Cực trị của hàm số

A. LÍ THUYẾT CƠ BẢN

1. Khái niệm cực trị của hàm số:

Cho và .

+ được gọi là một điểm cực đại của nếu tồn tại khoảng sao cho

$\left\{ \begin{array}{l}{{x}_{0}}\in (a;b)\subset D\\f(x)<f({{x}_{0}}),\forall x\in (a;b)\backslash \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }{{x}_{0}}\text{ }\!\!\}\!\!\text{ }\end{array} \right.$

+ được gọi là một điểm cực tiểu của nếu tồn tại khoảng sao cho

$\left\{ \begin{array}{l}{{x}_{0}}\in (a;b)\subset D\\f(x)>f({{x}_{0}}),\forall x\in (a;b)\backslash \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }{{x}_{0}}\text{ }\!\!\}\!\!\text{ }\end{array} \right.$

Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị.

Bảng sau đây tóm tắt các khái niệm được sử dụng trong phần này:

2. Điều kiện cần để hàm số có cực trị:

Giả sử hàm số $f$ đạt cực trị tại điểm ${{x}_{0}}$ và $f$ có đạo hàm tại ${{x}_{0}}$ thì $f'({{x}_{0}})=0$ .

Chú ý: Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại điểm làm cho đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

3. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị:

Định lí 1:

Nếu $f'({{x}_{0}})$ đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua ${{x}_{0}}$ thì $x={{x}_{0}}$ là điểm cực đại.
Nếu $f'({{x}_{0}})$ đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua ${{x}_{0}}$ thì $x={{x}_{0}}$ là điểm cực tiểu.

Định lí 2:

Giả sử hàm số $f$ có đạo hàm cấp một trên khoảng $(a;b)$ chứa điểm ${{x}_{0}},$ $\,f'({{x}_{0}})=0$ và $f$ có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm chứa ${{x}_{0}}$ .

Nếu $f''({{x}_{0}})<0$ thì hàm số $f$ đạt cực đại tại điểm ${{x}_{0}}$ .
Nếu $f''({{x}_{0}})>0$ thì hàm số $f$ đạt cực đại tại điểm ${{x}_{0}}$ .

Chú ý: Nếu $f'\left( {{{x}_{0}}} \right)=f''\left( {{{x}_{0}}} \right)=0$ thì không thể xác định được ${{x}_{0}}$ là cực trị hay không.

Ví dụ: Hàm số $y={{x}^{3}},\,y={{x}^{4}}$

B. BÀI TẬP

Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số không chứa tham số

Phương pháp:

Quy tắc 1:

+ Tìm TXĐ.

+ Tính $f'(x)$ . Tìm các điểm làm cho $f'(x)$ bằng 0 hoặc không xác định.

+ Lập bảng biến thiên, từ đó suy ra kết luận.
Quy tắc 2:

+ Tìm TXĐ.

+ Tính $f'(x)$ . Giải phương trình $f'(x)=0$ và tìm các nghiệm ${{x}_{i}}\,(i=1,2,...,n)$ .

+ Tính $f''(x)$ và $f''({{x}_{i}})$ .

+ Dựa vào dấu của $f''({{x}_{i}})$ để suy ra tính chất cực trị tại điểm ${{x}_{i}}$ .

Ví dụ 1.1 (Đề minh họa 2017) Giá trị cực đại của hàm số $y={{x}^{3}}-3x+2$ là?

A. 4 B. 1 C. 0 D. $-1$

Lời giải:

Cách 1 (Quy tắc 1):

TXĐ: $D=\mathbb{R}$

Ta có $y'=3{{x}^{2}}-3\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=-1\\x=1\end{array} \right.$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đạt cực đại tại $x=-1$ và y_CĐ= 4.

Vậy chọn đáp án A.

Cách 2 (Quy tắc 2)

TXĐ: $D=\mathbb{R}$ .

Ta có $y'=3{{x}^{2}}-3\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=-1\\x=1\end{array} \right.$

$y''=6x;\,\,y''(1)=6>0;\,\,y''(-1)=-6<0\Rightarrow$ Hàm số đạt cực đại tại $x=-1$ và y_CĐ= 4.

