Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song

HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG

A. Tóm tắt lí thuyết

1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian.

Cho hai đường thẳng $\displaystyle a$ và $\displaystyle b$ trong không gian. Có các trường hợp sau đây xảy ra đối với $\displaystyle a$ và $\displaystyle b$ :

Trường hợp 1: Có một mặt phẳng chứa cả $\displaystyle a$ và $\displaystyle b$ , khi đó theo kết quả tronh hình học phẳng ta có ba khả năng sau:

+ $\displaystyle a$ và $\displaystyle b$ cắt nhau tại điểm $\displaystyle M$ , ta kí hiệu $\displaystyle a\cap b=M$ .
+ $\displaystyle a$ và $\displaystyle b$ song song với nhau, ta kí hiệu $\displaystyle a\parallel b$ .
+ $\displaystyle a$ và $\displaystyle b$ trùng nhau, ta kí hiệu $\displaystyle a\equiv b$ .

Trường hợp 2: Không có mặt phẳng nào chứa cả $\displaystyle a$ và $\displaystyle b$ , khi đó ta nói $\displaystyle a$ và $\displaystyle b$ là hai đường thẳng chéo nhau.

2. Các định lí và tính chất.

- Trong không gian, qua một điểm cho trước không nằm trên đường thẳng $\displaystyle a$ có một và chỉ một đường thẳng song song với $\displaystyle a$ .

- Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến thì ba giao tuyến đó hoặc đồng qui hoặc đôi một song song.
- Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
- Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì chúng song song.

B. Bài tập

Dạng 1: TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT BẰNG QUAN HỆ SONG SONG

Phương pháp:

Sử dụng tính chất: Nếu hai mặt phẳng $\displaystyle \left( \alpha \right)$ và $\displaystyle \left( \beta \right)$ có điểm chung $\displaystyle M$ và lần lượt chứa hai đường thẳng song song $\displaystyle d$ và $\displaystyle d'$ thì giao tuyến của $\displaystyle \left( \alpha \right)$ và $\displaystyle \left( \beta \right)$ là đường thẳng đi qua $\displaystyle M$ song song với $\displaystyle d$ và $\displaystyle d'$ .

Các ví dụ

Ví dụ 1. Cho hình chóp $\displaystyle S.ABCD$ có đáy $\displaystyle ABCD$ là hình bình hành.

Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $\displaystyle \left( SAB \right)$ và $\displaystyle \left( SCD \right)$

A. là đường thẳng đi qua S song song với AB, CD

B. là đường thẳng đi qua S

C. là điểm S

D. là mặt phẳng (SAD)

Lời giải:

Ta có $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}AB\subset \left( SAB \right)\\CD\subset \left( SCD \right)\\AB\parallel CD\\S\in \left( SAB \right)\cap \left( SCD \right)\end{array} \right.$

$\displaystyle \Rightarrow \left( SAB \right)\cap \left( SCD \right)=d\parallel AB\parallel CD,S\in d$

Ví dụ 2. Cho hình chóp $\displaystyle S.ABCD$ có đáy $\displaystyle ABCD$ là hình thang với các cạnh đáy là $\displaystyle AB$ và $\displaystyle CD$ . Gọi $\displaystyle I,J$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $\displaystyle AD$ và $\displaystyle BC$ và $\displaystyle G$ là trọng tâm của tam giác $\displaystyle SAB$ .

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $\displaystyle \left( SAB \right)$ và $\displaystyle \left( IJG \right)$ .

A.là đường thẳng song song với AB

B.là đường thẳng song song vơi CD

C.là đường thẳng song song với đường trung bình của hình thang ABCD

D.Cả A, B, C đều đúng

b) Tìm điều kiện của $\displaystyle AB$ và $\displaystyle CD$ để thiết diện của $\displaystyle \left( IJG \right)$ và hình chóp là một hình bình hành.

A. $\displaystyle AB=\frac{2}{3}CD$ B. $\displaystyle AB=CD$ C. $\displaystyle AB=\frac{3}{2}CD$ D. $\displaystyle AB=3CD$

Lời giải:

a) Ta có $\displaystyle ABCD$ là hình thang và $\displaystyle I,J$ là trung điểm của $\displaystyle AD,BC$ nên $\displaystyle IJ//AB$ .

Vậy $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}G\in \left( SAB \right)\cap \left( IJG \right)\\AB\subset \left( SAB \right)\\IJ\subset \left( IJG \right)\\AB\parallel IJ\end{array} \right.$

$\displaystyle \Rightarrow \left( SAB \right)\cap \left( IJG \right)=MN\parallel IJ\parallel AB$ với

$\displaystyle M\in SA,N\in SB$ .

b) Dễ thấy thiết diện là tứ giác $\displaystyle MNJI$ .

