Sự tương giao của đồ thị

A. Lí thuyết cơ bản:

Tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số $y=f(x)$ và $y=g(x)$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}y=f(x)\\y=g(x)\end{array} \right.$

Phương trình hoành độ giao điểm $f(x)=g(x)$ (1)
Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của 2 đồ thị hàm số.

1. Tương giao giữa đồ thị của hàm phân thức bậc nhất $(C):\,\,\,\,y=\frac{{ax+b}}{{cx+d}}$ và đường thẳng $d:\,\,y=kx+m$

Phương trình hoành độ giao điểm:

$\frac{{ax+b}}{{cx+d}}=kx+m\Leftrightarrow A{{x}^{2}}+Bx+c=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$

Đường thẳng d cắt $(C)$ tại 2 điểm phân biệt $\Leftrightarrow (1)$ có hai nghiệm phân biệt khác $-\frac{d}{c}$ .

Khi đó hoành độ 2 giao điểm thỏa mãn hệ thức Viet của phương trình (1).

2. Tương giao giữa đồ thị của hàm bậc ba $(C):\,y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ và đường thẳng $d:\,y=kx+m$

Phương trình hoành độ giao điểm: $a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d=kx+m$ (1)

Nhẩm nghiệm $x={{x}_{0}}$ và đưa phương trình về dạng:

$(x-{{x}_{0}})(A{{x}^{2}}+Bx+C)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x={{x}_{0}}\\A{{x}^{2}}+Bx+C=0\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.$

Đường thẳng d cắt $(C)$ tại 3 điểm phân biệt $\Leftrightarrow (2)$ có 2 nghiệm phân biệt khác ${{x}_{0}}$ .

Giả sử $A({{x}_{0}};k{{x}_{0}}+m);\,\,B({{x}_{1}};k{{x}_{1}}+m);\,\,C({{x}_{2}};k{{x}_{2}}+m)$ là 3 giao điểm của d và $(C)$ .

Khi đó ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn định lí Viet: $\left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{B}{A}\\{{x}_{1}}{{x}_{1}}=\frac{C}{A}\end{array} \right.$

3. Tương giao giữa đồ thị của hàm bậc bốn trùng phương $(C):\,y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c$ và đường thẳng $d:\,y=m$

Phương trình hoành độ giao điểm: $a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c=m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$

Đặt $t={{x}^{2}}\,\,\,(t\ge 0)$ , đưa phương trình (1) về dạng: $a{{t}^{2}}+bt+c-m=0\,\,\,(2)$

B. Bài tập:

Dạng 1: Tương giao giữa đồ thị của hàm phân thức bậc nhất $(C):\,\,\,\,y=\frac{{ax+b}}{{cx+d}}$ và đường thẳng $d:\,\,y=kx+m$

Ví dụ 1.1 (THPT Chuyên Hạ Long – Quảng Ninh 2017)

Biết đường thẳng $y=x-2$ cắt đồ thị hàm số $y=\frac{{2x+1}}{{x-1}}$ tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ lần lượt là ${{x}_{A}},{{x}_{B}}$ . Hãy tính tổng ${{x}_{A}}+{{x}_{B}}$ .

A. 2.

B. 1.

C. 5.

D. 3.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm $\frac{{2x+1}}{{x-1}}=x-2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(x\ne 1)$

$\Leftrightarrow 2x+1=(x-2)(x-1)\Leftrightarrow {{x}^{2}}-5x+1=0\,\,\,\,\,\,\,(1)$

Hoành độ giao điểm A, B của 2 đồ thị là nghiệm của phương trình (1) nên theo định lí Viet có ${{x}_{A}}+{{x}_{B}}=5$ .

Chọn C.

Ví dụ 1.2 (THPT Thường Tín – Hà Nội 2017)

Gọi M, N là giao điểm của đường thẳng $y=x+1$ và đường cong $y=\frac{{2x+4}}{{x-1}}$ . Khi đó hoành độ trung điểm I của đoạn thẳng MN bằng

A. $-\frac{5}{2}$ .

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm

$\frac{{2x+4}}{{x-1}}=x+1\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\ne 1\\2x+4=(x-1)(x+1)\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\ne 1\\{{x}^{2}}-2x-5=0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\ne 1\\\left[ \begin{array}{l}x=1-\sqrt{6}\\x=1+\sqrt{6}\end{array} \right.\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{x}_{M}}=1-\sqrt{6}\\{{x}_{N}}=1+\sqrt{6}\end{array} \right.$

Khi đó hoành độ trung điểm I của đoạn MN là ${{x}_{I}}=\frac{{{{x}_{M}}+{{x}_{N}}}}{2}=1$ .

