Phép đối xứng trục

PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC

A.LÍ THUYẾT CƠ BẢN.

1. Định nghĩa:

Cho đường thẳng $\displaystyle d$ . Phép biến hình biến mỗi điểm $\displaystyle M$ thuộc $\displaystyle d$ thành chính nó, biến mỗi điểm $\displaystyle M$ không thuộc $\displaystyle d$ thành điểm
$\displaystyle M'$ sao cho $\displaystyle d$ là đường trung trực của đoạn $\displaystyle MM'$ được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng $\displaystyle d$ , hay còn gọi là phép đối xứng trục $\displaystyle d$ .

Phép đối xứng trục có trục là đường thẳng $\displaystyle d$ được kí hiệu là . Như vậy với $\displaystyle I$ là hình chiếu vuông góc của $\displaystyle M$ trên $\displaystyle d$ .

Nếu thì $\displaystyle d$ được gọi là trục đối xứng của hình $\displaystyle \left( H \right)$ .

2. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục:

Trong mặt phẳng $\displaystyle Oxy$ , với mỗi điểm $\displaystyle M\left( x;y \right)$ , gọi .

– Nếu chọn $\displaystyle d$ là trục $\displaystyle Ox$ , thì $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x'=x\\y'=-y\end{array} \right.$

– Nếu chọn $\displaystyle d$ là trục $\displaystyle Oy$ , thì $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x'=-x\\y'=y\end{array} \right.$ .

3. Tính chất phép đối xứng trục:

+ Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

+ Biến một đường thẳng thành đường thẳng.

+ Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn đã cho.

+ Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho.

+ Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

B. BÀI TẬP.

Bài toán 01: XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT HÌNH QUA ĐỐI XỨNG TRỤC.

Phương pháp:

Để xác định ảnh $\displaystyle \left( H' \right)$ của hình $\displaystyle \left( H \right)$ qua phép đối xứng trục ta có thể dùng một trong các cách sau:

+ Dùng định nghĩa phép đối xứng trục

+ Dùng biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục mà trục đối xứng là các trục tọa độ.

+ Dùng biểu thức vec tơ của phép đối xứng trục.

Ví dụ 1. Trong mặt phẳng $\displaystyle Oxy$ , cho điểm $\displaystyle M\left( 1;5 \right)$ , đường thẳng $\displaystyle d:x+2y+4=0$ và đường tròn $\displaystyle \left( C \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-4y-4=0$ .

a) Tìm ảnh của $\displaystyle M$ qua phép đối xứng trục $\displaystyle Ox$ .

A. $\displaystyle M'\left( -1;5 \right)$ .	B. $\displaystyle M'\left( -1;-5 \right)$ .
C. $\displaystyle M'\left( 1;-5 \right)$ .	D. $\displaystyle M'\left( 0;-5 \right)$ .

b) Tìm ảnh của $\displaystyle d$ qua phép đối xứng trục $\displaystyle Ox$ .

A. $\displaystyle d':2x-2y+4=0$ .	B. $\displaystyle d':x-2y+2=0$ .
C. $\displaystyle d':3x-2y+4=0$ .	D. $\displaystyle d':x-2y+4=0$ .

c) Tìm ảnh của $\displaystyle \left( C \right)$ qua phép đối xứng trục $\displaystyle Ox$ .

A. $\displaystyle \left( C' \right):{{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}=9$ .	B. $\displaystyle \left( C' \right):{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=9$ .
C. $\displaystyle \left( C' \right):{{\left( x+3 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}=9$ .	D. $\displaystyle \left( C' \right):{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}=9$ .

d) Tìm ảnh của $\displaystyle M$ qua phép đối xứng qua đường thẳng $\displaystyle d$ .

A. $M'\left( -5;-7 \right)$ .	B. $M'\left( 5;7 \right)$ .
C. $M'\left( -5;7 \right)$ .	D. $M'\left( 5;-7 \right)$ .

Lời giải:

a) Gọi $\displaystyle M',d',\left( C' \right)$ theo thứ tự là ảnh của $\displaystyle M,d,\left( C \right)$ qua , khi đó $\displaystyle M'\left( 1;-5 \right)$ .

b) Tìm ảnh của $\displaystyle d$ .

