bản

B. Bài tập

Dạng 1. Tìm đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của các hàm số. Đạo hàm của hàm số hợp

A. Phương pháp

Sử dụng các quy tắc, các công thức tính đạo hàm của một số hàm số trong phần tóm tắt lí thuyết để tính.

Chú ý: Rút gọn sau khi tính!

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1.1: Tính đạo hàm các hàm số sau:

a) $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2x+1$ b) $y=-{{x}^{3}}+3x+1$

c) $y=\frac{{{x}^{4}}}{4}-{{x}^{2}}+1$ d) $y=-2{{x}^{4}}+\frac{3}{2}{{x}^{2}}+1$

e) $y=\frac{2x+1}{x-3}$ f) $y=\frac{{{x}^{2}}-2x+2}{x+1}$

Lời giải:

a) Ta có: $y'={{\left( -{{x}^{3}}+3x+1 \right)}^{'}}=3{{x}^{2}}-6x+2$

b) Ta có: $y'={{\left( -{{x}^{3}}+3x+1 \right)}^{'}}=-3{{x}^{2}}+3$

c) Ta có: $y'={{\left( \frac{{{x}^{4}}}{4}-{{x}^{2}}+1 \right)}^{'}}={{x}^{3}}-2x$

d) Ta có: $y'={{\left( -2{{x}^{4}}+\frac{3}{2}{{x}^{2}}+1 \right)}^{'}}=-8{{x}^{3}}+3x$

e) Ta có: $y'=\frac{(2x+1)'(x-3)-(x-3)'(2x+1)}{{{(x-3)}^{2}}}=\frac{-7}{{{(x-3)}^{2}}}$

f) Ta có: $y'=\frac{({{x}^{2}}-2x+2)'(x+1)-({{x}^{2}}-2x+2)(x+1)'}{{{(x+1)}^{2}}}$

$=\frac{(2x-2)(x+1)-({{x}^{2}}-2x+2)}{{{(x+1)}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}+2x-4}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}$ .

Nhận xét: Với hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ ta có: $y'=\frac{ad-bc}{{{(cx+d)}^{2}}}$ .

Ví dụ 1.2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $\displaystyle y={{\left( 2{{x}^{2}}+3\sqrt{x} \right)}^{2016}}$ b) $\displaystyle y=\sqrt{4{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+2}$

c) $\displaystyle y=\frac{5}{{{\left( 2\sqrt{x}+3 \right)}^{4}}}$ d) $\displaystyle y={{\left( 2x+3 \right)}^{21}}{{\left( x-4 \right)}^{23}}$

Lời giải:

a) Ta có $y'={{\left[ {{\left( 2{{x}^{2}}+3\sqrt{x} \right)}^{2016}} \right]}^{'}}=2016.{{\left( 2{{x}^{2}}+3\sqrt{x} \right)}^{'}}.{{\left( 2{{x}^{2}}+3\sqrt{x} \right)}^{2015}}$

$=2016.\left( 2x+\frac{3}{2\sqrt{x}} \right).{{\left( 2{{x}^{2}}+3\sqrt{x} \right)}^{2015}}$

b) Ta có $y'={{\left( \sqrt{4{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+2} \right)}^{'}}=\frac{{{\left( 4{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+2 \right)}^{'}}}{2\sqrt{4{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+2}}$ $=\frac{12{{x}^{2}}+6x+2}{2\sqrt{4{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+2}}=\frac{6{{x}^{2}}+3x+1}{\sqrt{4{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+2}}$ .

c) Ta có $y'={{\left[ \frac{5}{{{\left( 2\sqrt{x}+3 \right)}^{4}}} \right]}^{'}}=-\frac{5.{{\left[ {{\left( 2\sqrt{x}+3 \right)}^{4}} \right]}^{'}}}{{{\left( 2\sqrt{x}+3 \right)}^{8}}}$
$=-\frac{20.2\frac{1}{2\sqrt{x}}.{{\left( 2\sqrt{x}+3 \right)}^{3}}}{{{\left( 2\sqrt{x}+3 \right)}^{8}}}=-\frac{10}{\sqrt{x}{{\left( 2\sqrt{x}+3 \right)}^{5}}}$ .

d) Ta có $y'={{\left[ {{\left( 2x+3 \right)}^{21}}{{\left( x-4 \right)}^{23}} \right]}^{'}}$ $={{\left[ {{\left( 2x+3 \right)}^{21}} \right]}^{'}}.{{\left( x-4 \right)}^{23}}+{{\left( 2x+3 \right)}^{21}}.{{\left[ {{\left( x-4 \right)}^{23}} \right]}^{'}}$

