Tính đơn điệu của hàm số

A. Lí thuyết cơ bản:

1. Định nghĩa tính đơn điệu của hàm số:

Giả sử $K$ là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng. Hàm số $f$ xác định trên $K$ được gọi là:

+ Đồng biến trên K nếu với mọi ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\in K,\,{{x}_{1}}<{{x}_{2}}\Rightarrow f({{x}_{1}})<f({{x}_{2}})$ .

+ Nghịch biến trên K nếu với mọi ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\in K,\,{{x}_{1}}<{{x}_{2}}\Rightarrow f({{x}_{1}})>f({{x}_{2}})$ .

2. Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu:

Giả sử $I$ là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng. Hàm số $f$ liên tục và có đạo hàm trên khoảng $I$ . Khi đó hàm số $f$ :

Đồng biến trên $I$ $\Leftrightarrow f'(x)\ge 0,\forall x\in I$ .
Nghịch biến trên $I$ $\Leftrightarrow f'(x)\le 0,\forall x\in I$ .

Chú ý: $f'(x)=0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm.

3. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số:

+ Tìm tập xác định.

+ Tính đạo hàm $f'(x)$ . Tìm các điểm ${{x}_{i}}\,(i=1,2,3,...,n)$ mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

+ Sắp xếp các điểm ${{x}_{i}}$ theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

+ Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

B. Bài tập:

Dạng 1: Xét tính đơn điệu của hàm không chứa tham số

Phương pháp:

Sử dụng quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số

+ Tìm tập xác định.

+ Tính đạo hàm $f'(x)$ . Tìm các điểm ${{x}_{i}}\,(i=1,2,3,...,n)$ mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

+ Sắp xếp các điểm ${{x}_{i}}$ theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

+ Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Ví dụ 1.1: (Đề minh họa lần I – 2017). Hàm số $y=2{{x}^{4}}+1$ đồng biến trên khoảng nào?

A. $(-\infty ;-\frac{1}{2})$ B. $(0;+\infty )$ C. $(-\frac{1}{2};+\infty )$ D. $(-\infty ;0)$

Lời giải:

TXĐ: $D=\mathbb{R}$ .

Ta có: $y'=8{{x}^{3}}$

$y'=0\Leftrightarrow 8{{x}^{3}}=0\Leftrightarrow x=0$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (0; + $\infty$ ). Vậy chọn đáp án B.

Ví dụ 1.2: (Chuyên Thái Nguyên 2017 Lần 2). Cho hàm số $\displaystyle f(x)=\frac{{3x+1}}{{-x+1}}$ . Trong các khẳng định sau, hãy tìm khẳng định đúng?

A. $f(x)$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ .

B. $f(x)$ nghịch biến trên (-∞; 1) và (1; +∞).

C. $f(x)$ đồng biến trên (-∞; 1) và (1; +∞).

D. $f(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R}\backslash \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }1\text{ }\!\!\}\!\!\text{ }$ .

Lời giải:

TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }1\}=(-\infty ;1)\cup (1;+\infty )$ .

Ta có: $f'(x)=\frac{4}{{{{{(1-x)}}^{2}}}}>0,\,\forall x\ne 1$ .

Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$ . Vậy chọn đáp án B.

Ví dụ 1.3 (Sở Giáo Dục Hà Nam 2017). Cho hàm số $y={{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+5x-2$ . Mệnh đề nào đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên $(1;\frac{5}{3})$ .

B. Hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;1)$ .

C. Hàm số nghịch biến trên $(\frac{5}{3};+\infty )$ .

D. Hàm số đồng biến trên $(1;\frac{5}{3})$ .

Lời giải:

TXĐ: $D=\mathbb{R}$ .

Ta có: $y'=3{{x}^{2}}-8x+5\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=1\\x=\frac{5}{3}\end{array} \right.$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;1); ( $\frac{5}{3}$ ;+∞) và nghịch biến trên khoảng (1; $\frac{5}{3}$ )

Vậy chọn đáp án A.