Lấy $\displaystyle M\left( x;y \right)\in d\Rightarrow$ $\displaystyle x+2y+4=0$ (1)

Gọi $\displaystyle N\left( x';y' \right)$ là ảnh của $\displaystyle M$ qua phép đối xứng .

Ta có $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x'=x\\y'=-y\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=x'\\y=-y'\end{array} \right.$ . Thay vào $\displaystyle \left( 1 \right)$ ta được

$\displaystyle x'-2y'+4=0$ . Vậy $\displaystyle d':x-2y+4=0$ .

c) Tìm ảnh của $\displaystyle \left( C \right)$ .

Cách 1: Ta thấy $\displaystyle \left( C \right)$ có tâm $\displaystyle I\left( -1;2 \right)$ và bán kính $\displaystyle R=3$ .

Gọi $\displaystyle I',R'$ là tâm và bán kính của $\displaystyle \left( C' \right)$ thì $\displaystyle I'\left( -1;-2 \right)$ và $\displaystyle R'=R=3$ , do đó $\displaystyle \left( C' \right):{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}=9$ .

Cách 2: Lấy $\displaystyle P\left( x;y \right)\in \left( C \right)\Rightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-4y-4=0\text{ }\left( 2 \right)$ .

Gọi $\displaystyle Q\left( x';y' \right)$ là ảnh của $\displaystyle P$ qua phép đối xứng . Ta có

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x'=x\\y'=-y\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=x'\\y=-y'\end{array} \right.$ thay vào $\displaystyle \left( 2 \right)$ ta được $\displaystyle x{{'}^{2}}+y{{'}^{2}}+2x'+4y'-4=0$ , hay $\displaystyle \left( C' \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x+4y-4=0$ .

d) Đường thẳng $\displaystyle {{d}_{1}}$ đi qua $\displaystyle M$ vuông góc với $\displaystyle d$ có phương trình $\displaystyle 2x-y+3=0$ .

Gọi $\displaystyle I=d\cap {{d}_{1}}$ thì tọa độ điểm $\displaystyle I$ là nghiệm của hệ $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x+2y+4=0\\2x-y+3=0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=-2\\y=-1\end{array} \right.\Rightarrow I\left( -2;-1 \right)$ .

Gọi $\displaystyle M'$ đối xứng với $\displaystyle M$ qua $\displaystyle d$ thì $\displaystyle I$ là trung điểm của $\displaystyle MM'$ .

Ta có $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{x}_{I}}=\frac{{{x}_{M}}+{{x}_{M'}}}{2}\\{{y}_{I}}=\frac{{{y}_{M}}+{{y}_{M'}}}{2}\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{x}_{M'}}=2{{x}_{I}}-{{x}_{M}}=-5\\{{y}_{M'}}=2{{y}_{I}}-{{y}_{M}}=-7\end{array} \right.\Rightarrow M'\left( -5;-7 \right)$ .

Ví dụ 2. Cho hai đường thẳng $\displaystyle d:x+y-2=0$ , $\displaystyle {{d}_{1}}:x+2y-3=0$ và đường tròn $\displaystyle \left( C \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=4$ .

a) Tìm ảnh của $\displaystyle {{d}_{1}}$ qua phép đối xứng trục $\displaystyle d$ .

A. $\displaystyle {{d}_{1}}':x+y-3=0$ .	B. $\displaystyle {{d}_{1}}':2x+2y-3=0$ .
C. $\displaystyle {{d}_{1}}':2x+2y-1=0$ .	D. $\displaystyle {{d}_{1}}':2x+y-3=0$ .

b) Tìm ảnh của $\displaystyle \left( C \right)$ qua phép đối xứng trục $\displaystyle d$ .

A. $\displaystyle \left( C' \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=4$ .	B. $\displaystyle \left( C' \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=4$ .
C. $\displaystyle \left( C' \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=4$ .	D. $\displaystyle \left( C' \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=4$ .

Lời giải:

a) Tìm ảnh của $\displaystyle {{d}_{1}}$ .

Ta có $\displaystyle {{d}_{1}}\cap d=I\left( 1;1 \right)$ nên .

