Phép tịnh tiến

PHÉP TỊNH TIẾN

A.LÍ THUYẾT CƠ BẢN

1. Định nghĩa

Trong mặt phẳng cho vectơ $\displaystyle \overrightarrow{v}$ . Phép biến hình biến mỗi điểm $\displaystyle M$ thành điểm $\displaystyle M'$ sao cho $\displaystyle \overrightarrow{MM'}=\overrightarrow{v}$ được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ $\displaystyle \overrightarrow{v}$ .

Phép tịnh tiến theo vectơ $\displaystyle \overrightarrow{v}$ được kí hiệu là $\displaystyle {{T}_{\overrightarrow{v}}}$ .

Vậy thì $\displaystyle {{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( M \right)=M'\Leftrightarrow \overrightarrow{MM'}=\overrightarrow{v}$ .

Nhận xét: $\displaystyle {{T}_{\overrightarrow{0}}}\left( M \right)=M$ .

2. Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

Trong mặt phẳng $\displaystyle Oxy$ cho điểm $\displaystyle M\left( x;y \right)$ và $\displaystyle \overrightarrow{v}=\left( a;b \right)$ .

Gọi $\displaystyle M'\left( x';y' \right)={{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( M \right)\Leftrightarrow \overrightarrow{MM'}=\overrightarrow{v}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x'-x=a\\y'-y=b\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x'=x+a\\y'=y+b\end{array} \right.\text{ }\left( * \right)$

Hệ $\displaystyle \left( * \right)$ được gọi là biểu thức tọa độ của $\displaystyle {{T}_{\overrightarrow{v}}}$ .

3. Tính chất của phép tịnh tiến

- Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì

- Biến một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho.

- Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.

- Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho.

- Biến một đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

B. BÀI TẬP

Bài toán 01: XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT HÌNH QUA PHÉP TỊNH TIẾN.

Phương pháp:

Sử dụng định nghĩa và các tính chất hoặc biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.

Ví dụ 1. Cho tam giác $\displaystyle ABC$ , dựng ảnh của tam giác $\displaystyle ABC$ qua phép tịnh tiến theo vec tơ $\displaystyle \overrightarrow{BC}$ .

Lời giải:

Ta có $\displaystyle {{T}_{\overrightarrow{BC}}}\left( B \right)=C$ .

Để tìm ảnh của điểm $\displaystyle A$ ta dựng hình bình hành $\displaystyle ABCD$ . Do $\displaystyle \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ nên $\displaystyle {{T}_{\overrightarrow{BC}}}\left( A \right)=D$ , gọi $\displaystyle E$ là điểm đối xứng với $\displaystyle B$ qua $\displaystyle C$ , khi đó $\displaystyle \overrightarrow{CE}=\overrightarrow{BC}$

Suy ra $\displaystyle {{T}_{\overrightarrow{BC}}}\left( C \right)=E$ . Vậy ảnh của tam giác $\displaystyle ABC$ là tam giác $\displaystyle DCE$ .

Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ $\displaystyle Oxy$ , cho $\displaystyle \overrightarrow{v}=\left( -2;3 \right)$ . Hãy tìm ảnh của các điểm $\displaystyle A\left( 1;-1 \right),B\left( 4;3 \right)$ qua phép tịnh tiến theo vectơ $\displaystyle \overrightarrow{v}$ .

A. $A'\left( -1;2 \right),B\left( 2;6 \right)$ .	B. $A'\left( -1;-2 \right),B\left( -2;6 \right)$ .
C. $A'\left( -1;2 \right),B\left( 2;-6 \right)$ .	D. $A'\left( -1;1 \right),B\left( 2;6 \right)$ .

Lời giải:

Áp dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x'=x+a\\y'=y+b\end{array} \right.$ .

Gọi $\displaystyle A'\left( x';y' \right)={{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( A \right)\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x'=1+(-2)\\y'=-1+3\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x'=-1\\y'=2\end{array} \right.\Rightarrow A'\left( -1;2 \right)$ .

Tương tự ta có ảnh của $\displaystyle B$ là điểm $\displaystyle B'\left( 2;6 \right)$ .

