Phép đối xứng tâm

PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM

A.LÍ THUYẾT CƠ BẢN.

1. Định nghĩa.

Cho điểm $\displaystyle I$ . Phép biến hình biến điểm $\displaystyle I$ thành chính nó và biến mỗi điểm $\displaystyle M$ khác $\displaystyle I$ thành điểm $\displaystyle M'$ sao cho $\displaystyle I$ là trung điểm của $\displaystyle MM'$ được gọi là phép đối xứng tâm $\displaystyle I$ .

Phép đối xứng tâm $\displaystyle I$ được kí hiệu là .

Vậy

Nếu thì $\displaystyle I$ được gọi là tâm đối xứng của hình $\displaystyle \left( H \right)$ .

2. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm.

Trong mặt phẳng $\displaystyle Oxy$ cho $\displaystyle I\left( a;b \right)$ , $\displaystyle M\left( x;y \right)$ , gọi $\displaystyle M'\left( x';y' \right)$ là ảnh của $\displaystyle M$ qua phép đối xứng tâm $\displaystyle I$ thì $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x'=2a-x\\y'=2b-y\end{array} \right.$

3. Tính chất phép đối xứng tâm.

– Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

– Biến một đường thẳng thành đường thẳng.

– Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn đã cho.

– Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho.

– Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

B. BÀI TẬP.

Bài toán 01: XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT HÌNH QUA PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM.

Phương pháp:

Sử dụng biểu thức tọa độ và các tính chất của phép đối xứng tâm.

Ví dụ 1. Cho điểm $\displaystyle I\left( 1;1 \right)$ và đường thẳng $\displaystyle d:x+2y+3=0$ . Tìm ảnh của $\displaystyle d$ qua phép đối xứng tâm $\displaystyle I$ .

A. $\displaystyle d':x+y-3=0$ .	B. $\displaystyle d':x+2y-7=0$ .
C. $\displaystyle d':2x+2y-3=0$ .	D. $\displaystyle d':x+2y-3=0$ .

Lời giải:

Cách 1. Lấy điểm $\displaystyle M\left( x;y \right)\in d\Rightarrow x+2y+3=0\text{ }\left( * \right)$

Gọi thì $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x'=2-x\\y'=2-y\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=2-x'\\y=2-y'\end{array} \right.$ .

Thay vào $\displaystyle \left( * \right)$ ta được $\displaystyle \left( 2-x' \right)+2\left( 2-y' \right)+3=0\Leftrightarrow x'+2y'-9=0$

Vậy ảnh của $\displaystyle d$ là đường thẳng $\displaystyle d':x+2y-3=0$ .

Cách 2. Gọi $\displaystyle d'$ là ảnh của $\displaystyle d$ qua phép đối xứng tâm $\displaystyle I$ , thì $\displaystyle d'$ song song hoặc trùng với $\displaystyle d$ nên phương trình $\displaystyle d'$ có dạng $\displaystyle x+2y+c=0$ .

Lấy $\displaystyle N\left( -3;0 \right)\in d$ , gọi thì $\displaystyle N'\left( 5;2 \right)$ .

Lại có $\displaystyle N'\in d'\Rightarrow 5+2.2+c=0\Leftrightarrow c=-9$ .

Vậy $\displaystyle d':x+2y-3=0$ .

Bài toán 02: XÁC ĐỊNH TÂM ĐỐI XỨNG KHI BIẾT ẢNH VÀ TẠO ẢNH.

Ví dụ 1. Cho đường thẳng $\displaystyle d:x-2y+6=0$ và $\displaystyle d':x-2y-10=0$ . Tìm phép đối xứng tâm $\displaystyle I$ biến $\displaystyle d$ thành $\displaystyle d'$ và biến trục $\displaystyle Ox$ thành chính nó.

A. $\displaystyle I\left( 3;0 \right)$ .	B. $\displaystyle I\left( 2;1 \right)$ .
C. $\displaystyle I\left( 1;0 \right)$ .	D. $\displaystyle I\left( 2;0 \right)$ .

Lời giải:

Tọa độ giao điểm của $\displaystyle d,d'$ với $\displaystyle Ox$ lần lượt là $\displaystyle A\left( -6;0 \right)$ và $\displaystyle B\left( 10;0 \right)$ .

Do phép đối xứng tâm biến $\displaystyle d$ thành $\displaystyle d'$ và biến trục $\displaystyle Ox$ thành chính nó nên biến giao điểm $\displaystyle A$ của $\displaystyle d$ với $\displaystyle Ox$ thành giao điểm $\displaystyle A'$ của $\displaystyle d'$ với $\displaystyle Ox$ do đó tâm đối xứng là trung điểm của $\displaystyle AA'$ . Vậy tâm đỗi xứng là $\displaystyle I\left( 2;0 \right)$ .