Chọn B.

Ví dụ 1.3: Tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số $y=\frac{{{{x}^{2}}-2x-3}}{{x-2}}$ và đường thẳng $y=x-3$ là

A. $(3;0)$ .

B. $(2;-3)$ .

C. $(-1;0)$ .

D. $(-3;1)$ .

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm $\frac{{{{x}^{2}}-2x-3}}{{x-2}}=x-3\,\,\,(x\ne 2)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=3\\y=0\end{array} \right.$

$\Rightarrow (3;0)$ là giao điểm của hai đồ thị.

Chọn A.

Ví dụ 1.4 (THPT Chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An 2017 Lần 3)

Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng $y=mx+1$ cắt đồ thị của hàm số $y=\frac{{x-3}}{{x+1}}$ tại hai điểm phân biệt.

A. $(-\infty ;0]\cup \text{ }\!\![\!\!\text{ }16;+\infty )$ .

B. $(-\infty ;0)\cup (16;+\infty )$ .

C. $(16;+\infty )$ .

D. $(-\infty ;0)$ .

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm $\frac{{x-3}}{{x+1}}=mx+1\Leftrightarrow m{{x}^{2}}+mx+4=0\,\,\,\,\,\,\,(1)\,\,\,\,(x\ne -1)$

Yêu cầu bài toán ⇔ Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác $-1$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ={{m}^{2}}-16m>0\\m{{(-1)}^{2}}+m(-1)+4\ne 0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m\in (-\infty ;0)\cup (16;+\infty )\\4\ne 0\end{array} \right.\Leftrightarrow m\in (-\infty ;0)\cup (16;+\infty )$

Chọn B.

Ví dụ 1.5: Tất cả các giá trị của m để đường thẳng $y=x+m-1$ cắt đồ thị hàm số $y=\frac{{2x+1}}{{x+1}}$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ sao cho $AB=2\sqrt{3}$ là

A. $m=4\pm \sqrt{{10}}$ .

B. $m=4\pm \sqrt{3}$ .

C. $m=2\pm \sqrt{3}$ .

D. $m=2\pm \sqrt{{10}}$ .

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm:

$\frac{{2x+1}}{{x+1}}=x+m-1\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g(x)={{x}^{2}}+(m-2)x+m-2=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\x\ne -1\end{array} \right.$

Hai đồ thị hàm số cắt nhau tại 2 điểm phân biệt ⇔ Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác $-1\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta >0\\g(-1)\ne 0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{m}^{2}}-8m+12>0\\1-m+2+m-2\ne 0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m>6\\m<2\end{array} \right.$ (*)

Giả sử $A({{x}_{1}},{{x}_{1}}+m-1),\,\,B({{x}_{2}};{{x}_{2}}+m-1)$ là 2 giao điểm, với ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là nghiệm của phương trình (1). Khi đó theo định lí Viet có $\left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2-m\\{{x}_{1}}{{x}_{2}}=m-2\end{array} \right.$

Theo giả thiết $AB=2\sqrt{3}\Leftrightarrow A{{B}^{2}}=12\Leftrightarrow 2{{({{x}_{1}}-{{x}_{2}})}^{2}}=12\Leftrightarrow {{({{x}_{1}}-{{x}_{2}})}^{2}}=6$

$\Leftrightarrow {{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}=6\Leftrightarrow {{(2-m)}^{2}}-4(m-2)=6$

$\Leftrightarrow {{m}^{2}}-8m+6=0\Leftrightarrow m=4\pm \sqrt{{10}}$ (thỏa mãn điều kiện (*)).

Chọn A.

Ví dụ 1.6 (THPT Chuyên Thái Nguyên 2017 Lần 2)

Tìm m để đường thẳng $d:\,\,y=-x+m$ cắt đồ thị hàm số $(C):\,\,y=\frac{{x-1}}{{2x}}$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ sao cho AB ngắn nhất.

