Vecto trong không gian

VECTO TRONG KHÔNG GIAN

A. Lý thuyết cơ bản

1. Định nghĩa và các phép toán về vecto trong không gian

Định nghĩa: Vecto trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu $\overrightarrow{AB}$ chỉ vecto có điểm đầu $A$ , điểm cuối $B$ .

Các khái niệm có liên quan đến vecto như: giá của vecto, độ dài của vecto, sự cùng phương, cùng hướng của hai vecto, … được định nghĩa tương tự như trong mặt phẳng.

Vecto đối:

Với mọi hai điểm $A,\,\,B$ cho trước ta luôn có: $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{0}$ .

Phép cộng vecto:

Cho trước hai điểm $A,\,\,B$ . Với mọi các điểm ${{M}_{1}},\,{{M}_{2}},\,...,\,{{M}_{n}}$ ta luôn có hệ thức sau:

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{A{{M}_{1}}}+\overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}}+\overrightarrow{{{M}_{2}}{{M}_{3}}}+...+\overrightarrow{{{M}_{n}}B}$ .

Phép trừ vecto:

Cho trước hai điểm $A,\,\,B$ . Với mọi điểm $M$ ta luôn có $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MA}$ .

Quy tắc hình bình hành:

Cho hình bình hành $ABCD$ , khi đó $\left\langle \begin{array}{l}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}\\\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\end{array} \right.$ .

Quy tắc trung điểm:

Cho hai điểm $A,\,\,B$ . Nếu $M$ là trung điểm của $AB$ thì ta có hệ thức $\left[ \begin{array}{l}\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}\\\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{0}\end{array} \right.$ .

Quy tắc trọng tâm:

Cho $\displaystyle \Delta ABC$ , $\displaystyle G$ là trọng tâm, ta có:

$\displaystyle \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$ .

$\displaystyle a$ ( $\displaystyle M$ bất kì)

Quy tắc hình hộp:

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có ba cạnh xuất phát từ đỉnh $A$ là $AB,AD,AA'$ và có đường chéo là $AC'$ . Khi đó ta có quy tắc hình hộp là:

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{AC'}$ .

2. Điều kiện đồng phẳng của ba vecto

Định nghĩa: Trong không gian ba vecto được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.

Điều kiện để ba vecto đồng phẳng:

Cho ba vectơ $\displaystyle \vec{a}$ , $\displaystyle \vec{b}$ , $\displaystyle \vec{c}$ trong đó và không cùng phương. Điều kiện cần và đủ để ba vectơ $\displaystyle \vec{a}$ , $\displaystyle \vec{b}$ , $\displaystyle \vec{c}$ đồng phẳng là có duy nhất các số $\displaystyle m$ , $\displaystyle n$ sao cho $\vec{c}=m\vec{a}+n\vec{b}$ .

Phân tích một vecto theo ba vecto không đồng phẳng:

Nếu ba vectơ $\displaystyle \vec{a}$ , $\displaystyle \vec{b}$ , $\displaystyle \vec{c}$ không đồng phẳng thì với mỗi vectơ $\vec{d}$ , ta tìm được duy nhất các số $\displaystyle m$ , $\displaystyle n$ , $p$ sao cho

$\vec{d}=m\vec{a}+n\vec{b}+p\vec{c}$

B. Bài tập

Dạng 1. Chứng minh đẳng thức vecto

A. Phương pháp

Sử dụng các phép toán cộng, trừ, nhân vectơ với một số, tích vô hướng

Sử dụng các quy tắc trung điểm, trọng tâm tam giác, trọng tâm tứ diện, quy tắc hình bình hành, hình hộp, …

Chú ý: Hai tam giác $\displaystyle ABC$ và $\displaystyle {A}'{B}'{C}'$ có cùng trọng tâm khi và chỉ khi $\displaystyle \overrightarrow{A{A}'}+\overrightarrow{B{B}'}+\overrightarrow{C{C}'}=\overrightarrow{0}$ .

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1.1: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là một hình chữ nhật. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}$ .

b) ${{\overrightarrow{SA}}^{2}}+{{\overrightarrow{SC}}^{2}}={{\overrightarrow{SB}}^{2}}+{{\overrightarrow{SD}}^{2}}$ .

Lời giải:

a) Gọi $O$ là tâm của hình chữ nhật. Vì $OA=OC$ nên $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=2\overrightarrow{SO}$ (1)

Vì $OB=OD$ nên $\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}=2\overrightarrow{SO}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}$ .

b) Ta có: $\overrightarrow{SA}={{\left( \overrightarrow{SO}+\overrightarrow{OA} \right)}^{2}}={{\overrightarrow{SO}}^{2}}+{{\overrightarrow{OA}}^{2}}+2\overrightarrow{SO}.\overrightarrow{OA}$ .

