Khái niệm phép dời hình - Hai hình bằng nhau

KHÁI NIỆM PHÉP DỜI HÌNH VÀ HAI HÌNH BẰNG NHAU

A.LÍ THUYẾT CƠ BẢN.

1. Định nghĩa.

- Phép biến hình là phép dời hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì
- Vậy nếu $\displaystyle f$ là phép dời khi và chỉ khi $\displaystyle f\left( M \right)f\left( N \right)=MN$ .
- Nhận xét:
+ Các phép biến hình : Tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm và phép quay là các phép dời hình.
+ Thực hiện liên tiếp các phép dời hình thì cũng được một phép dời hình.

2. Tính chất của phép dời hình.

Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự giữa ba điểm đó.
Biến một đường thẳng thành một đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.
Biến tam giác thành tam giác bằng nó , biến một góc thành góc bằng góc đã cho.
Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

3. Định nghĩa hai hình bằng nhau.

Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình $\displaystyle f$ biến hình này thành hình kia.

B. BÀI TẬP.

Bài toán 01: XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT HÌNH QUA PHÉP DỜI HÌNH.

Phương pháp:

Dùng định nghĩa, biểu thức tọa độ và các tính chất của các phép dời hình cụ thể (tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm và phép quay ) có trong bài toán.

Ví dụ 1. Cho đường thẳng $\displaystyle d:3x+y+3=0$ . Viết phương trình của đường thẳng $\displaystyle d'$ là ảnh của $\displaystyle d$ qua phép dời hình có được bằng cách thược hiện liên tiếp phép đối xứng tâm $\displaystyle I\left( 1;2 \right)$ và phép tịnh tiến theo vec tơ $\displaystyle \overrightarrow{v}=\left( -2;1 \right)$ .

A. $\displaystyle d':3x+2y-8=0$ .	B. $\displaystyle d':x+y-8=0$ .
C. $\displaystyle d':2x+y-8=0$ .	D. $\displaystyle d':3x+y-8=0$ .

Lời giải:

Gọi là phép dời hình bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng tâm $\displaystyle I$ và phép tịnh tiến $\displaystyle {{T}_{\overrightarrow{v}}}$ .

Gọi .

Do $\displaystyle d'$ song song hoặc trùng với $\displaystyle d$ do đó phương trình của $\displaystyle d'$ có dạng $\displaystyle 3x+y+c=0$ . Lấy $\displaystyle M\left( 0;-3 \right)\in d$ ta có .

Lại có $\displaystyle {{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( M' \right)=M''\left( 2+\left( -2 \right);7+1 \right)\Rightarrow M''\left( 0;8 \right)$ nên $\displaystyle F\left( M \right)=M''\left( 0;8 \right)$ .

Mà $\displaystyle M''\in d'\Rightarrow 8+c=0\Leftrightarrow c=-8$ . Vậy $\displaystyle d':3x+y-8=0$ .

Ví dụ 2. Cho hình vuông $\displaystyle ABCD$ có tâm $\displaystyle I$ . Trên tia $\displaystyle BC$ lấy điểm $\displaystyle E$ sao cho $\displaystyle BE=AI$ .

a) Xác định một phép dời hình biến $\displaystyle A$ thành $\displaystyle B$ và biến $\displaystyle I$ thành $\displaystyle E$ .

b) Dựng ảnh của hình vuông $\displaystyle ABCD$ qua phép dời hình này.

Lời giải:

a) Gọi $\displaystyle f$ là phép đối xứng qua đường trung trực $\displaystyle d$ của $\displaystyle AB$ , $\displaystyle g$ là phép đối xứng qua đường trung trực $\displaystyle d'$ của của $\displaystyle IE$ . Khi đó $\displaystyle f$ biến $\displaystyle AI$ thành $\displaystyle BI$ và $\displaystyle g$ biến $\displaystyle BI$ thành $\displaystyle BE$ . Từ đó phép dời hình $\displaystyle \delta =g\circ f$ biến $\displaystyle AI$ thành $\displaystyle BE$ .

do đó $\displaystyle \delta \left( A \right)=B,\delta \left( I \right)=E$ .

Mặt khác phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng trục cắt nhau tại $\displaystyle J$ là phép quay tâm $\displaystyle J$ góc quay $\displaystyle \alpha =2\left( d;d' \right)=2\left( JI;JB \right)$

$\displaystyle =\left( JI;JE \right)={{45}^{0}}$ ( do $\displaystyle JE\parallel IB$ ).

