Hàm số lũy thừa và hàm số mũ

HÀM SỐ LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT

A. Lý thuyết cơ bản

1. Hàm số lũy thừa

- Định nghĩa: Hàm số $y={{x}^{\alpha }}$ với $\alpha \in \mathbb{R}$ , được gọi là hàm số lũy thừa.

- Tập xác định:

+ $D=\mathbb{R}$ nếu $\alpha$ là số nguyên dương.

+ $D=\mathbb{R}\backslash \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }0\}$ nếu $\alpha$ nguyên âm hoặc bằng 0.

+ $D=(0;+\infty )$ với $\alpha$ không nguyên.

- Đạo hàm:

+ Hàm số $y={{x}^{\alpha }}\,\,(\alpha \in \mathbb{R})$ có đạo hàm với mọi $x>0$ và $({{x}^{\alpha }})'=\alpha {{x}^{\alpha -1}}$ .

+ Đạo hàm của hàm hợp: $({{u}^{\alpha }})'=\alpha .{{u}^{\alpha -1}}.u'$ .

- Tính chất của hàm số lũy thừa trên khoảng $(0;+\infty )$ :

2. Hàm số mũ

- Hàm số $y={{a}^{x}}\,(a>0,a\ne 1)$ được gọi là hàm số mũ cơ số $a$ .

- Hàm số $y={{a}^{x}}$ có đạo hàm tại mọi $x$ và $({{a}^{x}})'={{a}^{x}}\ln a$ . Đặc biệt: $({{e}^{x}})'={{e}^{x}}$ .

- Các tính chất:

+ TXĐ: $\mathbb{R}$ .

+ Khi $a>1$ thì hàm số luôn đồng biến.

+ Khi $0<a<1$ hàm số luôn nghịch biến.

+ Đồ thị có tiệm cận ngang là Ox, luôn đi qua các điểm $(0;1),(1;a)$ và nằm phía trên trục hoành.

3. Hàm số logarit

- Hàm số $y={{\log }_{a}}x\,\,(a>0,a\ne 1)$ được gọi là hàm số logarit cơ số $a$ .

- Hàm số logarit có đạo hàm tại mọi $x>0$ và $({{\log }_{a}}x)'=\frac{1}{x\ln a}$ .

Đặc biệt $(\ln x)'=\frac{1}{x}$ .

- Các tính chất:

+ TXĐ: $(0;+\infty )$ .

+ Khi $a>1$ thì hàm số đồng biến;

+ Khi $0<a<1$ thì hàm số luôn nghịch biến.

+ Đồ thị có tiệm cận đứng là Oy, luôn đi qua các điểm $(1;0),(a;1)$ và nằm phía bên phải trục tung.

B. Bài tập

Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số

A. Phương pháp

* Hàm số lũy thừa $y={{\text{ }\!\![\!\!\text{ }u(x)\text{ }\!\!]\!\!\text{ }}^{\alpha }}$ :

+ Xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ nếu $\alpha$ nguyên dương.

+ Xác định với $u(x)\ne 0$ nếu $\alpha$ nguyên âm.

+ Xác định với $u(x)>0$ nếu $\alpha$ không nguyên.

* Hàm số mũ $y={{a}^{f(x)}}$ xác định khi $0<a\ne 1$ .

* Hàm số logarit $y={{\log }_{a}}f(x)\,$ xác định $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0<a\ne 1\\f(x)>0\end{array} \right.$ .

+ $\sqrt{A}$ xác định $\Leftrightarrow A\ge 0$ .

+ $\frac{A}{B}$ xác định $\Leftrightarrow B\ne 0$ .

