Tích phân- Các tích phân cơ bản

TÍCH PHÂN VÀ CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN

A. Lý thuyết cơ bản

1. Định nghĩa tích phân:

$f(x)$ liên tục trên đoạn $\displaystyle \text{ }\!\![\!\!\text{ a;b }\!\!]\!\!\text{ }$ và $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên đoạn $\displaystyle \text{ }\!\![\!\!\text{ a;b }\!\!]\!\!\text{ }$ . Khi đó giá trị $F(b)-F(a)$ được gọi là tích phân của hàm $f(x)$ trên $\displaystyle \text{ }\!\![\!\!\text{ a;b }\!\!]\!\!\text{ }$ .

Kí hiệu: $\int_{a}^{b}{f(x)dx}=F(b)-F(a)$ .

Khi $a=b$ thì $\int_{a}^{a}{f(x)dx}=0$ .

2. Các tính chất của tích phân:

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\displaystyle \text{ }\!\![\!\!\text{ }a;b\text{ }\!\!]\!\!\text{ }$ và $\,c\in (a;b)$ .

$\int_{a}^{b}{f(x)dx}=-\int_{b}^{a}{f(x)dx}$ .

$\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\int_{a}^{c}{f(x)dx}+\int_{c}^{b}{f(x)dx}$ .

$\int_{a}^{b}{k.f(x)dx}=k.\int_{a}^{b}{f(x)dx}$ ( $k$ là hằng số khác 0).

$\int_{a}^{b}{\text{ }\!\![\!\!\text{ }f(x)\pm g(x)\text{ }\!\!]\!\!\text{ }dx}=\int_{a}^{b}{f(x)dx}\pm \int_{a}^{b}{g(x)dx}$ .

B. Bài tập

Dạng 1. Phương pháp phân tích, đưa về tích phân đơn giản

A. Phương pháp

Phương pháp này tính được các tích phân của hàm đa thức, hàm có chứa dấu giá trị tuyệt đối, một số hàm lượng giác và hàm mũ đơn giản, …

Để tính tích phân theo hướng này, cần phải nắm chắc định nghĩa tích phân, các tính chất tích phân và thuộc bảng nguyên hàm để có thể biến đổi hàm dưới dấu tích phân về các hàm thường gặp.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1.1: Tính các tích phân sau:

a) $I=\int_{1}^{3}{\left( 4x+\frac{1}{2x-1} \right)dx}$ . b) $I=\int_{1}^{3}{\frac{{{(x-1)}^{2}}}{x}dx}$ .

c) $I=\int_{1}^{2}{\left( {{y}^{3}}+2y-\frac{2}{y} \right)dy}$ . d) $I=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{(2\cos t-\sin 2t)dt}$ .

e) $I=\int_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{4}}{(4+{{\cot }^{2}}t)dt}$ . f) $I=\int_{-2}^{2}{|{{x}^{2}}-1|dx}$ .

Lời giải:

a) $I=\int_{1}^{3}{\left( 4x+\frac{1}{2x-1} \right)dx}=\int_{1}^{3}{4xdx}+\int_{1}^{3}{\frac{1}{2x-1}dx}$ $=\left. \left( 2{{x}^{2}}+\frac{1}{2}\ln |2x-1| \right) \right|_{1}^{3}$

$=(18+\frac{1}{2}\ln 5\,)-(2+\frac{1}{2}\ln 1)=16+\frac{1}{2}\ln 5$ .

b) $I=\int_{1}^{3}{\frac{{{(x-1)}^{2}}}{x}dx}=\int_{1}^{3}{\frac{{{x}^{2}}-2x+1}{x}}dx$ $=\int_{1}^{3}{\left( x-2+\frac{1}{x} \right)dx}=\left. \left( \frac{{{x}^{2}}}{2}-2x+\ln |x| \right) \right|_{1}^{3}$

$=\left( \frac{9}{2}-6+\ln 3 \right)-\left( \frac{1}{2}-2+\ln 1 \right)=\ln 3$ .

c) $I=\int_{1}^{2}{\left( {{y}^{3}}+2y-\frac{2}{y} \right)dy}$

$=\left. \left( \frac{{{y}^{4}}}{4}+{{y}^{2}}-2\ln |y| \right) \right|_{1}^{2}=(4+4-2\ln 2)-\left( \frac{1}{4}+1-2\ln 1 \right)$ $=\frac{27}{4}-2\ln 2$ .

d) $I=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{(2\cos t-\sin 2t)dt}=\left. \left( 2\sin t+\frac{\cos 2t}{2} \right) \right|_{0}^{\frac{\pi }{2}}$ $=(2-\frac{1}{2})-(0+\frac{1}{2})=1$ .

e) $I=\int_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{4}}{(4+{{\cot }^{2}}t)dt}=\int_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{4}}{(3+1+{{\cot }^{2}}t)dt}=(3t-\cot t)|_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{4}}$

$=\left( \frac{3\pi }{4}-1 \right)-\left( \frac{3\pi }{2}-0 \right)=\frac{-3\pi -4}{4}$ .

f) $I=\int_{-2}^{2}{|{{x}^{2}}-1|dx}$ .