Bài toán 03: TÌM TÂM ĐỐI XỨNG CỦA MỘT HÌNH.

Ví dụ 1. Tìm tâm đối xứng của đường cong $\displaystyle \left( C \right)$ có phương trình $\displaystyle y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+3$ .

A. $\displaystyle I\left( 2;1 \right)$ .	B. $\displaystyle I\left( 2;2 \right)$ .
C. $\displaystyle I\left( 1;1 \right)$ .	D. $\displaystyle I\left( 1;2 \right)$ .

Lời giải:

Lấy điểm $\displaystyle M\left( x;y \right)\in \left( C \right)\Rightarrow y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2\text{ }\left( * \right)$

Gọi $\displaystyle I\left( a;b \right)$ là tâm đối xứng của $\displaystyle \left( C \right)$ và $\displaystyle M'\left( x';y' \right)$ là ảnh của $\displaystyle M$ qua phép đối xứng tâm $\displaystyle I$ . Ta có $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x'=2a-x\\y'=2b-y\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=2a-x'\\y=2b-y'\end{array} \right.$

Thay vào $\displaystyle \left( * \right)$ ta được $\displaystyle 2b-y'={{\left( 2a-x' \right)}^{3}}-3{{\left( 2a-x' \right)}^{2}}+3$

$\displaystyle \Leftrightarrow y'=x{{'}^{3}}-3x{{'}^{2}}+3+(6-6a)x{{'}^{2}}+\left( 12{{a}^{2}}-12a \right)x'-8{{a}^{3}}+12{{a}^{2}}+2b+6\text{ }\left( * \right)$

Mặt khác $\displaystyle M'\in \left( C \right)$ nên $\displaystyle y'=x{{'}^{3}}-3x{{'}^{2}}+3$ do đó

$\displaystyle \left( * \right)$ $\displaystyle \Leftrightarrow$ $\displaystyle (6-6a)x{{'}^{2}}+\left( 12{{a}^{2}}-12a \right)x'-8{{a}^{3}}+12{{a}^{2}}+2b-6\text{ }=0,\forall x'$ $\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6-6a=0\\12{{a}^{2}}-12a=0\\-8{{a}^{3}}+12{{a}^{2}}+2b-6=0\end{array} \right.$ $\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a=1\\b=1\end{array} \right.$ .

Vậy $\displaystyle I\left( 1;1 \right)$ là tâm đối xứng của $\displaystyle \left( C \right)$ .

Ví dụ 2. Chứng minh rằng nếu một tứ giác có tâm đối xứng thì nó phải là hình bình hành.

Lời giải:

Giả sử tứ giác $\displaystyle ABCD$ có tâm đối xứng là $\displaystyle I$ . Vì qua phép biến hình đỉnh của một đa giác cũng được biến thành đỉnh của đa giác nên đỉnh $\displaystyle A$ có thể được biến thành $\displaystyle A,B,C$ hay $\displaystyle D$ .

+ Nếu đỉnh $\displaystyle A$ được biến thành chính nó thì $\displaystyle \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow I\equiv A$ vô lí
+ Nếu $\displaystyle A$ biến thành $\displaystyle B$ (hoặc $\displaystyle D$ ) thì $\displaystyle I$ là trung điểm của $\displaystyle AB$ ( hoăc $\displaystyle I$ là trung điểm của $\displaystyle AD$ ) cũng vô lí.

Vậy $\displaystyle A$ được biến thành $\displaystyle C$ , lí luận tương tự thì $\displaystyle B$ chỉ được biến thành $\displaystyle D$ , vì vậy $\displaystyle I$ là trung điểm của hai đường chéo $\displaystyle AC$ và $\displaystyle BD$ nên tứ giác $\displaystyle ABCD$ phải là hình bình hành.

Bài toán 04: SỬ DỤNG PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN DỰNG HÌNH.

Phương pháp:

Xem điểm cần dựng là giao của một đường có sẵn và ảnh của một đường khác qua phép quay nào đó.

Ví dụ 1. Cho hai đường thẳng $\displaystyle {{d}_{1}},{{d}_{2}}$ và hai điểm $\displaystyle A,G$ không thuộc $\displaystyle {{d}_{1}},{{d}_{2}}$ . Hãy dựng tam giác $\displaystyle ABC$ có trọng tâm $\displaystyle G$ và hai đỉnh $\displaystyle B,C$ lần lượt thuộc $\displaystyle {{d}_{1}}$ và $\displaystyle {{d}_{2}}$ .

