Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

A. Lý thuyết cơ bản:

1. Quy trình khảo sát hàm số

Tìm tập xác định.
Sự biến thiên:

+ Tính đạo hàm y’.

+ Tìm các điểm tại đó đạo hàm y’ bằng 0 hoặc không xác định.

+ Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.

+ Tìm cực trị.

+ Tính giới hạn tại vô cực và giới hạn vô cực, tìm tiệm cận (nếu có).

+ Lập bảng biến thiên.
Đồ thị:

+ Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị (nếu có)

+ Tìm giao điểm của đồ thị với Ox và Oy.

+ Vẽ các điểm đặc biệt: cực trị, điểm uốn.

+ Tìm thêm điểm (nếu cần).

+ Nêu tính chất đối xứng của đồ thị: trục đối xứng, tâm đối xứng.

2. Khảo sát hàm đa thức bậc ba $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$

$y'=3a{{x}^{2}}+2bx+c$ ; $\Delta '={{b}^{2}}-3ac$

Hàm số có 2 cực trị nếu $\Delta '>0$ và không có cực trị nếu $\Delta '\le 0$ .
$y''=6ax+2b,\,\,y''=0\Leftrightarrow x=-\frac{b}{{3a}}$

$x=-\frac{b}{{3a}}$ là hoành độ điểm uốn, đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.
Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ là $d$ và cắt trục hoành tại tối đa 3 điểm.
Dạng của đồ thị hàm số bậc ba $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\,\,\,\,(a\ne 0)$

3. Khảo sát hàm đa thức bậc bốn trùng phương $y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c$

$y'=4a{{x}^{3}}+2bx=2x(2a{{x}^{2}}+b)\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=0\\{{x}^{2}}=-\frac{b}{{2a}}\end{array} \right.$

+ Nếu $ab\ge 0$ thì hàm số có một cực trị ${{x}_{0}}=0$ .

+ Nếu $ab<0$ thì hàm số có 3 cực trị ${{x}_{0}}=0;\,\,{{x}_{{1,2}}}=\pm \sqrt{{-\frac{b}{{2a}}}}$
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ là c, cắt trục hoành tại tối đa 4 điểm và các điểm này đối xứng lẫn nhau qua gốc tọa độ O.
Đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng.
Dạng của đồ thị hàm số $y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c$

4. Khảo sát hàm phân thức $y=\frac{{ax+b}}{{cx+d}}$

Điều kiện: $ad-bc\ne 0,\,c\ne 0$ .
TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }-\frac{d}{c}\text{ }\!\!\}\!\!\text{ }$ .
Đạo hàm $y'=\frac{{ad-bc}}{{{{{(cx+d)}}^{2}}}}$

+ Nếu $ad-bc>0$ hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định. Đồ thị nằm góc phần tư thứ (II) và thứ (IV) của hai tiệm cận.

+ Nếu $ad-bc<0$ hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định. Đồ thị nằm góc phần tư thứ (I) và (III) của hai tiệm cận.
Tiệm cận đứng: $x=-\frac{d}{c}$ , tiệm cận ngang: $y=\frac{a}{c}$ .
Đồ thị hàm số có tâm đối xứng $I(-\frac{d}{c};\frac{a}{c})$ .
Đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ $-\frac{b}{a}$ , cắt trục tung tại điểm có tung độ $\frac{b}{d}$ .
Dạng của đồ thị $y=\frac{{ax+b}}{{cx+d}}$ :

B. Bài tập:

Dạng 1: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Ví dụ 1.1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số:

a) $y=-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-4$ .

b) $y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+4x$ .

Lời giải:

a) TXĐ: $D=\mathbb{R}$ .