Vậy phép dời hình này chính là $\displaystyle {{Q}_{\left( J;{{45}^{0}} \right)}}$ .

b) $\displaystyle f$ biến các điểm $\displaystyle A,B,C,D$ thành các điểm $\displaystyle B,A,D,C$ , $\displaystyle g$ biến các điểm $\displaystyle B,A,D,C$ thành các điểm $\displaystyle B,A',D',C'$ . Do đó $\displaystyle \delta$ biến các điểm $\displaystyle A,B,C,D$ thành các điểm $\displaystyle B,A',D',C'$ . Vậy ảnh của hình vuông $\displaystyle ABCD$ là hình vuông $\displaystyle BA'D'C'$ đối xứng với hình vuông $\displaystyle BADC$ qua $\displaystyle d'$ .

Bài toán 02: CHỨNG MINH HAI HÌNH BẰNG NHAU.

Phương pháp:

Để chứng minh hai hình bằng nhau ta cần chỉ ra một phép dời hình biến hình này thành hình kia.

Ví dụ 1. Cho hai tam giác $\displaystyle ABC$ và $\displaystyle A'B'C'$ có các đương cao $\displaystyle AH$ và $\displaystyle A'H'$ sao cho $\displaystyle AH=A'H',AB=A'B',AC=A'C'$ các góc $\displaystyle A,A'$ đều là góc tù. Chứng minh hai tam giác $\displaystyle ABC$ và $\displaystyle A'B'C'$ bằng nhau.

Lời giải:

Vì các góc $\displaystyle \widehat{A}$ và $\displaystyle \widehat{A'}$ là các góc tù nên các góc $\displaystyle \widehat{B},\widehat{C},\widehat{B'},\widehat{C'}$ là các góc nhọn.

Suy ra $\displaystyle H$ ở giữa $\displaystyle B$ và $\displaystyle C$ , $\displaystyle H'$ ở giữa $\displaystyle B'$ và $\displaystyle C'$ . Vì hai tam giác vuông

$\displaystyle ABH$ và $\displaystyle A'B'H'$ bằng nhau nên có phép dời hình $\displaystyle F$ biến $\displaystyle A,B,H$ lần lượt thành các điểm $\displaystyle A',B',H'$ . Khi đó $\displaystyle C$ biến thành $\displaystyle C'$ . Vậy phép dời hình $\displaystyle F$ biến tam giác $\displaystyle ABC$ thành tam giác $\displaystyle A'B'C'$ nên hai tam giác này bằngnhau.

Ví dụ 2. Chứng minh rằng hai tam giác bằng nhau nếu có các đường tròn nội tiếp bằng nhau, đồng thời khoảng cách giữa tâm đường tròn nội tiếp và bàng tiếp của hai tam giác đó cũng bằng nhau.

Lời giải:

Giả sử $\displaystyle \left( O;r \right),\left( I;R \right)$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $\displaystyle ABC$ và tâm đường tròn bàng tiếp góc $\displaystyle A$ ; tam giác $\displaystyle A'B'C'$ có đường tròn nội tiếp $\displaystyle \left( O';r \right)$ và đường tròn bàng tiếp góc $\displaystyle A'$ là $\displaystyle \left( I';R' \right)$ và $\displaystyle OI=O'I'$ .

Vì $\displaystyle OI=O'I'$ nên tồn tại phép dời hình $\displaystyle F$ : $\displaystyle O\mapsto O',I\mapsto I'$ khi đó $\displaystyle F:\left( O;r \right)\mapsto \left( O';r \right),\left( I;R \right)\mapsto \left( I';R \right)$ . Mặt khác $\displaystyle F$ biến cặp tiếp tuyến chung ngoài $\displaystyle AB$ và $\displaystyle AC$ của $\displaystyle \left( O \right)$ và $\displaystyle \left( I \right)$ thành cặp tiếp tuyến chung ngoài $\displaystyle A'B'$ và $\displaystyle A'C'$ của $\displaystyle \left( O' \right)$ và $\displaystyle \left( I' \right)$ ( hoặc $\displaystyle A'C'$ và $\displaystyle A'B'$ ) còn tiếp tuyến $\displaystyle BC$ phải biến thành tiếp tuyến $\displaystyle B'C'$ suy ra $\displaystyle F:\Delta ABC\mapsto \Delta A'B'C'$ hoặc $\displaystyle F:\Delta ABC\mapsto \Delta A'C'B'$ , hay hai tam giác $\displaystyle ABC$ và $\displaystyle A'B'C'$ bằng nhau.