Ví dụ 3. Trong mặt phẳng tọa độ $\displaystyle Oxy$ , cho $\displaystyle \overrightarrow{v}=\left( 1;-3 \right)$ và đường thẳng $\displaystyle d$ có phương trình $\displaystyle 2x-3y+5=0$ . Viết phương trình đường thẳng $\displaystyle d'$ là ảnh của $\displaystyle d$ qua phép tịnh tiến $\displaystyle {{T}_{\overrightarrow{v}}}$ .

A. $\displaystyle d':2x-y-6=0$ .	B. $\displaystyle d':x-y-6=0$ .
C. $\displaystyle d':2x-y+6=0$ .	D. $\displaystyle d':2x-3y-6=0$ .

Lời giải:

Cách 1. Sử dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.

Lấy điểm $\displaystyle M\left( x;y \right)$ tùy ý thuộc $\displaystyle d$ , ta có $\displaystyle 2x-3y+5=0\text{ }\left( * \right)$

Gọi $\displaystyle M'\left( x';y' \right)={{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( M \right)\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x'=x+1\\y'=y-3\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=x'-1\\y=y'+3\end{array} \right.$

Thay vào (*) ta được phương trình $\displaystyle 2\left( x'-1 \right)-3\left( y'+3 \right)+5=0\Leftrightarrow 2x'-3y'-6=0$ .

Vậy ảnh của $\displaystyle d$ là đường thẳng $\displaystyle d':2x-3y-6=0$ .

Cách 2. Sử dụng tính chất của phép tịnh tiến

Do $\displaystyle d'={{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( d \right)$ nên $\displaystyle d'$ song song hoặc trùng với $\displaystyle d$ , vì vậy phương trình đường thẳng $\displaystyle d'$ có dạng $\displaystyle 2x-3y+c=0$ .(**)

Lấy điểm $\displaystyle M\left( -1;1 \right)\in d$ . Khi đó $\displaystyle M'={{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( M \right)=\left( -1+1;1-3 \right)=\left( 0;-2 \right)$ .

Do $\displaystyle M'\in d'\Rightarrow 2.0-3.\left( -2 \right)+c=0\Leftrightarrow c=-6$

Vậy ảnh của $\displaystyle d$ là đường thẳng $\displaystyle d':2x-3y-6=0$ .

Cách 3. Để viết phương trình $\displaystyle d'$ ta lấy hai điểm phân biệt $\displaystyle M,N$ thuộc $\displaystyle d$ , tìm tọa độ các ảnh $\displaystyle M',N'$ tương ứng của chúng qua $\displaystyle {{T}_{\overrightarrow{v}}}$ . Khi đó $\displaystyle d'$ đi qua hai điểm $\displaystyle M'$ và $\displaystyle N'$ .

Cụ thể: Lấy $\displaystyle M\left( -1;1 \right),N\left( 2;3 \right)$ thuộc $\displaystyle d$ , khi đó tọa độ các ảnh tương ứng là $\displaystyle M'\left( 0;-2 \right),N'\left( 3;0 \right)$ . Do $\displaystyle d'$ đi qua hai điểm $\displaystyle M',N'$ nên có phương trình $\displaystyle \frac{x-0}{3}=\frac{y+2}{2}\Leftrightarrow 2x-3y-6=0$ .

Ví dụ 4. Trong mặt phẳng tọa độ $\displaystyle Oxy$ , cho đường tròn $\displaystyle \left( C \right)$ có phương trình $\displaystyle {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-4y-4=0$ . Tìm ảnh của $\displaystyle \left( C \right)$ qua phép tịnh tiến theo vectơ $\displaystyle \overrightarrow{v}=\left( 2;-3 \right)$ .

A. $\displaystyle \left( C' \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-x+2y-7=0$ .	B. $\displaystyle \left( C' \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-x+y-7=0$ .
C. $\displaystyle \left( C' \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2y-7=0$ .	D. $\displaystyle \left( C' \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-x+y-8=0$ .

Lời giải:

Cách 1. Sử dụng biểu thức tọa độ.

