Hai mặt phẳng song song

HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

A. Lí thuyết cơ bản

1. Định nghĩa.

Hai mặt phẳng được gọi là song song nếu chúng không có điểm chung, kí hiệu $\displaystyle \left( \alpha \right)\parallel \left( \beta \right)$ .

Vậy $\displaystyle \left( \alpha \right)\parallel \left( \beta \right)\Leftrightarrow \left( \alpha \right)\cap \left( \beta \right)=\varnothing$ .

2. Định lý và tính chất.

Nếu mặt phẳng $\displaystyle \left( \alpha \right)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau $\displaystyle a,b$ và hai đường thẳng này cùng song song với mặt phẳng $\displaystyle \left( \beta \right)$ thì $\displaystyle \left( \alpha \right)\parallel \left( \beta \right)$ .

Vậy $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}a\subset \left( \alpha \right),b\subset \left( \alpha \right)\\a\cap b=M\\a\parallel \left( \beta \right),b\parallel \left( \beta \right)\end{array} \right.\Rightarrow \left( \alpha \right)\parallel \left( \beta \right)$ .

Qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho.

Hệ quả 1

Nếu $\displaystyle d\parallel \left( \alpha \right)$ thì trong $\displaystyle \left( \alpha \right)$ có một đường thẳng song song với $\displaystyle d$ và qua $\displaystyle d$ có duy nhất một mặt phẳng song song với $\displaystyle \left( \alpha \right)$ .

Hệ quả 2

Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song.

Hệ quả 3

Cho điểm không nằm trên mặt phẳng $\displaystyle \left( \alpha \right)$ .Mọi đường thẳng đi qua $\displaystyle A$ và song song với $\displaystyle \left( \alpha \right)$ đều nằn trong mặt phẳng qua $\displaystyle A$ song song với $\displaystyle \left( \alpha \right)$ .

Vậy $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}A\notin \left( \alpha \right),A\in \left( \beta \right)\\A\in d\\d\parallel \left( \alpha \right)\\\left( \beta \right)\parallel \left( \alpha \right)\end{array} \right.\Rightarrow d\subset \left( \beta \right)$ .

Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến đó song song với nhau.

Vậy $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\left( \alpha \right)\parallel \left( \beta \right)\\\left( \delta \right)\cap \left( \alpha \right)=a\end{array} \right.\Rightarrow \left( \delta \right)\cap \left( \beta \right)=b\parallel a$ .

Hệ quả

Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song những đoạn bằng nhau.

3. Định lí Ta-lét (Thales)

Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\left( \alpha \right)\parallel \left( \beta \right)\parallel \left( \chi \right)\\{{d}_{1}}\cap \left( \alpha \right)={{A}_{1}},{{d}_{1}}\cap \left( \beta \right)={{B}_{1}},{{d}_{1}}\cap \left( \chi \right)={{C}_{1}}\\{{d}_{2}}\cap \left( \alpha \right)={{A}_{2}},{{d}_{2}}\cap \left( \beta \right)={{B}_{2}},{{d}_{2}}\cap \left( \chi \right)={{C}_{2}}\end{array} \right.\Rightarrow$ $\displaystyle \frac{{{A}_{1}}{{B}_{1}}}{{{B}_{1}}{{C}_{1}}}=\frac{{{A}_{2}}{{B}_{2}}}{{{B}_{2}}{{C}_{2}}}$ .

Định lí
Ta-lét( Thales) đảo

Cho hai đường thẳng $\displaystyle {{d}_{1}},{{d}_{2}}$ chéo nhau và các điểm $\displaystyle {{A}_{1}},{{B}_{1}},{{C}_{1}}$ trên $\displaystyle {{d}_{1}}$ , các điểm $\displaystyle {{A}_{2}},{{B}_{2}},{{C}_{2}}$ trên $\displaystyle {{d}_{2}}$ sao cho $\displaystyle \frac{{{A}_{1}}{{B}_{1}}}{{{B}_{1}}{{C}_{1}}}=\frac{{{A}_{2}}{{B}_{2}}}{{{B}_{2}}{{C}_{2}}}$ . Lúc đó các đường thẳng $\displaystyle {{A}_{1}}{{A}_{2}},{{B}_{1}}{{B}_{2}},{{C}_{1}}{{C}_{2}}$ cùng song song với một mặt phăng.