Do $\displaystyle G$ là trọng tâm tam giác $\displaystyle SAB$ và $\displaystyle MN\parallel AB$ nên $\displaystyle \frac{MN}{AB}=\frac{SG}{SE}=\frac{2}{3}$

( $\displaystyle E$ là trung điểm của $\displaystyle AB$ ).

$\displaystyle \Rightarrow MN=\frac{2}{3}AB$ .

Lại có $\displaystyle IJ=\frac{1}{2}\left( AB+CD \right)$ . Vì $\displaystyle MN\parallel IJ$ nên $\displaystyle MNIJ$ là hình thang, do đó $\displaystyle MNIJ$ là hình bình hành khi $\displaystyle MN=IJ$

$\displaystyle \Leftrightarrow \frac{2}{3}AB=\frac{1}{2}\left( AB+CD \right)\Leftrightarrow AB=3CD$ .

Vậy thết diện là hình bình hành khi $\displaystyle AB=3CD$ .

Dạng 2: CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG.

Phương pháp:

Để chứng minh hai đường thẳng song song ta có thể làm theo một trong các cách sau:

- Chứng minh chúng cùng thuộc một mặt phẳng rồi dùng các phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song trong mặt phẳng.
- Chứng minh hai đường thẳng đó cùng song song vơi đường thẳng thứ ba.
- Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
- Sử dụng định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng.

Các ví dụ

Ví dụ 1. Cho hình chóp $\displaystyle S.ABCD$ có đáy $\displaystyle ABCD$ là một hình thang với đáy lớn $\displaystyle AB$ . Gọi $\displaystyle M,N$ lần lượt là trung điểm của $\displaystyle SA$ và $\displaystyle SB$ .

a) Khẳng định nào sau đây là đúng nhất

A. $\displaystyle MN$ song song với $\displaystyle CD$ .

B. $\displaystyle MN$ chéo với $\displaystyle CD$ .

C. $\displaystyle MN$ cắt với $\displaystyle CD$ .

D. $\displaystyle MN$ trùng với $\displaystyle CD$ .

b) Gọi $\displaystyle P$ là giao điểm của $\displaystyle SC$ và $\displaystyle \left( ADN \right)$ , $\displaystyle I$ là giao điểm của $\displaystyle AN$ và $\displaystyle DP$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\displaystyle SI$ song song với $\displaystyle CD$ .

B. $\displaystyle SI$ chéo với $\displaystyle CD$ .

C. $\displaystyle SI$ cắt với $\displaystyle CD$ .

D. $\displaystyle SI$ trùng với $\displaystyle CD$ .

Lời giải:

a) Ta có $\displaystyle MN$ là đường trung bình của tam giác $\displaystyle SAB$ nên $\displaystyle MN\parallel AB$ .

Lại có $\displaystyle ABCD$ là hình thang $\displaystyle \Rightarrow AB//CD$ .

Vậy $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}MN\parallel AB\\CD\parallel AB\end{array} \right.\Rightarrow MN\parallel CD$ .

b) Trong $\displaystyle \left( ABCD \right)$ gọi $\displaystyle E=AD\cap BC$ , trong $\displaystyle \left( SCD \right)$ gọi $\displaystyle P=SC\cap EN$ .

Ta có $\displaystyle E\in AD\subset \left( ADN \right)$ $\displaystyle \Rightarrow EN\subset \left( AND \right)\Rightarrow P\in \left( ADN \right)$ .

Vậy $\displaystyle P=SC\cap \left( ADN \right)$ .

Do $\displaystyle I=AN\cap DP\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I\in AN\\I\in DP\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I\in \left( SAB \right)\\I\in \left( SCD \right)\end{array} \right.\Rightarrow SI=\left( SAB \right)\cap \left( SCD \right)$ .

Ta có $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}AB\subset \left( SAB \right)\\CD\subset \left( SCD \right)\\AB\parallel CD\\\left( SAB \right)\cap \left( SCD \right)=SI\end{array} \right.\Rightarrow SI\parallel CD$ .

Ví dụ 2. Cho hình chóp $\displaystyle S.ABCD$ có đáy $\displaystyle ABCD$ là một hình thang với đáy $\displaystyle AD$ và $\displaystyle BC$ . Biết $\displaystyle AD=a,BC=b$ . Gọi $\displaystyle I$ và $\displaystyle J$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $\displaystyle SAD$ và $\displaystyle SBC$ . Mặt phẳng $\displaystyle \left( ADJ \right)$ cắt $\displaystyle SB,SC$ lần lượt tại $\displaystyle M,N$ . Mặt phẳng $\displaystyle \left( BCI \right)$ cắt $\displaystyle SA,SD$ tại $\displaystyle P,Q$ .

a) Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\displaystyle MN$ song sonng với $\displaystyle PQ$ .

