Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng

ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

A. Lí thuyết cơ bản

1. Các tính chất thừa nhận

- Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.
- Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.
- Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt cùng thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.
- Có bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.
- Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác nữa.

Vậy thì: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung đi qua điểm chung ấy. Đường thẳng đó được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng .

- Trên mỗi mặt phẳng các, kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng.

2. Cách xác định mặt phẳng

Một mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết:

- Nó đi qua ba điểm không thẳng hàng.
- Nó đi qua một điểm và một đường thẳng không đi qua điểm đó.
- Nó chứa hai đường thẳng cắt nhau.

Các kí hiệu:

$\displaystyle \left( ABC \right)$ là kí hiệu mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng $\displaystyle A,B,C$ ( h1)
$\displaystyle \left( M,d \right)$ là kí hiệu mặt phẳng đi qua $\displaystyle d$ và điểm $\displaystyle M\notin d$ (h2)
$\displaystyle \left( {{d}_{1}},{{d}_{2}} \right)$ là kí hiệu mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau $\displaystyle {{d}_{1}},{{d}_{2}}$ (h3)

3. Hình chóp và hình tứ diện

a. Hình chóp

Trong mặt phẳng $\displaystyle \left( \alpha \right)$ cho đa giác lồi $\displaystyle {{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}$ . Lấy điểm $\displaystyle S$ nằm ngoài $\displaystyle \left( \alpha \right)$ .

Lần lượt nối $\displaystyle S$ với các đỉnh $\displaystyle {{A}_{1}},{{A}_{2}},...,{{A}_{n}}$ ta được $\displaystyle n$ tam giác $\displaystyle S{{A}_{1}}{{A}_{2}},S{{A}_{2}}{{A}_{3}},...,S{{A}_{n}}{{A}_{1}}$ . Hình gồm đa giác $\displaystyle {{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}$ và $\displaystyle n$ tam giác $\displaystyle S{{A}_{1}}{{A}_{2}},S{{A}_{2}}{{A}_{3}},...,S{{A}_{n}}{{A}_{1}}$ được gọi là hình chóp , kí hiệu là $\displaystyle S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}$ .

Ta gọi $\displaystyle S$ là đỉnh, đa giác $\displaystyle {{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}$ là đáy , các đoạn $\displaystyle S{{A}_{1}},S{{A}_{2}},...,S{{A}_{n}}$ là các cạnh bên, $\displaystyle {{A}_{1}}{{A}_{2}},{{A}_{2}}{{A}_{3}},...,{{A}_{n}}{{A}_{1}}$ là các cạnh đáy, các tam giác $\displaystyle S{{A}_{1}}{{A}_{2}},S{{A}_{2}}{{A}_{3}},...,S{{A}_{n}}{{A}_{1}}$ là các mặt bên…

b. Hình Tứ diện

Cho bốn điểm $\displaystyle A,B,C,D$ không đồng phẳng. Hình gồm bốn tam giác $\displaystyle ABC,ABD,$

$\displaystyle ACD$ và $\displaystyle \left( BCD \right)$ được gọi là tứ diện $\displaystyle ABCD$ .

B. Bài tập

Dạng 1: Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

A. Phương pháp:

Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, ta tìm hai điểm chung của chúng.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1. Cho hình chóp $\displaystyle S.ABCD$ , đáy $\displaystyle ABCD$ là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song, điểm $\displaystyle M$ thuộc cạnh $\displaystyle SA$ . Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng :

a) $\displaystyle \left( SAC \right)$ và $\displaystyle \left( SBD \right)$

A.SC B.SB

C.SO trong đó $\displaystyle O=AC\cap BD$ D. $\left\{ S \right\}$

b) $\displaystyle \left( SAC \right)$ và $\displaystyle \left( MBD \right)$

A.SM B.MB

C.OM trong đó $\displaystyle O=AC\cap BD$ D.SD

c) $\displaystyle \left( MBC \right)$ và $\displaystyle \left( SAD \right)$

A.SM B.FM trong đó $F=BC\cap AD$

C.SO trong $\displaystyle O=AC\cap BD$ D.SD

d) $\displaystyle \left( SAB \right)$ và $\displaystyle \left( SCD \right)$

A.SE trong đó $\displaystyle E=AB\cap CD$ B.FM trong đó $F=BC\cap AD$

C.SO trong $\displaystyle O=AC\cap BD$ D.SD

Lời giải:

