Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

A. Lý thuyết cơ bản:

1. Định nghĩa:

Giả sử hàm số f xác định trên miền $D\,(D\subset \mathbb{R})$ .

a) $M=\underset{D}{\mathop{{\max }}}\,f(x)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f(x)\le M,\forall x\in D\\\exists {{x}_{0}}\in D\,\text{sao}\,\text{cho}\,f({{x}_{0}})=M\end{array} \right.$

b) $m=\underset{D}{\mathop{{\min }}}\,f(x)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f(x)\ge m,\forall x\in D\\\exists {{x}_{0}}\in D\,\,\text{sao}\,\text{cho}\,f({{x}_{0}})=m\end{array} \right.$

Tính chất:

a) Nếu hàm số $f$ đồng biến trên [a; b] thì $\underset{{[a;b]}}{\mathop{{\max }}}\,f(x)=f(b),\,\,\underset{{[a;b]}}{\mathop{{\min }}}\,f(x)=f(a)$ .

b) Nếu hàm số $f$ nghịch biến trên [a; b] thì $\underset{{[a;b]}}{\mathop{{\max }}}\,f(x)=f(a),\,\,\underset{{[a;b]}}{\mathop{{\min }}}\,f(x)=f(b)$ .

2. Cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên một đoạn

Định lí: Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.
Quy tắc:

+ Tìm TXĐ.

+ Tính y’, tìm các điểm ${{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{n}}$ trên khoảng (a; b), tại đó $f'(x)$ bằng 0 hoặc không xác định.

+ Tính $f(a),f({{x}_{1}}),f({{x}_{2}}),...,f({{x}_{n}}),f(b)$ .

+ Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có:

$M=\underset{D}{\mathop{{\max }}}\,f(x),\,\,m=\underset{{\text{ }\!\![\!\!\text{ }a,b\text{ }\!\!]\!\!\text{ }}}{\mathop{{\min }}}\,f(x)$

B. Bài tập:

Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

Ví dụ 1.1 (Đề minh họa lần 1 – 2017)

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{{{{x}^{2}}+3}}{{x-1}}$ trên đoạn [2;4]

A. $\underset{{\text{ }\!\![\!\!\text{ }2;4]}}{\mathop{{\min }}}\,y=6$ . B. $\underset{{\text{ }\!\![\!\!\text{ }2;4]}}{\mathop{{\min }}}\,y=-2$ . C. $\underset{{\text{ }\!\![\!\!\text{ }2;4]}}{\mathop{{\min }}}\,y=-3$ . D. $\underset{{\text{ }\!\![\!\!\text{ }2;4]}}{\mathop{{\min }}}\,y=\frac{{19}}{3}$ .

Lời giải:

TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }1\}$ , xét $x\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }2;4]$

Đạo hàm $y'=\frac{{({{x}^{2}}+3)'.(x-1)-(x-1)'.({{x}^{2}}+3)}}{{{{{(x-1)}}^{2}}}}=\frac{{{{x}^{2}}-2x-3}}{{{{{(x-1)}}^{2}}}}$

$y'=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=-1\,\,\notin \text{ }\!\![\!\!\text{ }2;4]\\x=3\,\,\,\,\,\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }2;4]\end{array} \right.$

Ta có $y(2)=7;\,y(3)=6;\,\,y(4)=\frac{{19}}{3}$

Vậy $\underset{{\text{ }\!\![\!\!\text{ }2;4]}}{\mathop{{\min }}}\,y=6\Leftrightarrow x=3$ . Chọn A.

Ví dụ 1.2 (THPT Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên 2017)

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y=-x+1-\frac{4}{{x+2}}$ trên đoạn $\displaystyle \text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;2]$ .

A. $\underset{{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;2]}}{\mathop{{\max }}}\,y=7$ B. $\underset{{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;2]}}{\mathop{{\max }}}\,y=-1$ C. $\underset{{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;2]}}{\mathop{{\max }}}\,y=-2$ D. $\underset{{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;2]}}{\mathop{{\max }}}\,y=2$

Lời giải:

TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }-2\}$

Đạo hàm $y'=-1+\frac{4}{{{{{(x+2)}}^{2}}}}\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow {{(x+2)}^{2}}=4\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=0\,\,\,\,\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;2]\\x=-4\notin \text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;2]\end{array} \right.$

Ta có $y(-1)=y(2)=-2;\,\,y(0)=-1$ . Do đó $\underset{{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;2]}}{\mathop{{\max }}}\,y=-1$ .

