Vi phân - Đạo hàm cấp hai, đạo hàm cấp cao

VI PHÂN – ĐẠO HÀM CẤP CAO

A. Lí thuyết cơ bản

1. Vi phân

a) Định nghĩa:

Cho hàm số $\displaystyle y=f\left( x \right)$ xác định trên $\displaystyle \left( a;\text{ }b \right)$ và có đạo hàm tại $\displaystyle x\in \left( a;\text{ }b \right)$ .

Cho số gia $\displaystyle \Delta x$ tại $\displaystyle x$ sao cho $\displaystyle x+\Delta x\in \left( a;\text{ }b \right)$ .

Ta gọi tích $\displaystyle {f}'\left( x \right).\Delta x$ (hoặc $\displaystyle {y}'.\Delta x$ ) là vi phân của hàm số $\displaystyle y=f\left( x \right)$ tại x ứng với số gia $\displaystyle \Delta x$ và ký hiệu là dy hoặc $\displaystyle df\left( x \right)$ . Như vậy, ta có:

$\displaystyle dy={y}'\Delta x$ hoặc $\displaystyle df\left( x \right)={f}'\left( x \right)\Delta x$

Áp dụng: Với hàm số $\displaystyle y=x$ , ta được: $\displaystyle dx={{\left( x \right)}^{\prime }}\Delta x=1.\Delta x=\Delta x$

Vậy ta có: $\displaystyle dy={y}'dx$ hoặc $\displaystyle df\left( x \right)={f}'\left( x \right)dx$ .

b) Ứng dụng của vi phân vào phép tính gần đúng:

Theo định nghĩa đạo hàm, ta có: $\displaystyle f'({{x}_{0}})=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}$

Do đó, với $\displaystyle \left| \Delta x \right|$ đủ nhỏ thì:

$\displaystyle f'({{x}_{0}})\approx \frac{\Delta y}{\Delta x}\Leftrightarrow \Delta y\approx f'({{x}_{0}})\Delta x$ $\displaystyle \Leftrightarrow f({{x}_{0}}+\Delta x)-f({{x}_{0}})\approx f'({{x}_{0}})\Delta x$

$\displaystyle \Leftrightarrow$ $\displaystyle f({{x}_{0}}+\Delta x)\approx f({{x}_{0}})+f'({{x}_{0}})\Delta x$

Đó là công thức tính gần đúng đơn giản nhất.

2. Đạo hàm cấp cao

a) Định nghĩa:

Giả sử hàm số $\displaystyle y=f\left( x \right)$ có đạo hàm $\displaystyle {f}'\left( x \right)$ .

+ Đạo hàm của hàm số $\displaystyle {f}'\left( x \right)$ , nếu có, được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số $\displaystyle f\left( x \right)$ .

Kí hiệu là $\displaystyle {y}''$ hay $\displaystyle {f}''\left( x \right)$ .

+ Tương tự, đạo hàm của hàm số $\displaystyle {f}''\left( x \right)$ , nếu có, được gọi là đạo hàm cấp ba của hàm số $\displaystyle f\left( x \right)$ .

Kí hiệu là $\displaystyle {{{y}'}'}'$ hay $\displaystyle {{{f}'}'}'\left( x \right)$ .

+ Đạo hàm của hàm số $\displaystyle {{{f}'}'}'\left( x \right)$ , nếu có, được gọi là đạo hàm cấp bốn của hàm số $\displaystyle f\left( x \right)$ .

Kí hiệu là $\displaystyle {{y}^{\left( 4 \right)}}$ hay $\displaystyle {{f}^{\left( 4 \right)}}\left( x \right)$ .

+ Tổng quát, đạo hàm của đạo hàm cấp được gọi là đạo hàm cấp n của hàm số $\displaystyle y=f\left( x \right)$ .

Kí hiệu là $\displaystyle {{y}^{\left( n \right)}}$ hay $\displaystyle {{f}^{\left( n \right)}}\left( x \right)$ .

b) Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: $\displaystyle s=f\left( t \right)$ với $\displaystyle f\left( t \right)$ là hàm số có đạo hàm.

Khi đó, gia tốc tức thời $\displaystyle (\gamma )$ của chuyển động tại thời điểm $\displaystyle t$ là đạo hàm cấp hai của hàm số $\displaystyle s=f\left( t \right)$ tại $\displaystyle t$ là $\displaystyle \gamma \left( t \right)={{f}'}'\left( t \right)$ .