Ví dụ 1.4: Hàm số nào sau đây đồng biến trên $\mathbb{R}$ ?

A. $y=\frac{{2x-1}}{{x+1}}$

B. $y=2x-\cos 2x-5$

C. $y={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+x+1$

D. $y=\sqrt{{{{x}^{2}}-x+1}}$

Lời giải:

+ Xét hàm số $\displaystyle y=\frac{{2x-1}}{{x+1}}$ có $y'=\frac{3}{{{{{(x+1)}}^{2}}}}>0,\forall x\ne -1$ . Suy ra hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định. ⇒ Loại đáp án A.

+ Xét hàm số $y=2x-\cos 2x-5$ có $y'=2+2\sin 2x=2(1+\sin 2x)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$

và $y'=0\Leftrightarrow \sin 2x=-1$

Phương trình $\sin 2x=-1$ có vô số nghiệm nhưng các nghiệm tách rời nhau nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ . Do đó chọn B.

+ Xét hàm số $y={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+x+1$ có $y'=3{{x}^{2}}-4x+1$ . Phương trình $y'=0$ có hai nghiệm phân biệt nên hàm số không đồng biến trên $\mathbb{R}$
⇒ Loại đáp án C.

+ Xét hàm số $y=\sqrt{{{{x}^{2}}-x+1}}$ có $y'=\frac{{2x-1}}{{2\sqrt{{{{x}^{2}}-x+1}}}}>0\Leftrightarrow x>\frac{1}{2}$
⇒ Loại đáp án D.

Ví dụ 1.5: Đồ thị nào sau đây là đồ thị của hàm số nghịch biến trên $(-1;1)$ ?

A. (I), (II) và (III). B. (II) và (III).

C. (I) và (III). D. (III) và (IV).

Lời giải:

Đồ thị hàm số (I) đồng biến trên các khoảng $(-\infty ;-1);(1;+\infty )$ và nghịch biến trên khoảng $(-1;1)$ .
Đồ thị hàm số (II) đồng biến trên $\mathbb{R}$ .
Đồ thị hàm số (III) nghịch biến $\mathbb{R}\Rightarrow$ Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1;1)$ .
Đồ thị hàm số (IV) đồng biến trên các khoảng $(-1;0);(1;+\infty )$ và nghịch biến trên các khoảng $(-\infty ;-1);(0;1)$ . Vậy chọn C.

Ví dụ 1.6: Quan sát đồ thị của hàm số $y=f(x)$ dưới đây và chọn đáp án đúng.

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(3;+\infty )$ .

B. Hàm số đồng biến trên khoảng $(1;3)$ .

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;-1)$ .

D. Hàm số đồng biến trên khoảng $(0;2)$ .

Lời giải:

Nhìn vào đồ thị suy ra hàm số đồng biến trên khoảng $(0;2)$ và nghịch biến trên các khoảng $(-\infty ;0);(2;+\infty )$ . Chọn đáp án D.

Ví dụ 1.7 (THPT Chuyên Thái Bình). Cho hàm số $y=\sin x-\cos x+\sqrt{3}x$ . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. Hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;0)$ .

B. Hàm số nghịch biến trên $(1;2)$ .

C. Hàm số là hàm số lẻ.

D. Hàm số đồng biến trên $(-\infty ;+\infty )$ .

Lời giải:

TXĐ: $D=\mathbb{R}$ .

Ta có $y'=\cos x+\sin x+\sqrt{3}=\sqrt{2}\sin (x+\frac{\pi }{4})+\sqrt{3}>0$ vì $-\sqrt{2}\le \sqrt{2}\sin (x+\frac{\pi }{4})\le \sqrt{2},\,\,\forall x\in \mathbb{R}$

Do đó hàm số đồng biến $(-\infty ;+\infty )$ .

Chọn D.

Ví dụ 1.8: Cho hàm số $y=f(x)$ xác định, liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên:

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đã cho nghịch biến trên $(4;2)$ .