$=21{{\left( 2x+3 \right)}^{'}}.{{\left( 2x+3 \right)}^{20}}.{{\left( x-4 \right)}^{23}}+{{\left( 2x+3 \right)}^{21}}.23{{\left( x-4 \right)}^{'}}.{{\left( x-4 \right)}^{22}}$

$=42{{\left( 2x+3 \right)}^{20}}{{\left( x-4 \right)}^{23}}+23{{\left( 2x+3 \right)}^{21}}{{\left( x-4 \right)}^{22}}$

$={{\left( 2x+3 \right)}^{20}}{{\left( x-4 \right)}^{22}}\left[ 42\left( x-4 \right)+23\left( 2x+3 \right) \right]$

$={{\left( 2x+3 \right)}^{20}}{{\left( x-4 \right)}^{22}}\left( 88x-99 \right)$
$=11{{\left( 2x+3 \right)}^{20}}{{\left( x-4 \right)}^{22}}\left( 8x-9 \right)$

Dạng 2. Tìm đạo hàm của các hàm số lượng giác

A. Phương pháp

Sử dụng các quy tắc, các công thức tính đạo hàm của một số hàm số lượng giác trong phần tóm tắt lí thuyết để tính.

Chú ý:

- Sử dụng công thức lượng giác để rút gọn

- Có thể rút gọn trước khi tính đạo hàm để việc tính toán dễ dàng hơn.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 2.1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=x\cos x$ b) $y={{\left( \frac{\sin x}{1+\cos x} \right)}^{3}}$ c) $y={{\sin }^{3}}\left( 2x+1 \right)$

d) $y=\sin \sqrt{2+{{x}^{2}}}$ e) $y=\sqrt{\sin x+2x}$ f) $y=2{{\sin }^{2}}4x-3{{\cos }^{3}}5x$

Lời giải:

a) $y=x\cos x$ . Ta áp dụng đạo hàm tích.

$y'=x'\cos x+x.{{\left( \cos x \right)}^{/}}=\cos x-x\sin x$ .

b) $y={{\left( \frac{\sin x}{1+\cos x} \right)}^{3}}$ . Bước đầu tiên ta áp dụng công thức ${{\left( {{u}^{\alpha }} \right)}^{/}}$ với $u=\frac{\sin x}{1+\cos x}$

$y'=3{{\left( \frac{\sin x}{1+\cos x} \right)}^{2}}.{{\left( \frac{\sin x}{1+\cos x} \right)}^{/}}$

Tính: ${{\left( \frac{\sin x}{1+\cos x} \right)}^{/}}=\frac{{{\left( \sin x \right)}^{/}}\left( 1+\cos x \right)-{{\left( 1+\cos x \right)}^{/}}.\sin x}{{{\left( 1+\cos x \right)}^{2}}}$ $=\frac{\cos x\left( 1+\cos x \right)+{{\sin }^{2}}x}{{{\left( 1+\cos x \right)}^{2}}}$

$=\frac{\cos x+{{\cos }^{2}}x+{{\sin }^{2}}x}{{{\left( 1+\cos x \right)}^{2}}}=\frac{1}{1+\cos x}$ .

Vậy $y'=3{{\left( \frac{\sin x}{1+\cos x} \right)}^{2}}.\frac{1}{1+\cos x}=\frac{3{{\sin }^{2}}x}{{{\left( 1+\cos x \right)}^{3}}}$ .

c) $y={{\sin }^{3}}\left( 2x+1 \right)$ . Bước đầu tiên áp dụng công thức ${{\left( {{u}^{\alpha }} \right)}^{/}}$ với $u=\sin \left( 2x+1 \right)$

Vậy $y'={{\left( {{\sin }^{3}}\left( 2x+1 \right) \right)}^{/}}=3{{\sin }^{2}}\left( 2x+1 \right).{{\left( \sin \left( 2x+1 \right) \right)}^{/}}$ .