B. Bài tập

Dạng 1. Tìm vi phân của hàm số

A. Phương pháp

- Tính vi phân của hàm số $\displaystyle f(x)$ tại $\displaystyle {{x}_{0}}$ cho trước:

- Tính đạo hàm của hàm số tại $\displaystyle {{x}_{0}}$
- Suy ra vi phân của hàm số tại $\displaystyle {{x}_{0}}$ ứng với số gia $\displaystyle \Delta x$ là: $\displaystyle df({{x}_{0}})={f}'({{x}_{0}})\Delta x$
- Tính vi phân của hàm số $\displaystyle f(x)$ :
  - Tính đạo hàm của hàm số

Suy ra vi phân của hàm số là: $\displaystyle dy=df(x)={f}'(x)dx$

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+2$ . Tính vi phân của hàm số tại điểm ${{x}_{0}}=1$ , ứng với số gia $\Delta x=0,02$ .

Lời giải:

Ta có $y'=f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-4x$ . Do đó vi phân của hàm số tại điểm ${{x}_{0}}=1$ , ứng với số gia $\Delta x=0,02$ là:

$df\left( 1 \right)=f'\left( 1 \right).\Delta x=\left( {{3.1}^{2}}-4.1 \right).0,02=-0,02$ .

Ví dụ 2: Tính vi phân của các hàm số sau:

a) $y=\frac{2{{x}^{2}}-3x+1}{{{x}^{2}}+x+1}$ b) $y=\sqrt{3{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}}$

c) $y=\sin x\cos \frac{x}{2}$ d) $y=x\sin x-\cos x$

Lời giải:

a) Ta có: $y'=f'\left( x \right)=\frac{\left( 2{{x}^{2}}-3x+1 \right)'\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)-\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)'\left( 2{{x}^{2}}-3x+1 \right)}{{{\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)}^{2}}}=$ $\frac{5{{x}^{2}}+2x-4}{{{\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)}^{2}}}$

suy ra $dy=f'\left( x \right)dx=\frac{5{{x}^{2}}+2x-4}{{{\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)}^{2}}}dx$ .

b) Ta có: $y'=\frac{{{\left( 3{{x}^{3}}+2{{x}^{2}} \right)}^{'}}}{2\sqrt{3{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}}}=\frac{6{{x}^{2}}+4x}{2\sqrt{3{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}}}=\frac{3{{x}^{2}}+2x}{\sqrt{3{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}}}$

Suy ra $dy=y'.dx=\frac{3{{x}^{2}}+2x}{\sqrt{3{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}}}dx$ .

c) Ta có: $y' = {(\sin x \cos \frac{x}{2})}^{'} = (\sin x)' . \cos \frac{x}{2} + \sin x {(\cos \frac{x}{2})}^{'} = \cos x . \cos \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin x . \sin \frac{x}{2}$ .

Suy ra $d y = y' . d x = (\cos x . \cos \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin x . \sin \frac{x}{2}) d x$ .

d) Ta có: $\displaystyle y'={{\left( x\sin x-\cos x \right)}^{'}}={{\left( x\sin x \right)}^{'}}-{{\left( \cos x \right)}^{'}}$ = sinx + xcosx + sinx = 2sinx + xcosx.

Suy ra $dy=y'.dx=\left( 2sinx+xcosx \right)dx$ .

Dạng 2. Tính gần đúng giá trị của hàm số

A. Phương pháp

Để tính gần đúng giá trị của hàm số $\displaystyle f(x)$ tại điểm $\displaystyle {{x}_{0}}+\Delta x$ cho trước, ta áp dụng công thức:

$\displaystyle f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)\approx f\left( {{x}_{0}} \right)+{f}'\left( {{x}_{0}} \right).\Delta x$

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 2.1: Ví dụ tính gần đúng các giá trị sau (lấy 4 chữ số thập phân trong kết quả).

a) $\sqrt{16,25}$ b) $\cos 30{}^\circ 15'$ c) $\sin 46{}^\circ$

d) $\frac{1}{0,9995}$ e) $\tan 53{}^\circ 15'$

Lời giải:

a) Ta có $\sqrt{16,25}=\sqrt{16+0,25}$ . Xét hàm số $f\left( x \right)=\sqrt{x}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

chọn ${{x}_{0}}=16$ và $\Delta x=0,25$ , ta có $f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)\approx f\left( {{x}_{0}} \right)+f'\left( {{x}_{0}} \right).\Delta x$

$\Rightarrow \sqrt{16+0,25}\approx \sqrt{16}+\frac{1}{2\sqrt{16}}.0,25=4+0,03125$ $=4,03125\Rightarrow \sqrt{16+0,25}\approx 4,0313$

b) Ta có $\cos 30{}^\circ 15'=\cos \left( 30{}^\circ +15' \right)=\cos \left( \frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{720} \right)$

Xét hàm số $f\left( x \right)=\cos x\Rightarrow f'\left( x \right)=-\sin x$ .