Lấy $\displaystyle M\left( 3;0 \right)\in {{d}_{1}}$ . Đường thẳng $\displaystyle {{d}_{2}}$ đi qua $\displaystyle M$ vuông góc với $\displaystyle d$ có phương trình $\displaystyle x-y-3=0$ . Gọi $\displaystyle {{M}_{0}}=d\cap {{d}_{2}}$ , thì tọa độ của $\displaystyle {{M}_{0}}$ là nghiệm của hệ $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x+y-2=0\\x-y-3=0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=\frac{5}{2}\\y=-\frac{1}{2}\end{array} \right.\Rightarrow {{M}_{0}}\left( \frac{5}{2};-\frac{1}{2} \right)$ .

Gọi $\displaystyle M'$ là ảnh của $\displaystyle M$ qua thì $\displaystyle {{M}_{0}}$ là trung điểm của $\displaystyle MM'$ nên

$\displaystyle M'\left( 2;-1 \right)$ . Gọi thì $\displaystyle {{d}_{1}}'$ đi qua $\displaystyle I$ và $\displaystyle M'$ nên có phương trình $\displaystyle \frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{-2}\Leftrightarrow 2x+y-3=0$ . Vậy $\displaystyle {{d}_{1}}':2x+y-3=0$ .

b) Tìm ảnh của $\displaystyle \left( C \right)$ .

Đường tròn $\displaystyle \left( C \right)$ có tâm $\displaystyle J\left( 1;-1 \right)$ và bán kính $\displaystyle R=2$ .

Đường thẳng $\displaystyle {{d}_{3}}$ đi qua $\displaystyle J$ và vuông góc với $\displaystyle d$ có phương trình $\displaystyle x-y-2=0$ .

Gọi $\displaystyle {{J}_{0}}={{d}_{3}}\cap d$ thì tọa độ của điểm $\displaystyle {{J}_{0}}$ là nghiệm của hệ $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x+y-2=0\\x-y-2=0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=2\\y=0\end{array} \right.\Rightarrow {{J}_{0}}\left( 2;0 \right)$ .

Gọi thì $\displaystyle {{J}_{0}}$ là trung điểm của $\displaystyle JJ'$ nên $\displaystyle J'\left( 3;1 \right)$

Gọi thì $\displaystyle J'$ là tâm của $\displaystyle \left( C' \right)$ và bán kính của $\displaystyle \left( C' \right)$ là $\displaystyle R'=R=2$ .

Vậy $\displaystyle \left( C' \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=4$ .

Bài toán 02: DÙNG PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN DỰNG HÌNH.

Phương pháp:

Để dựng một điểm $\displaystyle M$ ta tìm cách xác định nó như là ảnh của một điểm đã biết qua một phép đối xứng trục, hoặc xem $\displaystyle M$ như là giao điểm của một đường cố định và một với ảnh của một đường đã biết qua phép đối xứng trục.

Ví dụ 1. Dựng hình vuông $\displaystyle ABCD$ biết hai đỉnh $\displaystyle A$ và $\displaystyle C$ nằm trên đường thẳng $\displaystyle {{d}_{1}}$ và hai đỉnh $\displaystyle B,D$ lần lượt thuộc hai đường thẳng $\displaystyle {{d}_{2}},{{d}_{3}}$ .

Lời giải:

Phân tích: Giả sử đã dựng được hình vuông $\displaystyle ABCD$ , thỏa các điều kiện của bài toán. Do $\displaystyle A,C\in {{d}_{2}}$ và $\displaystyle AC$ là trục đối xứng của hình vuông $\displaystyle ABCD$ . Mặt khác $\displaystyle B\in {{d}_{2}}$ nên $\displaystyle D\in {{d}_{2}}'$

$\displaystyle \Rightarrow D={{d}_{2}}'\cap {{d}_{3}}$ .

Hai điểm $\displaystyle B,D$ đối xứng qua đường thẳng $\displaystyle {{d}_{1}}$ .

Nên , lại có $\displaystyle D\in {{d}_{3}}\Rightarrow D={{d}_{3}}\cap {{d}_{2}}'$ .

Cách dựng:

Dựng , gọi $\displaystyle D={{d}_{2}}\cap {{d}_{2}}'$

Dựng đường thẳng qua $\displaystyle D$ vuông góc với $\displaystyle {{d}_{1}}$ tại $\displaystyle O$ và cắt $\displaystyle {{d}_{2}}$ tại $\displaystyle B$

Dựng đường tròn tâm $\displaystyle O$ đường kính $\displaystyle BD$ cắt $\displaystyle {{d}_{1}}$ tại $\displaystyle A,C$ . (Kí hiệu các điểm $\displaystyle A,C$ theo thứ tự để tạo thành tứ giác $\displaystyle ABCD$ )

Chứng minh: Từ cách dựng suy ra $\displaystyle ABCD$ là hình vuông.