Chiều biến thiên:

$\begin{array}{l}y'=-3{{x}^{2}}+6x\\y'=0\Leftrightarrow -3{{x}^{2}}+6x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=0\\x=2\end{array} \right.\end{array}$

$\underset{{x\to -\infty }}{\mathop{{\lim }}}\,y=+\infty ;\,\,\underset{{x\to +\infty }}{\mathop{{\lim }}}\,y=-\infty$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đồng biến trên khoảng $(0;2)$ và nghịch biến trên các khoảng $(-\infty ;0);\,(2;+\infty )$ .

Hàm số đạt cực đại tại điểm $x=2$ ; giá trị cực đại của hàm số là $y(2)=0$ .

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x=0$ ; giá trị cực tiểu của hàm số là $y(0)=-4$ .

Đồ thị:

Ta có $y''=-6x+6=0\Leftrightarrow x=1$

$\Rightarrow I(1;-2)$ là điểm uốn của đồ thị.

Giao với Ox: l; $(-1;0);\,(2;0)$

Giao với Oy: $(0;-4)$

Đồ thị hàm số nhận điểm uốn làm

tâm đối xứng.

b) TXĐ: $D=\mathbb{R}$ .

Chiều biến thiên:

$y'={{x}^{2}}+4x+4={{(x+2)}^{2}}\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\Rightarrow$ Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ và không có cực trị.

$\underset{{x\to -\infty }}{\mathop{{\lim }}}\,y=-\infty ;\,\,\underset{{x\to +\infty }}{\mathop{{\lim }}}\,y=+\infty$

Bảng biến thiên:

Đồ thị:
- $y''=2x+4=0\Leftrightarrow x=-2$
  
  $\Rightarrow (-2;-\frac{8}{3})$ là điểm uốn.
- Đồ thị hàm số đi qua gốc O.

Ví dụ 1.2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+2$ .

b) $y=-\frac{{{{x}^{4}}}}{2}-{{x}^{2}}+\frac{3}{2}$ .

Lời giải:

a) TXĐ: $D=\mathbb{R}$ .

Sự biến thiên:

$y'=4{{x}^{3}}-4x=4x({{x}^{2}}-1)$

$y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=0\\x=\pm 1\end{array} \right.$

$\underset{{x\to -\infty }}{\mathop{{\lim }}}\,y=+\infty ;\,\,\underset{{x\to +\infty }}{\mathop{{\lim }}}\,y=+\infty$

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-1;0);\,\,(1;+\infty )$ và nghịch biến trên các khoảng $(-\infty ;-1);\,\,(0;1)$ .

Hàm số đạt cực đại tại $x=0$ và ${{y}_{{CD}}}=y(0)=2$ .

Hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1,x=1$ và ${{y}_{{CT}}}=y(-1)=y(1)=1$ .
Đồ thị:

Đồ thị hàm số có điểm cực đại $(0;2)$ và hai

điểm cực tiểu $(-1;1);\,\,(1;1)$

Oy là trục đối xứng của đồ thị.

b) TXĐ: $D=\mathbb{R}$ .

Sự biến thiên:

$y'=-2{{x}^{3}}-2x=-2x({{x}^{2}}+1);\,\,\,y'=0\Leftrightarrow x=0$

$\underset{{x\to -\infty }}{\mathop{{\lim }}}\,y=\,\underset{{x\to +\infty }}{\mathop{{\lim }}}\,y=-\infty$

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty ;0)$ và nghịch biến trên khoảng $(0;+\infty )$

Hàm số đạt cực đại tại $x=0;\,\,{{y}_{{CD}}}=y(0)=\frac{3}{2}$ và không có cực tiểu.
Đồ thị:

Đồ thị cắt trục Oy tại điểm $(0;\frac{3}{2})$

và cắt trục Ox tại 2 điểm $(-1;0);\,\,(1;0)$

Oy là trục đối xứng của đồ thị.

Ví dụ 1.3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=\frac{{-x+2}}{{x+1}}$ .

Lời giải:

TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }-1\}$ .

Sự biến thiên:

$y'=\frac{{-3}}{{{{{(x+1)}}^{2}}}}<0,\forall x\in \mathbb{R}$

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty ;-1);\,\,(-1;+\infty )$ .