A. $m=\frac{1}{2}$ .

B. $m=\frac{5}{9}$ .

C. $m=5$ .

D. $m=-\frac{1}{2}$ .

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm:

$\frac{{x-1}}{{2x}}=-x+m\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-(2m-1)x-1=0\,\,\,\,\,\,(x\ne 0)\,\,\,\,\,(1)$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\Delta =4{{m}^{2}}-4m+9>0,\,\,\forall m\in \mathbb{R}\\{{2.0}^{2}}-(2m-1).0-1\ne 0,\forall m\end{array} \right.$

Do đó đường thẳng d luôn cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt.

Gọi hai giao điểm là $A({{x}_{1}};-{{x}_{1}}+m),\,B({{x}_{2}};-{{x}_{2}}+m)$ .

Khi đó theo định lí Viet có $\left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{{2m-1}}{2}\\{{x}_{1}}{{x}_{2}}=-\frac{1}{2}\end{array} \right.$

Ta có $A{{B}^{2}}={{({{x}_{1}}-{{x}_{2}})}^{2}}+{{({{x}_{1}}-{{x}_{2}})}^{2}}=2{{({{x}_{1}}-{{x}_{2}})}^{2}}=2{{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{2}}-8{{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{{{{{(2m-1)}}^{2}}}}{2}+4\ge 4$

Do đó $\min AB=2$ khi $m=\frac{1}{2}$ .

Chọn A.

Ví dụ 1.7 (THPT Anh Sơn 2 – Nghệ An 2017 Lần 3)

Cho hàm số $y=\frac{{2x+1}}{{x-2}}\,\,\,(C)$ . Tìm tất cả các giá trị của m để d đi qua $A(0;2)$ có hệ số góc m cắt (C) tại 2 điểm thuộc 2 nhánh của đồ thị.

A. $m\ge 0$ .

B. $m>0$ .

C. $m<-5$ .

D. $\left[ \begin{array}{l}m>0\\m<-5\end{array} \right.$ .

Lời giải:

Đường thẳng d đi qua $A(0;2)$ và có hệ số góc m là $y=mx+2$ .

Phương trình hoành độ giao điểm:

$\frac{{2x+1}}{{x-2}}=mx+2\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g(x)=m{{x}^{2}}-2mx-5=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\x\ne 2\end{array} \right.$

Đường thẳng d cắt (C) tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn ${{x}_{1}}<2<{{x}_{2}}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m\ne 0\\\Delta '>0\\m.g(2)<0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m\ne 0\\{{m}^{2}}+5m>0\\-5m<0\end{array} \right.\Leftrightarrow m>0$

Vậy chọn B.

Ví dụ 1.8: Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng $d:\,\,y=x+m$ cắt đồ thị hàm số $(C):\,\,\,y=\frac{{2x+1}}{{x-1}}$ tạo hai điểm phân biệt $M,N$ sao cho ${{S}_{{\Delta IMN}}}=4$ với I là tâm đối xứng của (C).

A. $m=3;m=-1$ .

B. $m=3;m=-5$ .

C. $m=\pm 3$ .

D. $m=-3;m=-1$ .

Lời giải:

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x=1$ và có tiệm cận ngang là $y=2$ .

Do đó tâm đối xứng của đồ thị là $I(1;2)$ .

Ta có $d:\,\,y=x+m\Leftrightarrow x-y+m=0\Rightarrow \,d(I,d)=\frac{{|m-1|}}{{\sqrt{2}}}$

Phương trình hoành độ giao điểm $\frac{{2x+1}}{{x-1}}=x+m\Leftrightarrow {{x}^{2}}+(m-3)x-m-1=0\,\,\,(x\ne 1)\,\,\,(1)$

Giả sử $M({{x}_{1}};{{x}_{1}}+m),\,\,N({{x}_{2}};{{x}_{2}}+m)$ là hai giao điểm.

Theo định lí Viet có $\left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=3-m\\{{x}_{1}}{{x}_{2}}=-m-1\end{array} \right.$

Ta có $MN=\sqrt{{2{{{({{x}_{1}}-{{x}_{2}})}}^{2}}}}=\sqrt{{2{{{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}}^{2}}-8{{x}_{1}}{{x}_{2}}}}=\sqrt{{2{{{(3-m)}}^{2}}+8m+8}}=\sqrt{{2{{m}^{2}}-4m+26}}$

Diện tích tam giác IMN là:

$\frac{1}{2}.\frac{{|m-1|}}{{\sqrt{2}}}.\sqrt{{2{{m}^{2}}-4m+26}}=\frac{{|m-1|\sqrt{{{{m}^{2}}-2m+13}}}}{2}=4$

$\Leftrightarrow {{(m-1)}^{2}}\text{ }\!\![\!\!\text{ }{{(m-1)}^{2}}+12]=64\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{{(m-1)}^{2}}=4\\{{(m-1)}^{2}}=-16\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m=3\\m=-1\end{array} \right.$

Chọn A.

