Đường tiệm cận, điểm uốn của đồ thị hàm số

A. Lí thuyết cơ bản:

1. Tiệm cận đứng:

Đường thẳng được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=f(x)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

$\underset{{x\to x_{o}^{-}}}{\mathop{{\lim }}}\,f(x)=+\infty ;\,\,\,\,\underset{{x\to x_{o}^{-}}}{\mathop{{\lim }}}\,f(x)=-\infty ;\underset{{x\to x_{o}^{+}}}{\mathop{{\,\,\,\,\lim }}}\,f(x)=+\infty ;\,\,\,\,\underset{{x\to x_{o}^{+}}}{\mathop{{\lim }}}\,f(x)=-\infty$ .

Chú ý:

Tại giá trị hàm số $f(x)$ thường không xác định.
Nếu $f(x)=\frac{{u(x)}}{{v(x)}}$ thì $x={{x}_{0}}$ thường là nghiệm của $v(x)$ nhưng không là nghiệm của $u(x)$ .

2. Tiệm cận ngang:

Đường thẳng được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số nếu $\underset{{x\to +\infty }}{\mathop{{\lim }}}\,f(x)={{y}_{0}}$ hoặc $\underset{{x\to -\infty }}{\mathop{{\lim }}}\,f(x)={{y}_{0}}$ .

Dạng 1: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số không chứa tham số

Ví dụ 1.1 (Đề minh họa lần 1 – 2017):

Cho hàm số $y=f(x)$ có $\underset{{x\to +\infty }}{\mathop{{\lim }}}\,f(x)=1$ và $\underset{{x\to -\infty }}{\mathop{{\lim }}}\,f(x)=-1$ . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang.

B. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang.

C. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng và .

D. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng $x=1$ và $x=-1$ .

Lời giải:

Theo giả thiết $\underset{{x\to +\infty }}{\mathop{{\lim }}}\,f(x)=1$ và nên đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận $y=1$ và $y=-1$ .

Chọn đáp án C.

Ví dụ 1.2 (THPT Chuyên Bình Long – Bình Phước 2017)

Đường thẳng nào sau đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{{4x-1}}{{2x-3}}$

A. $y=\frac{3}{2}$ . B. $y=2$ . C. $x=\frac{3}{2}$ . D. $x=2$ .

Lời giải:

Loại đáp án C, D vì đây không là phương trình của tiệm cận ngang.

$\underset{{x\to \pm \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,y=\underset{{x\to \pm \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{4x-1}}{{2x-3}}=2\Rightarrow y=2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Chọn đáp án B.

Ví dụ 1.3 (THPT Tân Yên 1 – Bắc Giang 2017 Lần 3)

Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như hình dưới đây. Hỏi đồ thị hàm số có bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 3. B. 4. C. 2. D. 1.

Lời giải:

Ta có:

$\underset{{x\to +\infty }}{\mathop{{\lim }}}\,f(x)=3$ nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang .
$\underset{{x\to -{{1}^{\_}}}}{\mathop{{\lim }}}\,f(x)=+\infty$ nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=-1$ .
$\displaystyle \underset{{x\to {{1}^{-}}}}{\mathop{{\lim }}}\,f(x)=+\infty ;\underset{{x\to {{1}^{+}}}}{\mathop{{\,\,\lim }}}\,f(x)=-\infty$ nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $\displaystyle x=1$ .

Vậy chọn đáp án A.

Ví dụ 1.4: Số tiệm cận của đồ thị hàm số $y=\frac{{x+1}}{{\sqrt{{{{x}^{2}}-1}}}}$ là

A. 3. B. 1. C. 2. D. 0.

Lời giải:

TXĐ: $D=(-\infty ;-1)\cup (1;+\infty )$ .

Ta có $y=\frac{{x+1}}{{\sqrt{{{{x}^{2}}-1}}}}=\frac{{x(1+\frac{1}{x})}}{{\sqrt{{{{x}^{2}}(1-\frac{1}{{{{x}^{2}}}})}}}}=\frac{{x(1+\frac{1}{x})}}{{|x|(1-\frac{1}{{{{x}^{2}}}})}}$

⇒ Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang $y=1;y=-1$ .

