Phép đồng dạng

PHÉP ĐỒNG DẠNG

A.LÍ THUYẾT CƠ BẢN.

1. Định nghĩa.

Phép biến hình $\displaystyle F$ được gọi là phép đồng dạng tỉ số $\displaystyle k$ $\displaystyle \left( k>0 \right)$ nếu với hai điểm $\displaystyle M,N$ bất kì và ảnh $\displaystyle M',N'$ của chúng ta luôn có $\displaystyle M'N'=k.MN$ .

Nhận xét:

- Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số $\displaystyle k=1$ .
- Phép vị tự tỉ số $\displaystyle k$ là phép đồng dạng tỉ số $\displaystyle \left| k \right|$ .

- Nếu thực hiện liên tiếp các phép đồng dạng thì được một phép đồng dạng.

2. Tính chất của phép đồng dạng.

Phép đồng dạng tỉ số k:

- Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm và bảo toàn thứ tự giữa ba điểm đó.
- Biến một đường thẳng thành đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
- Biến một tam giác thành tam giác đồng dạng với tam giác đã cho, biến góc thành góc bằng nó.
- Biến đường tròn có bán kính $\displaystyle R$ thành đường tròn có bán kính $\displaystyle k.R$

3. Hai hình đồng dạng.

Hai hình được gọi là đồng dạng nếu có một phép đồng dạng biến hình này thành hình kia.

B. BÀI TẬP.

Bài toán 01: CÁC BÀI TOÁN VỀ PHÉP ĐỒNG DẠNG.

Ví dụ 1. Cho hai đường thẳng $\displaystyle a,b$ cắt nhau và điểm $\displaystyle C$ . Tìm trên $\displaystyle a$ và $\displaystyle b$ các điểm $\displaystyle A,B$ tương ứng sao cho tam giác $\displaystyle ABC$ vuông cân ở $\displaystyle A$ .

Lời giải:

Ta thấy góc lượng giác $\displaystyle \left( CA;CB \right)=-{{45}^{0}}$ và $\displaystyle \frac{CB}{CA}=\sqrt{2}$ . Do đó có thể xem $\displaystyle B$ là ảnh của $\displaystyle A$ qua

phép đồng dạng $\displaystyle F$ có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm $\displaystyle C$ góc quay $\displaystyle -{{45}^{0}}$ và phép vị tự $\displaystyle {{V}_{\left( C;\sqrt{2} \right)}}$ . Vì $\displaystyle a\in a\Rightarrow B\in a''=F\left( a \right)$ lại có $\displaystyle B\in b$ nên $\displaystyle B=a''\cap b$ .

Ví dụ 2. Cho tam giác $\displaystyle ABC$ , dựng ra phía ngoài tam giác $\displaystyle ABC$ các tam giác đều $\displaystyle BCA',CAB',ABC'$ . Gọi $\displaystyle {{O}_{1}};{{O}_{2}};{{O}_{3}}$ lần lượt là tâm của ba tam giác đều $\displaystyle BCA',CAB',ABC'$ . Chứng minh tam giác $\displaystyle {{O}_{1}}{{O}_{2}}{{O}_{3}}$ là tam giác đều.

Lời giải:

Cách 1:

Để chứng minh tam giác $\displaystyle {{O}_{1}}{{O}_{2}}{{O}_{3}}$ là tam giác đều ta xét các phép đồng dạng sau:

Kí hiệu $\displaystyle F\left( I,\varphi ;k \right)={{V}_{\left( I;k \right)}}\circ {{Q}_{\left( I;\varphi \right)}}$ là phép đồng dạng có được bằng cách tực hiện liên liếp phép quay $\displaystyle {{Q}_{\left( I;\varphi \right)}}$ và phép vị tự $\displaystyle {{V}_{\left( I;k \right)}}$ .Ta xét các phép đồng dạng $\displaystyle {{F}_{1}}=F\left( C;{{30}^{0}};\sqrt{3} \right)$ và $\displaystyle {{F}_{2}}\left( B;{{30}^{0}};\frac{1}{\sqrt{3}} \right)$ Gọi $\displaystyle I,J,K,H$ là các điểm trên

$\displaystyle CA',CA,BA',B{{O}_{3}};B{{O}_{1}}$ sao cho $\displaystyle CI=C{{O}_{1}};CJ=C{{O}_{2}}$ , $\displaystyle BK=B{{O}_{1}};BH=AB,BE=BA'$ khi đó $\displaystyle {{F}_{1}}\left( {{O}_{1}} \right)={{V}_{\left( C;\sqrt{3} \right)}}\circ {{Q}_{\left( C;30 \right)}}\left( {{O}_{1}} \right)={{V}_{\left( C;\sqrt{3} \right)}}\left( I \right)=A'$ ,

