TIẾP TUYẾN

A. Kiến thức cần nhớ:

 - Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số (C): y = f(x) tại điểm M(x₀; f(x₀)) là:

 - Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại M là:

B. Các dạng bài tập:

Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số:

Phương pháp giải:

      + Tìm TXĐ.

      + Tính đạo hàm .

      + Hệ số góc: .

      + Phương trình tiếp tuyến: 

Chú ý: Để viết được phương trình tiếp tuyến tại M(x₀; y₀) ta cần phải tìm đủ 3 yếu tố:

      + Hoành độ tiếp điểm x₀.

      + Tung độ y₀ (Nếu chưa biết y₀ thì thay x₀ vào phương trình của hàm số để tìm y₀ = f(x₀)).

      + Hệ số góc .

Ví dụ:Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số   tại điểm M(-1; -2).

                                                                   Lời giải:

TXĐ: R

y’ = 3x² – 6x ⇒ y'(-1) = 9.

Phương trình tiếp tuyến tại M(-1; -2) là: 

Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc k.

Phương pháp giải:

      + Tìm TXĐ.

      + Tính đạo hàm.

      + Gọi M(x₀; y₀) là tiếp điểm ⇒ Hệ số góc của tiếp tuyến là y'(x₀).

      + Giải phương trình y'(x₀) = k ⇒ x₀; y₀.

          ⇒ Phương trình tiếp tuyến.

Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số , biết hệ số góc bằng -5.

                                                                          Lời giải:

TXĐ: 

Gọi M(x₀; y₀) là tiếp điểm

⇒ 

⇔ x₀ = 1 hoặc x₀ = 3 (thỏa mãn)

+ Với x₀ = 1 thì y₀ = -3

Phương trình tiếp tuyến: y = -5(x – 1) – 3 = -5x + 2.

+ Tương tự x₀ = 3, y₀ = 7

Phương trình tiếp tuyến: y = -5x + 22.

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm A(x_A; y_A).

Phương pháp giải:

      + Tìm TXĐ.

      + Tính đạo hàm.

      + Gọi M(x₀; f(x₀)) là tiếp điểm ⇒ Hệ số góc của tiếp tuyến là y'(x₀) ⇒Phương trình tiếp tuyến.

      + Giải điều kiện tiếp tuyến đi qua điểm A(x_A; y_A) ⇒x₀.

Ví dụ: Cho hàm số (C): y =  x³ – x² . Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua điểm A(3;0).

                                                                           Lời giải:

TXĐ: R

y’ = x² – 2x.

Gọi M(x₀; ) là tiếp điểm ⇒ Hệ số góc của tiếp tuyến là y'(x₀) = .

Phương trình tiếp tuyến: .

Vì tiếp tuyến đi qua điểm A(3; 0) nên:

+ Với x₀ = 3, y₀ = 0 ⇒ y'(3) = 3.

Phương trình tiếp tuyến: y = 3(x – 3).

+ Với x₀ = 0, y₀ = 0 ⇒ y'(0) = 0.

Phương trình tiếp tuyến là y = 0.

Vậy qua A có 2 phương trình tiếp tuyến là: y = 0 và y = 3(x – 3).