Hàm số không có cực trị.

$\underset{{x\to -{{1}^{-}}}}{\mathop{{\lim }}}\,y=\underset{{x\to -{{1}^{-}}}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{-x+2}}{{x+1}}=-\infty ;\,\underset{{x\to -{{1}^{+}}}}{\mathop{{\lim }}}\,y=\underset{{x\to -{{1}^{+}}}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{-x+2}}{{x+1}}=+\infty$

Do đó đường thẳng $x=-1$ là tiệm cận đứng.

$\underset{{x\to \pm \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,y=\underset{{x\to \pm \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{-x+2}}{{x+1}}=-1\Rightarrow y=-1$ là tiệm cận ngang.

Bảng biến thiên:
Đồ thị:

Đồ thị cắt trục tung tại điểm $(0;2)$

và cắt trục hoành tại điểm $(2;0)$ .

Dạng 2: Nhận dạng đồ thị

* Phương pháp:

Các tiêu chí để nhận dạng:

Đối với hàm đa thức thì chiều của nhánh cuối cùng của đồ thị có hướng tương ứng với hệ số cao nhất, tức là hướng lên nếu $a>0$ , và hướng xuống nếu $a<0$ .
Dựa vào tính đơn điệu.
Dựa vào cực trị.
Dựa vào điểm uốn (đối với hàm bậc ba)
Dựa vào giao điểm với trục Ox, Oy.
Dựa vào tiệm cận (đối với hàm phân thức).

Ví dụ 2.1 (THPT Lộc Thanh – Lâm Đồng 2017 Lần 3)

Cho hàm số $f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Hỏi $f(x)$ là hàm số nào?

A. $\frac{{2x-1}}{{x+1}}$ .

B. $\frac{{1-2x}}{{x+1}}$ .

C. $\frac{{2x+1}}{{x-1}}$ .

D. $\frac{{2x-1}}{{x-1}}$ .

Lời giải:

Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y=2$ và tiệm cận đứng $x=-1$ .

Loại đáp án B, C, D.

Ví dụ 2.2: Cho hàm số $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ có đồ thị như hình bên.

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $a,b,c<0;\,\,d>0$ .

B. $a,b,d>0;\,c<0$ .

C. $a,c,d>0;\,\,b<0$ .

D. $a,d>0;\,\,b,c<0$ .

Lời giải:

Nhánh cuối cùng của đồ thị hướng lên trên nên $a>0$ .

Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm có tung độ dương nên $d>0$ .

Ta có $y'=3a{{x}^{2}}+2bx+c;\,\,y''=6ax+2b=0\Leftrightarrow x=-\frac{b}{{3a}}$ .

Điểm uốn có hoành độ dương nên $-\frac{b}{{3a}}>0\Rightarrow b<0$ .

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị có hoành độ trái dấu $\Rightarrow y'=0$ có hai nghiệm trái dấu $\Leftrightarrow ac<0\Rightarrow c>0$ .

Vậy $a,d>0;\,\,b,c<0$ . Chọn D.

Ví dụ 2.3 (THPT Chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An 2017 Lần 3)

Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn

hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi

hàm số đó là hàm số nào?

A. $y=-{{x}^{3}}-4$ .

B. $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-4$ .

C. $y=-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-4$ .

D. $y=-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2$ .

Lời giải:

Nhánh cuối cùng của đồ thị hướng xuống dưới

nên $a<0$ . Do đó loại đáp án B.

Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm có tung độ

bằng $-4$ nên $d=-4$ . Loại đáp án D.

Đồ thị cắt Ox tại 2 điểm có hoành độ $x=-1;\,x=2$ . Do đó chọn đáp án C.

Ví dụ 2.4: Hàm số $y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c\,\,(a\ne 0)$ có đồ thị như hình bên. Xác định dấu của $a,b,c$ .