Lời giải:

Phân tích:

Giả sử đã dượng được tam giác $\displaystyle ABC$ thỏa mãn yêu cầu bài toán

Gọi $\displaystyle I$ là trung điểm của $\displaystyle BC$ thì mà $\displaystyle C\in {{d}_{2}}$ nên $\displaystyle B\in {{d}_{2}}'$ với $\displaystyle {{d}_{2}}'$ là ảnh của $\displaystyle d$ qua phép đối xứng tâm $\displaystyle I$ . Lại có $\displaystyle B\in {{d}_{1}}\Rightarrow B={{d}_{1}}\cap {{d}_{2}}'$ .

Cách dựng:

+ Dựng điểm $\displaystyle I$ sao cho $\displaystyle \overrightarrow{AI}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AG}$

+ Dựng đường thẳng $\displaystyle {{d}_{2}}'$ ảnh của $\displaystyle {{d}_{2}}$ qua

+ Gọi $\displaystyle B={{d}_{1}}\cap {{d}_{2}}'$

+ Dựng điểm

Tam giác $\displaystyle ABC$ là tam giác phải dựng.

Chứng minh:

Dựa vào cách dựng ta có $\displaystyle I$ là trung điểm của $\displaystyle BC$ và $\displaystyle \overrightarrow{AI}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AG}$ nên $\displaystyle G$ là trọng tâm của tam giác $\displaystyle ABC$ .

Biện luận: Số nghiệm hình bằng số giao điểm của $\displaystyle {{d}_{1}}$ và $\displaystyle {{d}_{2}}'$ .

Ví dụ 2. Cho hai đường tròn $\displaystyle \left( O \right)$ và $\displaystyle \left( O' \right)$ cắt nhau tại hai điểm $\displaystyle A,B$ vá số $\displaystyle a>0$ . Dựng đường thẳng $\displaystyle d$ đi qua $\displaystyle A$ cắt hai đường tròn thành hai dây cung mà hiệu độ dài bằng $\displaystyle a$ .

Lời giải:

Phân tích:

Giả sử đã dựng được đường thẳng $\displaystyle d$ cắt $\displaystyle \left( O \right)$ và $\displaystyle \left( O' \right)$ tại $\displaystyle M,M'$ sao cho $\displaystyle AM-AM'=a$ ( giả sử $\displaystyle AM>AM'$ ).

Xét phép đối xứng

Gọi , $\displaystyle H,K$ lần lượt là trung điểm của $\displaystyle AN$ và $\displaystyle AM$ , khi đó $\displaystyle H{{O}_{1}}\bot AM$ và $\displaystyle OK\bot AM$ . Gọi $\displaystyle I$ là hình chiếu của $\displaystyle O$ trên $\displaystyle {{O}_{1}}H$ , ta có $\displaystyle OI\parallel =KH$ , mặt khác $\displaystyle KH=KA-HA$

$\displaystyle =\frac{AM-AN}{2}=\frac{AM-AM'}{2}=\frac{a}{2}$ nên $\displaystyle OI=\frac{a}{2}$ . Vậy điểm $\displaystyle I$ thuộc đường tròn tâm $\displaystyle O$ bán kính $\displaystyle r=\frac{a}{2}$ .

Mặt khác $\displaystyle I$ thuộc đường tròn đường kính $\displaystyle O{{O}_{1}}$ nên $\displaystyle I$ là giao điểm của đường tròn đường kính $\displaystyle O{{O}_{1}}$ với đường tròn $\displaystyle \left( O;\frac{a}{2} \right)$ do đó $\displaystyle I$ xác định và $\displaystyle d$ là đường thẳng đi qua $\displaystyle A$ và song song với $\displaystyle OI$ .

Cách dựng:

+ Dựng $\displaystyle \left( {{O}_{1}} \right)$ ảnh của $\displaystyle \left( O \right)$ qua .

+ Dựng đường tròn đường kính $\displaystyle O{{O}_{1}}$ .

+ Dựng đường tròn $\displaystyle \left( O;\frac{a}{2} \right)$ , và dựng giao điểm $\displaystyle I$ của đường tròn đường kính $\displaystyle O{{O}_{1}}$ với đường tròn $\displaystyle \left( O;\frac{a}{2} \right)$ .

+ Từ $\displaystyle A$ dựng đường thẳng $\displaystyle d\parallel OI$ cắt $\displaystyle \left( O \right)$ tại $\displaystyle M$ và cắt $\displaystyle \left( O' \right)$ tại $\displaystyle M'$ thì $\displaystyle d$ là đường thẳng cần dựng.

Chứng minh:

Gọi $\displaystyle H,K$ lần lượt là trung điểm của $\displaystyle AN,AM$ ta có $\displaystyle KH=OI=\frac{a}{2}$ .

Mà $\displaystyle KH=AK-AH=\frac{AM}{2}-\frac{AN}{2}=\frac{AM-AM'}{2}\Rightarrow AM-AM'=a$ .