Biện luận:

Trường hợp 1.
$\displaystyle {{d}_{2}}$ cắt $\displaystyle {{d}_{3}}$ khi đó.

Nếu $\displaystyle {{d}_{2}}'\cap {{d}_{3}}$ thì ví dụ đã cho có một nghiệm hình.

Nếu $\displaystyle {{d}_{2}}'\parallel {{d}_{3}}$ thì ví dụ đã cho vô nghiệm hình.

Trường hợp 2.
$\displaystyle {{d}_{2}}\parallel {{d}_{3}}$ , khi đó

Nếu $\displaystyle {{d}_{1}}$ song song và cách đều $\displaystyle {{d}_{2}}$ và $\displaystyle {{d}_{3}}$ thì có vô số nghiệm hình ( $\displaystyle h2$ )

Nếu $\displaystyle {{d}_{1}}$ hợp với $\displaystyle {{d}_{2}},{{d}_{3}}$ một góc $\displaystyle 45{}^\circ$ thì có một nghiệm hình ( $\displaystyle h3$ )

Nếu $\displaystyle {{d}_{1}}$ song song và không cách đều $\displaystyle {{d}_{2}},{{d}_{3}}$ hoặc $\displaystyle {{d}_{1}}$ không hợp $\displaystyle {{d}_{2}},{{d}_{3}}$ một góc $\displaystyle 45{}^\circ$ thì ví dụ đã cho vô nghiệm hình.

Ví dụ 2. Cho hai đường tròn $\displaystyle \left( C \right),\left( C' \right)$ có bán kính khác nhau và đường thẳng $\displaystyle d$ . Hãy dựng hình vuông $\displaystyle ABCD$ có hai đỉnh $\displaystyle A,C$ lần lượt nằm trên $\displaystyle \left( C \right),\left( C' \right)$ và hai đỉnh còn lại nằm trên $\displaystyle d$ .

Lời giải:

Phân tích:

Giả sử đã dựng được hình vuông $\displaystyle ABCD$ thỏa mãn đề bài. Ta thấy hai đỉnh $\displaystyle B,D\in d$ nên hình vuông hoàn toàn xác định khi biết $\displaystyle C$ . Ta có $\displaystyle A,C$ đối xứng qua $\displaystyle d$ nên $\displaystyle C$ thuộc đường tròn $\displaystyle \left( {{C}_{1}} \right)$ , ảnh của đường tròn $\displaystyle \left( C \right)$ qua . Mặt khác $\displaystyle C\in \left( C' \right)\Rightarrow C\in \left( C \right)\cap \left( C' \right)$ .

Từ đó suy ra cách dựng

Cách dựng:

Dựng đường tròn $\displaystyle \left( {{C}_{1}} \right)$ là ảnh của $\displaystyle \left( C \right)$ qua .

Từ điểm $\displaystyle C$ thuộc $\displaystyle \left( {{C}_{1}} \right)\cap \left( C' \right)$ dựng điểm $\displaystyle A$ đối xứng với $\displaystyle C$ qua $\displaystyle d$ . Gọi $\displaystyle I=AC\cap d$

Lấy trên $\displaystyle d$ hai điểm $\displaystyle BD$ sao cho $\displaystyle IB=ID=IA$ .

Khi đó $\displaystyle ABCD$ là hình vuông cần dựng.

Chứng minh:

Dễ thấy $\displaystyle ABCD$ là hình vuông có $\displaystyle B,D\in d$ , $\displaystyle C\in \left( C' \right)$ . Mặt khác $\displaystyle A,C$ đối xứng qua $\displaystyle d$ mà hay $\displaystyle A$ thuộc $\displaystyle \left( C \right)$ .

Biện luận:

Số nghiệm hình bằng số giao điểm của $\displaystyle \left( {{C}_{1}} \right)$ và $\displaystyle \left( C' \right)$ .

Bài toán 03: DÙNG PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TẬP HỢP ĐIỂM.