4. Hình lăng trụ và hình chóp cụt.

4.1. Hình lăng trụ

Cho hai mặt phẳng song song $\displaystyle \left( \alpha \right)$ và $\displaystyle \left( \alpha ' \right)$ .

Trên $\displaystyle \left( \alpha \right)$ cho đa giác $\displaystyle {{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}$ . Qua các đỉnh $\displaystyle {{A}_{1}},{{A}_{2}},...,{{A}_{n}}$ vẽ các đường thẳng song song với nhau cắt $\displaystyle \left( \alpha ' \right)$ lần lượt tại $\displaystyle A_{1}^{'},A_{2}^{'},...,A_{n}^{'}$ .

Hình gồm hai đa giác $\displaystyle {{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}$ , $\displaystyle A_{1}^{'}A_{2}^{'}...A_{n}^{'}$ và các hình bình hành $\displaystyle {{A}_{1}}A_{1}^{'}A_{2}^{'}{{A}_{2}},{{A}_{2}}A_{2}^{'}A_{3}^{'}{{A}_{3}},...,{{A}_{n}}A_{n}^{'}A_{1}^{'}{{A}_{1}}$ được gọi là hình lăng trụ $\displaystyle {{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}.A_{1}^{'}A_{2}^{'}...A_{n}^{'}$ .

Lăng trụ có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp.

Hình chóp cụt.

Cho hình chóp $\displaystyle S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}$ .

Một mặt phẳng không đi qua đỉnh, song song với mặt phẳng đáy của hình chóp cắt các cạnh bên $\displaystyle S{{A}_{1}},S{{A}_{2}},..,S{{A}_{n}}$ lần lượt tại $\displaystyle A_{1}^{'},A_{2}^{'},..A_{n}^{'}$ . Hình tạo bởi thiết diện $\displaystyle A_{1}^{'}A_{2}^{'}...A_{n}^{'}$ và đáy $\displaystyle {{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}$ cùng với các tứ giác $\displaystyle A_{1}^{'}A_{2}^{'}{{A}_{2}}{{A}_{1}},A_{2}^{'}A_{3}^{'}{{A}_{3}}{{A}_{2}},...,A_{n}^{'}A_{1}^{'}{{A}_{1}}{{A}_{n}}$ gọi là hình chóp cụt $\displaystyle A_{1}^{'}A_{2}^{'}...A_{n}^{'}.{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}$ .

B. Bài tập

Dạng 1: CHỨNG MINH HAI MẶT PHẲNG SONG SONG .

Phương pháp:

Để chứng minh hai mặt phẳng song song ta có thể thực hiện theo một trong hai hướng sau:

Chứng minh trong mặt phẳng này có hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng kia.

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}a\subset \left( \alpha \right),b\subset \left( \alpha \right)\\a\cap b=I\\a\parallel \left( \beta \right)\\b\parallel \left( \beta \right)\end{array} \right.\Rightarrow \left( \alpha \right)\parallel \left( \beta \right)$ .

Chứng minh hai mặt phẳng đó cùng song song với măt mặt phẳng thứ ba.

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\left( \alpha \right)\parallel \left( \gamma \right)\\\left( \beta \right)\parallel \left( \gamma \right)\end{array} \right.\Rightarrow \left( \alpha \right)\parallel \left( \beta \right)$ .

Các ví dụ

Ví dụ 1. Cho hìh chóp $\displaystyle S.ABCD$ có đáy $\displaystyle ABCD$ là hình bình hành tâm $\displaystyle O$ , gọi $\displaystyle M,N$ lần lượt là trung điểm của $\displaystyle SA,SD$ . Chứng minh $\displaystyle \left( OMN \right)//\left( SBC \right)$ .

Lời giải:

Ta có $\displaystyle M,O$ lần lượt là trung điểm của $\displaystyle SA,AC$ nên $\displaystyle OM$ là đường trung bình của tam giác $\displaystyle SAC$ ứng với cạnh $\displaystyle SC$ do đó $\displaystyle OM\parallel SC$ .

Vậy $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}OM\parallel SC\\SC\subset \left( SBC \right)\end{array} \right.\Rightarrow OM\parallel \left( SBC \right)\text{ }\left( 1 \right)$ .

Tương tự, Ta có $\displaystyle N,O$ lần lượt là trung điểm của $\displaystyle SD,BD$ nên $\displaystyle ON$ là đường trung bình của tam giác $\displaystyle SBD$ ứng với cạnh $\displaystyle SB$ do đó $\displaystyle OM//SB$ .