B. Hàm số đã cho đồng biến trên $(-\infty ;3)$ .

C. Hàm số đã cho đồng biến trên $(-\infty ;4)$ .

D. Hàm số đã cho đồng biến trên $(2;3)$ .

Lời giải:

Từ bảng biến thiên suy ra, hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty ;2);(2;3)$ và nghịch biến trên khoảng $(3;+\infty )$ .

Hàm số gián đoạn tại điểm $x=2$ nên hàm số không đồng biến trên khoảng $(-\infty ;3)$ .

Vậy chọn D.

Ví dụ 1.9: Hàm số $y=\sqrt{{x-2}}+\sqrt{{4-x}}$ nghịch biến trên:

A. $\displaystyle \text{ }\!\![\!\!\text{ }3;4)$ B. $(2;3)$ C. $(\sqrt{2};3)$ D. $(2;4)$

Lời giải:

TXĐ: $D=\text{ }\!\![\!\!\text{ }2;4]$ .

Ta có $y'=\frac{1}{{2\sqrt{{x-2}}}}-\frac{1}{{2\sqrt{{4-x}}}}=\frac{{\sqrt{{4-x}}-\sqrt{{x-2}}}}{{2.\sqrt{{x-2}}.\sqrt{{4-x}}}}$

$y'=0\Leftrightarrow \sqrt{{4-x}}-\sqrt{{x-2}}=0\Leftrightarrow \sqrt{{4-x}}=\sqrt{{x-2}}\Leftrightarrow 4-x=x-2\Leftrightarrow x=3$ .

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số nghịch biến trên $\displaystyle \text{ }\!\![\!\!\text{ }3;4)$ .

Chọn A.

Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu trên tập xác định

Phương pháp:

Chú ý: Để giải bài toán này, ta thường sử dụng các tính chất sau:

Nếu $f(x)=a{{x}^{2}}+bx+c\,(a\ne 0)$ thế thì:

+ $f(x)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta \le 0\\a>0\end{array} \right.$

+ $f(x)\le 0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta \le 0\\a<0\end{array} \right.$

Ví dụ 2.1 (THPT Tam Dương – Vĩnh Phúc 2017). Tất cả các giá trị của m để hàm số $y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-2(m-1){{x}^{2}}+(m+2)x+m-6$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ là

A. $m\ge 2$ B. $\frac{1}{4}<m\le 2$ C. $-\frac{3}{4}\le m\le 1$ D. $\frac{1}{4}\le m\le 2$

Lời giải:

Tập xác định $D=\mathbb{R}$ .

Ta có $y'={{x}^{2}}-4(m-1)x+m+2$

Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}\Leftrightarrow y'\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta '\le 0\\a>0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{{(m-1)}^{2}}-(m+2)\le 0\\1>0\end{array} \right.\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-9m+2\le 0\Leftrightarrow \frac{1}{4}\le m\le 2$

Vậy chọn đáp án D.

Ví dụ 2.2 (Đề minh họa lần 3 – 2017). Hỏi có bao nhiêu số nguyên m để hàm số $y=({{m}^{2}}-1){{x}^{3}}+(m-1){{x}^{2}}-x+4$ nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;+\infty )$ ?

A. 2 B. 1 C. 0 D. 3

Lời giải:

Tập xác định $D=\mathbb{R}$ .

Ta có $y'=3({{m}^{2}}-1){{x}^{2}}+2(m-1)x-1$

Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;+\infty )$
$\Leftrightarrow y'\le 0,\forall x\in \mathbb{R}$ .

Nếu m = 1 thì $y'=-1<0,\forall x\in \mathbb{R}$ . Do đó m = 1 là một giá trị cần tìm. (1)

Nếu m = -1 thì $y'=-4x-1\le 0\Leftrightarrow x\ge -\frac{1}{4}$ . Do đó m = -1 không là giá trị cần tìm.