Lấy điểm $\displaystyle M\left( x;y \right)$ tùy ý thuộc đường tròn $\displaystyle \left( C \right)$ , ta có $\displaystyle {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-4y-4=0\text{ }\left( * \right)$

Gọi $\displaystyle M'\left( x';y' \right)={{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( M \right)\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x'=x+2\\y'=y-3\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=x'-2\\y=y'+3\end{array} \right.$

Thay vào phương trình (*) ta được $\displaystyle \begin{array}{l}{{\left( x'-2 \right)}^{2}}+{{\left( y'+3 \right)}^{2}}+2\left( x'-2 \right)-4\left( y'+3 \right)-4=0\\\Leftrightarrow x{{'}^{2}}+y{{'}^{2}}-2x'+2y'-7=0\end{array}$ .

Vậy ảnh của $\displaystyle \left( C \right)$ là đường tròn $\displaystyle \left( C' \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2y-7=0$ .

Cách 2. Sử dụng tính chất của phép tịnh tiến

Dễ thấy $\displaystyle \left( C \right)$ có tâm $\displaystyle I\left( -1;2 \right)$ và bán kính $\displaystyle r=3$ . Gọi $\displaystyle \left( C' \right)={{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( \left( C \right) \right)$ và $\displaystyle I'\left( x';y' \right);r'$ là tâm và bán kính của $\displaystyle (C')$ .

Ta có $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x'=-1+2=1\\y'=2-3=-1\end{array} \right.\Rightarrow I'\left( 1;-1 \right)$ và $\displaystyle r'=r=3$ nên phương trình của đường tròn $\displaystyle \left( C' \right)$ là $\displaystyle {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=9$

Bài toán 02: XÁC ĐỊNH PHÉP TỊNH TIẾN KHI BIẾT ẢNH VÀ TẠO ẢNH.

Phương pháp:

Xác định phép tịnh tiến tức là tìm tọa độ của $\displaystyle \overrightarrow{v}$ . Để tìm tọa độ của $\displaystyle \overrightarrow{v}$ ta có thể giả sử $\displaystyle \overrightarrow{v}=\left( a;b \right)$ , sử dụng các dữ kiện trong giả thiết của bài toán để thiết lập hệ phương trình hai ẩn $\displaystyle a,b$ và giải hệ tìm $\displaystyle a,b$ .

Ví dụ 1. Trong mặt phẳng tọa độ $\displaystyle Oxy$ ,cho đường thẳng $\displaystyle d:3x+y-9=0$ . Tìm phép tịnh tiến theo vec tơ $\displaystyle \overrightarrow{v}$ có giá song song với $\displaystyle Oy$ biến $\displaystyle d$ thành $\displaystyle d'$ đi qua điểm $\displaystyle A\left( 1;1 \right)$ .

A. $\displaystyle \overrightarrow{v}=\left( 0;5 \right)$ .	B. $\displaystyle \overrightarrow{v}=\left( 1;-5 \right)$ .
C. $\displaystyle \overrightarrow{v}=\left( 2;-3 \right)$ .	D. $\displaystyle \overrightarrow{v}=\left( 0;-5 \right)$ .

Lời giải:

$\displaystyle \overrightarrow{v}$ có giá song song với $\displaystyle Oy$ nên $\displaystyle \overrightarrow{v}=\left( 0;k \right)\left( k\ne 0 \right)$

Lấy $\displaystyle M\left( x;y \right)\in d\Rightarrow 3x+y-9=0\text{ }\left( * \right)$ . Gọi $\displaystyle M'\left( x';y' \right)={{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( M \right)\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x'=x\\y'=y+k\end{array} \right.$ thay vào $\displaystyle \left( * \right)\Rightarrow 3x'+y'-k-9=0$

Hay $\displaystyle {{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( d \right)=d':3x+y-k-9=0$ , mà $\displaystyle d$ đi qua $\displaystyle A\left( 1;1 \right)\Rightarrow k=-5$ .

Vậy $\displaystyle \overrightarrow{v}=\left( 0;-5 \right)$ .

Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ $\displaystyle Oxy$ , cho đường hai thẳng $\displaystyle d:2x-3y+3=0$ và $\displaystyle d':2x-3y-5=0$ . Tìm tọa độ $\displaystyle \overrightarrow{v}$ có phương vuông góc với $\displaystyle d$ để $\displaystyle {{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( d \right)=d'$ .