Chọn đáp án A.

Ví dụ 1.2: Tìm giá trị cực tiểu của hàm số $y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+2$ .

A. 1 B. $-1$ C. 0 D. 2

Lời giải:

Cách 1 (Quy tắc 1):

TXĐ: $D=\mathbb{R}$ .

Ta có $y'=4{{x}^{3}}-4x\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=0\\x=\pm 1\end{array} \right.$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1,x=1$ và ${{y}_{{CT}}}=y(1)=y(-1)=1$

Vậy chọn đáp án A.

Cách 2 (Quy tắc 2):

$y''=12{{x}^{2}}-4$

Ta có $y''(-1)=8>0;\,\,y''(1)=8>0;\,\,y''(0)=-4<0$ .

⇒ Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và y_CĐ= y(0) = 2; hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1,x=1$ và ${{y}_{{CT}}}=y(1)=y(-1)=1$ .

Vậy chọn đáp án A.

Ví dụ 1.3: Tìm điểm cực đại của hàm số $y=\frac{{{{x}^{2}}+4}}{x}$

A. 2 B. $-2$ C. $-4$ D. 4

Lời giải:

TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }0\}$ .

Ta có $y'=\frac{{{{x}^{2}}-4}}{{{{x}^{2}}}}\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4=0\Leftrightarrow x=\pm 2$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đạt cực đại tại điểm $x=-2$ .

Chọn đáp án B.

Ví dụ 1.4: Điểm nào sau đây là điểm cực tiểu của hàm số $y=2\sin x+1$

A. $-\frac{\pi }{2}$ B. $\frac{\pi }{2}$ C. 3 D. $-1$

Lời giải:

Cách 1 (Tự luận)

TXĐ: $D=\mathbb{R}$ .

Ta có $y'=2\cos x=0\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+k\pi \,\,(k\in \mathbb{Z})$

$\begin{array}{l}y''=-2\sin x;\,\,\\y''(\frac{\pi }{2}+k\pi )=-2\sin (\frac{\pi }{2}+k\pi )=\left\{ \begin{array}{l}-2\sin (\frac{\pi }{2}+k2\pi )=-2<0\\-2\sin (-\frac{\pi }{2}+k2\pi )=2>0\end{array} \right.\end{array}$

Suy ra $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$ là các điểm cực đại và $x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi$ là các điểm cực tiểu của hàm số.

Vậy chọn đáp án A.

Cách 2 (Trắc nghiệm)

Kiểm tra được $y'(\frac{\pi }{2})=y'(-\frac{\pi }{2})=0$

Ta có $y''=-2\sin x;\,\,y''(\frac{\pi }{2})=-2<0\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}$ là điểm cực đại của hàm số.

$y''(-\frac{\pi }{2})=2>0\Rightarrow x=-\frac{\pi }{2}$ là điểm cực tiểu của hàm số.

Chọn A.

Ví dụ 1.5: Tìm tất cả các điểm cực đại của hàm số $y=\sin x+\cos x+2$ .

A. $\frac{{5\pi }}{4}+k2\pi$ . B. $\frac{\pi }{4}+k2\pi$ . C. $2+\sqrt{2}$ . D. $2-\sqrt{2}$ .

Lời giải:

TXĐ: $D=\mathbb{R}$ .

Ta có $y'=\cos x-\sin x=0\Leftrightarrow \tan x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\x=\frac{{5\pi }}{4}+k2\pi \end{array} \right.\,(k\in \mathbb{Z})$

$\displaystyle y''=-\cos x-\sin x;\,\,y''(\frac{\pi }{4}+k2\pi )=-\sqrt{2}<0\Rightarrow x=\frac{\pi }{4}+k2\pi$ là các điểm cực đại của hàm số.

$y''(\frac{{5\pi }}{4}+k2\pi )=\sqrt{2}>0\Rightarrow x=\frac{{5\pi }}{4}+k2\pi$ là các điểm cực tiểu của hàm số.

Chọn B.