a) Gọi $\displaystyle O=AC\cap BD$

$\displaystyle \begin{array}{l}\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}O\in AC\subset \left( SAC \right)\\O\in BD\subset \left( SBD \right)\end{array} \right.\\\Rightarrow O\in \left( SAC \right)\cap \left( SBD \right)\end{array}$ Lại có $\displaystyle S\in \left( SAC \right)\cap \left( SBD \right)$

$\displaystyle \Rightarrow SO=\left( SAC \right)\cap \left( SBD \right)$ .

b) $\displaystyle O=AC\cap BD$

$\displaystyle \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}O\in AC\subset \left( SAC \right)\\O\in BD\subset \left( MBD \right)\end{array} \right.$

$\displaystyle \Rightarrow O\in \left( SAC \right)\cap \left( MBD \right)$ .

Và $\displaystyle M\in \left( SAC \right)\cap \left( MBD \right)\Rightarrow OM=\left( SAC \right)\cap \left( MBD \right)$ .

c) Trong $\displaystyle \left( ABCD \right)$ gọi $\displaystyle F=BC\cap AD\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}F\in BC\subset \left( MBC \right)\\F\in AD\subset \left( SAD \right)\end{array} \right.\Rightarrow F\in \left( MBC \right)\cap \left( SAD \right)$

Và $\displaystyle M\in \left( MBC \right)\cap \left( SAD \right)\Rightarrow FM=\left( MBC \right)\cap \left( SAD \right)$

d) Trong $\displaystyle \left( ABCD \right)$ gọi $\displaystyle E=AB\cap CD$ , ta có $\displaystyle SE=\left( SAB \right)\cap \left( SCD \right)$ .

Ví dụ 2. Cho tứ diện $\displaystyle ABCD$ , $\displaystyle O$ là một điểm thuộc miền trong tam giác $\displaystyle BCD$ , $\displaystyle M$ là điểm trên đoạn $\displaystyle AO$

a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng $\displaystyle \left( MCD \right)$ với các mặt phẳng $\displaystyle \left( ABC \right)$ .

A. PC trong đó $\displaystyle P=DC\cap AN$ , $\displaystyle N=DO\cap BC$

B. PC trong đó $\displaystyle P=DM\cap AN$ , $\displaystyle N=DA\cap BC$

C. PC trong đó $\displaystyle P=DM\cap AB$ , $\displaystyle N=DO\cap BC$

D.PC trong đó $\displaystyle P=DM\cap AN$ , $\displaystyle N=DO\cap BC$

b) Tìm giao tuyến của mặt phẳng $\displaystyle \left( MCD \right)$ với các mặt phẳng $\displaystyle \left( ABD \right)$ .

A.DR trong đó $\displaystyle R=CM\cap AQ$ , $\displaystyle Q=CA\cap BD$

B. DR trong đó $\displaystyle R=CB\cap AQ$ , $\displaystyle Q=CO\cap BD$

C. DR trong đó $\displaystyle R=CM\cap AQ$ , $\displaystyle Q=CO\cap BA$

D. DR trong đó $\displaystyle R=CM\cap AQ$ , $\displaystyle Q=CO\cap BD$

c) Gọi $\displaystyle I,J$ là các điểm tương ứng trên các cạnh $\displaystyle BC$ và $\displaystyle BD$ sao cho $\displaystyle IJ$ không song song với $\displaystyle CD$ . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $\displaystyle \left( IJM \right)$ và $\displaystyle \left( ACD \right)$ .