A. $\displaystyle \overrightarrow{v}=\left( -\frac{6}{13};\frac{4}{13} \right)$ .	B. $\displaystyle \overrightarrow{v}=\left( -\frac{1}{13};\frac{2}{13} \right)$ .
C. $\displaystyle \overrightarrow{v}=\left( -\frac{16}{13};-\frac{24}{13} \right)$ .	D. $\displaystyle \overrightarrow{v}=\left( -\frac{16}{13};\frac{24}{13} \right)$ .

Lời giải:

Đặt $\displaystyle \overrightarrow{v}=\left( a;b \right)$ , lấy điểm $\displaystyle M\left( x;y \right)$ tùy ý thuộc $\displaystyle d$ , ta có $\displaystyle d:2x-3y+3=0\text{ }\left( * \right)$

Gọi sử $\displaystyle M'\left( x';y' \right)={{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( M \right)$ .Ta có $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x'=x+a\\y'=y+b\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=x'-a\\y=y'-b\end{array} \right.$ , thay vào (*) ta được phương trình $\displaystyle 2x'-3y'-2a+3b+3=0$ .

Từ giả thiết suy ra $\displaystyle -2a+3b+3=-5\Leftrightarrow 2a-3b=-8$ .

Vec tơ pháp tuyến của đường thẳng $\displaystyle d$ là $\displaystyle \overrightarrow{n}=\left( 2;-3 \right)$ suy ra VTCP $\displaystyle \overrightarrow{u}=\left( 3;2 \right)$ .

Do $\displaystyle \overrightarrow{v}\bot \overrightarrow{u}\Rightarrow \overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}=3a+2b=0$ .

Ta có hệ phương trình $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}2a-3b=-8\\3a+2b=0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a=-\frac{16}{13}\\b=\frac{24}{13}\end{array} \right.$ .Vậy $\displaystyle \overrightarrow{v}=\left( -\frac{16}{13};\frac{24}{13} \right)$ .

Bài toán 03: DÙNG PHÉP TỊNH TIẾN ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN DỰNG HÌNH.

Phương pháp:

Để dựng một điểm $\displaystyle M$ ta tìm cách xem nó là ảnh của một điểm đã biết qua một phép tịnh tiến, hoặc xem $\displaystyle M$ là giao điểm của hai đường trong đó một đường cố định còn một đường là ảnh của một đường đã biết qua phép tịnh tiến.

Lưu ý: Ta thường dùng kết quả: Nếu $\displaystyle {{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( N \right)=M$ và $\displaystyle N\in \left( H \right)$ thì $\displaystyle M\in \left( H' \right)$ trong đó $\displaystyle \left( H' \right)={{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( \left( H \right) \right)$ và kết hợp với $\displaystyle M$ thuộc hình $\displaystyle \left( K \right)$

(trong giả thiết) suy ra $\displaystyle M\in \left( H' \right)\cap \left( K \right)$ .

Ví dụ 1. Cho đường tròn tâm $\displaystyle O$ , bán kính $\displaystyle R$ và hai điểm phân biệt $\displaystyle C,D$ nằm ngoài $\displaystyle \left( O \right)$ . Hãy dựng dây cung $\displaystyle AB$ của đường tròn $\displaystyle \left( O \right)$ sao cho $\displaystyle ABCD$ là hình bình hành.

Lời giải:

Phân tích: Giả sử đã dựng được dây cung $\displaystyle AB$ thỏa mãn yêu cầu bài toán

Do $\displaystyle ABCD$ là hình bình hành nên $\displaystyle \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$
$\displaystyle \Rightarrow {{T}_{\overrightarrow{CD}}}\left( A \right)=B$ .

Nhưng $\displaystyle A\in \left( O \right)\Rightarrow B\in \left( O' \right)={{T}_{\overrightarrow{DC}}}\left( \left( O \right) \right)$ . Vậy $\displaystyle B$ vừa thuộc $\displaystyle \left( O \right)$ và $\displaystyle \left( O' \right)$ nên $\displaystyle B$ chính là giao điểm của $\displaystyle \left( O \right)$ và $\displaystyle \left( O' \right)$ .

Cách dựng:

- Dựng đường tròn $\displaystyle \left( O' \right)$ là ảnh của đường tròn $\displaystyle \left( O \right)$ qua $\displaystyle {{T}_{\overrightarrow{DC}}}$ .

- Dựng giao điểm $\displaystyle B$ của $\displaystyle \left( O \right)$ và $\displaystyle \left( O' \right)$ .