Ví dụ 1.6 (Đề minh họa lần 2 – 2017)

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định, liên tục trên đoạn $\displaystyle \text{ }\!\![\!\!\text{ }-2;2]$ và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Hàm số $f(x)$ đạt cực đại tại điểm nào dưới đây ?

A. $x=-2$ . B. $x=-1$ . C. $x=1$ . D. $x=2$ .

Lời giải:

Hàm số đạt cực đại tại $x=-1$ và y_CĐ = 2; hàm số đạt cực tiểu tại $x=1,{{y}_{{CT}}}=-2$ .

Chọn đáp án B.

Ví dụ 1.7: Cho hàm số $y=f(x)$ xác định, liên tục trên $\mathbb{R}$ và hàm số đạo hàm $f'(x)$ của $f(x)$ có đồ thị như hình bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số $y=f(x)$ .

A. 0 B. 2 C. 3 D. 1

Lời giải:

Hàm số có $f'(x)>0,\forall x>1;\,\,f'(x)<0,\forall x<1$ và $f'(1)=0$ . Vậy hàm số có duy nhất một điểm cực trị và x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số.

Chọn đáp án D.

Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số đạt cực trị một

Phương pháp

Bước 1: Điều kiện cần để hàm số $f$ đạt cực trị tại điểm ${{x}_{0}}$ là $f'({{x}_{0}})=0$ . Từ điều kiện này ta tìm được giá trị của tham số
Bước 2: Kiểm tra lại bằng cách dùng một trong hai quy tắc tìm cực trị để xét xem giá trị của tham số vừa tìm được có thỏa mãn yêu cầu của bài toán hay không.

Chú ý:

Trong trường hợp $f'({{x}_{0}})=0$ không tồn tại hoặc $\left\{ \begin{array}{l}f'({{x}_{0}})=0\\f''({{x}_{0}})=0\end{array} \right.$ thì định lí 2 ở trên không dùng được.

Ví dụ 2.1 (Chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An 2017 Lần 3)

Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $y=-{{x}^{3}}+m{{x}^{2}}+({{m}^{2}}+2m-3)x+1$ đạt cực đại tại $x=0$ .

A. {1} B. $\displaystyle \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }-3;1\}$ C. $\displaystyle \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }-1\}$ D. $\displaystyle \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }-3\}$

Lời giải:

TXĐ: $D=\mathbb{R}$ .

Ta có $y'=-3{{x}^{2}}+2mx+{{m}^{2}}+2m-3$

Để $x=0$ là cực đại thì $y'(0)=0\Leftrightarrow {{m}^{2}}+2m-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m=1\\m=-3\end{array} \right.$

Với m = 1 thì $y'=-3{{x}^{2}}+2x;\,y''=-6x+2\Rightarrow y''(0)=2>0$ nên $x=0$ là cực tiểu.

Với $m=-3$ thì $y'=-3{{x}^{2}}-6x;\,\,y''=-6x-6\Rightarrow y''(0)=-6<0$ nên $x=0$ là cực đại.

Chọn D.

Ví dụ 2.2: Cho hàm số $y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+({{m}^{2}}-m+1)x+1$ với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đạt cực đại tại $x=1$ .

A. $m=1,m=2$ . B. $m=2$ . C. $m=1$ . D. $m=0$ .

Lời giải:

TXĐ: $D=\mathbb{R}$ .

Ta có $y'={{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}-m+1$

Để hàm số đạt cực đại tại $x=1$ thì $y'(1)=0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-3m+2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m=1\\m=2\end{array} \right.$

Nếu $m=1$ thì $y'={{x}^{2}}-2x+1;\,\,y''=2x-2\Rightarrow y''(1)=0\Rightarrow$ Hàm số không thể đạt cực trị.

Nếu $m=2$ thì $y'={{x}^{2}}-4x+3;\,\,y''=2x-4\Rightarrow y''(1)=-2<0\Rightarrow$ Hàm số đạt cực đại tại $x=1$ .

Vậy chọn B.

Chú ý:
Nếu trình bày lời giải theo hướng sau:

Hàm số đạt cực đại tại $x=1$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y'(1)=0\\y''(1)<0\end{array} \right.$ thì lời giải chưa chính xác. Vì định lí 2 chỉ phát biểu khi $f''({{x}_{0}})\ne 0$ .