A.FG trong đó $\displaystyle F=IJ\cap CD$ , $\displaystyle G=KM\cap AE$ , $\displaystyle K=BE\cap IA$ , $\displaystyle E=BO\cap CD$

B. FG trong đó $\displaystyle F=IA\cap CD$ , $\displaystyle G=KM\cap AE$ , $\displaystyle K=BA\cap IJ$ , $\displaystyle E=BO\cap CD$

C. FG trong đó $\displaystyle F=IJ\cap CD$ , $\displaystyle G=KM\cap AE$ , $\displaystyle K=BA\cap IJ$ , $\displaystyle E=BO\cap CD$

D. FG trong đó $\displaystyle F=IJ\cap CD$ , $\displaystyle G=KM\cap AE$ , $\displaystyle K=BE\cap IJ$ , $\displaystyle E=BO\cap CD$

Lời giải:

a) Trong $\displaystyle \left( BCD \right)$ gọi $\displaystyle N=DO\cap BC$ , trong $\displaystyle \left( ADN \right)$ gọi $\displaystyle P=DM\cap AN$ $\displaystyle \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}P\in DM\subset \left( CDM \right)\\P\in AN\subset \left( ABC \right)\end{array} \right.$

$\displaystyle \Rightarrow P\in \left( CDM \right)\cap \left( ABC \right)$

Lại có $\displaystyle C\in \left( CDM \right)\cap \left( ABC \right)\Rightarrow PC=\left( CDM \right)\cap \left( ABC \right)$ .

b)Tương tự, trong $\displaystyle \left( BCD \right)$ gọi $\displaystyle Q=CO\cap BD$ , trong $\displaystyle \left( ACQ \right)$ gọi $\displaystyle R=CM\cap AQ$

$\displaystyle \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}R\in CM\subset \left( CDM \right)\\R\in AQ\subset \left( ABD \right)\end{array} \right.\Rightarrow R\in \left( CDM \right)\cap \left( ABD \right)$

$\displaystyle D$ là điểm chung thứ hai của $\displaystyle \left( MCD \right)$ và $\displaystyle \left( ABD \right)$ nên $\displaystyle DR=\left( CDM \right)\cap \left( ABD \right)$ .

c) Trong $\displaystyle \left( BCD \right)$ gọi $\displaystyle E=BO\cap CD,F=IJ\cap CD$ , $\displaystyle K=BE\cap IJ$ ; trong $\displaystyle \left( ABE \right)$ gọi $\displaystyle G=KM\cap AE$ .

Có $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}F\in IJ\subset \left( IJM \right)\\F\in CD\subset \left( ACD \right)\end{array} \right.\Rightarrow F\in \left( IJM \right)\cap \left( ACD \right)$ , $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}G\in KM\subset \left( IJM \right)\\G\in AE\subset \left( ACD \right)\end{array} \right.$

$\displaystyle \Rightarrow G\in \left( IJM \right)\cap \left( ACD \right)$ . Vậy $\displaystyle FG=\left( IJM \right)\cap \left( ACD \right)$ .

Dạng 2. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

A. Phương pháp

Để tìm giao điểm của đường thẳng $\displaystyle d$ và mặt phẳng $\displaystyle \left( P \right)$ ta cần lưu ý một số trường hợp sau:

Trường hợp 1. Nếu trong $\displaystyle \left( P \right)$ có sẵn một đường thẳng $\displaystyle d'$ cắt $\displaystyle d$ tại $\displaystyle M$ , khi đó $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}M\in d\\M\in d'\subset \left( P \right)\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M\in d\\M\in \left( P \right)\end{array} \right.\Rightarrow M=d\cap \left( P \right)$

Trường hợp 2. Nếu trong $\displaystyle \left( P \right)$ chưa có sẵn $\displaystyle d'$ cắt $\displaystyle d$ thì ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Chọn một mặt phẳng $\displaystyle \left( Q \right)$ chứa $\displaystyle d$

Bước 2: Tìm giao tuyến $\displaystyle \Delta =\left( P \right)\cap \left( Q \right)$

Bước 3: Trong $\displaystyle \left( Q \right)$ gọi $\displaystyle M=d\cap \Delta$ thì $\displaystyle M$ chính là giao điểm của $\displaystyle d\cap \left( P \right)$ .

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1. Cho hình chóp tứ giác $\displaystyle S.ABCD$ với đáy $\displaystyle ABCD$ có các cạnh đối diện không song song với nhau và $\displaystyle M$ là một điểm trên cạnh $\displaystyle SA$ .

a) Tìm giao điểm của đường thẳng $\displaystyle SB$ với mặt phẳng $\displaystyle \left( MCD \right)$ .