$\underset{{x\to -{{1}^{-}}}}{\mathop{{\lim }}}\,y=\underset{{x\to -{{1}^{-}}}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{x+1}}{{\sqrt{{{{x}^{2}}-1}}}}=\underset{{x\to -{{1}^{-}}}}{\mathop{{\lim }}}\,(-\sqrt{{\frac{{x+1}}{{x-1}}}})=0$

$\underset{{x\to -{{1}^{+}}}}{\mathop{{\lim }}}\,y=\underset{{x\to -{{1}^{+}}}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{x+1}}{{\sqrt{{{{x}^{2}}-1}}}}=\underset{{x\to -{{1}^{+}}}}{\mathop{{\lim }}}\,\sqrt{{\frac{{x+1}}{{x-1}}}}=+\infty$

⇒ Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng $x=1$ .

Vậy đồ thị hàm số có 3 tiệm cận. Chọn A.

Ví dụ 1.5 (Đề minh họa lần 2 – 2017). Tìm tất cả các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{{2x-1-\sqrt{{{{x}^{2}}+x+3}}}}{{{{x}^{2}}-5x+6}}$ .

A. $x=-3$ và $x=-2$ . B. $x=-3$ . C. $x=3$ và . D. .

Lời giải:

Ta có ${{x}^{2}}-5x+6=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=2\\x=3\end{array} \right.$

$\begin{array}{l}\underset{{x\to 2}}{\mathop{{\lim }}}\,y=\underset{{x\to 2}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{2x-1-\sqrt{{{{x}^{2}}+x+3}}}}{{{{x}^{2}}-5x+6}}=\underset{{x\to 2}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{{{{(2x-1)}}^{2}}-({{x}^{2}}+x+3)}}{{({{x}^{2}}-5x+6)(2x-1+\sqrt{{{{x}^{2}}+x+3}})}}\\=\underset{{x\to 2}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{3x+1}}{{(x-3)(2x-1+\sqrt{{{{x}^{2}}+x+3}})}}=-\frac{7}{6}\end{array}$

Do đó $x=2$ không là tiệm cận đứng của đồ thị.

là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy chọn đáp án D.

Cách 2 (Trắc nghiệm)

Ta có ${{x}^{2}}-5x+6=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=2\\x=3\end{array} \right.$

Lại có $x=2$ cũng là nghiệm của tử nên $x=2$ không là tiệm cận đứng của đồ thị.

$x=3$ không là nghiệm của tử nên $x=3$ là tiệm cận đứng của đồ thị.

Dạng 2 : Bài toán liên quan đến tiệm cận của đồ thị hàm số chứa tham số

Ví dụ 2.1: Đồ thị hàm số $y=\frac{{(2m+1)x+3}}{{x+1}}$ có đường tiệm cận đi qua điểm khi và chỉ khi

A. $m=3$ . B. . C. $m=-3$ . D. .

Lời giải:

Điều kiện để hàm số không suy biến là .

Khi đó đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y=2m+1$ và tiệm cận đứng $x=-1$

Để đường tiệm cận đi qua điểm $A(-2;7)$ thì $\displaystyle 2m+1=7\Leftrightarrow m=3$ .

Ví dụ 2.2 (THPT Chuyên Thái Nguyên 2017 Lần 2)

Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số $y=\frac{{m{{x}^{3}}-2}}{{{{x}^{2}}-3x+2}}$ có hai đường tiệm cận đứng.

A. $m\ne 2$ và $m\ne \frac{1}{4}$ . B. $m\ne 1$ và $m\ne 2$ . C. . D. $m\ne 0$ .

Lời giải:

Ta có

Để hai đường thẳng và $x=2$ là đường tiệm cận của đồ thị hàm số thì $x=1$ và $x=2$ không là nghiệm của tử số, tức là $\left\{ \begin{array}{l}m-2\ne 0\\m{{.2}^{3}}-2\ne 0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m\ne 2\\m\ne \frac{1}{4}\end{array} \right.$

Chọn đáp án A.