A. $a>0,b>0,c>0$ .

B. $a>0,b>0,c<0$ .

C. $a>0,b<0,c>0$ .

D. $a>0,b<0,c<0$ .

Lời giải:

Nhánh cuối của đồ thị hướng lên trên nên $a>0$ .

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên $c<0$ .

Đồ thị hàm số có 3 cực trị nên $ab<0\Rightarrow b<0$ .

Vậy $a>0,b<0,c<0$ . Chọn D.

Ví dụ 2.5 (Sở GD Bình Phước – 2017)

Tìm $a,b,c$ để hàm số $y=\frac{{ax+2}}{{cx+b}}$ có đồ thị

như hình vẽ bên:

A. $a=2;b=-2;c=-1$ .

B. $a=1;b=1;c=-1$

C. $a=1;b=2;c=1$

D. $a=1;b=-2;c=1$

Lời giải:

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng $-2\Rightarrow a=1$ .

Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $-1\Rightarrow b=-2$ .

Tiệm cận ngang $y=\frac{a}{c}=1\Rightarrow a=c=1$ .

Chọn đáp án D.

Ví dụ 2.6 (THPT Anh Sơn 2 – Nghệ An 2017 Lần 2)

Đồ thị bên là của hàm số nào sau đây?

A. $y={{x}^{4}}-8{{x}^{3}}$ . B. $y=-{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}+4$ .

C. $y=-{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}$ . D. $y={{x}^{4}}-8{{x}^{2}}+4$ .

Lời giải:

Nhánh cuối cùng của đồ thị hướng xuống nên $a<0$ .

⇒ Loại đáp án A, D.

Do đồ thị hàm số có điểm cực trị là điểm có hoành độ $\pm \sqrt{2}$ và tung độ bằng 4 nên $\left\{ \begin{array}{l}y'(\sqrt{2})=y'(-\sqrt{2})=0\\y(\sqrt{2})=y(-\sqrt{2})=4\end{array} \right.$
⇒Chọn đáp án C.

Ví dụ 2.7: Đồ thị hàm số $y=\frac{{{{x}^{3}}}}{3}-{{x}^{2}}+x$ là hình nào sau đây?

Lời giải:

Chọn đáp án C.

Ta có $y'={{x}^{2}}-2x+1={{(x-1)}^{2}}\ge 0\Rightarrow$ Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ .

Do đó loại đáp án A và B.

Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ. Suy ra chọn C.

Dạng 3: Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

* Phương pháp:

Cho đồ thị hàm số $y=f(x)$ có đồ thị $(C)$

Vẽ đồ thị hàm số $y=\,|f(x)|$ :

– Giữ nguyên phần đồ thị nằm phía trên trục hoành của $(C)$ và gạch bỏ phần đồ thị nằm phía dưới trục hoành.

– Lấy đối xứng qua trục hoành phần nằm dưới trục hoành của $(C)$ .

Nhận xét: Hàm số $|f(x)|\,\ge \,0,\forall x\in D$ nên có đồ thị không nằm dưới trục hoành.
Vẽ đồ thị hàm số $y=f(|x|)$ :

– Giữ nguyên nửa bên phải trục tung của $(C)$ và gạch bỏ nửa bên trái của $(C)$ .

– Lấy đối xứng phần đồ thị bị gạch bỏ qua trục Oy.

Nhận xét: Đồ thị hàm số $y=f(|x|)$ nhận Oy làm trục đối xứng.
Nếu $f(x)=(x-a)g(x)$ hoặc $f(x)=\frac{{g(x)}}{{x-a}}$ thì đồ thị hàm số $y=\,|x-a|.g(x)$ hay $y=\frac{{g(x)}}{{|x-a|}}$ gồm:

– Giữ nguyên phần đồ thị $(C)$ ứng với $x\ge a$ .

– Lấy đối xứng phần đồ thị còn lại của $(C)$ qua trục hoành.