Ví dụ 1.3 (THPT Chuyên Biên Hòa – Hà Nam 2017 Lần 3)

Tính tổng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-12x+10$ trên đoạn $\displaystyle \text{ }\!\![\!\!\text{ }-3;3]$ .

A. 3 B. 18 C. $-18$ D. 7

Lời giải:

TXĐ: $D=\mathbb{R}$ , xét $x\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }-3;3]$ .

Ta có $y'=6{{x}^{2}}-6x-12\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=-1\\x=2\end{array} \right.$

Lại có $y(-3)=-35;\,y(-1)=17;\,\,y(2)=-10;\,\,y(3)=1$ . Do đó $\underset{{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-3;3]}}{\mathop{{\min }}}\,y=-35;\,\,\underset{{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-3;3]}}{\mathop{{\max }}}\,y=17$

Vậy tổng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số là 18.

Chọn B.

Ví dụ 1.4 (THPT Chuyên Bình Long – Bình Phước 2017 Lần 4)

Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)=x+1+\sqrt{{2-{{x}^{2}}}}$ . Tính $M-m$ .

A. $M-m=2-\sqrt{2}$ . B. $M-m=4-\sqrt{2}$ .

C. $M-m=2\sqrt{2}$ . D. $M-m=2+\sqrt{2}$ .

Lời giải:

TXĐ: $\displaystyle \text{ }\!\![\!\!\text{ }-2;2]$

Ta có $f'(x)=1-\frac{x}{{\sqrt{{2-{{x}^{2}}}}}}=\frac{{\sqrt{{2-{{x}^{2}}}}-x}}{{\sqrt{{2-{{x}^{2}}}}}}$

$\Rightarrow f'(x)=0\Leftrightarrow \sqrt{{2-{{x}^{2}}}}-x=0\Leftrightarrow \sqrt{{2-{{x}^{2}}}}=x\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\ge 0\\2-{{x}^{2}}={{x}^{2}}\end{array} \right.\Leftrightarrow x=1$

Lại có $f(1)=3,\,f(\sqrt{2})=1+\sqrt{2},\,f(-\sqrt{2})=1-\sqrt{2}$ .

Do đó $M=3;m=1-\sqrt{2}\Rightarrow M-m=2+\sqrt{2}$ . Chọn đáp án D.

Ví dụ 1.5 (Sở GD Hải Dương 2017)

Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=x+\sqrt{2}\cos x$ trên $\text{ }\!\![\!\!\text{ }0;\frac{\pi }{2}\text{ }\!\!]\!\!\text{ }$ . Tính $M-m$ .

A. $\frac{\pi }{4}-1+\sqrt{2}$ . B. $\frac{\pi }{4}+1-\sqrt{2}$ . C. $\frac{\pi }{2}-\sqrt{2}$ . D. $1-\frac{\pi }{4}$ .

Lời giải:

TXĐ: $D=\mathbb{R}$ , xét $x\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }0;\frac{\pi }{2}\text{ }\!\!]\!\!\text{ }$ .

Ta có $y'=1-\sqrt{2}\sin x=0\Leftrightarrow \sin x=\frac{1}{{\sqrt{2}}}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\x=\frac{{3\pi }}{4}+k2\pi \end{array} \right.(k\in \mathbb{Z})$

Xét $0\le \frac{\pi }{4}+k2\pi \le \frac{\pi }{2}\Leftrightarrow -\frac{1}{4}\le 2k\le \frac{1}{4}$ . Vì $k\in \mathbb{Z}\Rightarrow k=0$ tức là $x=\frac{\pi }{4}$

Xét $0\le \frac{{3\pi }}{4}+k2\pi \le \frac{\pi }{2}\Leftrightarrow -\frac{3}{4}\le 2k\le -\frac{1}{4}$ . Vì $k\in \mathbb{Z}\Rightarrow$ Không tồn tại k.

Vì $y(0)=\sqrt{2};\,\,y(\frac{\pi }{2})=\frac{\pi }{2};\,\,y(\frac{\pi }{4})=\frac{\pi }{4}+1\Rightarrow M=\frac{\pi }{4}+1,\,\,m=\sqrt{2}$ .

Do vậy $M-m=\frac{\pi }{4}+1-\sqrt{2}$ . Chọn B.

Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một miền không phải đoạn

Phương pháp:

Tìm tập xác định.
Tính đạo hàm $f'(x)$ . Tìm các điểm làm cho $f'(x)=0$ hoặc $f'(x)$ không xác định.
Tính giới hạn vô cực và giới hạn tại điểm không thuộc tập xác định.
Lập bảng biến thiên và suy ra kết luận.