Vậy $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}ON\parallel SB\\SB\subset \left( SBC \right)\end{array} \right.\Rightarrow OM\parallel \left( SBC \right)\text{ }\left( 2 \right)$ . Từ $\displaystyle \left( 1 \right)$ và $\displaystyle \left( 2 \right)$ ta có:

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}OM\parallel \left( SBC \right)\\ON\parallel \left( SBC \right)\\OM\cap ON=O\end{array} \right.\Rightarrow \left( OMN \right)\parallel \left( SBC \right)$ .

Ví dụ 2. Cho hai hình vuông $\displaystyle ABCD$ và $\displaystyle ABEF$ ở trong hai mặt phẳng phân biệt. Trên các đường chéo $\displaystyle AC$ và $\displaystyle BF$ lần lượt lấy các điểm $\displaystyle M,N$ sao cho $\displaystyle AM=BN$ . Các đường thẳng song song với $\displaystyle AB$ vẽ từ $\displaystyle M,N$ lần lượt cắt $\displaystyle AD$ và $\displaystyle AF$ tại $\displaystyle M'$ và $\displaystyle N'$ . Chứng minh:

a) $\displaystyle \left( ADF \right)\parallel \left( BCE \right)$ .

b) $\displaystyle \left( DEF \right)\parallel \left( MM'N'N \right)$ .

Lời giải:

a) Ta có $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}AD\parallel BC\\BC\subset \left( BCE \right)\end{array} \right.\Rightarrow AD\parallel \left( BCE \right)$

Tương tự $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}AF\parallel BE\\BE\subset \left( BCE \right)\end{array} \right.\Rightarrow AF\parallel \left( BCE \right)$ .

Mà $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}AD\subset \left( ADF \right)\\AF\subset \left( ADF \right)\end{array} \right.\Rightarrow \left( ADF \right)\parallel \,\left( BCE \right)$ .

b) Vì $\displaystyle ABCD$ và $\displaystyle \left( ABEF \right)$ là các hìnhvuông nên $\displaystyle AC=BF\text{ }\left( 1 \right)$ .

Ta có $\displaystyle MM'\parallel CD\Rightarrow \frac{AM'}{AD}=\frac{AM}{AC}\text{ }\left( 2 \right)$

$\displaystyle NN'\parallel AB\Rightarrow \frac{AN'}{AF}=\frac{BN}{BF}\text{ }\left( 3 \right)$

Từ $\displaystyle \left( 1 \right)$ , $\displaystyle \left( 2 \right)$ và $\displaystyle \left( 3 \right)$ ta được $\displaystyle \frac{AM'}{AD}=\frac{AN'}{AF}\Rightarrow M'N'\parallel DF$

$\displaystyle \Rightarrow DF\parallel \left( MM'N'N \right)$ .

Lại có $\displaystyle NN'\parallel AB\Rightarrow NN'\parallel EF\Rightarrow EF\parallel \left( MM'N'N \right)$ .

Vậy $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}DF\parallel \left( MM'N'N \right)\\EF\parallel \left( MM'N'N \right)\end{array} \right.\Rightarrow \left( DEF \right)\parallel \left( MM'N'N \right)$ .

Dạng 2: XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN CỦA $\displaystyle \left( \alpha \right)$ VỚI HÌNH CHÓP KHI BIẾT $\displaystyle \left( \alpha \right)$ VỚI MỘT MẶT PHẲNG $\displaystyle \left( \beta \right)$ CHO TRƯỚC.

Phương pháp:

- Để xác định thiết diện trong trường hợp này ta sử dụng các tính chất sau.
- Khi $\displaystyle \left( \alpha \right)\parallel \left( \beta \right)$ thì $\displaystyle \left( \alpha \right)$ sẽ song song với tất cả các đường thẳng trong $\displaystyle \left( \beta \right)$ và ta chuyển về dạng thiết diện song song với đường thẳng (§3)

Sử dụng $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\left( \alpha \right)\parallel \left( \beta \right)\\\left( \beta \right)\parallel \left( \gamma \right)\\\left( \beta \right)\cap \left( \gamma \right)=d\\M\in \left( \alpha \right)\cap \left( \gamma \right)\end{array} \right.\Rightarrow \left( \alpha \right)\cap \left( \gamma \right)=d'\parallel d,M\in d'$ .