Ví dụ 3.1: Cho đồ thị của hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1$
$(C)$ có dạng như hình dưới đây.

a) Vẽ đồ thị hàm số $y=\,|{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2|$ .

b) Vẽ đồ thị hàm số $y=\,|x{{|}^{3}}+3{{x}^{2}}-2$ .

Lời giải:

a) Giữ nguyên phần đồ thị nằm phía trên trục Ox

của $(C)$ và gạch bỏ phần đồ thị nằm phía dưới

trục Ox.

Lấy đối xứng qua trục hoành phần nằm dưới trục Ox của $(C)$ .

Ta được đồ thị hàm số $y=\,|{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2|$ có dạng như hình sau:

b) Giữ nguyên nửa bên phải trục tung của $(C)$ và gạch bỏ nửa

bên trái của $(C)$ .

Lấy đối xứng phần đồ thị bị gạch bỏ qua trục Oy.

Ta được đồ thị của hàm số $y=\,|x{{|}^{3}}+3{{x}^{2}}-2$ có dạng như sau:

Ví dụ 3. 2: Đồ thị hình bên là của hàm số nào?

A. $y=\,|{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+2x|$ .

B. $y=\,|x{{|}^{3}}-2{{x}^{2}}+3|x|$ .

C. $y=\,|\frac{1}{3}{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+3x|$ .

D. $y=\frac{1}{3}|x{{|}^{3}}-2{{x}^{2}}+3|x|$ .

Lời giải:

Ta thấy Oy không là trục đối xứng của đồ thị nên loại

đáp án B, D.

Đồ thị hàm số cắt Ox tại hai điểm $(0;0);\,\,(3;0)$ .

⇒
Chọn đáp án C.

Ví dụ 3.3: Đồ thị hình bên là của hàm số nào?

A. $y=\,|x{{|}^{3}}+3|x|$ .

B. $y=\,|{{x}^{3}}+3x|$ .

C. $y=\,|{{x}^{3}}|-3|x|$ .

D. $y=\,|{{x}^{3}}-3x|$ .

Lời giải:

Đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng nên

loại đáp án B, D.

Đồ thị đi qua điểm $(1;-2)$
⇒ Chọn đáp án C.

Ví dụ 3.4:Cho hàm số $y={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x$ có đồ thị như Hình 1. Khi đó đồ thị Hình 2 là của hàm số nào dưới đây?

Hình 1 Hình 2

A. $y=\,|x{{|}^{3}}-6{{x}^{2}}+9|x|$ .

B. $y=-{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-9x$ .

C. $y=\,|{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x|$ .

D. $y=\,|x{{|}^{3}}+\,6|x{{|}^{2}}+\,9|x|$ .

Lời giải:

Đồ thị ở Hình 2 nhận Oy làm trục đối xứng nên loại đi đáp án B, C.

Với $x=1$ thì $y=4$ nên chọn đáp án A.

Ví dụ 3.5 (THPT Nguyễn Du – TH HCM 2017)

Cho hàm số $y=\frac{{x-1}}{{x+1}}$ có đồ thị như hình vẽ bên.

Hình nào dưới đây là đồ thị của hàm số $y=\frac{{|x-1|}}{{x+1}}$ ?

A. Hình 1. B. Hình 2. C. Hình 3. D. Hình 4.

Lời giải:

Do $\frac{{|x-1|}}{{x+1}}=\left\{ \begin{array}{l}\frac{{x-1}}{{x+1}}\,\,\,\,\,\,\text{khi}\,\,x\ge 1\\-\frac{{x-1}}{{x+1}}\,\,\text{khi}\,\,x<1\end{array} \right.$ nên đồ thị hàm số $y=\frac{{|x-1|}}{{x+1}}$ gồm hai phần:

Giữ nguyên phần đồ thị của hàm số $y=\frac{{x-1}}{{x+1}}$ ứng với $x\ge 1$ .
Lấy đối xứng qua trục hoành đồ thị hàm số $y=\frac{{x-1}}{{x+1}}$ ứng với $x<1$ .