Chọn ${{x}_{0}}=\frac{\pi }{6}$ và $\Delta x=\frac{\pi }{720}$ , ta có $f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)\approx f\left( {{x}_{0}} \right)+f'\left( {{x}_{0}} \right).\Delta x$ .

$\Rightarrow \cos \left( \frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{720} \right)\approx \cos \frac{\pi }{6}-\sin \frac{\pi }{6}.\frac{\pi }{720}=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\pi }{1440}$

c) Ta có $\sin 46{}^\circ =\sin \left( 45{}^\circ +1{}^\circ \right)=\sin \left( \frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{180} \right)$

Xét hàm số $f\left( x \right)=\sin x\Rightarrow f'\left( x \right)=\cos x$

Chọn ${{x}_{0}}=\frac{\pi }{4}$ và $\Delta x=\frac{\pi }{180}$ , ta có $f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)\approx f\left( {{x}_{0}} \right)+f'\left( {{x}_{0}} \right).\Delta x$

$\Rightarrow \sin \left( \frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{180} \right)\approx \sin \frac{\pi }{4}+\cos \frac{\pi }{4}.\frac{\pi }{180}=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}\pi }{360}$

d) Ta có $\frac{1}{0,9995}=\frac{1}{1-0,0005}$

Xét hàm số $f\left( x \right)=\frac{1}{x}\Rightarrow f'\left( x \right)=-\frac{1}{{{x}^{2}}}$

Chọn ${{x}_{0}}=1$ và $\Delta x=-0,0005$ , ta có $f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)\approx f\left( {{x}_{0}} \right)+f'\left( {{x}_{0}} \right).\Delta x$

$\Rightarrow \frac{1}{1-0,0005}\approx 1-1.\left( -0,0005 \right)\approx 1,0005$ .

e) $\tan 53{}^\circ 15'=\tan \left( 60{}^\circ -\left( 6{}^\circ 45' \right) \right)=\tan \left( \frac{\pi }{3}-\frac{3\pi }{80} \right)$

Xét hàm số $f\left( x \right)=\tan x\Rightarrow f'\left( x \right)=1+{{\tan }^{2}}x$

Chọn ${{x}_{0}}=\frac{\pi }{3}$ và $\Delta x=-\frac{3\pi }{80}$ , ta có $f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)\approx f\left( {{x}_{0}} \right)+f'\left( {{x}_{0}} \right).\Delta x$

$\Rightarrow \tan \left( \frac{\pi }{3}-\frac{3\pi }{80} \right)\approx \tan \frac{\pi }{3}+\left( 1+{{\tan }^{2}}\frac{\pi }{3} \right).\left( -\frac{3\pi }{80} \right)\approx 1,2608$

Dạng 3. Tính đạo hàm cấp cao của hàm số

A. Phương pháp

Áp dụng trục tiếp định nghĩa để tính đạo hàm cấp cao:

$\displaystyle {{y}'}'={{\left( {{y}'} \right)}^{\prime }};\,\,{{{y}'}'}'={{\left( {{{y}'}'} \right)}^{\prime }};\,\,{{{{y}'}'}'}'={{\left( {{{{y}'}'}'} \right)}^{\prime }};\,\,{{y}^{\left( n \right)}}={{\left( {{y}^{\left( n-1 \right)}} \right)}^{\prime }}$

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 3.1: Tính đạo hàm đến cấp đã chỉ ra của các hàm số sau:

a) $y=x\sin 2x,\left( y''' \right)$ b) $y={{\cos }^{2}}x,\left( y''' \right)$ c) $y={{x}^{4}}+4{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1,\left( {{y}^{\left( n \right)}} \right)$

d) $y={{x}^{4}}-\sin 2x,\left( {{y}^{\left( 4 \right)}} \right)$ e) $y={{\sin }^{2}}2x,\left( {{y}^{\left( 5 \right)}} \right)$ f) $y=\frac{3x-1}{x+2},\left( {{y}^{\left( 4 \right)}} \right)$

Lời giải:

a) Có $y'=x'\sin 2x+x.\left( \sin 2x \right)'=\sin 2x+2x\cos 2x$

$\Rightarrow y''=\left( \sin 2x \right)'+\left( 2x \right)'\cos 2x+2x\left( \cos 2x \right)'=4\cos 2x-4x\sin 2x$