A.Điểm H, trong đó $\displaystyle E=AB\cap CD$ , $\displaystyle H=SA\cap EM$

B. Điểm N, trong đó $\displaystyle E=AB\cap CD$ , $\displaystyle N=SB\cap EM$

C. Điểm F, trong đó $\displaystyle E=AB\cap CD$ , $\displaystyle F=SC\cap EM$

D. Điểm T, trong đó $\displaystyle E=AB\cap CD$ , $\displaystyle T=SD\cap EM$

b) Tìm giao điểm của đường thẳng $\displaystyle MC$ và mặt phẳng $\displaystyle \left( SBD \right)$ .

A. Điểm H, trong đó $\displaystyle I=AC\cap BD$ , $\displaystyle H=MA\cap SI$

B. Điểm F, trong đó $\displaystyle I=AC\cap BD$ , $\displaystyle F=MD\cap SI$

C. Điểm K, trong đó $\displaystyle I=AC\cap BD$ , $\displaystyle K=MC\cap SI$

D. Điểm V, trong đó $\displaystyle I=AC\cap BD$ , $\displaystyle V=MB\cap SI$

Lời giải:

a) Trong mặt phẳng $\displaystyle \left( ABCD \right)$ , gọi $\displaystyle E=AB\cap CD$ .

Trong $\displaystyle \left( SAB \right)$ gọi.

Ta có $\displaystyle N\in EM\subset \left( MCD \right)\Rightarrow N\in \left( MCD \right)$ và $\displaystyle N\in SB$ nên $\displaystyle N=SB\cap \left( MCD \right)$ .

b) Trong $\displaystyle \left( ABCD \right)$ gọi $\displaystyle I=AC\cap BD$ .

Trong $\displaystyle \left( SAC \right)$ gọi $\displaystyle K=MC\cap SI$ .

Ta có $\displaystyle K\in SI\subset \left( SBD \right)$ và $\displaystyle K\in MC$ nên $\displaystyle K=MC\cap \left( SBD \right)$ .

Ví dụ 2. Cho hình chóp tứ giác $\displaystyle S.ABCD$ , $\displaystyle M$ là một điểm trên cạnh $\displaystyle SC$ , $\displaystyle N$ là trên cạnh $\displaystyle BC$ . Tìm giao điểm của đường thẳng $\displaystyle SD$ với mặt phẳng $\displaystyle \left( AMN \right)$ .

A.Điểm K, trong đó $\displaystyle K=IJ\cap SD$ , $\displaystyle I=SO\cap AM$ , $\displaystyle O=AC\cap BD,J=AN\cap BD$

B. Điểm H, trong đó $\displaystyle H=IJ\cap SA$ , $\displaystyle I=SO\cap AM$ , $\displaystyle O=AC\cap BD,J=AN\cap BD$

C. Điểm V, trong đó $\displaystyle V=IJ\cap SB$ , $\displaystyle I=SO\cap AM$ , $\displaystyle O=AC\cap BD,J=AN\cap BD$

D. Điểm P, trong đó $\displaystyle P=IJ\cap SC$ , $\displaystyle I=SO\cap AM$ , $\displaystyle O=AC\cap BD,J=AN\cap BD$

Lời giải:

Trong mặt phẳng $\displaystyle \left( ABCD \right)$ gọi $\displaystyle O=AC\cap BD,J=AN\cap BD$ .

Trong $\displaystyle \left( SAC \right)$ gọi $\displaystyle I=SO\cap AM$ và $\displaystyle K=IJ\cap SD$ .

Ta có $\displaystyle I\in AM\subset \left( AMN \right),J\in AN\subset \left( AMN \right)$

$\displaystyle \Rightarrow IJ\subset \left( AMN \right)$ .

Do đó $\displaystyle K\in IJ\subset \left( AMN \right)\Rightarrow K\in \left( AMN \right)$ .