- Tìm đường thẳng $\displaystyle d$ mằn trong $\displaystyle \left( \beta \right)$ và xét các mặt phẳng có trong hình chóp mà chứa $\displaystyle d$ , khi đó $\displaystyle \left( \alpha \right)\parallel d$ nên sẽ cắt các mặt phẳng chứa $\displaystyle d$ ( nếu có) theo các giao tuyến song song với $\displaystyle d$ .

Các ví dụ

Ví dụ 1. Cho hình chóp $\displaystyle S.ABCD$ có đáy $\displaystyle ABCD$ là hình bình hành và $\displaystyle M,N$ lần lượt là trung điểm của $\displaystyle AB,CD$ . Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi $\displaystyle \left( \alpha \right)$ đi qua $\displaystyle MN$ và song song với mặt phẳng $\displaystyle \left( SAD \right)$ .Thiết diện là hình gì?

A.Tam giác B.Hình thang C.Hình bình hành D.Tứ giác

Lời giải:

Ta có:

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}M\in \left( SAB \right)\cap \left( \alpha \right)\\\left( SAB \right)\cap \left( SAD \right)=SA\end{array} \right.$ $\displaystyle \Rightarrow \left( SAB \right)\cap \left( \alpha \right)=MK\parallel SA,K\in SB$ .

Tương tự $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}N\in \left( SCD \right)\cap \left( \alpha \right)\\\left( \alpha \right)\parallel \left( SAD \right)\\\left( SCD \right)\cap \left( SAD \right)=SD\end{array} \right.$
$\displaystyle \Rightarrow \left( SCD \right)\cap \left( \alpha \right)=NH\parallel SD,H\in SC$ .

Dễ thấy $\displaystyle HK=\left( \alpha \right)\cap \left( SBC \right)$ . Thiết diện là tứ giác $\displaystyle MNHK$

Ba mặt phẳng $\displaystyle \left( ABCD \right),\left( SBC \right)$ và $\displaystyle \left( \alpha \right)$ đôi một cắt nhau theo các giao tuyến là $\displaystyle MN,HK,BC$ , mà $\displaystyle MN\parallel BC\Rightarrow MN\parallel HK$ . Vậy thiết diện là một hình thang .

Ví dụ 2. Cho hìh chóp $\displaystyle S.ABCD$ có đáy $\displaystyle ABCD$ là hình bình hành tâm $\displaystyle O$ có $\displaystyle AC=a,BD=b$ . Tam giác $\displaystyle SBD$ là tam giác đều. Một mặt phẳng $\displaystyle \left( \alpha \right)$ di động song song với mặt phẳng $\displaystyle \left( SBD \right)$ và đi qua điểm $\displaystyle I$ trên đoạn $\displaystyle AC$ và $\displaystyle AI=x\text{ }\left( 0<x<a \right)$ .

a) thiết diện của hình chóp cắt bởi $\displaystyle \left( \alpha \right)$ là hình gi?

A.Tam giác B.Tứ giác C.Hình thang D.Hình bình hành

b) Tính diện tích thiết diện theo $\displaystyle a,b$ và $\displaystyle x$ .

Lời giải:

a) Trường hợp 1. Xét $\displaystyle I$ thuộc đoạn $\displaystyle OA$

Ta có $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}I\in \left( \alpha \right)\cap \left( ABD \right)\\\left( \alpha \right)\parallel \left( SBD \right)\\\left( ABD \right)\cap \left( SBD \right)=BD\end{array} \right.$

$\displaystyle \Rightarrow \left( \alpha \right)\cap \left( ABD \right)=MN\parallel BD,I\in MN$ .

Tương tự $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}N\in \left( \alpha \right)\cap \left( SAD \right)\\\left( \alpha \right)\parallel \left( SBD \right)\\\left( SAD \right)\cap \left( SBD \right)=SD\end{array} \right.$
$\displaystyle \Rightarrow \left( SAD \right)\cap \left( \alpha \right)=NP\parallel SD,P\in SN$ .

Thiết diện là tam giác $\displaystyle MNP$ .

Do $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\left( \alpha \right)\parallel \left( SBD \right)\\\left( SAB \right)\cap \left( SBD \right)=SB\\\left( SAB \right)\cap \left( \alpha \right)=MP\end{array} \right.\Rightarrow MP\parallel SB$ . Hai tam giác $\displaystyle MNP$ và $\displaystyle BDS$ có các cặp cạnh tương ứng song song nên chúng đồng dạng, mà $\displaystyle BDS$ đều nên tam giác $\displaystyle MNP$ đều.