Nếu $m\ne \pm 1$ thì $y'\le 0,\forall x\in \mathbb{R}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta '\le 0\\a<0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{(m-1)}^{2}}+3({{m}^{2}}-1)\le 0\\{{m}^{2}}-1<0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{{m}^{2}}-2m-2\le 0\\-1<m<1\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}-\frac{1}{2}\le m\le 2\\-1<m<1\end{array} \right.\Leftrightarrow -\frac{1}{2}\le m<1$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $-\frac{1}{2}\le m\le 1$ . Mà m nguyên nên $m\in \text{ }\!\!\{\!\!\text{ 0};1\}$

Vậy chọn đáp án A.

Chú ý:
Trong ví dụ 2.2 ở trên hệ số $a$ của $y'$ chứa tham số nên ta phải xét riêng trường hợp $a=0$ .

Ví dụ 2.3 (THPT Mỹ Đức B Hà Nội – 2017 ). Cho hàm số $y=\frac{{mx+2m-3}}{{x-m}}$ . Tất cả các giá trị của m để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định là

A. $m<-3$ hoặc $m>1$ B. $m\le -3$ hoặc $m\ge 1$

C. $m<-1$ hoặc $m>3$ D. $-3<m<1$

Lời giải:

Tập xác định $D=\mathbb{R}\backslash \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }m\text{ }\!\!\}\!\!\text{ }$ .

Ta có $y'=\frac{{-{{m}^{2}}-2m+3}}{{{{{(x-m)}}^{2}}}}$ . Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi $y'<0,\forall x\in D\Leftrightarrow -{{m}^{2}}-2m+3<0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m>1\\m<-3\end{array} \right.$

Vậy chọn đáp án A.

Ví dụ 2.4: Tập tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $y=\frac{{mx-2}}{{x+m-3}}$ nghịch biến trên từng khoảng xác định là khoảng $(a;b)$ . Tính $P=b-a$

A. $P=-3$ B. $P=-2$ C. $P=-1$ D. $P=1$

Lời giải:

TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }3-m\text{ }\!\!\}\!\!\text{ }$ .

Ta có $y'=\frac{{{{m}^{2}}-3m+2}}{{{{{(x+m-3)}}^{2}}}}$

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định $\Leftrightarrow y'<0,\forall x\in D\Leftrightarrow {{m}^{2}}-3m+2<0$
$\Leftrightarrow 1<m<2\Leftrightarrow m\in (1;2)$ .

Vậy $P=b-a=1$ .

Chọn D.

Ví dụ 2.5: Hàm số $y=\frac{{{{x}^{2}}-2mx+m}}{{x-1}}$ đồng biến trên từng khoảng xác định của nó khi

A. $m\ge 1$ B. $m\le 1$ C. $m\ne 1$ D. $m\ge -1$

Lời giải:

TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }1\}$ .

Ta có $y'=\frac{{{{x}^{2}}-2x+m}}{{{{{(x-1)}}^{2}}}}$

Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định $\Leftrightarrow y'\ge 0,\forall x\in D$

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x+m\ge 0,\forall x\in D\Leftrightarrow m\ge -{{x}^{2}}+2x,\forall x\in D\Leftrightarrow m\ge \underset{D}{\mathop{{\max }}}\,(-{{x}^{2}}+2x)\Leftrightarrow m\ge 1$

Chọn A.

Ví dụ 2.6: Tìm m để hàm số $y=\sin x-mx$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ .

A. $m\ge -1$ B. $m\le -1$ C. $-1\le m\le 1$ D. $m\ge 1$

Lời giải:

Ta có $y'=\cos x-m$

Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$
$\Leftrightarrow y'\le 0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \cos x-m\le 0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow m\ge 1$ .

Chọn D.

Ví dụ 2.7: Tìm để hàm số $y=(2m+1)\sin x+(3-m)x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ ?

A. $-4\le m\le \frac{2}{3}$ B. $-4<m<\frac{2}{3}$ C. $m<-4$ D. $m>\frac{2}{3}$

Lời giải:

TXĐ: $D=\mathbb{R}$ .