B. $\displaystyle MN$ chéo với $\displaystyle PQ$ .

C. $\displaystyle MN$ cắt với $\displaystyle PQ$ .

D. $\displaystyle MN$ trùng với $\displaystyle PQ$ .

b) Giải sử $\displaystyle AM$ cắt $\displaystyle BP$ tại $\displaystyle E$ ; $\displaystyle CQ$ cắt $\displaystyle DN$ tại $\displaystyle F$ . Chứng minh $\displaystyle EF$ song song với $\displaystyle MN$ và $\displaystyle PQ$ . Tính $\displaystyle EF$ theo $\displaystyle a,b$ .

A. $\displaystyle EF=\frac{1}{2}\left( a+b \right)$ B. $\displaystyle EF=\frac{3}{5}\left( a+b \right)$ C. $\displaystyle EF=\frac{2}{3}\left( a+b \right)$ D. $\displaystyle EF=\frac{2}{5}\left( a+b \right)$

Lời giải:

a) Ta có $\displaystyle I\in \left( SAD \right)\Rightarrow I\in \left( SAD \right)\cap \left( IBC \right)$ .

Vậy $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}AD\subset \left( SAD \right)\\BC\subset \left( IBC \right)\\AD\parallel BC\\\left( SAD \right)\cap \left( IBC \right)=PQ\end{array} \right.$

$\displaystyle \Rightarrow PQ\parallel AD\parallel BC\text{ }\left( 1 \right)$

Tương tự $\displaystyle J\in \left( SBC \right)\Rightarrow J\in \left( SBC \right)\cap \left( ADJ \right)$

Vậy $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}AD\subset \left( ADJ \right)\\BC\subset \left( SBC \right)\\AD\parallel BC\\\left( SBC \right)\cap \left( ADJ \right)=MN\end{array} \right.$

$\displaystyle \Rightarrow MN\parallel AD\parallel BC\text{ }\left( 2 \right)$

Từ $\displaystyle \left( 1 \right)$ và $\displaystyle \left( 2 \right)$ suy ra $\displaystyle MN\parallel PQ$ .

b) Ta có $\displaystyle E=AM\cap BP\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}E\in \left( AMND \right)\\E\in \left( PBCQ \right)\end{array} \right.$ ; $\displaystyle F=DN\cap CQ\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}F\in \left( AMND \right)\\F\in \left( PBCQ \right)\end{array} \right.$

Do đó $\displaystyle EF=\left( AMND \right)\cap \left( PBCQ \right)$ . Mà $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}AD\parallel BC\\MN\parallel PQ\end{array} \right.\Rightarrow EF\parallel AD\parallel BC\parallel MN\parallel PQ$ .

Tính $\displaystyle EF$ : Gọi $\displaystyle K=CP\cap EF\Rightarrow EF=EK+KF$

Ta có $\displaystyle EK\parallel BC\Rightarrow \frac{EK}{BC}=\frac{PE}{PB}\text{ }\left( 1 \right)$ , $\displaystyle PM\parallel AB\Rightarrow \frac{PE}{EB}=\frac{PM}{AB}$

Mà $\displaystyle \frac{PM}{AB}=\frac{SP}{SA}=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{PE}{EB}=\frac{2}{3}$ .

Từ $\displaystyle \left( 1 \right)$ suy ra $\displaystyle \frac{EK}{BC}=\frac{PE}{PB}=\frac{PE}{PE+EB}=\frac{1}{1+\frac{EB}{PE}}=\frac{2}{5}\Rightarrow EK=\frac{2}{5}BC=\frac{2}{5}b$

Tương tự $\displaystyle KF=\frac{2}{5}a$ . Vậy $\displaystyle EF=EK+KF=\frac{2}{5}\left( a+b \right)$ .

Dạng 3: CHỨNG MINH BỐN ĐIỂM ĐỒNG PHẲNG VÀ BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUI

Phương pháp:

Để chứng minh bốn điểm $\displaystyle A,B,C,D$ đồng phẳng ta tìm hai đường thẳng $\displaystyle a,b$ lần lượt đi qua hai trong bốn điểm trên và chứng minh $\displaystyle a,b$ song song hoặc cắt nhau, khi đó $\displaystyle A,B,C,D$ thuôc $\displaystyle mp\left( a,b \right)$ .

Để chứng minh ba đường thẳng $\displaystyle a,b,c$ đồng qui ngoài cách chứng minh ở §1, ta có thể chứng minh $\displaystyle a,b,c$ lần lượt là giao tuyến của hai trong ba mặt phẳng $\displaystyle \left( \alpha \right),\left( \beta \right),\left( \delta \right)$ trong đó có hai giao tuyến cắt nhau. Khi đó theo tính chất về giao tuyến của ba mặt phẳng ta được $\displaystyle a,b,c$ đồng qui.