Dạng 2 : Tương giao giữa đồ thị của hàm bậc ba $(C):\,y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ và đường thẳng $d:\,y=kx+m$

Ví dụ 2.1: Số giao điểm của đường cong $y={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+2x+1$ và đường thẳng $y=1-x$ bằng

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 0.

Lời giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

${{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+2x+1=1-x\Leftrightarrow {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+3x=0\Leftrightarrow x=0$ .

Vậy đường cong và đường đường thẳng có 1 giao điểm.

Chọn A.

Ví dụ 2.2 (Đề minh họa lần 1)

Biết rằng đường thẳng $y=-2x+2$ cắt đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}+x+2$ tại điểm duy nhất, kí hiệu $({{x}_{0}};{{y}_{0}})$ là tọa độ của điểm đó. Tìm ${{y}_{0}}$ .

A. ${{y}_{0}}=4$ .

B. ${{y}_{0}}=0$ .

C. ${{y}_{0}}=2$ .

D. ${{y}_{0}}=-1$ .

Lời giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm: $\displaystyle {{x}^{3}}+x+2=-2x+2\Leftrightarrow {{x}^{3}}+3x=0\Leftrightarrow x({{x}^{2}}+3)=0$

$\displaystyle \Rightarrow (0;2)$ là giao điểm của hai đồ thị $\Rightarrow {{y}_{0}}=2$ .

Chọn đáp án C.

Ví dụ 2.3: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3x+1$ tại ba điểm phân biệt.

A. $m>-3$ .

B. $m<3$ .

C. $m<-3$ .

D. $m>3$ .

Lời giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

$\begin{array}{l}mx+1={{x}^{3}}-3x+1\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3x-mx=0\\\Leftrightarrow x({{x}^{2}}-3-m)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=0\\{{x}^{2}}=3+m\end{array} \right.\end{array}$

Để đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt ⇔ Phương trình ${{x}^{2}}=3+m$ có 2 nghiệm phân biệt khác 0 $\Leftrightarrow 3+m>0\Leftrightarrow m>-3$ . Chọn A.

Ví dụ 2.4: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-(m+3){{x}^{2}}+(2m-1)x+3(m+1)$ . Tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm là

A. $\varnothing$ .

B. $\displaystyle \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }-2;2\}$ .

C. $(-\infty ;-4)$ .

D. $(-1;+\infty )\backslash \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }2\}$ .

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm:

$\begin{array}{l}{{x}^{3}}-(m+3){{x}^{2}}+(2m-1)x+3(m+1)=0\Leftrightarrow (x+1)\text{ }\!\![\!\!\text{ }{{x}^{2}}-(m+4)x+3(m+1)\text{ }\!\!]\!\!\text{ }=0\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=-1\\{{x}^{2}}-(m+4)x+3(m+1)=0\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\end{array} \right.\end{array}$

Yêu cầu bài $\Leftrightarrow (1)$ có 2 nghiệm âm phân biệt khác $-1$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ={{(m-2)}^{2}}>0\\-\frac{b}{a}=m+4<0\\\frac{c}{a}=3(m+1)>0\\{{(-1)}^{2}}-(m+4)(-1)+3(m+1)\ne 0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m\ne 2\\m<-4\\m>-1\\m\ne -2\end{array} \right.\Leftrightarrow m\in \varnothing$ .

Chọn đáp án A.

Ví dụ 2.5: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2$ có đồ thị $(C)$ và đường thẳng d qua $M(1;0)$ và có hệ số góc m. Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng d cắt $(C)$ tại 3 điểm phân biệt có hoành độ ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}$ thỏa mãn $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=5$ .