Phương pháp:

Sử dụng tính chất : Nếu với $\displaystyle M$ di động trên hình $\displaystyle \left( H \right)$ thì $\displaystyle N$ di động trên hình $\displaystyle \left( H' \right)$ – ảnh của hình $\displaystyle \left( H \right)$ qua phép đối xứng trục $\displaystyle d$ .

Ví dụ 1. Trên đường tròn $\displaystyle \left( O,R \right)$ cho hai điểm cố định $\displaystyle A,B$ . Đường tròn $\displaystyle \left( O';R' \right)$ tiếp xúc ngoài với $\displaystyle \left( O \right)$ tại $\displaystyle A$ . Một điểm $\displaystyle M$ di động trên $\displaystyle \left( O \right)$ . $\displaystyle MA$ cắt $\displaystyle \left( O' \right)$ tại điểm thứ hai $\displaystyle A'$ . Qua $\displaystyle A'$ kẻ đường thẳng song song với $\displaystyle AB$ cắt $\displaystyle MB$ tại $\displaystyle B'$ .

Tìm quỹ tích điểm $\displaystyle B'$

Lời giải:

Gọi $\displaystyle C=A'B'\cap \left( O' \right)$ . Vẽ tiếp tuyến chung của $\displaystyle \left( O \right)$ và $\displaystyle \left( O' \right)$ tại điểm $\displaystyle A$ . Ta có $\displaystyle \widehat{A'CA}=\widehat{xAM}$

$\displaystyle =\widehat{ABM}=\widehat{BB'A'}$ do đó $\displaystyle ABB'C$ là hình thang cân. Gọi $\displaystyle d$ là trục đối xứng của hình thang này thì mà $\displaystyle C$ di động trên đường tròn $\displaystyle \left( O' \right)$ nên $\displaystyle B'$ di động trên đường tròn $\displaystyle \left( O'' \right)$ ảnh của $\displaystyle \left( O' \right)$ qua .

Ví dụ 2. Cho tam giác $\displaystyle ABC$ có tâm đường tròn nội tiếp $\displaystyle I$ , $\displaystyle P$ là một điểm nằm trong tam giác. Gọi $\displaystyle A',B',C'$ là các điểm đối xứng với $\displaystyle P$ lần lượt đối xứng qua $\displaystyle IA,IB,IC$ . Chứng minh các đường thẳng $\displaystyle AA',BB',CC'$ đồng quy.

Lời giải:

Giả sử điểm $\displaystyle P$ nằm trong tam giác $\displaystyle IAB$ . Gọi $\displaystyle {{P}_{1}},{{P}_{2}},{{P}_{3}}$ lần lượt đối xứng với $\displaystyle P$ qua các cạnh $\displaystyle BC,CA,AB$ . Ta sẽ chứng minh $\displaystyle AA',BB',CC'$ đồng quy tại tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $\displaystyle {{P}_{1}}{{P}_{2}}{{P}_{3}}$ .

Hiển nhiên ta có $\displaystyle A{{P}_{2}}=A{{P}_{3}}$ vậy để chứng minh $\displaystyle AA'$ là trung trực của $\displaystyle {{P}_{2}}{{P}_{3}}$ ta cần chứng minh $\displaystyle \widehat{{{P}_{2}}AA'}=\widehat{{{P}_{3}}AA'}$ .

Ta có $\displaystyle \widehat{{{P}_{3}}AA'}=\widehat{{{P}_{3}}AP}+\widehat{PAA'}=2\alpha +2\beta$

Tương tự $\displaystyle \widehat{{{P}_{2}}AA'}=\widehat{{{P}_{2}}AC}+\widehat{CAA'}=\widehat{CAP}+\widehat{CAA'}$
$\displaystyle =2\alpha +2\beta$ . Vậy $\displaystyle \widehat{{{P}_{2}}AA'}=\widehat{{{P}_{3}}AA'}$ nên $\displaystyle AA'$ là trung trực của $\displaystyle {{P}_{2}}{{P}_{3}}$ .

Tương tự $\displaystyle BB',CC'$ lần lượt là trung trực của $\displaystyle {{P}_{1}}{{P}_{3}}$ và $\displaystyle {{P}_{1}}{{P}_{2}}$ nên chúng đồng quy tại tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $\displaystyle {{P}_{1}}{{P}_{2}}{{P}_{3}}$ .