Ví dụ 2.3: Cho hàm số $y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+({{m}^{2}}-4)x+5$ với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1$ .

A. $m=1$ . B. $m=-3$ . C. $m=1,m=-3$ . D. $-3\le m\le 1$ .

Lời giải:

TXĐ: $D=\mathbb{R}$ .

Ta có $y'={{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}-4$

Hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1$ thì $y'(-1)=0\Leftrightarrow {{m}^{2}}+2m-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m=1\\m=-3\end{array} \right.$

Thử lại ta thấy $m=-3$ là giá trị cần tìm.

Chọn đáp án B.

Dạng 3 : Tìm điều kiện để hàm số có cực trị hoặc không có cực trị

Phương pháp:

Đối với hàm số bậc ba $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\,\,\,\,(a\ne 0)$

Ta có $y'=3a{{x}^{2}}+2bx+c$

Để hàm số có cực trị thì phương trình $y'=0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta '>0\Leftrightarrow {{b}^{2}}-3ac>0$ .

Ngược lại, hàm số không có cực trị thì phương trình $y'=0$ vô nghiệm hoặc có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow \Delta '\le 0\Leftrightarrow {{b}^{2}}-3ac\le 0$ .

Như vậy, hàm số bậc ba chỉ có hai cực trị hoặc không có cực trị.
Đối với hàm bậc bốn trùng phương $y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c\,\,\,\,(a\ne 0)$

Ta có $y'=4a{{x}^{3}}+2bx=2x(2a{{x}^{2}}+b)\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=0\\2a{{x}^{2}}+b=0\end{array} \right.$
- Hàm số luôn có một cực trị nằm trên trục Oy.
  
  + Nếu $a>0$ thì $x=0$ là điểm cực tiểu.
  
  + Nếu $a<0$ thì $x=0$ là điểm cực đại.
- Nếu $ab\ge 0$ thì $x=0$ là điểm cực trị duy nhất.
- Nếu $ab<0$ thì hàm số có 3 điểm cực trị.

Ví dụ 3.1: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+6mx+m$ có hai điểm cực trị.

A. $m\in (0;2)$ . B. $m\in (-\infty ;0)\cup (8;+\infty )$ .

C. $m\in (-\infty ;0)\cup (2;+\infty )$ . D. $m\in (0;8)$ .

Lời giải:

Ta có $y'=3{{x}^{2}}-6mx+6m=3({{x}^{2}}-2mx+2m)$

Để hàm số có hai điểm cực trị $\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2mx+2m=0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta '>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-2m>0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m>2\\m<0\end{array} \right.$

Vậy chọn đáp án C.

Ví dụ 3.2: Tìm các giá trị của tham số m để hàm số $y=(m-3){{x}^{3}}-2m{{x}^{2}}+3$ không có cực trị.

A. $m=3$ B. $m=0,m=3$ C. $m=0$ D. $m\ne 3$

Lời giải:

Nếu $m=3$ thì $y=-6{{x}^{2}}+3$ . Đây là một parabol nên luôn có một cực trị.

Nếu $m\ne 3$ , ta có $y'=3(m-3){{x}^{2}}-4mx$

Để hàm số không có cực trị thì phương trình $y'=0$ vô nghiệm hoặc có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow \Delta '\le 0\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}\le 0\Leftrightarrow m=0$

Chọn đáp án C.

Chú ý:
Ở ví dụ 3.2, hàm số đã cho có hệ số a chứa tham số nên ta phải xét hai trường hợp $a=0$ và $a\ne 0$ .

Ví dụ 3.3 (THPT Nguyễn Du – TP HCM 2017) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $y=\frac{1}{3}(m-1){{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+(m-3)x+4m-1$ có cực đại.

A. $m\in (-\infty ;+\infty )$ . B. $m\in (\frac{3}{4};+\infty )\backslash \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }1\}$ .

C. $m\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }\frac{3}{4};+\infty )\backslash \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }1\}$ . D. $m\in (\frac{3}{4};+\infty )$ .