A. $m=-2$ .

B. $m=-3$ .

C. $m<-3$ .

D. $m>-2$ .

Lời giải:

Phương trình đường thẳng d qua $M(1;0)$ và có hệ số góc m là $y=m(x-1)$

Phương trình hoành độ giao điểm: ${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2=m(x-1)\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$

$\Leftrightarrow (x-1)({{x}^{2}}-2x-2-m)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=1\\{{x}^{2}}-2x-2-m=0\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.$

Hai đồ thị cắt nhau tại 3 điểm phân biệt $\Leftrightarrow (2)$ có 2 nghiệm phân biệt khác 1.

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta '>0\\1-2-2-m\ne 0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3+m>0\\-3-m\ne 0\end{array} \right.\Leftrightarrow m>-3$

Gọi ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}=1$ là 3 nghiệm của phương trình (1).

Theo định lí Viet ta có $\left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2\\{{x}_{1}}{{x}_{2}}=-2-m\end{array} \right.$

Ta có $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=5\Leftrightarrow {{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}+1=5\Leftrightarrow 4-2(-2-m)=4\Leftrightarrow m=-2$

Vậy $m=-2$ . Chọn A.

Ví dụ 2.6 (Sở GD Bắc Giang 2017 Lần 2)

Cho hàm số $y={{x}^{3}}-(2m+3){{x}^{2}}+(6m+7)x-4m-3$ và đường thẳng $d:\,\,y=x+1$ . Tìm các giá trị thực của m để đường thẳng d cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt $A,B,C$ sao cho ${{x}_{A}}=1$ và ${{S}_{{\Delta OBC}}}=\sqrt{5}$ với O là gốc tọa độ.

A. $\displaystyle \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }-2;4\}$ .

B. $\displaystyle \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }2;4\}$ .

C. $\displaystyle \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }-2;3\}$ .

D. $\displaystyle \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }-2;5\}$ .

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm:

$\begin{array}{l}{{x}^{3}}-(2m+3){{x}^{2}}+(6m+7)x-4m-3=x+1\Leftrightarrow {{x}^{3}}-(2m+3){{x}^{2}}+(6m+6)x-4m-4=0\\(x-1)\text{ }\!\![\!\!\text{ }{{x}^{2}}-2(m+1)x+4m+4]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=1\\{{x}^{2}}-2(m+1)x+4m+4=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\end{array} \right.\end{array}$

Hai đồ thị cắt nhau tại 3 điểm phân biệt $\Leftrightarrow (1)$ có 2 nghiệm phân biệt khác 1

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta '>0\\1-2(m+1)+4m+4\ne 0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{m}^{2}}-2m-3>0\\2m+3\ne 0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m>3\\m<-1\end{array} \right.\\m\ne -\frac{3}{2}\end{array} \right.$

Ba giao điểm là $A(1;2);\,B({{x}_{1}};{{x}_{1}}+1);\,C({{x}_{2}};{{x}_{2}}+1)$ với ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ là nghiệm của phương trình (1). Theo định lí Viet có $\left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2(m+1)\\{{x}_{1}}{{x}_{2}}=4m+4\end{array} \right.$

Ta có ${{S}_{{\Delta OBC}}}=\frac{1}{2}BC.d(O,BC)$

$BC=\sqrt{{{{{({{x}_{1}}-{{x}_{2}})}}^{2}}+{{{({{y}_{1}}-{{y}_{2}})}}^{2}}}}=\sqrt{{2{{{({{x}_{1}}-{{x}_{2}})}}^{2}}}}=\sqrt{{2{{{({{x}_{1}}-{{x}_{2}})}}^{2}}-8{{x}_{1}}{{x}_{2}}}}$

$=\sqrt{{8{{{(m+1)}}^{2}}-8(4m+4)}}=\sqrt{{8({{m}^{2}}-2m-3)}}$
$d(O,BC)=d(O,d)=\frac{{|0-0+1|}}{{\sqrt{{{{1}^{2}}+{{{(-1)}}^{2}}}}}}=\frac{1}{{\sqrt{2}}}$ .

$\begin{array}{l}{{S}_{{\Delta OBC}}}=\sqrt{5}\Leftrightarrow \frac{1}{2}.\sqrt{{8({{m}^{2}}-2m-3)}}.\frac{1}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{5}\\\Leftrightarrow \frac{1}{4}.8({{m}^{2}}-2m-3).\frac{1}{2}=5\Leftrightarrow {{m}^{2}}-2m-8=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m=-2\\m=4\end{array} \right.\end{array}$

Chọn đáp án B.