Trường hợp 2. Điểm $\displaystyle I$ thuộc đoạn $\displaystyle OC$ , tương tự trường hợp 1 ta được thiết diện là tam giác đều $\displaystyle HKL$ như $\displaystyle \left( hv \right)$ .

b) Trường hợp 1.
$\displaystyle I$ thuộc đoạn $\displaystyle OA$

Ta có $\displaystyle {{S}_{BCD}}=\frac{B{{D}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{{{b}^{2}}\sqrt{3}}{4}$ , $\displaystyle \frac{{{S}_{MNP}}}{{{S}_{BCD}}}={{\left( \frac{MN}{BD} \right)}^{2}}$

Do $\displaystyle MN\parallel BD\Rightarrow \frac{MN}{BD}=\frac{AI}{AO}=\frac{2x}{a}$

$\displaystyle \Rightarrow {{S}_{MNP}}={{\left( \frac{2x}{a} \right)}^{2}}{{S}_{BCD}}=\frac{{{b}^{2}}{{x}^{2}}\sqrt{3}}{{{a}^{2}}}$ .

Trường hợp 2.
$\displaystyle I$ thuộc đoạn $\displaystyle OC$ , tính tương tự ta có

$\displaystyle {{S}_{MNP}}={{\left( \frac{HL}{BD} \right)}^{2}}{{S}_{BCD}}={{\text{ }\!\![\!\!\text{ }\frac{2\left( a-x \right)}{a}\text{ }\!\!]\!\!\text{ }}^{2}}\frac{{{b}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{{{b}^{2}}{{\left( a-x \right)}^{2}}\sqrt{3}}{{{a}^{2}}}$ .

Vậy $\displaystyle {{S}_{td}}=\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{b}^{2}}{{x}^{2}}\sqrt{3}}{{{a}^{2}}};I\in (OA)\\\frac{{{b}^{2}}{{\left( a-x \right)}^{2}}\sqrt{3}}{{{a}^{2}}};I\in \left( OC \right)\end{array} \right.$ .

Dạng 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÍ THALES.

Phương pháp:

Định lí Thales thừng được ứng dụng nhiều trong các bài toán tỉ số hay các bài toán chứng minh đường thẳng song song với một mặt phẳng cố định.

Các ví dụ

Ví dụ 1. Cho tứ diện $\displaystyle ABCD$ và $\displaystyle M,N$ là các điểm thay trên các cạnh $\displaystyle AB,CD$ sao cho $\displaystyle \frac{AM}{MB}=\frac{CN}{ND}$ .

a) Chứng minh $\displaystyle MN$ luôn luôn song song với một mặt phẳng cố định.

b) Cho $\displaystyle \frac{AM}{MB}=\frac{CN}{ND}>0$ và $\displaystyle P$ là một điểm trên cạnh $\displaystyle AC$ . thiết diện của hình chóp cắt bởi $\displaystyle \left( MNP \right)$ là hình gì?

A.Tam giác B.Tứ giác C.Hình thang D.Hình bình hành

c) Tính theo $\displaystyle k$ tỉ số diện tích tam giác $\displaystyle MNP$ và diện tích thiết diện.

A. $\frac{k}{k+1}$ B. $\frac{2k}{k+1}$ C. $\frac{1}{k}$ D. $\frac{1}{k+1}$

Lời giải:

a) Do $\displaystyle \frac{AM}{MB}=\frac{CN}{ND}$ nên theo định lí Thales thì các đường thẳng $\displaystyle MN,AC,BD$ cùng song song với một mặt phẳng $\displaystyle \left( \beta \right)$ .Gọi $\displaystyle \left( \alpha \right)$ là mặt phẳng đi qua $\displaystyle AC$ và song song với $\displaystyle BD$ thì $\displaystyle \left( \alpha \right)$ cố định và $\displaystyle \left( \alpha \right)\parallel \left( \beta \right)$ suy ra $\displaystyle MN$ luôn song song với $\displaystyle \left( \alpha \right)$ cố định.

b) Xét trường hợp $\displaystyle \frac{AP}{PC}=k$ , lúc này $\displaystyle MP\parallel BC$ nên $\displaystyle BC\parallel \left( MNP \right)$ .