Ví dụ 2.3 (THPT Hậu Lộc – Thanh Hóa 2017)

Tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số $y=\frac{{2x-\sqrt{{(m-1){{x}^{2}}+1}}}}{{x-1}}$ có đúng hai tiệm cận ngang là

A. . B. $m\in (1;4)\cup (4;+\infty )$ . C. $m<1$ . D. $m>1$ .

Lời giải:

Đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận ngang khi và chỉ khi $\underset{{x\to +\infty }}{\mathop{{\lim }}}\,f(x)$ và hữu hạn.

Để hàm số xác định trên $(-\infty ;+\infty )$ thì $m-1\ge 0\Leftrightarrow m\ge 1$

Ta có: $\underset{{x\to +\infty }}{\mathop{{\lim }}}\,y=\underset{{x\to +\infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{2x-\sqrt{{(m-1){{x}^{2}}+1}}}}{{x-1}}=\underset{{x\to +\infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{2-\frac{{\sqrt{{(m-1){{x}^{2}}+1}}}}{x}}}{{1-\frac{1}{x}}}=2-\sqrt{{m-1}}$

$\Rightarrow y=2-\sqrt{{m-1}}$ là một đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

$\underset{{x\to -\infty }}{\mathop{{\lim }}}\,y=\underset{{x\to -\infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{2x-\sqrt{{(m-1){{x}^{2}}+1}}}}{{x-1}}=\underset{{x\to -\infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{2-\frac{{\sqrt{{(m-1){{x}^{2}}+1}}}}{x}}}{{1-\frac{1}{x}}}=2+\sqrt{{m-1}}$

$\Rightarrow y=2+\sqrt{{m-1}}$ là một đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Để đồ thị có đúng hai tiệm cận ngang $\Leftrightarrow \sqrt{{m-1}}\ne 0\Leftrightarrow m\ne 1$ .

Vậy $m>1$ . Chọn D.

Ví dụ 2.4: Tìm tất cả các giá trị của số thực m sao cho đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận.

A. $m=2$ . B. $m=-2$ hoặc $m=2$ . C. $m=-2$ . D. . $M(0;-1)$

Lời giải:

$\underset{{x\to \pm \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,y=0\Rightarrow y=0$ là tiệm cận ngang của đồ thị.

Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận $\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2mx+4=0$ có một nghiệm $\Leftrightarrow \Delta '=0\Leftrightarrow m=\pm 2$

Chọn đáp án B.

Ví dụ 2.5: Cho hàm số $y=\frac{{x+2}}{{x-2}}$ có đồ thị (C). Tìm tọa độ điểm M có hoành độ dương thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất.

A. $M(2;2)$ . B. . C. $M(1;-3)$ . D. $M(4;3)$ .

Lời giải:

TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }2\}$ .

Giả sử $M({{x}_{0}};\frac{{{{x}_{0}}+2}}{{{{x}_{0}}-2}})\in (C),\forall {{x}_{0}}>0,{{x}_{0}}\ne 2$ .

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=2$ và tiệm cận ngang $y=1$ .

Gọi A, B lần lượt là hình chiếu của M trên tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.

Theo bất đẳng thức Cô Si ta có: $MA+MB=|{{x}_{0}}-2|+\frac{4}{{|{{x}_{0}}-2|}}\ge 2\sqrt{{|{{x}_{0}}-2|.\frac{4}{{|{{x}_{0}}-2}}}}=4$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow |{{x}_{0}}-2|=\frac{4}{{|{{x}_{0}}-2|}}\Leftrightarrow {{({{x}_{0}}-2)}^{2}}=4\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{{x}_{0}}=0\,\,\,(L)\\{{x}_{0}}=4\,\,\,(TM)\end{array} \right.\Rightarrow M(4;3)$