Mà $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$ nên ${{\overrightarrow{SA}}^{2}}+{{\overrightarrow{SC}}^{2}}=2{{\overrightarrow{SO}}^{2}}+{{\overrightarrow{OA}}^{2}}+{{\overrightarrow{OC}}^{2}}$ .

Tương tự có: ${{\overrightarrow{SB}}^{2}}+{{\overrightarrow{SD}}^{2}}=2{{\overrightarrow{SO}}^{2}}+{{\overrightarrow{OB}}^{2}}+{{\overrightarrow{OD}}^{2}}$ .

Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên ta có:

$\left| \overrightarrow{OA} \right|=\left| \overrightarrow{OB} \right|=\left| \overrightarrow{OC} \right|=\left| \overrightarrow{OD} \right|$ .

Từ đó suy ra ${{\overrightarrow{SA}}^{2}}+{{\overrightarrow{SC}}^{2}}={{\overrightarrow{SB}}^{2}}+{{\overrightarrow{SD}}^{2}}$ .

Ví dụ 1.2: Cho tứ diện $ABCD.$ Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD,$ $G$ là trung điểm của $MN$ và ${{G}_{1}}$ là trọng tâm của tam giác $BCD.$ Chứng minh các hệ thức sau:

a) $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}$ .

b) $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD} \right)=\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC} \right)$ .

c) $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$ .

d) $\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{ND}=4\overrightarrow{NG},\forall N.$

e) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{A{{G}_{1}}}$ .

Lời giải:

a) $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}$

Sử dụng quy tắc cộng vectơ ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}\\\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}\end{array} \right.\to \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}+\left( \overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DC} \right)=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}$ .

b) $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD} \right)=\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC} \right)$

Chứng minh $2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}$

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NC}\\\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{ND}\end{array} \right.$ $\displaystyle \to \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{MN}+\left( \overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM} \right)+\left( \overrightarrow{NC}+\overrightarrow{ND} \right)=2\overrightarrow{MN}$

Vì $\displaystyle \left( \overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM} \right)=\overrightarrow{0};\left( \overrightarrow{NC}+\overrightarrow{ND} \right)=\overrightarrow{0}.$

Chứng minh $2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}$

Chứng minh tương tự hoặc sử dụng kết quả câu a.

c) $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$

Theo quy tắc trung điểm trong $\displaystyle \Delta GAB;\Delta GCD$ ta có:

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=2\overrightarrow{GM}\\\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GN}\end{array} \right.\to \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=2\left( \overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GN} \right)=\overrightarrow{0}.$

d) $\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{ND}=4\overrightarrow{NG},\forall N.$

Ta có: $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow{NA}=\overrightarrow{NG}+\overrightarrow{GA}\\\overrightarrow{NB}=\overrightarrow{NG}+\overrightarrow{GB}\\\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{NG}+\overrightarrow{GC}\\\overrightarrow{ND}=\overrightarrow{NG}+\overrightarrow{GD}\end{array} \right.$

$\displaystyle \to \overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{ND}=4\overrightarrow{NG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=4\overrightarrow{NG}$ .

Vì $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$ .

e) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{A{{G}_{1}}}$

Sử dụng quy tắc trung điểm cho $\Delta ACD$ ta được $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AN}$

Gọi $I$ là điểm đối xứng của $A$ qua $N$ , khi đó $2\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AI}\to \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AI}$

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AI}=2\overrightarrow{AE},$ với $E$ là trung điểm của $\displaystyle BI.$

Xét trong tam giác $\displaystyle ABI$ có $BN$ và $AE$ là các đường trung tuyến, giả sử $BN\cap AE={G}'$ thì ${G}'$ là trọng tâm tam giác $\displaystyle ABI.$

Khi đó, $B{G}'=\frac{2}{3}BN=B{{G}_{1}}\to {G}'\equiv {{G}_{1}}.$

Mà $\overrightarrow{A{{G}_{1}}}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AE}=\frac{2\overrightarrow{AE}}{3}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}}{3}\to \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{A{{G}_{1}}}.$

Dạng 2. Chứng minh ba vecto đồng phẳng và bốn điểm đồng phẳng, phân tích một vecto theo ba vecto không đồng phẳng

A. Phương pháp

Để chứng minh ba vecto $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ đồng phẳng ta có thể thực hiện theo một trong các cách sau:

Chứng minh giá của ba vecto $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ cùng song song với một mặt phẳng.