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1.1: Tập xác định của hàm số $f(x)={{(\frac{4x-3{{x}^{2}}}{2{{x}^{2}}+3x+1})}^{-\frac{2}{3}}}$ là

A. $\displaystyle \text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;-\frac{1}{2}\text{ }\!\!]\!\!\text{ }\cup \text{ }\!\![\!\!\text{ }0;\frac{4}{3}\text{ }\!\!]\!\!\text{ }$ . B. $(-\infty ;-1)\cup (-\frac{1}{2};0)\cup (\frac{4}{3};+\infty )$ .

C. $(-1;-\frac{1}{2})\cup (0;\frac{4}{3})$ . D. $(-1;\frac{4}{3})$ .

Lời giải:

Hàm số xác định $\Leftrightarrow \frac{4x-3{{x}^{2}}}{2{{x}^{2}}+3x+1}>0\Leftrightarrow x\in (-1;-\frac{1}{2})\cup (0;\frac{4}{3})$ .

Chọn C.

Ví dụ 1.2: Tập xác định của hàm số $f(x)={{({{x}^{2}}-3x+2)}^{-3}}-2\sqrt{x}$ là

A. $(0;+\infty )\backslash \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }1;2\}$ . B. $\displaystyle \text{ }\!\![\!\!\text{ }0;+\infty )$ .

C. $\displaystyle \text{ }\!\![\!\!\text{ }0;+\infty )\backslash \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }1;2\}$ . D. $\displaystyle \text{ }\!\![\!\!\text{ }0;+\infty )\backslash \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }1\}$ .

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}-3x+2\ne 0\\x\ge 0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\ne 2\\x\ne 1\\x\ge 0\end{array} \right.$

Vậy tập xác định của hàm số là $D=\text{ }\!\![\!\!\text{ }0;+\infty )\backslash \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }1;2\}$ .

Chọn C.

Ví dụ 1.3: Tìm x để hàm số $y=\log \sqrt{{{x}^{2}}+x-12}$ xác định.

A. $x\in (-\infty ;-4)\cup (3;+\infty )$ . B. $x\in (-4;3)$ .

C. $\left\{ \begin{array}{l}x\ne -4\\x\ne 3\end{array} \right.$ . D. $x\in \mathbb{R}$ .

Lời giải:

Hàm số xác định $\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x-12>0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x>3\\x<-4\end{array} \right.$ .

Chọn A.

Ví dụ 1.4: Tập xác định của hàm số $y=\frac{1}{\sqrt{2-x}}+\ln (x-1)$ là

A. $D=(1;2)$ . B. $D=(1;+\infty )$ . C. $D=(0;+\infty )$ . D. $D=\text{ }\!\![\!\!\text{ }1;2]$ .

Lời giải:

Hàm số xác định $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2-x>0\\x-1>0\end{array} \right.\Leftrightarrow 1<x<2$ .

Chọn A.

Ví dụ 1.5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y=\ln ({{x}^{2}}-2mx+4)$ có tập xác định $D=\mathbb{R}$ ?

A. $-2<m<2$ . B. $\left[ \begin{array}{l}m>2\\m<-2\end{array} \right.$ . C. $m>-2$ . D. $-2\le m\le 2$ .

Lời giải:

Hàm số có tập xác định là $\mathbb{R}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2mx+4>0,\,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \Delta '={{m}^{2}}-4<0\Leftrightarrow -2<m<2$ .

Chọn đáp án A.

Ví dụ 1.6: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y=\frac{1}{\sqrt{2mx+1-x}}+{{\log }_{3}}\sqrt{x-m}$ xác định trên $(2;3)$ .

A. $1\le m\le 2$ . B. $1<m\le 2$ . C. $-1<m<2$ . D. $-1\le m\le 2$ .

Lời giải:

Hàm số xác định $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m+1-x>0\\x-m>0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x<2m+1\\x>m\end{array} \right.$

Suy ra tập xác định của hàm số là $D=(m;2m+1)$ với $m\ge -1$ .

Hàm số xác định trên $(2;3)$ suy ra $(2;3)\subset D\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m\le 2\\m\ge 1\end{array} \right.$ .