Ví dụ 2.1 (THPT Chuyên Bảo Lộc – Lâm Đồng 2017)

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y={{x}^{2}}+\frac{2}{x}$ trên khoảng $(0;+\infty )$ .

A. 4 B. 2 C. 3 D. 1

Lời giải:

TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }0\}$ , xét $x\in (0;+\infty )$ .

Ta có $y'=2x-\frac{2}{{{{x}^{2}}}}=\frac{{2{{x}^{3}}-2}}{{{{x}^{2}}}}\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 2{{x}^{3}}-2=0\Leftrightarrow x=1$

Do $\underset{{x\to {{0}^{+}}}}{\mathop{{\lim }}}\,f(x)=+\infty ;\underset{{x\to +\infty }}{\mathop{{\lim }}}\,=+\infty ;y(1)=3$ .

Bảng biến thiên:

Do đó $\underset{{(0;+\infty )}}{\mathop{{\min }}}\,y=3$ . Chọn C.

Ví dụ 2.2: Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+18x$ trên nửa khoảng $\displaystyle \text{ }\!\![\!\!\text{ }0;+\infty )$ là

A. 1. B. 0. C. 2. D. 1.

Lời giải:

TXĐ: $D=\mathbb{R}$

Ta có $y'=3{{x}^{2}}+6x+18=3({{x}^{2}}+2x+6)=3{{(x+1)}^{2}}+15>0,\forall x\in \mathbb{R}$

⇒ Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ ⇒ Hàm số cũng đồng biến trên $\displaystyle \text{ }\!\![\!\!\text{ }0;+\infty )$

$\Rightarrow \underset{{\text{ }\!\![\!\!\text{ }0;+\infty )}}{\mathop{{\min }}}\,y=y(0)=0$ . Vậy chọn C.

Ví dụ 2.3 (THPT Lý Thái Tổ – Hà Nội 2017)

Giá trị lớn nhất của hàm số $y=\sqrt{{-{{x}^{2}}+4x}}$ trên khoảng $(-3;3)$ là

A. 4. B. 6. C. $-2$ . D. 2.

Lời giải:

TXĐ: $D=\text{ }\!\![\!\!\text{ }0;4]$ , xét $x\in (-3;3)$

Ta có $y'=\frac{{-x+2}}{{\sqrt{{-{{x}^{2}}+4x}}}}\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow -x+2=0\Leftrightarrow x=2$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra $\underset{{(-3;3)}}{\mathop{{\max }}}\,y=2\Leftrightarrow x=2$ .

Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số có sử dụng phép đặt ẩn phụ

Phương pháp:

Chọn ẩn phụ $t=t(x)$ và tìm điều kiện của t, giả sử $t\in K$
Chuyển hàm số ban đầu $y=f(x)$ về hàm số mới $f(t)$
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm $f(t),\,\,t\in K$ .
Kết luận.

Ví dụ 3.1: Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y={{\sin }^{3}}x-\cos 2x+\sin x+2$ trên khoảng $(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2})$ bằng:

A. $\frac{{23}}{{27}}$ . B. $\frac{1}{{27}}$ . C. 5. D. 1.

Lời giải:

$y={{\sin }^{3}}x-\cos 2x+\sin x+2={{\sin }^{3}}x-(1-2{{\sin }^{2}}x)+\sin x+2={{\sin }^{3}}x+2{{\sin }^{2}}x+\sin x+1$

Đặt $t=\sin x,x\in (-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2})\Rightarrow t\in (-1;1)$ , hàm số trở thành

$f(t)={{t}^{3}}+2{{t}^{2}}+t+1$ với $t\in (-1;1)$

$f'(t)=3{{t}^{2}}+4t+1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t=-1\\t=-\frac{1}{3}\end{array} \right.$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra $\underset{{(-1;1)}}{\mathop{{\min }}}\,f(t)=\frac{{23}}{{27}}\Rightarrow \underset{{(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2})}}{\mathop{{\min }}}\,y=\frac{{23}}{{27}}$

Chọn đáp án A.