Ta có $|{{x}^{2}}-1|\,=\left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}-1,\,\,\text{khi}\,\,{{x}^{2}}-1\ge 0\\1-{{x}^{2}},\,\,\text{khi}\,\,{{x}^{2}}-1<0\end{array} \right.$ $=\left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}-1,\,\,\text{khi}\,\,x\in (-\infty ;-1]\cup \text{ }\!\![\!\!\text{ }1;+\infty )\\1-{{x}^{2}},\,\,\text{khi}\,\,x\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;1]\end{array} \right.$

Khi đó $I=\int_{-2}^{-1}{|{{x}^{2}}-1|dx}+\int_{-1}^{1}{|{{x}^{2}}-1|dx}+\int_{1}^{2}{|{{x}^{2}}-1|dx}$

$=\int_{-2}^{-1}{|{{x}^{2}}-1|dx}+\int_{-1}^{1}{(1-{{x}^{2}})dx}+\int_{1}^{2}{({{x}^{2}}-1)dx}$

$=\left. \left( \frac{{{x}^{3}}}{3}-x \right) \right|_{-2}^{-1}+\left. \left( x-\frac{{{x}^{3}}}{3} \right) \right|_{-1}^{1}+\left. \left( \frac{{{x}^{3}}}{3}-x \right) \right|_{1}^{2}=4$ .

Ví dụ 1.2 (THPT Đống Đa – Hà Nội 2017) Cho $\int_{2}^{4}{f(x)dx}=18,\,\int_{2}^{8}{f(x)dx}=15$ . Biểu thức $\int_{4}^{8}{f(x)dx}$ bằng

A. 3. B. 33. C. $-3$ . D. $-33$ .

Lời giải:

Ta có $\int_{4}^{8}{f(x)dx}=\int_{2}^{8}{f(x)dx}-\int_{2}^{4}{f(x)dx}=15-18=-3$ .

Chọn C.

Ví dụ 1.3: Cho $f\left( x \right)$ , $g\left( x \right)$ là các hàm số liên tục trên đoạn $\left[ 2;\,\,6 \right]$ và thỏa mãn $\int\limits_{2}^{3}{f\left( x \right)\text{d}x}=3;$ $\int\limits_{3}^{6}{f\left( x \right)\text{d}x}=7$ ; $\int\limits_{3}^{6}{g\left( x \right)\text{d}x}=5$ . Hãy tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau?

A. $\int\limits_{3}^{6}{\left[ 3g\left( x \right)-f\left( x \right) \right]\text{d}x}=8$ B. $\int\limits_{2}^{3}{\left[ 3f\left( x \right)-4 \right]\text{d}x}=5$

C. $\int\limits_{2}^{\ln {{e}^{6}}}{\left[ \text{2}f\left( x \right)-1 \right]\text{d}x}=16$ D. $\int\limits_{3}^{\ln {{e}^{6}}}{\left[ 4f\left( x \right)-2g\left( x \right) \right]\text{d}x}=16$

Lời giải:

Ta có .

Ta có nên đúng.

nên đúng.

Nên sai. Chọn D

Ví dụ 1.4 (THPT Võ Nguyên Giáp – Quảng Bình): Tính tích phân $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{\cos x}{\sin x+1}}dx$

A. $I=\ln 2+1.$ B. $I=\ln 2-1.$ C. $I=\ln 2.$ D. $I=\frac{1}{2}\ln 2.$

Lời giải:

Ta có: $\displaystyle I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{\cos x}{\sin x+1}}dx=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{1}{\sin x+1}}d\left( \sin x+1 \right)=\left. \ln \left| \sin x+1 \right| \right|_{0}^{\frac{\pi }{2}}=\ln 2$ . Đáp án C

Dạng 2. Phương pháp dùng vi phân để tính tích phân

A. Phương pháp

Các vi phân quan trọng:

$xdx=\frac{1}{2}d({{x}^{2}})=\frac{1}{2}d({{x}^{2}}\pm a)=-\frac{1}{2}d(a-{{x}^{2}})$ .

${{x}^{2}}dx=\frac{1}{3}d({{x}^{3}})=\frac{1}{3}d({{x}^{3}}\pm a)=\frac{-1}{3}d(a-{{x}^{3}})$ .

$\sin xdx=-d(\cos x)=-d(\cos x\pm a)=d(a-\cos x)$ .

$\cos xdx=d(\sin x)=d(\sin x\pm a)=-d(a-\sin x)$ .