Chọn đáp án A.

Dạng 2. Tính đạo hàm – Sự biến thiên – Min, max

A. Phương pháp

- Bảng đạo hàm của các hàm số sơ cấp thường gặp:

- Hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên $K\Leftrightarrow y'\ge 0,\forall x\in K$ .

- Hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên $K\Leftrightarrow y'\le 0,\forall x\in K$ .

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 2.1: Tính đạo hàm các hàm số sau :

a) $y=\left( {{x}^{2}}-2x+2 \right){{e}^{x}}$ b) $y=\frac{{{e}^{x}}-{{e}^{-x}}}{{{e}^{x}}+{{e}^{-x}}}$

c) $y=\ln \left( {{x}^{2}}+1 \right)$ d) $y=\frac{\ln x}{x}$

e) $y=\left( 1+\ln x \right)\ln x$

Lời giải:

a) $y=\left( {{x}^{2}}-2x+2 \right){{e}^{x}}\Rightarrow y'=\left( 2x-2 \right){{e}^{x}}+\left( {{x}^{2}}-2x+2 \right){{e}^{x}}=\left( {{x}^{2}} \right){{e}^{x}}$

b) $y=\frac{{{e}^{x}}-{{e}^{-x}}}{{{e}^{x}}+{{e}^{-x}}}\Rightarrow y'=\frac{\left( {{e}^{x}}+{{e}^{-x}} \right)\left( {{e}^{x}}+{{e}^{-x}} \right)-\left( {{e}^{x}}-{{e}^{-x}} \right)\left( {{e}^{x}}-{{e}^{-x}} \right)}{{{\left( {{e}^{x}}+{{e}^{-x}} \right)}^{2}}}=\frac{4}{{{\left( {{e}^{x}}+{{e}^{-x}} \right)}^{2}}}$

c) $y=\ln \left( {{x}^{2}}+1 \right)\Rightarrow y'=\frac{2x}{{{x}^{2}}+1}$

d/ $y=\frac{\ln x}{x}\Rightarrow y'=\frac{1}{{{x}^{2}}}\left( \frac{1}{x}.x-\ln x \right)=\frac{1-\ln x}{{{x}^{2}}}$

e) $y=\left( 1+\ln x \right)\ln x\Rightarrow y'=\frac{\ln x}{x}+\frac{1+\ln x}{x}=\frac{1+2\ln x}{x}$

Ví dụ 2.2: Tính đạo hàm các hàm số sau :

a. $y={{x}^{2}}\ln \left( \sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)$ b. ${{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)$ c. $y=\sqrt[3]{{{\ln }^{2}}x}$

d. $y={{\log }_{2}}\left( \frac{x-4}{x+4} \right)$ e. $y={{\log }_{3}}\left( \frac{{{x}^{2}}-9}{x+5} \right)$ f. $y=\log \left( \frac{1-\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} \right)$

Lời giải:

a) $y={{x}^{2}}\ln \left( \sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)\Rightarrow y'=2x.\ln \left( \sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)+\frac{{{x}^{2}}x}{2\left( {{x}^{2}}+1 \right)}=2x.\ln \left( \sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)+\frac{{{x}^{3}}}{2\left( {{x}^{2}}+1 \right)}$ .

b) $y={{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)\Rightarrow y'=\frac{2x-1}{\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)\ln 2}$ .

c) $y=\sqrt[3]{{{\ln }^{2}}x}\Rightarrow y'=\left[ {{\left( \ln x \right)}^{\frac{2}{3}}} \right]'=\frac{2}{3}{{\left( \ln x \right)}^{-\frac{1}{3}}}\frac{1}{x}=\frac{2}{3x\sqrt[3]{\ln x}}$ .