Vậy $\displaystyle K=SD\cap \left( AMN \right)$

Dạng 3: Xác định thiết diện của một mặt phẳng với hình chóp

A. Phương pháp

Để xác định thiết diện của hình chóp $\displaystyle S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}$ cắt bởi mặt phẳng $\displaystyle \left( \alpha \right)$ , ta tìm giao điểm của mặt phẳng $\displaystyle \left( \alpha \right)$ với các đường thẳng chứa các cạnh của hình chóp. Thiết diện là đa giác có đỉnh là các giao điểm của $\displaystyle \left( \alpha \right)$ với hình chóp ( và mỗi cạnh của thiết diện phải là một đoạn giao tuyến với một mặt của hình chóp)

Trong phần này chúng ta chỉ xét thiết diện của mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1. Cho hình chóp tứ giác $\displaystyle S.ABCD$ , có đáy là hình thang với $\displaystyle AD$ là đáy lớn và $\displaystyle P$ là một điểm trên cạnh $\displaystyle SD$ .

a) Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng $\displaystyle (PAB)$ là hình gì?

A. Tam giác

B. Tứ giác

C.Hình thang

D.Hình bình hành

b) Gọi $\displaystyle M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $\displaystyle AB,BC$ . Thiết diện của hình chóp cắt bởi $\displaystyle \left( MNP \right)$ là hình gì?

A. Ngũ giác

B. Tứ giác

C.Hình thang

D.Hình bình hành

Lời giải:

a) Trong mặt phẳng $\displaystyle \left( ABCD \right)$ , gọi $\displaystyle E=AB\cap CD$ .

Trong mặt phẳng $\displaystyle \left( SCD \right)$ gọi $\displaystyle Q=SC\cap EP$ .

Ta có $\displaystyle E\in AB$ nên $\displaystyle EP\subset \left( ABP \right)\Rightarrow Q\in \left( ABP \right)$ , do đó $\displaystyle Q=SC\cap \left( ABP \right)$ .

Thiết diện là tứ giác $\displaystyle ABQP$ .

b)Trong mặt phẳng $\displaystyle \left( ABCD \right)$ gọi $\displaystyle F,G$ lần lượt là các giao điểm của $\displaystyle MN$ với $\displaystyle AD$ và $\displaystyle CD$

Trong mặt phẳng $\displaystyle \left( SAD \right)$ gọi $\displaystyle H=SA\cap FP$

Trong mặt phẳng $\displaystyle \left( SCD \right)$ gọi $\displaystyle K=SC\cap PG$ .

Ta có $\displaystyle F\in MN\Rightarrow F\in \left( MNP \right)$ , $\displaystyle \Rightarrow FP\subset \left( MNP \right)\Rightarrow H\in \left( MNP \right)$

Vậy $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}H\in SA\\H\in \left( MNP \right)\end{array} \right.\Rightarrow H=SA\cap \left( MNP \right)$

Tương tự $\displaystyle K=SC\cap \left( MNP \right)$ .

Thiết diện là ngũ giác $\displaystyle MNKPH$ .

Ví dụ 2. Cho hình chóp $\displaystyle S.ABCD$ có đáy $\displaystyle ABCD$ là một hình bình hành tâm $\displaystyle O$ . Gọi $\displaystyle M,N,P$ là ba điểm trên các cạnh $\displaystyle AD,CD,SO$ . Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng $\displaystyle (MNP)$ là hình gì?

A. Ngũ giác

B. Tứ giác

C. Hình thang

D. Hình bình hành

Lời giải:

Trong mặt phẳng $\displaystyle (ABCD)$ gọi $\displaystyle E,K,F$ lần lượt là giao điểm của $\displaystyle MN$ với $\displaystyle DA,DB,DC$ .

Trong mặt phẳng $\displaystyle \left( SDB \right)$ gọi $\displaystyle H=KP\cap SB$

Trong mặt phẳng $\displaystyle \left( SAB \right)$ gọi $\displaystyle T=EH\cap SA$

Trong mặt phẳng $\displaystyle \left( SBC \right)$ gọi $\displaystyle R=FH\cap SC$ .

Ta có $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}E\in MN\\H\in KP\end{array} \right.\Rightarrow EH\subset \left( MNP \right)$ , $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}T\in SA\\T\in EH\subset \left( MNP \right)\end{array} \right.\Rightarrow T=SA\cap \left( MNP \right)$ .