Biện luận : Số nghiệm hình bằng số giao điểm của đường tròn $\displaystyle \left( O;\frac{a}{2} \right)$ và đường tròn đường kính $\displaystyle O{{O}_{1}}$ .

Bài toán 05: SỬ DỤNG PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN TẬP HỢP ĐIỂM

Ví dụ 1. Cho tam giác $\displaystyle ABC$ và đường tròn $\displaystyle \left( O \right)$ . Trên $\displaystyle AB$ lấy điểm $\displaystyle E$ sao cho $\displaystyle BE=2AE$ , $\displaystyle F$ là trung điểm của $\displaystyle AC$ và $\displaystyle I$ là đỉnh thứ tư của hình bình hành $\displaystyle AEIF$ . Với mỗi điểm $\displaystyle P$ trên đường tròn $\displaystyle \left( O \right)$ , ta dựng điểm $\displaystyle Q$ sao cho $\displaystyle \overrightarrow{PA}+2\overrightarrow{PB}+3\overrightarrow{PC}=6\overrightarrow{IQ}$ . Tìm tập hợp điểm $\displaystyle Q$ khi $\displaystyle P$ thay đổi trên $\displaystyle \left( O \right)$

Lời giải:

Gọi $\displaystyle K$ là điểm xác định bởi $\displaystyle \overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}+3\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0}$ .

Khi đó:

$\displaystyle \begin{array}{l}\overrightarrow{KA}+2\left( \overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AB} \right)\\+3\left( \overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AC} \right)=\overrightarrow{0}\\\Leftrightarrow \overrightarrow{AK}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\end{array}$

Mặt khác $\displaystyle AEIF$ là hình bình hành nên $\displaystyle \overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ nên $\displaystyle K\equiv I$ .

Từ giả thiết suy ra $\displaystyle 6\overrightarrow{PK}+\left( \overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}+3\overrightarrow{KC} \right)=6\overrightarrow{IQ}\Leftrightarrow \overrightarrow{PK}=\overrightarrow{IQ}$ , hay $\displaystyle \overrightarrow{PI}=\overrightarrow{IQ}$ .

Vậy , mà $\displaystyle P$ di động trên đường tròn $\displaystyle \left( O \right)$ nên $\displaystyle Q$ di động trên đường tròn $\displaystyle \left( O' \right)$ , ảnh của đường tròn $\displaystyle \left( O \right)$ qua phép đối xứng tâm $\displaystyle I$ .

Ví dụ 2. Cho đường tròn $\displaystyle \left( O \right)$ và dây cung $\displaystyle AB$ cố định, $\displaystyle M$ là một điểm di động trên $\displaystyle \left( O \right)$ , $\displaystyle M$ không trùng với $\displaystyle A,B$ . Hai đường tròn $\displaystyle \left( {{O}_{1}} \right),\left( {{O}_{2}} \right)$ cùng đi qua $\displaystyle M$ và tiếp xúc với $\displaystyle AB$ tại $\displaystyle A$ và $\displaystyle B$ . Gọi $\displaystyle N$ là giao điểm thứ hai của $\displaystyle \left( {{O}_{1}} \right)$ và $\displaystyle \left( {{O}_{2}} \right)$ . Tìm tập hợp điểm $\displaystyle N$ khi $\displaystyle M$ di động.

Lời giải:

Gọi $\displaystyle I=MN\cap AB$ , ta có $\displaystyle I{{A}^{2}}=IM.IN\text{ }\left( 1 \right)$

Tương tự $\displaystyle I{{B}^{2}}=IM.IN\text{ }\left( 2 \right)$ .

Từ $\displaystyle \left( 1 \right)$ và $\displaystyle \left( 2 \right)$ suy ra $\displaystyle IA=IB$ nên $\displaystyle I$ là trung điểm của $\displaystyle AB$ .

Gọi $\displaystyle P$ là giao điểm thứ hai của $\displaystyle MN$ với đường tròn $\displaystyle \left( O \right)$ .

Dễ thấy $\displaystyle {{P}_{I/\left( O \right)}}=-IM.IP=-IA.IB=-I{{A}^{2}}$

Do đó $\displaystyle -IM.IN=-IM.IP\Rightarrow IN=IP$ vậy $\displaystyle I$ là trung điểm của $\displaystyle NP$ do đó , mà $\displaystyle P$ di động trên đường tròn $\displaystyle \left( O \right)$ nên $\displaystyle N$ di động trên đường tròn $\displaystyle \left( O' \right)$ ảnh của đường tròn $\displaystyle \left( O \right)$ qua phép đối xứng tâm $\displaystyle I$ .

Vậy tập hợp điểm $\displaystyle N$ là đường tròn $\displaystyle \left( O' \right)$ ảnh của đường tròn $\displaystyle \left( O \right)$ qua phép đối xứng tâm $\displaystyle I$ .