$\Rightarrow y'''=4\left( \cos 2x \right)'-\left( 4x \right)'\sin 2x-4x\left( \sin 2x \right)'$ $=-8\sin 2x-4\sin 2x-8\cos 2x$

$=-12\sin 2x-8\cos 2x$

b) Ta có $y={{\cos }^{2}}x=\frac{1}{2}\left( 1+\cos 2x \right)\Rightarrow y'=-\sin 2x$

$\Rightarrow y''=-2cos2x\Rightarrow y'''=4sin2x$

c) $y={{x}^{4}}+4{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1$

$\displaystyle \Rightarrow y'=4{{x}^{3}}+12{{x}^{2}}-6x\Rightarrow y''=12{{x}^{2}}+24x-6\Rightarrow y'''=24x+24$

$\displaystyle \Rightarrow {{y}^{\left( 4 \right)}}=24\Rightarrow {{y}^{\left( 5 \right)}}=0\Rightarrow ...\Rightarrow {{y}^{\left( n \right)}}=0$

d) $y={{x}^{4}}-\sin 2x$

$\begin{array}{l}\Rightarrow y'=4{{x}^{3}}-2\cos 2x\Rightarrow y''=12{{x}^{2}}+4\sin 2x\\\Rightarrow y'''=24x+8\cos 2x\Rightarrow {{y}^{\left( 4 \right)}}=24-16\sin 2x\end{array}$

e) $y={{\sin }^{2}}2x=\frac{1}{2}\left( 1-\cos 4x \right)$

$\begin{array}{l}\Rightarrow y'=2\sin 4x\Rightarrow y''=8\cos 4x\Rightarrow y'''=-32\sin 4x\\\Rightarrow {{y}^{\left( 4 \right)}}=-128\cos 4x\Rightarrow {{y}^{\left( 5 \right)}}=512\sin 4x\end{array}$

f) $y=\frac{3x-1}{x+2},\left( {{y}^{\left( 4 \right)}} \right)$

$\Rightarrow y'=\frac{7}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}\Rightarrow y''=\frac{-7{{\left[ {{\left( x+2 \right)}^{2}} \right]}^{/}}}{{{\left( x+2 \right)}^{4}}}=\frac{-14}{{{\left( x+2 \right)}^{3}}}$

$\Rightarrow y'''=\frac{14{{\left[ {{\left( x+2 \right)}^{3}} \right]}^{/}}}{{{\left( x+2 \right)}^{6}}}=\frac{42}{{{\left( x+2 \right)}^{4}}}$ $\Rightarrow {{y}^{\left( 4 \right)}}=\frac{-42{{\left[ {{\left( x+2 \right)}^{4}} \right]}^{/}}}{{{\left( x+2 \right)}^{8}}}=\frac{-168}{{{\left( x+2 \right)}^{5}}}$

Ví dụ 3.2: Tìm đạo hàm cấp n của các hàm số sau:

a) $y=\sin x\left( n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right)$ b) $y=\frac{1}{x+3}\left( n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right)$

Lời giải:

a) Bước 1: Ta có: $y'=\cos x=\sin \left( x+1.\frac{\pi }{2} \right);y''=-\sin x=\sin \left( x+2\frac{\pi }{2} \right)$

Dự đoán: ${{y}^{\left( n \right)}}=\sin \left( x+n\frac{\pi }{2} \right)$ (1), $\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$

Bước 2: Chứng minh (1) bằng quy nạp:

* $n=1$ : (1) hiển nhiên đúng.

* Giả sử (1) đúng với $n=k\ge 1$ nghĩa là ta có: ${{y}^{k}}=\sin \left( x+k\frac{\pi }{2} \right)$ ta phải chứng minh (1) cũng đúng với $n=k+1$ nghĩa là ta phải chứng minh

${{y}^{\left( k+1 \right)}}=\sin \left( x+\left( k+1 \right)\frac{\pi }{2} \right)$ (2)

Thật vậy: vế trái (2) $={{y}^{k+1}}={{\left[ {{y}^{k}} \right]}^{/}}={{\left[ \sin \left( x+k\frac{\pi }{2} \right) \right]}^{/}}$ $=\cos \left( x+k\frac{\pi }{2} \right)=\sin \left( x+\left( k+1 \right)\frac{\pi }{2} \right)=$ vế phải (2)

$\Rightarrow \left( 2 \right)$ đúng, nghĩa là (1) đúng với $n=k+1$ .