Ví dụ 3.2: Hàm số $y={{x}^{3}}+\frac{1}{{{{x}^{3}}}}-({{x}^{2}}+\frac{1}{{{{x}^{2}}}})-2(x+\frac{1}{x})$ với $x>0$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng:

A. 5. B. $-1$ . C. $-4$ . D. 2.

Lời giải:

Đặt $t=x+\frac{1}{x}\ge 2,\forall x>0\Rightarrow t\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }2;+\infty )$

Ta có ${{t}^{2}}={{x}^{2}}+\frac{1}{{{{x}^{2}}}}+2\Rightarrow {{x}^{2}}+\frac{1}{{{{x}^{2}}}}={{t}^{2}}-2$

${{t}^{3}}={{(x+\frac{1}{x})}^{3}}={{x}^{3}}+\frac{1}{{{{x}^{3}}}}+3(x+\frac{1}{x})\Rightarrow {{x}^{3}}+\frac{1}{{{{x}^{3}}}}={{t}^{3}}-3t$

Hàm số trở thành $f(t)=({{t}^{3}}-3t)-({{t}^{2}}-2)-2t={{t}^{3}}-{{t}^{2}}-5t+2$ .

$f'(t)=3{{t}^{2}}-2t-5>0,\forall t\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }2;+\infty )\Rightarrow$ Hàm số đồng biến trên khoảng $\text{ }\!\![\!\!\text{ }2;+\infty )$ .

Do đó $\underset{{\text{ }\!\![\!\!\text{ }2;+\infty )}}{\mathop{{\min }}}\,f(t)=f(2)=-4$ .

Chọn đáp án C.

Ví dụ 3.3: Cho $x,y\ge 0$ thỏa mãn ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2$ . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của $S=x+y-xy$ .

Lời giải:

Đặt $t=x+y\Rightarrow t>0$ . Ta có

$\begin{array}{l}{{t}^{2}}={{(x+y)}^{2}}\le 2({{x}^{2}}+{{y}^{2}})=4\Rightarrow t\le 2,\\{{t}^{2}}={{(x+y)}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2xy\ge {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2\Rightarrow t\ge \sqrt{2}.\end{array}$

Suy ra $t\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }\sqrt{2},2]$ . Lại có $xy=\frac{{{{{(x+y)}}^{2}}-({{x}^{2}}+{{y}^{2}})}}{2}=\frac{1}{2}{{t}^{2}}-1\Rightarrow S=f(t)=-\frac{1}{2}{{t}^{2}}+t+1$

Ta có $f'(t)=-t+1>0$ với mọi $t\in (\sqrt{2};2),\,f(2)=1,\,f(1)=\frac{3}{2}.$ Do đó

$\min S=f(2)=1$ , đạt được $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x+y=2\\{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=1\\y=1\end{array} \right.$

$\max S=f(1)=\frac{3}{2}$ , đạt được $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x+y=1\\{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=\frac{{1-\sqrt{3}}}{2}\\y=\frac{{1+\sqrt{3}}}{2}\end{array} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{array}{l}x=\frac{{1+\sqrt{3}}}{2}\\y=\frac{{1-\sqrt{3}}}{2}\end{array} \right.$ .

Dạng 4: Ứng dụng việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất vào việc biện luận phương trình, bất phương trình

Phương pháp:
- Phương trình $f(x)=m$ có nghiệm trong khoảng $I\Leftrightarrow \underset{{x\in I}}{\mathop{{\min }}}\,f(x)\le m\le \underset{{x\in I}}{\mathop{{\max }}}\,f(x)$ .
- Bất phương trình $f(x)\ge m$ có nghiệm trong khoảng $I\Leftrightarrow \underset{{x\in I}}{\mathop{{\max }}}\,f(x)\ge m$ .
- Bất phương trình $f(x)\ge m$ có nghiệm với mọi $\forall x\in I\Leftrightarrow \underset{{x\in I}}{\mathop{{\min }}}\,f(x)\ge m$ .
- Bất phương trình $f(x)\le m$ có nghiệm trong khoảng $I\Leftrightarrow \underset{{x\in I}}{\mathop{{\min }}}\,f(x)\le m$ .
Ví dụ 4.1 (Chuyên ĐHSP – 2017 Lần 4)

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình $2x-1=m(x-1)$ có nghiệm thuộc đoạn $\displaystyle \text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;0]$ .

A. $m\ge 1$ . B. $m\le \frac{3}{2}$ . C. $1\le m\le 2$ . D. $1\le m\le \frac{3}{2}$ .

Lời giải:

Phương trình $2x-1=m(x-1)\Leftrightarrow m=\frac{{2x-1}}{{x-1}}$ (vì $x-1\ne 0,\forall x\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;0]$ ).