Ta có $y'=(2m+1)\cos x+3-m$

Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$
$\Leftrightarrow y'\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow (2m+1)\cos x+3-m\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$ . (*)

Nếu $2m+1=0\Leftrightarrow m=-\frac{1}{2}$ thì $y'=3+\frac{1}{2}>0,\forall x\in \mathbb{R}$ , suy ra $m=-\frac{1}{2}$ thỏa mãn.
Nếu $2m+1>0\Leftrightarrow m>-\frac{1}{2}$ thì :

$(*)\Leftrightarrow \cos x\ge \frac{{m-3}}{{2m+1}},\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \frac{{m-3}}{{2m+1}}\le \underset{\mathbb{R}}{\mathop{{\min }}}\,\cos x\Leftrightarrow \frac{{m-3}}{{2m+1}}\le -1\Leftrightarrow -\frac{1}{2}\le m\le \frac{2}{3}$ .
Nếu $2m+1<0\Leftrightarrow m<-\frac{1}{2}$ thì :

$(*)\Leftrightarrow \cos x\le \frac{{m-3}}{{2m+1}},\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \frac{{m-3}}{{2m+1}}\ge \underset{\mathbb{R}}{\mathop{{\max }}}\,\cos x\Leftrightarrow \frac{{m-3}}{{2m+1}}\ge 1\Leftrightarrow -4\le m<-\frac{1}{2}$ .

Vậy $-4\le m\le \frac{2}{3}$ .

Chọn A.

Dạng 3: Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu trên một khoảng, đoạn, nửa khoảng cho trước

Phương pháp:

+ Tìm tập xác định D.

+ Tính y’.

+ Hàm số đồng biến trên $D\Leftrightarrow y'\ge 0,\forall x\in D$ .

Hàm số nghịch biến trên $D\Leftrightarrow y'\le 0,\forall x\in D$ .

Chú ý:

Hàm phân thức bậc nhất $y=\frac{{ax+b}}{{cx+d}}$ có

TXĐ: $R\backslash \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }-\frac{d}{c}\text{ }\!\!\}\!\!\text{ }$ , đạo hàm $y'=\frac{{ad-bc}}{{{{{(cx+d)}}^{2}}}}$

+ Hàm số đồng biến trên $K$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}ad-bc>0\\-\frac{d}{c}\notin K\end{array} \right.$

+ Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}ad-bc<0\\-\frac{d}{c}\notin K\end{array} \right.$

Hàm bậc ba $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\,\,$ có $y'=3a{{x}^{2}}+2bx+c$

Nếu y’ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thì:

Ví dụ 3.1: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số $y={{x}^{3}}-3(m+1){{x}^{2}}+3m(m+2)x$ nghịch biến trên đoạn [0; 1]

A. $m\le 0$ B. $-1<m<0$ C. $-1\le m\le 0$ D. $m\ge -1$

Lời giải:

TXĐ: $D=\mathbb{R}$ .

Đạo hàm $y'=3{{x}^{2}}-6(m+1)x+3m(m+2)=3[{{x}^{2}}-2(m+1)x+m(m+2)\text{ }\!\!]\!\!\text{ }$

Ta có $\Delta '={{(m+1)}^{2}}-m(m+2)=1>0,\forall m\in \mathbb{R}$ .

Do đó $y'=0$ luôn có hai nghiệm phân biệt $x=m,\,x=m+2$ .

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số nghịch biến trên đoạn [m; m + 2].

Để hàm số nghịch biến trên [0; 1] $\Leftrightarrow \text{ }\!\![\!\!\text{ }0;1]\subset \text{ }\!\![\!\!\text{ }m;m+2]\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m\le 0\\m+2\ge 1\end{array} \right.\Leftrightarrow -1\le m\le 0$ .

Chọn C.