$\frac{dx}{{{\cos }^{2}}x}=d(\tan x)=d(\tan x\pm a)=-d(a-\tan x)$ .

$\frac{dx}{{{\sin }^{2}}x}=-d(\cot x)=-d(\cot x\pm a)=d(a-\cot x)$ .

$\frac{dx}{2\sqrt{x}}=d(\sqrt{x})=d(\sqrt{x}\pm a)=-d(a-\sqrt{x})$ .

${{e}^{x}}dx=d({{e}^{x}})=d({{e}^{x}}\pm a)=-d(a-{{e}^{x}})$ .

$\frac{dx}{x}=d(\ln x)=d(\ln x\pm a)=-d(a-\ln x)$ .

$dx=\frac{1}{a}d(ax+b)=-\frac{1}{a}d(b-ax)$ .

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 2.1: Giá trị của $\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}{{{(1-\tan x)}^{4}}.\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}dx}$ bằng

A. $\frac{1}{5}$ . B. $\frac{1}{3}$ . C. $\frac{1}{2}$ . D. $\frac{1}{4}$ .

Lời giải:

$\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}{{{(1-\tan x)}^{4}}.\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}dx}=-\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}{{{(1-\tan x)}^{4}}d(1-\tan x)}=-\frac{1}{5}\left. {{(1-\tan x)}^{5}} \right|_{0}^{\frac{\pi }{4}}=\frac{1}{5}$ .

Chọn A.

Ví dụ 2.2: Giá trị của tích phân $I=\int_{1}^{e}{\frac{{{x}^{2}}+2\ln x}{x}}dx$ là

A. $\frac{{{e}^{2}}-1}{2}$ . B. $\frac{{{e}^{2}}+1}{2}$ . C. ${{e}^{2}}+1$ . D. .

Lời giải:

$\begin{array}{l}I=\int_{1}^{e}{\frac{{{x}^{2}}+2\ln x}{x}}dx=\int_{1}^{e}{xdx}+\int_{1}^{e}{\frac{2\ln x}{x}dx}=\left. \frac{{{x}^{2}}}{2} \right|_{1}^{e}+\int_{1}^{e}{2\ln x.d(\ln x)}\\=\frac{1}{2}({{e}^{2}}-1)+{{\ln }^{2}}x|_{1}^{e}=\frac{1}{2}({{e}^{2}}-1)+1=\frac{1}{2}({{e}^{2}}+1)\end{array}$

Chọn B.

Ví dụ 2.3: Tính các tích phân sau:

a) $I=\int_{0}^{1}{\frac{dx}{{{e}^{x}}+1}}$ . b) $I=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{1-2{{\sin }^{2}}x}{1+\sin 2x}dx}$ .

Lời giải:

a) $I=\int_{0}^{1}{\frac{dx}{{{e}^{x}}+1}}=\int_{0}^{1}{\frac{({{e}^{x}}+1)-{{e}^{x}}}{{{e}^{x}}+1}}dx=\int_{0}^{1}{dx}-\int_{0}^{1}{\frac{{{e}^{x}}}{{{e}^{x}}+1}}$

$I=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{1-2{{\sin }^{2}}x}{1+\sin 2x}dx}=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{d(1+\sin 2x)}{1+\sin 2x}}=\frac{1}{2}\ln \left. |1+\sin 2x|\, \right|_{0}^{\frac{\pi }{4}}=\frac{1}{2}\ln 2$ .

Ví dụ 2.4 (Sở GD Hải Dương 2017) Cho $m$ là số thực dương thỏa mãn $\int_{0}^{m}{\frac{x}{{{(1+{{x}^{2}})}^{3}}}dx}=\frac{3}{16}$ . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. $m\in (3;\frac{7}{2})$ . B. $m\in (0;\frac{3}{2})$ . C. $m\in (\frac{3}{2};3)$ . D. $m\in (\frac{7}{2};5)$ .

Lời giải:

Ta có $\int_{0}^{m}{\frac{x}{{{(1+{{x}^{2}})}^{3}}}dx}=\frac{1}{2}\int_{0}^{m}{\frac{d(1+{{x}^{2}})}{{{(1+{{x}^{2}})}^{3}}}=-\frac{1}{4}.\left. \frac{1}{{{(1+{{x}^{2}})}^{2}}} \right|_{0}^{m}=-\frac{1}{4}.\frac{1}{{{(1+{{m}^{2}})}^{2}}}+\frac{1}{4}\,}$ .

Mà $I=\frac{3}{16}\Rightarrow -\frac{1}{4}.\frac{1}{{{(1+{{m}^{2}})}^{2}}}+\frac{1}{4}=\frac{3}{16}\Leftrightarrow {{(1+{{m}^{2}})}^{2}}=4$ $\Leftrightarrow 1+{{m}^{2}}=2\Leftrightarrow {{m}^{2}}=1\Leftrightarrow m=\pm 1$ .