d) $y={{\log }_{2}}\left( \frac{x-4}{x+4} \right)\Rightarrow y'=\frac{1}{\ln 2}\left( \frac{16}{{{\left( x+4 \right)}^{2}}}:\frac{x-4}{x+4} \right)=\frac{16}{\left( {{x}^{2}}-4 \right)\ln 2}$

e) $y={{\log }_{3}}\left( \frac{{{x}^{2}}-9}{x+5} \right)\Rightarrow y'=\frac{1}{\ln 3}\left[ \frac{2x\left( x+5 \right)-{{x}^{2}}+9}{{{\left( x+5 \right)}^{2}}}:\frac{{{x}^{2}}-9}{x+5} \right]=\frac{{{x}^{2}}+10x+9}{\left( x+5 \right)\left( {{x}^{2}}-9 \right)\ln 3}$

f) $y=\log \left( \frac{1-\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} \right)\Rightarrow y'=\frac{1}{\ln 10}\left[ \frac{\left( \sqrt{x}+1 \right)}{16x\sqrt{x}}:\frac{1-\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} \right]=\frac{\left( \sqrt{x}+1 \right)}{8x\ln 10\left( 1-\sqrt{x} \right)}$

Ví dụ 2.3 (THPT Chuyên Lê Quý Đôn – Lai Châu 2017 Lần 3) Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên tập xác định của nó?

A. $y={{e}^{3-5x}}$ . B. $y={{\left( \frac{1}{2} \right)}^{{{\log }_{\frac{1}{2}}}x}}$ . C. $y={{\left( \frac{1}{3} \right)}^{x}}$ . D. ${{2}^{{{\log }_{2}}(1-2x)}}$ .

Lời giải:

Ta có:

$y'=-5.{{e}^{3-5x}}\,<0\Rightarrow y={{e}^{3-5x}}$ là hàm số nghịch biến trên tập xác định.

$y={{\left( \frac{1}{2} \right)}^{{{\log }_{\frac{1}{2}}}x}}=x$ là hàm số đồng biến trên tập xác định.

$y'={{\left( \frac{1}{3} \right)}^{x}}.\ln \frac{1}{3}<0\Rightarrow y={{\left( \frac{1}{3} \right)}^{x}}$ là hàm số nghịch biến trên tập xác định.

${{2}^{{{\log }_{2}}(1-2x)}}=1-2x$ là hàm số nghịch biến trên tập xác định.

Vậy chọn đáp án B.

Ví dụ 2.4 (THPT Ngô Sĩ Liên – Bắc Giang 2017 HK2) Gọi $m,M$ là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số $f(x)={{e}^{2-3x}}$ trên $\displaystyle \text{ }\!\![\!\!\text{ }0;2]$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $M-m=e$ . B. $m+M=1$ . C. $m.M=\frac{1}{{{e}^{2}}}$ . D. $\frac{M}{m}={{e}^{2}}$ .

Lời giải:

Do $f(x)={{e}^{2-3x}}$ là hàm nghịch biến trên $\displaystyle \text{ }\!\![\!\!\text{ }0;2]$ nên $M=f(0)={{e}^{2}},\,\,m=f(2)={{e}^{-4}}$ .

Chọn đáp án C.

Ví dụ 2.5 (Sở GD Đà Nẵng 2017) Cho hàm số $y=\ln x-\frac{1}{2}{{x}^{2}}+1$ . Tìm giá trị lớn nhất $M$ của hàm số trên $\left[ \frac{1}{2};2 \right]$ .

A. $M=\ln 2-1$ . B. $M=\frac{7}{8}-\ln 2$ .

C. $M=\frac{7}{8}+\ln 2$ . D. $M=\frac{1}{2}$ .

Lời giải:

Ta có $y'=\frac{1}{x}-x=0\Leftrightarrow x=\pm 1$ .

$y\left( \frac{1}{2} \right)=\frac{7}{8}-\ln 2,\,\,y(2)=\ln 2-1,\,\,y(1)=\frac{1}{2}$ . Chọn D.