Ví dụ 3.2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y=\frac{{x-1}}{{x-m}}$ nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;2)$

A. $m>2$ . B. $m\ge 1$ . C. $m\ge 2$ . D. $m>1$ .

Lời giải:

Tập xác định $D=\mathbb{R}\backslash \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }m\text{ }\!\!\}\!\!\text{ }$ .

Ta có $y'=\frac{{-m+1}}{{{{{(x-m)}}^{2}}}}$

Cách 1:

Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;2)$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}-m+1<0\\m\notin (-\infty ;2)\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m>1\\m\ge 2\end{array} \right.\Leftrightarrow m\ge 2$ .

Cách 2:

Với $-m+1<0\Leftrightarrow m>1$ thì $y'<0,\forall x\ne m$ . Suy ra hàm số đã cho nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty ;m)$ và $(m;+\infty )$ .

Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;2)$ $\Leftrightarrow (-\infty ;2)\subset (-\infty ;m)\Leftrightarrow m\ge 2$ .

Chọn C.

Ví dụ 3.3 (Đề minh họa lần 1 – 2017) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số $y=\frac{{\tan x-2}}{{\tan x-m}}$ đồng biến trên khoảng $(0;\frac{\pi }{4})$

A. $m\le 0$ hoặc $1\le m<2$ B. $m\le 0$ C. $1\le m<2$ D. $m\ge 2$

Lời giải:

Ta có
$f'\left( x \right)=\frac{{-m+2}}{{{{{\left( {tanx-m} \right)}}^{2}}co{{s}^{2}}x}}$

Yêu cầu của bài toán trở thành:

$\left\{ \begin{array}{l}-m+2>0\\\tan x-m\ne 0,\forall x\in \left( {0;\frac{\pi }{4}} \right)\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}-m+2>0\\m\notin (0;1)\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m<2\\\left[ \begin{array}{l}m\ge 1\\m\le 0\end{array} \right.\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m\le 0\\1\le m<2\end{array} \right.$

Chọn A.

Ví dụ 3.4 (THPT Chuyên Bắc Kạn) Cho hàm số $y=\frac{{(m-1)\sqrt{{x-1}}+2}}{{\sqrt{{x-1}}+m}}$ . Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số đồng biến trên khoảng $(17;37)$ .

A. $-4\le m<-1$ . B. $\left[ \begin{array}{l}m>2\\m\le -6\\-4\le m<-1\end{array} \right.$ . C. $\left[ \begin{array}{l}m>2\\m\le -4\end{array} \right.$ . D. $-1<m<2$ .

Lời giải:

ĐKXĐ: $\left\{ \begin{array}{l}x\ge 1\\\sqrt{{x-1}}+m\ne 0\end{array} \right.$ .

Ta có $y'=\frac{{{{m}^{2}}-m-2}}{{2\sqrt{{x-1}}{{{(\sqrt{{x-1}}+m)}}^{2}}}}$

Hàm số đồng biến trên khoảng $(17;37)$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{m}^{2}}-m-2>0\\\sqrt{{x-1}}+m\ne 0,\,\forall x\in (17;37)\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m>2\\m<-1\end{array} \right.\\\sqrt{{x-1}}\ne -m,\,\forall x\in (17;37)\end{array} \right.$

Phương trình $\sqrt{{x-1}}=-m$ có nghiệm trong khoảng $(17;37)$

$\Leftrightarrow \underset{{\text{ }\!\![\!\!\text{ }17;37]}}{\mathop{{\min }}}\,\sqrt{{x-1}}<-m<\underset{{\text{ }\!\![\!\!\text{ }17;37]}}{\mathop{{\max }}}\,\sqrt{{x-1}}\Leftrightarrow -6<m<-4$

Do đó $\sqrt{{x-1}}\ne -m,\,\forall x\in (17;37)\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m\ge -4\\m\le -6\end{array} \right.$

Vậy $\left[ \begin{array}{l}m>2\\m\le -6\\-4\le m<-1\end{array} \right.$ .

Chọn B.