Xét hàm số $f(x)=\frac{{2x-1}}{{x-1}},x\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;0]$

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow \underset{{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;0]}}{\mathop{{\min }}}\,f(x)\le m\le \underset{{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;0]}}{\mathop{{\max }}}\,f(x)$

$f'(x)=\frac{{-1}}{{{{{(x-1)}}^{2}}}}<0,\forall x\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;0]\Rightarrow$ Hàm số nghịch biến trên đoạn $\displaystyle \text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;0]$ .

$\underset{{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;0]}}{\mathop{{\max }}}\,f(x)=f(-1)=\frac{3}{2};\underset{{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;0]}}{\mathop{{\min }}}\,f(x)=f(0)=1$

Vậy $1\le m\le \frac{3}{2}$ . Chọn D.

Ví dụ 4.2: Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình $2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-12x+2\le m$ nghiệm đúng với mọi $x\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;2]$ .

A. $m\le 15$ . B. $m\ge 15$ . C. $m\le 6$ . D. $m\ge 6$ .

Lời giải:

Xét hàm số $f(x)=2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-12x+2$ .

Ta có $f'(x)=6{{x}^{2}}+6x-12=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=1\,\,\,\,\,\,\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;2]\\x=-2\,\,\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;2]\end{array} \right.$

$f(-1)=15;\,f(1)=-5;\,f(6)=6$

Yêu cầu bài toán $\underset{{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;2]}}{\mathop{{\max }}}\,f(x)\le m\Leftrightarrow m\ge 15$ .

Ví dụ 4.3 (THPT Chuyên Phân Bội Châu – Nghệ An 2017)

Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho bất phương trình sai có nghiệm: $\sqrt{{x+5}}+\sqrt{{4-x}}\ge m$ .

A. $(-\infty ;3]$ . B. $(-\infty ;3\sqrt{2}\text{ }\!\!]\!\!\text{ }$ .             C. $(3\sqrt{2};+\infty )$ . D. $(-\infty ;3\sqrt{2})$ .

Lời giải:

Đặt $f(x)=\sqrt{{x+5}}+\sqrt{{4-x}}$ , với $-5\le x\le 4$ . Bất phương trình $f(x)\ge m$ có nghiệm khi và chỉ khi $\underset{{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-5;4]}}{\mathop{{\max }}}\,f(x)\ge m$ .

Ta có: $f'(x)=\frac{1}{{2\sqrt{{x+5}}}}-\frac{1}{{2\sqrt{{4-x}}}}=0\Leftrightarrow \sqrt{{x+5}}=\sqrt{{4-x}}\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2}$ .

Lại có $f(-5)=f(4)=3,\,\,f(-\frac{1}{2})=3\sqrt{2}$ nên $\underset{{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-5;4]}}{\mathop{{\max }}}\,f(x)=3\sqrt{2}$ .

Vậy . Chọn B.

Ví dụ 4.4 (THPT Chuyên ĐHSPHN 2017 Lần 5) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình $\sin 2x-m\cos 2x=2m\sin x-2\cos x$ có nghiệm thuộc đoạn $\displaystyle \text{ }\!\![\!\!\text{ }0;\frac{\pi }{4}\text{ }\!\!]\!\!\text{ }$ .

A. [1; 2]. B. . C. [0; 1]. D. $\displaystyle \text{ }\!\![\!\!\text{ }0;\frac{{2+\sqrt{2}}}{2}\text{ }\!\!]\!\!\text{ }$ .

Lời giải:

Ta có $\sin 2x-m\cos 2x=2m\sin x-2\cos x\Leftrightarrow f(x)=\frac{{\sin 2x+2\cos x}}{{\cos 2x+2\sin x}}$ .

Phương trình có nghiệm trên đoạn $\displaystyle \text{ }\!\![\!\!\text{ }0;\frac{\pi }{4}\text{ }\!\!]\!\!\text{ }$ $\Leftrightarrow \underset{{\text{ }\!\![\!\!\text{ }0;\frac{\pi }{4}\text{ }\!\!]\!\!\text{ }}}{\mathop{{\min }}}\,f(x)\le m\le \underset{{\text{ }\!\![\!\!\text{ }0;\frac{\pi }{4}\text{ }\!\!]\!\!\text{ }}}{\mathop{{\max }}}\,f(x)$ .