Ta có :

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}N\in \left( MNP \right)\cap \left( BCD \right)\\BC\parallel \left( MNP \right)\\BC\subset \left( BCD \right)\end{array} \right.\Rightarrow \left( BCD \right)\cap \left( MNP \right)=NQ\parallel BC,Q\in BD$ .

Thiết diện là tứ giác $\displaystyle MPNQ$ .Xét trường hợp $\displaystyle \frac{AP}{PC}\ne k$

Trong $\displaystyle \left( ABC \right)$ gọi $\displaystyle R=BC\cap MP$

Trong $\displaystyle \left( BCD \right)$ gọi $\displaystyle Q=NR\cap BD$ thì thiết diện là tứ giác $\displaystyle MPNQ$ .

Gọi $\displaystyle K=MN\cap PQ$

Ta có $\displaystyle \frac{{{S}_{MNP}}}{{{S}_{MPNQ}}}=\frac{PK}{PQ}$ .

Do $\displaystyle \frac{AM}{NB}=\frac{CN}{ND}$ nên theo định lí Thales đảo thì $\displaystyle AC,NM,BD$ lần lượt thuộc ba mặt phẳng song song với nhau và đường thẳng $\displaystyle PQ$ cắt ba mặt phẳng này tương ứng tại $\displaystyle P,K,Q$ nên áp dụng định lí Thales ta được $\displaystyle \frac{PK}{KQ}=\frac{AM}{MB}=\frac{CN}{ND}=k$ $\displaystyle \Rightarrow \frac{PK}{PQ}=\frac{PK}{PK+KQ}=\frac{\frac{PK}{KQ}}{\frac{PK}{KQ}+1}=\frac{k}{k+1}$ .

Ví dụ 2. Cho hình hộp $\displaystyle ABCD.A'B'C'D'$ có tất cả các mặt đều là hình vuông cạnh $\displaystyle a$ . Các điểm $\displaystyle M,N$ lần lượt trên $\displaystyle AD',BD$ sao cho $\displaystyle AM=DN=x$
$\displaystyle \left( 0<x<a\sqrt{2} \right)$ .

a) Chứng minh khi $\displaystyle x$ biến thiên, đường thẳng $\displaystyle MN$ luôn song song với một mặt phẳng cố định.

b) Chứng minh khi $\displaystyle x=\frac{a\sqrt{2}}{3}$ thì $\displaystyle MN\parallel A'C$ .

Lời giải:

a) Gọi $\displaystyle \left( P \right)$ là mặt phẳng qua $\displaystyle AD$ và song song với $\displaystyle \left( A'D'CB \right)$ . Gọi $\displaystyle \left( Q \right)$ là mặt phẳng qua $\displaystyle M$ và song song với $\displaystyle \left( A'D'CB \right)$ . Giả sử $\displaystyle \left( Q \right)$ cắt $\displaystyle BD$ tại điểm $\displaystyle N'$ .

Theo định lí Thales ta có

$\displaystyle \frac{AM}{AD'}=\frac{DN'}{DB}\text{ }\left( 1 \right)$

Vì các mặt của hình hộp là hình vuuong cạnh $\displaystyle a$ nên $\displaystyle AD'=DB=a\sqrt{2}$ .

Từ $\displaystyle \left( 1 \right)$ ta có $\displaystyle AM=DN'$ , mà $\displaystyle DN=AM\Rightarrow DN'=DN\Rightarrow N'\equiv N\Rightarrow MN\subset \left( Q \right)$ .

Mà $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\left( Q \right)\parallel \left( A'D'CB \right)\\MN\subset \left( Q \right)\end{array} \right.\Rightarrow MN\parallel \left( A'D'CB \right)$ .

Vậy $\displaystyle MN$ luôn song song với mặt phẳng cố định $\displaystyle \left( A'D'CB \right)$ .

b) Gọi $\displaystyle O=AC\cap BD$ . Ta có

$\displaystyle DN=x=\frac{a\sqrt{2}}{3},DO=\frac{a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow DN=\frac{2}{3}DO$ suy ra $\displaystyle N$ là trọng tâm của tam giác $\displaystyle ACD$ .

Tương tự $\displaystyle M$ là trọng tâm của tam giác $\displaystyle A'AD$ .

Gọi $\displaystyle I$ là trung điểm của $\displaystyle AD$ ta có $\displaystyle \frac{IN}{IC}=\frac{1}{3},\frac{IM}{IA'}=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{IN}{IC}=\frac{IM}{IA'}\Rightarrow MN\parallel A'C$ .