Lời giải:

Ta có $y'=(m-1){{x}^{2}}-2mx+m-3$

Nếu $m=1$ thì $y'=-2x-2=0\Leftrightarrow x=-1,\,\,\,y''=-2<0$ nên $x=-1$ là điểm cực đại. Do đó $m=1$ là một giá trị cần tìm.

Nếu $m\ne 1$ , hàm số có cực đại $\Leftrightarrow y'=0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta '>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-(m-1)(m-3)>0\Leftrightarrow 4m-3>0\Leftrightarrow m>\frac{3}{4}$ .

Vậy $m\in (\frac{3}{4};+\infty )$ . Chọn đáp án D.

Ví dụ 3.4 (THPT Chuyên Bắc Giang 2017) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $y={{x}^{4}}+2(m-1){{x}^{2}}+{{m}^{2}}$ có ba cực trị.

A. $m>1$ . B. $m<1$ . C. $m\le 1$ . D. $m\ge 1$ .

Lời giải:

Ta có $y'=4{{x}^{3}}+4(m-1)x=4x({{x}^{2}}+m-1)\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=0\\{{x}^{2}}=1-m\end{array} \right.$

Hàm số có ba cực trị khi và chỉ khi y’ có ba nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow 1-m>0\Leftrightarrow m<1$

Vậy chọn đáp B.

Ví dụ 3.5 (Chuyên Phân Bội Châu – Nghệ An 2017 Lần 2)

Tìm m để hàm số $y=m{{x}^{4}}+({{m}^{2}}-9){{x}^{2}}+1$ có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu.

A. $-3<m<0$ . B. $0<m<3$ . C. $m<-3$ . D. $m>3$ .

Lời giải:

Ta có $y'=4m{{x}^{3}}+2({{m}^{2}}-9)x$

Hàm số có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu khi và chỉ khi $y'$ có 3 nghiệm phân biệt và điểm cực tiểu là $x=0$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a>0\\ab<0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m>0\\m({{m}^{2}}-9)<0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m>0\\-3<m<3\end{array} \right.\Leftrightarrow 0<m<3$

Chọn đáp án B.

Dạng 4: Phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị

Phương pháp:

Xét hàm số $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\,\,\,\,(a\ne 0)$ .

Giả sử hàm số có cực trị, thực hiện phép chia đa thức $y$ cho $y'$ để có: $y=p(x).y'+ax+b$ .

Từ đây suy ra $\Delta :\,\,y=ax+b$ là đường thẳng đi qua tất cả các điểm cực trị của $y=\frac{{2{{x}^{2}}+3x+3}}{{x+1}}$ .

Ví dụ 4.1 (Đề thi THPTQG 2017) Đồ thị của hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x+1$ có hai điểm cực trị $A$ và $B$ . Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng $AB$ ?

A. $Q(-1;10)$ . B. $M(0;-1)$ . C. $N(1;-10)$ . D. $P(1;0)$ .

Lời giải:

TXĐ: $D=\mathbb{R}$ .

Ta có $y'=3{{x}^{2}}-6x-9=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=-1\\x=3\end{array} \right.$

Suy ra đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là $A(-1;6),\,\,B(3;-26)$ .

Phương trình đường thẳng $AB$ là $\frac{{x-(-1)}}{{-1-3}}=\frac{{y-6}}{{6-(-26)}}\Leftrightarrow 8x+y+2=0$ .

Thay tọa độ các điểm $M,N,P,Q$ vào phương trình đường thẳng $AB$ ta được $N(1;-10)$ thuộc đường thẳng $AB$ . Chọn C.

Ví dụ 4.2 (Đề thi THPTQG 2017) Tìm giá trị thực của tham số $m$ để đường thẳng $d:\,\,y=(2m-1)x+3+m$ vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1$ .

A. $m=\frac{3}{2}$ . B. $m=\frac{3}{4}$ . C. $m=-\frac{1}{2}$ . D. $m=\frac{1}{4}$ .

Lời giải:

TXĐ: $D=\mathbb{R}$ .