$\begin{array}{l}f'(x)=\frac{{(2\cos 2x-2\sin x)(\cos 2x+2\sin x)-(-2\sin 2x+2\cos x)(\sin 2x+2\cos x)}}{{{{{(\cos 2x+2\sin x)}}^{2}}}}\\=\frac{{2\sin 3x-2}}{{{{{(\cos 2x+2\sin x)}}^{2}}}}\end{array}$

Suy ra $f(x)=0\Leftrightarrow \sin 3x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{6}+\frac{{k2\pi }}{3}\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }0;\frac{\pi }{4}\text{ }\!\!]\!\!\text{ }\Rightarrow k=0$ tức là $x=\frac{\pi }{6}$ .

Lại có $f(0)=2;\,\,f(\frac{\pi }{4})=\frac{{2+\sqrt{2}}}{2};\,\,f(\frac{\pi }{6})=\sqrt{3}$ nên $\underset{{\text{ }\!\![\!\!\text{ }0;\frac{\pi }{4}\text{ }\!\!]\!\!\text{ }}}{\mathop{{\max }}}\,f(x)=2;\,\underset{{\text{ }\!\![\!\!\text{ }0;\frac{\pi }{4}\text{ }\!\!]\!\!\text{ }}}{\mathop{{\min }}}\,f(x)=\frac{{2+\sqrt{2}}}{2}$ .

Chọn đáp án B.



Dạng 5: Bài toán thực tế

Ví dụ 5.1: Một chất điểm chuyển động theo phương trình $S=-{{t}^{3}}+9{{t}^{2}}+t+10$ trong đó t tính bằng (s) và S tính bằng (m). Thời gian vận tốc của chất điểm đạt giá trị lớn nhất là

A. $t=5s$          B. $t=6s$          C. $t=2s$              D. $t=3s$

Lời giải:

Vận tốc của chất điểm phụ thuộc phương trình $S'=V=-3{{t}^{2}}+18t+1$

Ta có $V'=-6t+18=0\Leftrightarrow t=3$ .

Bảng biến thiên:

Vậy vận tốc đạt giá trị lớn nhất tại $t=3$ . Chọn D.

Ví dụ 5.2 (THPT Chuyên Nguyễn Trãi – Hải Dương 2017 Lần 2)

Một chủ hộ kinh doanh có 32 phòng trọ cho thuê. Biết giá cho thuê mỗi tháng là 2.000.000đ/ 1 phòng trọ, thì không có phòng trống. Nếu cứ tăng giá mỗi phòng trọn lên 200.000đ/ 1 tháng, thì sẽ có 2 phòng bị bỏ trống. Hỏi chủ hộ kinh doanh sẽ cho thuê với giá là bao nhiêu để có thu nhập mỗi tháng cao nhất?

A. 2.600.000đ     B. 2.400.000đ     C. 2.000.000đ     D. 2.200.000đ

Lời giải:

Gọi giá cho thuê là $2+x.0,2$ triệu đồng thì số phòng bị bỏ trống là $2x$ . Khi đó thu nhập mỗi tháng của chủ trọ là

$f(x)=(2+0,2x)(32-2x)=-0,4{{x}^{2}}+2,4x+64$

$f'(x)=-0,8x+2,4=0\Leftrightarrow x=3$

Vậy để thu nhấp hàng tháng cao nhất thì chủ hộ sẽ cho thuê với giá $2+3.0,2=2,6$ triệu đồng.

Đáp án A.

Ví dụ 5.3 (Đề minh họa lần 1 – 2017)

Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x (cm), rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất.

A. $x=6$          B. $x=3$          C. $x=2$          D. $x=4$

Lời giải:

Hộp có đáy là hình vuông cạnh bằng $12-2x\,(cm)$ và chiều cao $x\,(cm)$ với $0<x<6$ .

Do đó thể tích khối hộp $V={{(12-2x)}^{2}}.x=4{{x}^{3}}-48{{x}^{2}}+144x$ .

Xét hàm $f(x)=4{{x}^{3}}-48{{x}^{2}}+144x$ trên (0; 6), ta được $\underset{{(0;6)}}{\mathop{{\max }}}\,f(x)=f(2)=128.$

Vậy với $x=2\,(cm)$ thể tích khối hộp lớn nhất. Chọn C.

Cách 2:

Ta có $V=x{{(12-2x)}^{2}}=\frac{1}{4}.4x.(12-2x).(12-2x)\le \frac{1}{4}{{(\frac{{4x+12-2x+12-2x}}{3})}^{3}}=128$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow 4x=12-2x\Leftrightarrow x=2$ .