Các ví dụ

Ví dụ 1. Cho hình chóp $\displaystyle S.ABCD$ có đáy $\displaystyle ABCD$ là một tứ giác lồi. Gọi $\displaystyle M,N,E,F$ lần lượt là trung điểm của các cạnh bên $\displaystyle SA,SB,SC$ và $\displaystyle SD$ .

a) Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\displaystyle ME,NF,SO$ đôi một song song ( $\displaystyle O$ là giao điểm của $\displaystyle AC$ và $\displaystyle BD$ ).

B. $\displaystyle ME,NF,SO$ không đồng quy ( $\displaystyle O$ là giao điểm của $\displaystyle AC$ và $\displaystyle BD$ ).

C. $\displaystyle ME,NF,SO$ đồng qui ( $\displaystyle O$ là giao điểm của $\displaystyle AC$ và $\displaystyle BD$ ).

D. $\displaystyle ME,NF,SO$ đôi một chéo nhau ( $\displaystyle O$ là giao điểm của $\displaystyle AC$ và $\displaystyle BD$ ).

b) Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Bốn điểm $\displaystyle M,N,E,F$ đồng phẳng.

B. Bốn điểm $\displaystyle M,N,E,F$ không đồng phẳng.

C. MN, EF chéo nhau

D. Cả A, B, C đều sai

Lời giải:

a) Trong $\displaystyle \left( SAC \right)$ gọi $\displaystyle I=ME\cap SO$ , dễ thấy $\displaystyle I$ là trung điểm của $\displaystyle SO$ , suy ra $\displaystyle FI$ là đường trung bình của tam giác $\displaystyle SOD$ .

Vậy $\displaystyle FI//OD$ .

Tương tự ta có $\displaystyle NI\parallel OB$ nên $\displaystyle N,I,F$ thẳng hàng hay $\displaystyle I\in NF$ .

Vậy minh $\displaystyle ME,NF,SO$ đồng qui .

b) Do $\displaystyle ME\cap NF=I$ nên $\displaystyle ME$ và $\displaystyle NF$ xác định một mặt phẳng. Suy ra $\displaystyle M,N,E,F$ đồng phẳng.

Ví dụ 2. Cho hình chóp $\displaystyle S.ABCD$ có đáy $\displaystyle ABCD$ là hình chữ nhật. Gọi $\displaystyle M,N,E,F$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $\displaystyle SAB,SBC,SCD$ và $\displaystyle SDA$ . Chứng minh:

a) Bốn điểm $\displaystyle M,N,E,F$ đồng phẳng.

b) Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Bốn điểm $\displaystyle M,N,E,F$ đồng phẳng.

B. Bốn điểm $\displaystyle M,N,E,F$ không đồng phẳng.

C. MN, EF chéo nhau

D. Cả A, B, C đều sai

b) Ba đường thẳng $\displaystyle ME,NF,SO$ đồng qui ( $\displaystyle O$ là giao điểm của $\displaystyle AC$ và $\displaystyle BD$ ).

a) Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\displaystyle ME,NF,SO$ đôi một song song ( $\displaystyle O$ là giao điểm của $\displaystyle AC$ và $\displaystyle BD$ ).

B. $\displaystyle ME,NF,SO$ không đồng quy ( $\displaystyle O$ là giao điểm của $\displaystyle AC$ và $\displaystyle BD$ ).

C. $\displaystyle ME,NF,SO$ đồng qui ( $\displaystyle O$ là giao điểm của $\displaystyle AC$ và $\displaystyle BD$ ).

D. $\displaystyle ME,NF,SO$ đôi một chéo nhau ( $\displaystyle O$ là giao điểm của $\displaystyle AC$ và $\displaystyle BD$ ).

Lời giải:

a) Gọi $\displaystyle M',N',E',F'$ lần lượt là trung điểm các cạnh $\displaystyle AB,BC,CD$ và $\displaystyle DA$ .

Ta có $\displaystyle \frac{SM}{SM'}=\frac{2}{3},\frac{SN}{SN'}=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{SM}{SM'}=\frac{SN}{SN'}$

$\displaystyle \Rightarrow MN\parallel M'N'\text{ }\left( 1 \right)$ .

Tương tự $\displaystyle \frac{SE}{SE'}=\frac{SF}{SF'}\Rightarrow EF\parallel E'F'\text{ }\left( 2 \right)$

Lại có $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}M'N'\parallel AC\\E'F'\parallel AC\end{array} \right.\Rightarrow M'N'\parallel E'F'\text{ }\left( 3 \right)$

Từ $\displaystyle \left( 1 \right),\left( 2 \right)$ và $\displaystyle \left( 3 \right)$ suy ra $\displaystyle MN\parallel EF$ . Vậy bốn điểm $\displaystyle M,N,E,F$ đồng phẳng.