Tương tự :

$\displaystyle {{F}_{1}}\left( {{O}_{2}} \right)={{V}_{\left( C;\sqrt{3} \right)}}\circ {{Q}_{\left( C;{{30}^{0}} \right)}}\left( {{O}_{2}} \right)={{V}_{\left( C;\sqrt{3} \right)}}\left( J \right)=A$

$\displaystyle {{F}_{2}}\left( A' \right)={{V}_{\left( B;\frac{1}{\sqrt{3}} \right)}}\circ {{Q}_{\left( B;{{30}^{0}} \right)}}\left( A' \right)={{V}_{\left( B;\frac{1}{\sqrt{3}} \right)}}\left( E \right)={{O}_{1}}$

$\displaystyle {{F}_{2}}\left( A \right)={{V}_{\left( B;\frac{1}{\sqrt{3}} \right)}}\circ {{Q}_{\left( B;30 \right)}}\left( A \right)={{V}_{\left( B;\frac{1}{\sqrt{3}} \right)}}\left( H \right)={{O}_{3}}$

Vậy $\displaystyle {{F}_{2}}\circ {{F}_{1}}\left( {{O}_{2}} \right)={{F}_{2}}\left( A \right)={{O}_{3}}$ và $\displaystyle {{F}_{2}}\circ {{F}_{1}}\left( {{O}_{1}} \right)={{F}_{2}}\left( A' \right)={{O}_{1}}$ .

Mặt khác $\displaystyle F={{F}_{2}}\circ {{F}_{1}}$ là phép đồng dạng có tỉ số $\displaystyle k={{k}_{1}}{{k}_{2}}=\sqrt{3}\frac{1}{\sqrt{3}}=1$ và $\displaystyle {{\varphi }_{1}}+{{\varphi }_{2}}={{30}^{0}}+{{30}^{0}}={{60}^{0}}$ nên $\displaystyle F$ chính là phép quay tâm $\displaystyle {{O}_{1}}$ góc quay $\displaystyle {{60}^{0}}$ .

Do đó $\displaystyle {{Q}_{\left( {{O}_{1}};{{60}^{0}} \right)}}\left( {{O}_{2}} \right)={{O}_{3}}$ nên tam giác $\displaystyle {{O}_{1}}{{O}_{2}}{{O}_{3}}$ đều.

Cách 2: Bài toán này có thể giải bằng phép quay vec tơ đơn giản hơn như sau:

Do $\displaystyle {{O}_{1}},{{O}_{3}}$ là trong tâm các tam giác $\displaystyle A'BC$ và $\displaystyle C'AB$ nên $\displaystyle \overrightarrow{{{O}_{3}}A}+\overrightarrow{{{O}_{3}}B}+\overrightarrow{{{O}_{3}}C'}=\overrightarrow{0}$ $\displaystyle \Rightarrow \left( \overrightarrow{{{O}_{3}}{{O}_{1}}}+\overrightarrow{{{O}_{1}}C}+\overrightarrow{CA} \right)+\left( \overrightarrow{{{O}_{3}}{{O}_{1}}}+\overrightarrow{{{O}_{1}}A'}+\overrightarrow{A'B} \right)+\left( \overrightarrow{{{O}_{3}}{{O}_{1}}}+\overrightarrow{{{O}_{1}}B}+\overrightarrow{BC'} \right)=\overrightarrow{0}$

$\displaystyle \Leftrightarrow \overrightarrow{{{O}_{3}}{{O}_{1}}}=\frac{1}{3}\left( \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA'}+\overrightarrow{C'B} \right)$ .

Xét phép quay vec tơ góc quay $\displaystyle {{60}^{0}}$ ta có

$\displaystyle {{Q}_{{{60}^{0}}}}(\overrightarrow{{{O}_{3}}{{O}_{1}}})=\frac{1}{3}\left( {{Q}_{{{60}^{0}}}}\left( \overrightarrow{AC} \right)+{{Q}_{{{60}^{0}}}}\left( \overrightarrow{BA'} \right)+{{Q}_{{{60}^{0}}}}\left( \overrightarrow{C'B} \right) \right)=\frac{1}{3}\left( \overrightarrow{AB'}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{C'A} \right)$