Ta có $y'=3{{x}^{2}}-6x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=0\\x=2\end{array} \right.$

Suy ra đồ thị hàm số có hai điểm cực trị $A(0;1),\,\,B(2;-3)$ .

Phương trình đường thẳng $AB$ là $2x-y+1=0\Leftrightarrow y=2x+1$ .

$d\bot AB\Leftrightarrow 2.(2m-1)=-1\Leftrightarrow m=\frac{1}{4}$ .

Chọn D.

Ví dụ 4.3 (THPT Phạm Văn Đồng – Phú Yên)

Giả sử đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+3(m+6)x+1$ có 2 cực trị. Khi đó đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có phương trình là

A. $y=2x+{{m}^{2}}+6m+1$ . B. $y=2(-{{m}^{2}}+m+6)x+{{m}^{2}}+6m+1$ .

C. $y=-2x+{{m}^{2}}+6m+1$ D. Tất cả đều sai.

Lời giải:

Ta có $y'=3{{x}^{2}}-6mx+3(m+6)$

Lấy $y$ chia cho $\frac{1}{3}y'$ ta được: $y=\frac{1}{3}y'.(x-m)+2(-{{m}^{2}}+m+6)x+{{m}^{2}}+6m+1$ .

Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là $y=2(-{{m}^{2}}+m+6)x+{{m}^{2}}+6m+1$

Vậy chọn B.

Ví dụ 4.4: Giá trị của $m$ để khoảng cách từ điểm $M(0;3)$ đến đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}+3mx+1$ bằng $\frac{2}{{\sqrt{5}}}$ là

A. $m=\pm 2$ . B. $m=-2$ . C. $m=-2;\,m=3$ . D. $m\in \varnothing$ .

Lời giải:

TXĐ: $D=\mathbb{R}$ .

Ta có $y'=3{{x}^{2}}+3m\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}=-m$ .

Hàm số có cực trị $\Leftrightarrow y'$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow m<0$ .

Lấy $y$ chia cho $y'$ ta được $y=\frac{1}{3}x.y'+2mx+1$ .

Suy ra phương trình đi qua hai điểm cực trị là $\Delta :\,\,y=2mx+1\Leftrightarrow 2mx-y+1=0$ .

Theo giả thiết $d(M,\Delta )=\frac{2}{{\sqrt{5}}}\Leftrightarrow \frac{{|2m.0-3+1|}}{{\sqrt{{4{{m}^{2}}+1}}}}=\frac{2}{{\sqrt{5}}}\Leftrightarrow \frac{2}{{\sqrt{{4{{m}^{2}}+1}}}}=\frac{2}{{\sqrt{5}}}\Leftrightarrow m=\pm 2$

Mà $m<0$ nên $m=-2$ .

Chọn B.

Dạng 5: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước

Ví dụ 5.1(Chuyên Trần Phú – Hải Phòng 2017 Lần 3)

Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+3({{m}^{2}}-1)x-{{m}^{3}}+m$ có hai điểm cực trị ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}=7$ .

A. $m=0$ . B. $m=\pm \frac{9}{2}$ . C. $m=\pm \frac{1}{2}$ . D. $m=\pm 2$ .

Lời giải:

Ta có $y'=3{{x}^{2}}-6mx+3({{m}^{2}}-1)=3\,[{{x}^{2}}-2mx+({{m}^{2}}-1)\text{ }\!\!]\!\!\text{ }$

Do $\Delta '={{m}^{2}}-{{m}^{2}}+1=1>0,\forall m\in \mathbb{R}$ nên hàm số luôn có hai điểm cực trị ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ .

Theo định lí Viet, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m\\{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{m}^{2}}-1\end{array} \right.$

Ta có $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}=7\Leftrightarrow {{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{2}}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}=7$

$\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-3({{m}^{2}}-1)=7\Leftrightarrow {{m}^{2}}=4\Leftrightarrow m=\pm 2$ .

Chọn đáp án D.

Ví dụ 5.2 (THPT Hưng Nhân – Thái Bình 2017 Lần 2)

Cho hàm số $y={{x}^{3}}-(2m+1){{x}^{2}}+3mx-m$ . Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung.