- Dựng đường thẳng qua $\displaystyle B$ và song song với $\displaystyle CD$ cắt $\displaystyle \left( O \right)$ tại $\displaystyle A$ .

Dây cung $\displaystyle AB$ là dây cung thỏa yêu cầu bài toán.

Chứng minh: Từ cách dựng ta có $\displaystyle {{T}_{\overrightarrow{DC}}}\left( A \right)=B\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\Rightarrow ABCD$ là hình bình hành.

Biện luận:

- Nếu $\displaystyle CD>2R$ thì bài toán vô nghiệm .

- Nếu $\displaystyle CD=2R$ thì có một nghiệm .

- Nếu $\displaystyle CD<2R$ thì có hai nghiệm.

Ví dụ 2. Cho tam giác $\displaystyle ABC$ . Dựng đường thẳng $\displaystyle d$ song song với $\displaystyle BC$ , cắt hai cạnh $\displaystyle AB,AC$ lần lượt tại $\displaystyle M,N$ sao cho $\displaystyle AM=CN$ .

Lời giải:

Phân tích: Giả sử đã dựng được đường thẳng $\displaystyle d$ thỏa mãn bài toán. Từ $\displaystyle M$ dựng đường thẳng song song với $\displaystyle AC$ cắt $\displaystyle BC$ tại $\displaystyle P$ , khi đó $\displaystyle MNCP$ là hình bình hành nên $\displaystyle CN=PM$ . Lại có $\displaystyle AM=CN$ suy ra $\displaystyle MP=MA$ , từ đó ta có $\displaystyle AP$ là phân giác trong của góc $\displaystyle A$ .

Cách dựng:

- Dựng phân giác trong $\displaystyle AP$ của góc $\displaystyle A$ .

- Dựng đường thẳng đi qua $\displaystyle P$ song song với $\displaystyle AC$ cắt $\displaystyle AB$ tại $\displaystyle M$ .

- Dựng ảnh $\displaystyle N={{T}_{\overrightarrow{PM}}}\left( C \right)$ .

Đường thẳng $\displaystyle MN$ chính là đường thẳng thỏa yêu cầu bài toán.

Chứng minh:
Từ cách dựng ta có $\displaystyle MNCP$ là hình bình hành suy ra $\displaystyle MN\parallel BC$ và $\displaystyle CN=PM$ , ta có $\widehat{MAP}\text{= }\widehat{CAP}=\widehat{APM}\Rightarrow \Delta MAP$ cân tại $\displaystyle M$ $\displaystyle \Rightarrow AM=MP$ .

Vậy $\displaystyle AM=CN$ .

Biện luận: Bài toán có một nghiệm hình

Ví dụ 3. Cho hai đường tròn $\displaystyle \left( {{O}_{1}} \right)$ và $\displaystyle \left( {{O}_{2}} \right)$ cắt nhau tại $\displaystyle A,B$ . Dựng đường thẳng $\displaystyle d$ đi qua $\displaystyle A$ cắt các đường tròn tại các điểm thứ hai $\displaystyle M,N$ sao cho $\displaystyle MN=2l$ cho trước.

Lời giải:

Giả sử đã dựng được đường thẳng $\displaystyle d$ đi qua $\displaystyle A$ và cắt các đường tròn $\displaystyle \left( {{O}_{1}} \right),\left( {{O}_{2}} \right)$ tương ứng tại các điểm $\displaystyle M,N$ sao cho $\displaystyle MN=2l$ .

Kẻ $\displaystyle {{O}_{1}}H\bot MN$ và $\displaystyle {{O}_{2}}I\bot MN$ .

Xét $\displaystyle {{T}_{\overrightarrow{H{{O}_{1}}}}}\left( I \right)=I'\Rightarrow {{O}_{1}}I'=HI=\frac{1}{2}MN=l$ .

Do tam giác $\displaystyle I'{{O}_{1}}{{O}_{2}}$ vuông tại $\displaystyle I'$ nên $\displaystyle {{O}_{2}}I'=\sqrt{{{O}_{1}}O_{2}^{2}-{{l}^{2}}}$ .

Bài toán 04: SỬ DỤNG PHÉP TỊNH TIẾN ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÌM TẬP HỢP ĐIỂM.