Tính ${{\left( \sin \left( 2x+1 \right) \right)}^{/}}$ : Áp dụng ${{\left( \sin u \right)}^{/}}$ , với $u=\left( 2x+1 \right)$

Ta được: ${{\left( \sin \left( 2x+1 \right) \right)}^{/}}=\cos \left( 2x+1 \right).{{\left( 2x+1 \right)}^{/}}=2\cos \left( 2x+1 \right)$

$\Rightarrow y'=3.{{\sin }^{2}}\left( 2x+1 \right).2\cos \left( 2x+1 \right)=6{{\sin }^{2}}\left( 2x+1 \right)\cos \left( 2x+1 \right)$

d) $y=\sin \sqrt{2+{{x}^{2}}}$ . Áp dụng công thức ${{\left( \sin u \right)}^{/}}$ với $u=\sqrt{2+{{x}^{2}}}$

$y'=\cos \sqrt{2+{{x}^{2}}}.{{\left( \sqrt{2+{{x}^{2}}} \right)}^{/}}=\cos \sqrt{2+{{x}^{2}}}.\frac{{{\left( 2+{{x}^{2}} \right)}^{/}}}{2\sqrt{2+{{x}^{2}}}}$ $=\frac{x}{\sqrt{2+{{x}^{2}}}}.cos\sqrt{2+{{x}^{2}}}$ .

e) $y=\sqrt{\sin x+2x}$ . Áp dụng ${{\left( \sqrt{u} \right)}^{/}}$ , với $u=\sin x+2x$

$y'=\frac{{{\left( \sin x+2x \right)}^{/}}}{2\sqrt{\sin x+2x}}=\frac{\cos x+2}{2\sqrt{\sin x+2x}}$

f) $y=2{{\sin }^{2}}4x-3{{\cos }^{3}}5x$ . Bước đầu tiên áp dụng ${{\left( u+v \right)}^{/}}$

$y'={{\left( 2{{\sin }^{2}}4x \right)}^{/}}-3{{\left( {{\cos }^{3}}5x \right)}^{/}}$

Tính ${{\left( {{\sin }^{2}}4x \right)}^{/}}$ : Áp dụng ${{\left( {{u}^{\alpha }} \right)}^{/}}$ , với $u=\sin 4x$ , ta được:

${{\left( {{\sin }^{2}}4x \right)}^{/}}=2\sin 4x.{{\left( \sin 4x \right)}^{/}}=2\sin 4x.\cos 4x{{\left( 4x \right)}^{/}}=4\sin 8x$ .

Tương tự: ${{\left( {{\cos }^{3}}5x \right)}^{/}}=3{{\cos }^{2}}5x.{{\left( \cos 5x \right)}^{/}}=3{{\cos }^{2}}5x.\left( -\sin 5x \right).{{\left( 5x \right)}^{/}}$

$=-15{{\cos }^{2}}5x.\sin 5x=\frac{15}{2}\cos 5x.\sin 10x$ .

Kết luận: $y'=8\sin 8x+\frac{45}{2}\cos 5x.\sin 10x$

Dạng 3. Phương trình, bất phương trình chứa đạo hàm

A. Phương pháp

Bài toán thường được đặt ra dưới dạng:

“Cho hàm số $\displaystyle y=f\left( x \right)$ , hãy giải phương trình $\displaystyle g(y,{y}')=0$ ”

Khi đó, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1. Tính đạo hàm $\displaystyle {y}'$ .

Bước 2. Chuyển phương trình $\displaystyle g(y,{y}')=0$ về phương trình đại số thông thường để giải.

Chú ý: Cho tam thức $\displaystyle f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c,\text{ }(a\ne 0)$

1/ $\displaystyle f(x)>0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a>0\\\Delta <0\end{array} \right.$ 2/ $\displaystyle f(x)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a>0\\\Delta \le 0\end{array} \right.$

3/ $\displaystyle f(x)<0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a<0\\\Delta <0\end{array} \right.$ 4/ $\displaystyle f(x)\le 0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a<0\\\Delta \le 0\end{array} \right.$

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 3.1: Giải bất phương trình $f'(x)\ge 0$ biết:

1. $f(x)=x\sqrt{4-{{x}^{2}}}$ 2. $f(x)=x-2\sqrt{{{x}^{2}}+12}$

3. $f(x)=\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}+\sqrt{{{x}^{2}}+x+1}$ 4. $f(x)=\sqrt[4]{{{x}^{2}}+1}-\sqrt{x}$

Lời giải:

1. TXĐ: $D=\left[ -2;2 \right]$

Ta có: $f'(x)=\sqrt{4-{{x}^{2}}}-\frac{{{x}^{2}}}{\sqrt{4-{{x}^{2}}}}=\frac{4-2{{x}^{2}}}{\sqrt{4-{{x}^{2}}}}$

Do đó: $f'(x)\ge 0\Leftrightarrow 4-2{{x}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow -\sqrt{2}\le x\le \sqrt{2}$ .