Ví dụ 2.6 (THPT Thạch Thành 1 – Thanh Hóa 2017) Tìm tập hợp các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y=\ln ({{x}^{2}}+1)+mx+1$ đồng biến trên $(-\infty ;+\infty )$ .

A. $\displaystyle \text{ }\!\![\!\!\text{ }1;+\infty )$ . B. $(1;+\infty )$ . C. $\displaystyle \text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;1]$ . D. $(-\infty ;-1]$ .

Lời giải:

Ta có $y'=\frac{2x}{{{x}^{2}}+1}+m=\frac{m{{x}^{2}}+2x+m}{{{x}^{2}}+1}$ .

Hàm số đồng biến trên $(-\infty ;+\infty )$ khi và chỉ khi

$y'\ge 0,\,\forall x\Leftrightarrow m{{x}^{2}}+2x+m\ge 0,\,\forall x\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m>0\\\Delta '=1-{{m}^{2}}\le 0\end{array} \right.\Leftrightarrow m\ge 1$ . Chọn A.

Ví dụ 2.7: Xét các số thực $a$ , $b$ thỏa mãn $a>b>1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất ${{P}_{\min }}$ của biểu thức $P=\log _{\frac{a}{b}}^{2}\left( {{a}^{2}} \right)+3{{\log }_{b}}\left( \frac{a}{b} \right)$ .

A. ${{P}_{\min }}=19$ . B. ${{P}_{\min }}=13$ . C. ${{P}_{\min }}=14$ . D. ${{P}_{\min }}=15$ .

Lời giải:

Với điều kiện đề bài, ta có

$P=\log _{\frac{a}{b}}^{2}\left( {{a}^{2}} \right)+3{{\log }_{b}}\left( \frac{a}{b} \right)={{\left[ 2{{\log }_{\frac{a}{b}}}a \right]}^{2}}+3{{\log }_{b}}\left( \frac{a}{b} \right)=4{{\left[ {{\log }_{\frac{a}{b}}}\left( \frac{a}{b}.b \right) \right]}^{2}}+3{{\log }_{b}}\left( \frac{a}{b} \right)$

$=4{{\left[ 1+{{\log }_{\frac{a}{b}}}b \right]}^{2}}+3{{\log }_{b}}\left( \frac{a}{b} \right).$

Đặt $t={{\log }_{\frac{a}{b}}}b>0$ (vì $a>b>1$ ), ta có $P=4{{\left( 1+t \right)}^{2}}+\frac{3}{t}=4{{t}^{2}}+8t+\frac{3}{t}+4=f\left( t \right)$ .

Ta có ${f}'(t)=8t+8-\frac{3}{{{t}^{2}}}=\frac{8{{t}^{3}}+8{{t}^{2}}-3}{{{t}^{2}}}=\frac{\left( 2t-1 \right)\left( 4{{t}^{2}}+6t+3 \right)}{{{t}^{2}}}$

Vậy ${f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=\frac{1}{2}$ . Khảo sát hàm số, ta có ${{P}_{\min }}=f\left( \frac{1}{2} \right)=15$ . Chọn D.

Dạng 3. Đồ thị của hàm số mũ và hàm số logarit

Ví dụ 3.1: Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A. $y={{\log }_{0,5}}x$ .

B. $y={{\log }_{2}}x$ .

C. $y=-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}$ .

D. $y=-3x+1$ .

Lời giải:

Nhận thấy đây là đồ thị của hàm số logarit $y={{\log }_{a}}x$ nên loại đáp án C, D.

Điểm $A(2;-1)$ thuộc đồ thị hàm số nên:

$-1={{\log }_{a}}2\Rightarrow {{a}^{-1}}=2\Rightarrow a=0,5$ .