Phương pháp:

Nếu $\displaystyle {{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( M \right)=M'$ và đểm $\displaystyle M$ di động trên hình $\displaystyle \left( H \right)$ thì điểm $\displaystyle M'$ thuộc hình $\displaystyle \left( H' \right)$ , trong đó $\displaystyle \left( H' \right)$ là ảnh của hình $\displaystyle \left( H \right)$ qua $\displaystyle {{T}_{\overrightarrow{v}}}$ .

Ví dụ 1. Cho hai điểm phân biệt $\displaystyle B,C$ cố định trên đường tròn $\displaystyle \left( O \right)$ tâm $\displaystyle O$ . Điểm $\displaystyle A$ di động trên $\displaystyle \left( O \right)$ . Chứng minh khi $\displaystyle A$ di động trên $\displaystyle \left( O \right)$ thì trực tâm của tam giác $\displaystyle ABC$ di động trên một đường tròn.

Lời giải:

Gọi $\displaystyle H$ là trực tâm của tam giác $\displaystyle ABC$ và $\displaystyle M$ là trung điểm của $\displaystyle BC$ . Tia $\displaystyle BO$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $\displaystyle ABC$ tại $\displaystyle D$ . Vì $\displaystyle \widehat{BCD}={{90}^{0}}$ , nên $\displaystyle DC\parallel AH$ . Tương tự $\displaystyle AD\parallel CH$ , do đó $\displaystyle ADCH$ là hình bình hành.Suy ra $\displaystyle \overrightarrow{AH}=\overrightarrow{DC}=2\overrightarrow{OM}$ không đổi.

$\displaystyle \Rightarrow {{T}_{2\overrightarrow{OM}}}\left( A \right)=H$ , vì vậy khi $\displaystyle A$ di động trên dường tròn $\displaystyle \left( O \right)$ thì $\displaystyle H$ di động trên đường tròn $\displaystyle \left( O' \right)={{T}_{2\overrightarrow{OM}}}\left( \left( O \right) \right)$ .

Ví dụ 2. Cho tam giác $\displaystyle ABC$ có đỉnh $\displaystyle A$ cố định, $\displaystyle \widehat{BAC}=\alpha$ không đổi và $\displaystyle \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{v}$ không đổi. Tìm tập hợp các điểm $\displaystyle B,C$ .

Lời giải:

Gọi $\displaystyle O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $\displaystyle ABC$ , khi đó theo định lí sin ta có $\displaystyle \frac{BC}{\sin \alpha }=2R$ không đổi

( do $\displaystyle \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{v}$ không đổi).

Vậy $\displaystyle OA=R=\frac{BC}{2\sin \alpha }$ , nên $\displaystyle O$ di động trên đường tròn tâm $\displaystyle A$ bán kính $\displaystyle AO=\frac{BC}{2\sin \alpha }$ . Ta có $\displaystyle OB=OC=R$ không đổi và $\displaystyle \widehat{BOC}=2\alpha$ không đổi suy ra $\displaystyle \widehat{OBC}=\widehat{OCB}=\frac{{{180}^{0}}-2\alpha }{2}$ không đổi. Mặt khác $\displaystyle \overrightarrow{BC}$ có phương không đổi nên $\displaystyle \overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ cũng có phương không đổi.

Đặt $\displaystyle \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{{{v}_{1}}},\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{{{v}_{2}}}$ không đổi , thì $\displaystyle {{T}_{\overrightarrow{{{v}_{1}}}}}\left( O \right)=B,{{T}_{\overrightarrow{{{v}_{2}}}}}\left( O \right)=C$ .

Vậy tập hợp điểm $\displaystyle B$ là đường tròn $\displaystyle \left( {{A}_{1}};\frac{BC}{2\sin \alpha } \right)$ ảnh của $\displaystyle \left( A,\frac{BC}{2\sin \alpha } \right)$ qua $\displaystyle {{T}_{\overrightarrow{{{v}_{1}}}}}$ , và tập hợp điểm $\displaystyle C$ là đường tròn $\displaystyle \left( {{A}_{2}};\frac{BC}{2\sin \alpha } \right)$ ảnh của $\displaystyle \left( A,\frac{BC}{2\sin \alpha } \right)$ qua $\displaystyle {{T}_{\overrightarrow{{{v}_{2}}}}}$ .