A. $0<m<1$ B. $m<0$ C. $m>1$ D. $\left[ \begin{array}{l}m<0\\m>1\end{array} \right.$

Lời giải:

Ta có $y'=3{{x}^{2}}-2(2m+1)x+3m$

Hàm số có hai cực trị khi và chỉ khi y’ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta '>0\Leftrightarrow {{(2m+1)}^{2}}-3.3m>0\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-5m+1>0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m>1\\m<\frac{1}{4}\end{array} \right.$

Khi đó hai cực trị ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn hệ thức Viet $\left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{{2(2m+1)}}{3}\\{{x}_{1}}{{x}_{2}}=m\end{array} \right.$

Hai cực trị này nằm về hai phía cua trục tung $\Leftrightarrow {{x}_{1}}{{x}_{2}}=m<0$ .

Vậy $m<0$ .

Chọn đáp án B.

Ví dụ 5.3: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số $y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c\,\,(a\ne 0)$ có ba điểm cực trị tạo thành:

a) Tam giác vuông.

b) Tam giác đều.

c) Tam giác có diện tích bằng ${{S}_{0}}$ .

Lời giải:

$y'=4a{{x}^{3}}+2bx=2x(2a{{x}^{2}}+b)\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=0\\2a{{x}^{2}}+b=0\end{array} \right.$

Với $ab<0$ thì đồ thị hàm số có ba điểm cực trị $A(0;c),\,B(-\sqrt{{-\frac{b}{{2a}}}};\frac{{-{{b}^{2}}+4ac}}{{4a}});\,$ $\,C(\sqrt{{-\frac{b}{{2a}}}};\frac{{-{{b}^{2}}+4ac}}{{4a}})$

Ta có $AB=AC=\sqrt{{\frac{{{{b}^{4}}}}{{16{{a}^{2}}}}-\frac{b}{{2a}}}};\,\,BC=2\sqrt{{-\frac{b}{{2a}}}}\Rightarrow \Delta ABC$ cân tại A.

a) Do điểm A luôn nằm trên Oy và cách đều hai điểm B, C nên tam giác ABC vuông cân tại A

$\Leftrightarrow A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}\Leftrightarrow \frac{{{{b}^{4}}}}{{16{{a}^{2}}}}+\frac{b}{{2a}}=0\Leftrightarrow$ $\frac{{{{b}^{3}}}}{a}=-8$

b) $\Delta ABC$ đều $\Leftrightarrow AB=BC\Leftrightarrow -\frac{b}{{2a}}+\frac{{{{b}^{4}}}}{{16{{a}^{2}}}}=-\frac{{2b}}{a}\Leftrightarrow$ $\frac{{{{b}^{3}}}}{a}=-24$

“Vuông -8, đều -24”

c) Diện tích tam giác $ABC$ là: $S=\sqrt{{-\frac{{{{b}^{5}}}}{{32{{a}^{3}}}}}}$

Ví dụ 5.4 (Đề minh họa THPTQG 2017 Lần 1)

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số $y={{x}^{4}}+2m{{x}^{2}}+1$ có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân.

A. $m=-\frac{1}{{\sqrt[3]{9}}}$ B. $m=-1$ C. $m=\frac{1}{{\sqrt[3]{9}}}$ D. $m=1$

Lời giải:

Cách 1 (Tự luận):

Ta có $y'=4{{x}^{3}}+4mx=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=0\\{{x}^{2}}=-m\end{array} \right.$

Hàm số có 3 cực trị $\Leftrightarrow m<0$ . Khi đó $y(0)=1;\,\,y(\sqrt{{-m}})=y(-\sqrt{{-m}})=1-{{m}^{2}}$ . Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị $A(0;1);\,B(\sqrt{{-m}};1-{{m}^{2}});\,C(-\sqrt{{-m}};1-{{m}^{2}})$

Ta có $A{{B}^{2}}=-m+{{m}^{4}};\,\,A{{C}^{2}}=-m+{{m}^{4}};\,\,B{{C}^{2}}=-4m$

Do $AB=AC$ nên $\Delta ABC$ cân tại A. Để $\Delta ABC$
$\Leftrightarrow A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}$ $\Leftrightarrow -2m+2{{m}^{4}}=-4m\Leftrightarrow 2{{m}^{4}}+2m=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m=0\,\,\,\,(L)\\m=-1\,\,\,(TM)\end{array} \right.$

Vậy chọn đáp án B.