Dạng 4: Ứng dụng tính đơn điệu để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình

Phương pháp

Nếu hàm số $y=f(x)$ liên tục và luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên khoảng $(a;b)$ thì phương trình $f(x)=k$ (trên khoảng $(a;b)$ ) có không quá một nghiệm và $f(u)=f(v)\Leftrightarrow u=v\,\,\forall u,v\in (a;b)$ .
Nếu hàm số $y=f(x)$ liên tục và luôn đồng biến trên $D$ ; hàm số $y=g(x)$ liên tục và luôn nghịch biến trên $D$ thì số nghiệm trên $D$ của phương trình $f(x)=g(x)$ không nhiều hơn một.
Nếu phương trình $f(x)=0$ có $m$ nghiệm thì phương trình $f'(x)=0$ có $m-1$ nghiệm.

I.1.4.B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 4.1: Tìm số nghiệm của phương trình $\sqrt{{4x+5}}+\sqrt{{x-1}}=3$ .

A. 1 nghiệm. B. 2 nghiệm. C. 3 nghiệm. D. Vô nghiệm.

Lời giải:

TXĐ: $D=\text{ }\!\![\!\!\text{ }1;+\infty )$ .

$\sqrt{{4x+5}}+\sqrt{{x-1}}=3\Leftrightarrow \sqrt{{4x+5}}+\sqrt{{x-1}}-3=0$ . (1)

Xét hàm số $f(x)=\sqrt{{4x+5}}+\sqrt{{x-1}}-3$ với $x\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }1;+\infty )$ .

Ta có $f'(x)=\frac{2}{{\sqrt{{4x+5}}}}+\frac{1}{{2\sqrt{{x-1}}}}>0,\,\,\forall x\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }1;+\infty )$ .

Suy ra hàm số $f(t)$ đồng biến trên nửa khoảng $\displaystyle \text{ }\!\![\!\!\text{ }1;+\infty )$ . Do đó phương trình (1) có nhiều nhất một nghiệm.

Mà $f(1)=0$ . Vậy phương trình đã cho một nghiệm duy nhất $x=1$ .

Chọn A.

Ví dụ 4.2: Số nghiệm của phương trình ${{x}^{3}}-x=\sqrt[3]{{2x+1}}+1$ là

A. 1 nghiệm. B. 2 nghiệm. C. 3 nghiệm. D. Vô nghiệm.

Lời giải:

TXĐ: $D=\mathbb{R}$ .

${{x}^{3}}-x=\sqrt[3]{{2x+1}}+1\Leftrightarrow {{x}^{3}}+x=2x+1+\sqrt[3]{{2x+1}}$

Xét hàm số $f(t)={{t}^{3}}+t$ với $t\in \mathbb{R}$ .

Khi đó phương trình đã cho có dạng $f(x)=f(\sqrt[3]{{2x+1}})$ (*)

Ta có $f'(t)=3{{t}^{2}}+1>0\,\,\forall t\in \mathbb{R}$ . Do đó phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi $x=\sqrt[3]{{2x+1}}\Leftrightarrow {{x}^{3}}=2x+1\Leftrightarrow {{x}^{3}}-2x-1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=-1\\x=\frac{{1\pm \sqrt{5}}}{2}\end{array} \right.$

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm.

Chọn C.

Ví dụ 4.3 (THPT Minh Hà 2017 Lần 1).

Tìm $m$ để hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x+2-\sqrt{{{{x}^{2}}+2x+2}}=y-\sqrt{{{{y}^{2}}-2y+2}}\\xy-y=m\end{array} \right.$ có hai nghiệm phân biệt

A. $m>0$ B. $m\ge -\frac{9}{4}$ C. $m>-\frac{9}{4}$ D. $m<-\frac{9}{4}$

Lời giải:

$\left\{ \begin{array}{l}x+2-\sqrt{{{{x}^{2}}+2x+2}}=y-\sqrt{{{{y}^{2}}-2y+2}}\\xy-y=m\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\begin{array}{*{20}{c}} {(1)} \\ {(2)} \end{array}$