Bước 3: Theo nguyên lí quy nạp suy ra ${{y}^{n}}=\sin \left( x+n\frac{\pi }{2} \right),\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$

b) Ta có: $y'={{\left( -1 \right)}^{/}}\frac{1}{{{\left( x+3 \right)}^{2}}}={{\left( -1 \right)}^{/}}\frac{1!}{{{\left( x+3 \right)}^{2}}}$ ;

$y''={{\left( -1 \right)}^{2}}.\frac{1.2}{{{\left( x+3 \right)}^{3}}}={{\left( -1 \right)}^{2}}.\frac{2!}{{{\left( x+3 \right)}^{3}}}$ .

Dự đoán: ${{y}^{n}}={{\left( -1 \right)}^{n}}.\frac{n!}{{{\left( x+3 \right)}^{n+1}}}$ (1), $\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ .

Chứng minh (1) bằng phương pháp quy nạp:

* $n=1:(1)$ hiển nhiên đúng.

* Giả sử (1) đúng với $n=k\ge 1$ , nghĩa là ta có: ${{y}^{k}}={{\left( -1 \right)}^{k}}\frac{k!}{{{\left( x+3 \right)}^{k+1}}}$ ta phải chứng minh (1) cũng đúng với $n=k+1$ , nghĩa là ta phải chứng minh:

${{y}^{k+1}}={{\left( -1 \right)}^{k+1}}\frac{\left( k+1 \right)!}{{{\left( x+3 \right)}^{k+2}}}$ (2)

Thật vậy, vế trái

$\left( 2 \right)={{y}^{k+1}}={{\left[ {{y}^{k}} \right]}^{/}}={{\left[ {{\left( -1 \right)}^{k}}\frac{k!}{{{\left( x+3 \right)}^{k+1}}} \right]}^{/}}$ $={{\left( -1 \right)}^{k+1}}.\frac{k!}{{{\left[ {{\left( x+3 \right)}^{k+1}} \right]}^{2}}}.{{\left[ {{\left( x+3 \right)}^{k+1}} \right]}^{/}}$

$={{\left( -1 \right)}^{k+1}}.\frac{k!\left( k+1 \right)}{{{\left( x+3 \right)}^{k+2}}}={{\left( -1 \right)}^{k+1}}.\frac{\left( k+1 \right)!}{{{\left( x+3 \right)}^{k+2}}}=vt(2)$

Vậy (2) đúng nghĩa là (1) đúng với $n=k+1$ .

Theo nguyên lí quy nạp ta suy ra ${{y}^{n}}={{\left( -1 \right)}^{n}}.\frac{n!}{{{\left( x+3 \right)}^{n+1}}},\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$

Dạng 4. Ý nghĩa của đạo hàm cấp cao

A. Phương pháp

Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: $\displaystyle s=f\left( t \right)$ với $\displaystyle f\left( t \right)$ là hàm số có đạo hàm.

Khi đó, gia tốc tức thời
$\displaystyle (\gamma )$ của chuyển động tại thời điểm $\displaystyle t$ là đạo hàm cấp hai của hàm số $\displaystyle s=f\left( t \right)$ tại $\displaystyle t$ .

$\displaystyle \gamma \left( t \right)\text{ }=\text{ }{{f}'}'\left( t \right)$

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 4.1: Cho chuyển động xác định bởi phương trình $s={{t}^{3}}-3{{t}^{2}}-9t+2$ với $\displaystyle t>0$ , $\displaystyle t$ tính bằng giây $\displaystyle \left( s \right)$ và $\displaystyle v\left( t \right)$ tính bằng $\displaystyle m/s$ .

a) Tính vận tốc tại thời điểm $\displaystyle t=2s$ .

b) Tính gia tốc tại thời điểm $\displaystyle t=3s$ .

c) Tính gia tốc tại thời điểm vận tốc triệt tiêu.

d) Tính vận tốc tại thời điểm gia tốc triệt tiêu.

Lời giải:

Ta có $s'=3{{t}^{2}}-6t-9;\,\,s''=6t-6$ .

a) Vận tốc tại thời điểm $t=2$ là $s'\left( 2 \right)={{3.2}^{2}}-6.2-9=-9\,\left( m/s \right)$ .

b) Gia tốc tại thời điểm $t=3$ là $s''\left( 3 \right)=6.3-6=12\left( m/{{s}^{2}} \right)$ .

c) Vận tốc triệt tiêu $\Leftrightarrow s'=0\Leftrightarrow 3{{t}^{2}}-6t-9=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t=-1\,\left( L \right)\\t=3\end{array} \right.\Leftrightarrow t=3$ .