2. TXĐ: $D=\mathbb{R}$

Ta có: $f'(x)=1-\frac{2x}{\sqrt{{{x}^{2}}+12}}=\frac{\sqrt{{{x}^{2}}+12}-2x}{\sqrt{{{x}^{2}}+12}}$

Suy ra: $f'(x)\ge 0\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+12}\ge 2x$ (1)

$\bullet$ Với $x<0$ thì (1) luôn đúng

$\bullet$ Với $x\ge 0$ thì $(1)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\ge 0\\{{x}^{2}}+12\ge 4{{x}^{2}}\end{array} \right.\Leftrightarrow 0\le x\le 2$

Vậy bất phương trình $f'(x)\ge 0$ có nghiệm $x\le 2$ .

3. TXĐ: $D=\mathbb{R}$

Ta có: $f'(x)=\frac{2x-1}{2\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}}+\frac{2x+1}{2\sqrt{{{x}^{2}}+x+1}}$

Suy ra $f'(x)=0\Leftrightarrow \left( 1-2x \right)\sqrt{{{x}^{2}}+x+1}=\left( 1+2x \right)\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}(1-2x)(1+2x)\ge 0\\{{(1-2x)}^{2}}\left[ {{\left( x+\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{4} \right]={{\left( 1+2x \right)}^{2}}\left[ {{\left( x-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{4} \right]\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}-\frac{1}{2}\le x\le \frac{1}{2}\\{{(1-2x)}^{2}}={{(1+2x)}^{2}}\end{array} \right.\Leftrightarrow x=0$ .

4. TXĐ: $D=\left[ 0;+\infty \right)$

Ta có: $\displaystyle f'(x)=\frac{x}{2\sqrt[4]{{{({{x}^{2}}+1)}^{3}}}}-\frac{1}{2\sqrt{x}}$ .

$\displaystyle f'(x)\ge 0\Leftrightarrow x\sqrt{x}\ge \sqrt[4]{{{({{x}^{2}}+1)}^{3}}}\Leftrightarrow {{x}^{6}}\ge {{({{x}^{2}}+1)}^{3}}$

$\displaystyle \Leftrightarrow {{x}^{2}}\ge {{x}^{2}}+1$ bất phương trình này vô nghiệm

Ví dụ 3.2: Tìm $m$ để các hàm số

a) $y=(m-1){{x}^{3}}-3(m+2){{x}^{2}}-6(m+2)x+1$ có $y'\ge 0,\text{ }\forall x\in \mathbb{R}$

A. $m\ge 3$ B. $m\ge 1$ C. $m\ge 4$ D. $m\ge 4\sqrt{2}$

b) $y=\frac{m{{x}^{3}}}{3}-m{{x}^{2}}+(3m-1)x+1$ có $y'\le 0,\text{ }\forall x\in \mathbb{R}$ .

A. $m\le \sqrt{2}$ B. $m\le 2$ C. $m\le 0$ D. $m<0$

Lời giải:

a) Ta có: $y'=3\left[ (m-1){{x}^{2}}-2(m+2)x-2(m+2) \right]$

Do đó $y'\ge 0\Leftrightarrow (m-1){{x}^{2}}-2(m+2)x-2(m+2)\ge 0$ (1)

$\bullet$ $m=1$ thì (1) $\Leftrightarrow -6x-6\ge 0\Leftrightarrow x\le -1$ nên $m=1$ (loại)

$\bullet$ $m\ne 1$ thì (1) đúng với $\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a=m-1>0\\\Delta '\le 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m>1\\(m+1)(4-m)\le 0\end{array} \right.\Leftrightarrow m\ge 4$

Vậy $m\ge 4$ là những giá trị cần tìm.

b) Ta có: $y'=m{{x}^{2}}-2mx+3m-1$

Nên $y'\le 0\Leftrightarrow m{{x}^{2}}-2mx+3m-1\le 0$ (2)

$\bullet$ $m=0$ thì (1) trở thành: $-1\le 0$ đúng với $\forall x\in \mathbb{R}$

$\bullet$ $m\ne 0$ , khi đó (1) đúng với $\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a=m<0\\\Delta '\le 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m<0\\m(1-2m)\le 0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m<0\\1-2m\ge 0\end{array} \right.\Leftrightarrow m<0$