Cách 2 (Trắc nghiệm):

Áp dụng công thức để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông $\Leftrightarrow \frac{{{{b}^{3}}}}{a}=-8\Leftrightarrow \frac{{{{{(2m)}}^{3}}}}{1}=-8\Leftrightarrow 2m=-2\Leftrightarrow m=-1$ .

Ví dụ 5.5 (THPT Chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa 2017)

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số $y={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+m-1$ có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác đều.

A. $m=3$ B. $m=0$ C. $m>0$ D. $m=\sqrt[3]{3}$

Lời giải:

Cách 1 (Tự luận):

Ta có $y'=4{{x}^{3}}-4mx=4x({{x}^{2}}-m)\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=0\\{{x}^{2}}=m\end{array} \right.$

Hàm số có 3 cực trị $\Leftrightarrow m>0$ . Khi đó đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là $A(0;m-1);\,\,B(\sqrt{m};-{{m}^{2}}+m-1);\,C(-\sqrt{m};-{{m}^{2}}+m-1)$

$A{{B}^{2}}=m+{{m}^{4}};\,\,A{{C}^{2}}=m+{{m}^{4}};\,\,B{{C}^{2}}=4m\Rightarrow \Delta ABC$ cân tại A.

Do đó $\Delta ABC$ đều $\Leftrightarrow AB=BC\Leftrightarrow A{{B}^{2}}=B{{C}^{2}}\Leftrightarrow m+{{m}^{4}}=4m\Leftrightarrow {{m}^{4}}=3m\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m=0\\m=\sqrt[3]{3}\end{array} \right.$

Vì $m>0\Rightarrow m=\sqrt[3]{3}$ . Chọn đáp án D.

Cách 2 (Trắc nghiệm):

Áp dụng công thức ta có $\frac{{{{b}^{3}}}}{a}=-24\Leftrightarrow \frac{{{{{(-2m)}}^{3}}}}{1}=-24\Leftrightarrow m=\sqrt[3]{3}$ .

Chọn đáp án D.

Ví dụ 5.6: Cho hàm số $y={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+2m+{{m}^{4}}$ . Với giá trị nào của $m$ thì đồ thị $({{C}_{m}})$ có 3 điểm cực trị, đồng thời 3 điểm cực trị đó tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4.

A. $m=\sqrt[5]{{16}}$ . B. $m=16$ . C. $m=\sqrt[3]{{16}}$ . D. $m=-\sqrt[3]{{16}}$ .

Lời giải:

Cách 1 (Tự luận):

Ta có $y'=4{{x}^{3}}-4mx=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=0\\{{x}^{2}}=m\end{array} \right.$ . Hàm số có 3 cực trị thì $y'=0$ có 3 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow m>0$

Khi đó $A(0;2m+{{m}^{4}});\,B(\sqrt{m};-{{m}^{2}}+2m+{{m}^{4}});\,C(-\sqrt{m};-{{m}^{2}}+2m+{{m}^{4}})$ là 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Diện tích tam giác $ABC$ là ${{S}_{{ABC}}}={{m}^{2}}\sqrt{m}$ .

Theo giả thiết có ${{m}^{2}}\sqrt{m}=4\Leftrightarrow m=\sqrt[5]{{16}}$ .

Chọn A.

Cách 2 (Trắc nghiệm):

Hàm số có 3 cực trị $\Leftrightarrow ab<0\Leftrightarrow m>0$ .

Khi đó diện tích tam giác $S=\sqrt{{-\frac{{{{b}^{5}}}}{{32{{a}^{3}}}}}}=4\Leftrightarrow -\frac{{{{{(-2m)}}^{5}}}}{{32}}=16\Leftrightarrow {{m}^{5}}=16\Leftrightarrow m=\sqrt[5]{{16}}$ .