Phân tích $\overrightarrow{c}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}$ trong đó $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ là hai vecto không cùng phương.

Để chứng minh bốn điểm $A,B,C,D$ đồng phẳng ta có thể chứng minh ba vecto $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}$ đồng phẳng. Ngoài ra có thể dùng kết quả quen thuộc sau:

Điều kiện cần và đủ để điểm $D\in (ABC)$ là với mọi điểm $O$ bất kì ta luôn có:

$\overrightarrow{OD}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC}$ , trong đó $x+y+z=1$ .

Để phân tích một vecto $\overrightarrow{x}$ theo ba vecto $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ không đồng phẳng, ta tìm các số $m,n,p$ sao cho $\overrightarrow{x}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}+p\overrightarrow{c}$ .

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 2.1: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O.$ Hãy phân tích các vectơ $\overrightarrow{SA},\overrightarrow{SB},\overrightarrow{SC},\overrightarrow{SD}$ theo $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{SO}.$

Lời giải:

Phân tích $\overrightarrow{SA}$ :

Ta có $\overrightarrow{SA}=\overrightarrow{SO}+\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{SO}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{SO}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$

Phân tích $\overrightarrow{SB}$ :

Ta có $\overrightarrow{SB}=\overrightarrow{SO}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{SO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{SO}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}$

Phân tích $\overrightarrow{SC}$ :

Ta có $\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SO}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{SO}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$

Phân tích $\overrightarrow{SD}$ :

Ta có $\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}=2\overrightarrow{SO}\to \overrightarrow{SD}=2\overrightarrow{SO}-\overrightarrow{SB}=2\overrightarrow{SO}-\left( \overrightarrow{SO}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB} \right)$

$\displaystyle \to \overrightarrow{SD}=\overrightarrow{SO}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$

Ví dụ 2.2: Cho tứ diện $\displaystyle ABCD$ , gọi $\displaystyle M$ và $\displaystyle N$ theo thứ tự là trung điểm của $\displaystyle AB,CD$ .Chứng minh ba vectơ $\displaystyle \overrightarrow{MN},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AD}$ đồng phẳng.

Lời giải:

Nhận xét:

Để chứng minh ba vectơ $\displaystyle \overrightarrow{MN},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AD}$ đồng phẳng ta đi kiểm tra xem có đẳng thức vectơ nào liên quan đến 3 vectơ trên hay không. Bằng trực quan hình học, ta thấy MN ở giữa BC và AD nên ta sẽ xuất phát từ vectơ $\displaystyle MN$ theo hai hướng $\displaystyle BC$ và $\displaystyle AD$ .

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}\\\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CN}\end{array} \right.$

$2\overrightarrow{MN}=\underbrace{\left( \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB} \right)}_{\overrightarrow{0}}+\left( \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD} \right)+\underbrace{\left( \overrightarrow{DN}+\overrightarrow{CN} \right)}_{\overrightarrow{0}}$

Từ đó ta có: $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD} \right)$ ,tức là $\displaystyle \overrightarrow{MN},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AD}$ đồng phẳng.

Ví dụ 2.3: Cho hình chóp tam giác $\displaystyle S.ABC$ . Trên đoạn $SA$ lấy $M$ sao cho $\displaystyle \overrightarrow{MS}=-2\overrightarrow{MA}$ và trên đoạn $BC$ lấy $N$ sao cho $\displaystyle \overrightarrow{NB}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{NC}$ . Chứng minh rằng ba vectơ $\displaystyle \overrightarrow{AB},\overrightarrow{MN},\overrightarrow{SC}$ đồng phẳng.

Lời giải:

Tương tự như ví dụ trên, chúng ta phân tích $\displaystyle \overrightarrow{MN}$ theo hai hướng

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}\,(1)\\\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MS}+\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{CN}\,(2)\end{array} \right.$

Nhân cả hai vế của $\displaystyle \left( 1 \right)$ với 2 rồi cộng với $\displaystyle \left( 2 \right)$ ta được:

$\displaystyle 3\overrightarrow{MN}=\left( 2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MS} \right)+\left( 2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{SC} \right)+\left( 2\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CN} \right)$

Từ giả thiết: $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow{MS}=-2\overrightarrow{MA}\\\overrightarrow{NB}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{NC}\end{array} \right.$ $\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MS}=\overrightarrow{0}\\2\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{0}\end{array} \right.$

$\displaystyle \Rightarrow 3\overrightarrow{MN}=\left( 2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{SC} \right)$ $\displaystyle \Leftrightarrow \overrightarrow{MN}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{SC}$