Dạng 3 : Tương giao giữa đồ thị của hàm bậc bốn trùng phương $(C):\,y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c$ và đường thẳng $d:\,y=m$

Ví dụ 3.1: Cho hàm số $y={{x}^{4}}-4{{x}^{2}}-2$ có đồ thị (C) và đồ thị $(P):\,\,y=1-{{x}^{2}}$ . Số giao điểm của (P) và đồ thị (C) là

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm

${{x}^{4}}-4{{x}^{2}}-2=1-{{x}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{4}}-3{{x}^{2}}-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{{x}^{2}}=\frac{{3+\sqrt{{21}}}}{2}>0\\{{x}^{2}}\frac{{3-\sqrt{{21}}}}{2}<0\end{array} \right.\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{{\frac{{3+\sqrt{{21}}}}{2}}}$

Vậy (P) và (C) cắt nhau tại 2 điểm.

Chọn B.

Ví dụ 3.2: Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số $y={{x}^{2}}|{{x}^{2}}-3|$ và đường thẳng $y=2$ .

A. 2.

B. 4.

C. 6.

D. 8.

Lời giải:

Ta có $y={{x}^{2}}|{{x}^{2}}-3|\,=\,\left\{ \begin{array}{l}{{x}^{4}}-3{{x}^{2}}\,\,\text{khi}\,\,\,{{x}^{2}}-3\ge 0\\-{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}\,\,\text{khi}\,\,{{x}^{2}}-3\,<0\end{array} \right.$

Vẽ đồ thị hàm số $y={{x}^{2}}|{{x}^{2}}-3|$ bằng cách suy ra từ đồ thị $(C):\,\,y={{x}^{4}}-3{{x}^{2}}$

Giữ nguyên đồ thị $(C)$ phần phía trên trục Ox

và gạch bỏ phần nằm dưới Ox.
Lấy đối xứng phần bị gạch qua trục Ox.

Khi đó đường thẳng $y=2$ cắt đồ thị hàm số

$y={{x}^{2}}|{{x}^{2}}-3|$ tại 6 điểm.

Chọn đáp án C.

Ví dụ 3.3: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình ${{x}^{4}}-2{{x}^{2}}-2=m$ có 4 nghiệm thực phân biệt.

A. $-3<m<-2$ .

B. $\left[ \begin{array}{l}m>-2\\m<-3\end{array} \right.$ .

C. $-3\le m\le -2$ .

D. $m=3$ .

Lời giải:

Cách 1:

Ta có ${{x}^{4}}-2{{x}^{2}}-2=m\Leftrightarrow {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}-2-m=0\,\,\,\,\,(1)$

Đặt $t={{x}^{2}}\,\,\,(t\ge 0)$ , phương trình (1) trở thành: ${{t}^{2}}-2t-2-m=0\,\,\,\,\,\,\,\,(2)$

Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt ⇔ Phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta '>0\\-\frac{b}{a}>0\\\frac{c}{a}>0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3+m>0\\2>0\\-2-m>0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m>-3\\m<-2\end{array} \right.\Leftrightarrow -3<m<-2$

Vậy chọn đáp án A.

Cách 2:

Xét hàm số $f(x)={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}-2$ xác định trên $\mathbb{R}$

$f'(x)=4{{x}^{3}}-4x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=0\\x=\pm 1\end{array} \right.$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, suy ra phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow f(x)$ cắt đường thẳng $y=m$ tại 4 điểm phân biệt $\Leftrightarrow -3<m<-2$ . Chọn A.

Ví dụ 3.4: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số $y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+m$ cắt trục hoành tại đúng hai điểm

A. $m<1$ .

B. $m<0;m=1$ .

C. $m\le 0$ .

D. $m>3$ .

Lời giải:

TXĐ: $D=\mathbb{R}$ .

Phương trình hoành độ giao điểm ${{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+m=0\,\,\,\,\,\,(1)$

Đặt $t={{x}^{2}}\,\,\,\,(t\ge 0)$ , phương trình (1) trở thành: ${{t}^{2}}-2t+m=0\,\,\,\,\,(2)$

Để đồ thị hàm số $y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+m$ cắt trục hoành tại đúng hai điểm khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ Phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu hoặc một nghiệm kép dương.

TH1: (2) có nghiệm kép dương $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta '=0\\-\frac{b}{{2a}}>0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1-m=0\\1>0\end{array} \right.\Leftrightarrow m=1$