Ví dụ 3.2: Tìm $a$ để hàm số $y={{\log }_{a}}x\,\,(0<a\ne 1)$ có đồ thị là hình bên dưới:

A. $a=\sqrt{2}$ .

B. $a=2$ .

C. $a=\frac{1}{2}$ .

D. $a=\frac{1}{\sqrt{2}}$ .

Lời giải:

Đồ thị hàm số đi qua $A(2;2)\Rightarrow 2={{\log }_{a}}2\Rightarrow a=\sqrt{2}$ . Chọn A.

Ví dụ 3.3: Biết hàm số $y={{2}^{x}}$ có đồ thị như hình bên.

Khi đó, hàm số $y={{2}^{|x|}}$ có đồ thị là hình nào trong bốn hình được liệt kê ở bốn đáp án dưới đây?

Lời giải:

Đồ thị hàm số $y={{2}^{|x|}}$ là hàm số chẵn nên nhận Oy làm trục đối xứng.

Vậy chọn đáp án A.

Ví dụ 3.4: Tìm tất cả các giá trị thực của $a$ để hàm số $y={{\log }_{a}}x\,\,\,(0<a\ne 1)$ có đồ thị là hình bên.

A. $a=\frac{1}{2}$ .

B. $a=1+\sqrt{2}$ .

C. $a=\sqrt{2}$ .

D. $a=\frac{1}{\sqrt{2}}$ .

Lời giải:

Dựa vào đồ thị thì hàm đã cho đồng biến nên loại A và D.

– Đồ thị đã cho qua điểm $(2;2)$ nên chọn đáp án C.

Ví dụ 3.5: Đồ thị hàm số $y=|{{\log }_{2}}(2x)|$ là hình nào trong bốn hình được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây:

Lời giải:

Đồ thị hàm số $y=|{{\log }_{2}}(2x)|$ không có phần nằm dưới trục hoành nên loại đáp án C.

Hàm số $y=|{{\log }_{2}}(2x)|$ xác định với mọi $x>0$ nên đồ thị hàm số $y=|{{\log }_{2}}(2x)|$ không cắt trục Oy.

Vậy chọn đáp án A.

Ví dụ 3.6: Hình bên là đồ thị của ba hàm số $y={{a}^{x}},\,y={{b}^{x}},y={{c}^{x}}\,(0<a,b,c\ne 1)$ được vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ.

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. $a>b>c$ .

B. $b>a>c$ .

C. $b>c>a$ .

D. $a>c>b$ .

Lời giải:

Do $y={{\log }_{a}}x$ và $y={{\log }_{b}}x$ là hai hàm đồng biến nên $a,b>1$ .

Do $y={{\log }_{c}}x$ nghịch biến nên $c<1$ . Vậy $c$ bé nhất.

Mặt khác, lấy $y=m$ , khi đó tồn tại ${{x}_{1}},{{x}_{2}}>0$ để $\left\{ \begin{array}{l}{{\log }_{a}}{{x}_{1}}=m\\{{\log }_{b}}{{x}_{2}}=m\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{a}^{m}}={{x}_{1}}\\{{b}^{m}}={{x}_{2}}\end{array} \right.$ .

Dễ thấy ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}\Rightarrow {{a}^{m}}<{{b}^{m}}\Rightarrow a<b$ .

Vậy $b>a>c$ . Chọn B.

Dạng 4. Lãi suất ngân hàng

A. Phương pháp

* Lãi đơn:

Số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên tiền lãi do số tiền gốc sinh ra.

Công thức tính lãi đơn: $T=M(1+r.n)$ .

Trong đó:

$T$ : Số tiền cả vốn lẫn lãi sau $n$ kì hạn.

$M$ : Tiền gửi ban đầu.

$n$ : Số kỳ hạn tính lãi.

$r:$ Lãi suất định kì, tính theo %.

* Lãi kép:

Là số tiền lãi không chỉ tính trên số tiền gốc mà còn tính trên số tiền lãi do tiền gốc đó sinh ra thay đổi theo từng định kì.

- Lãi kép gửi một lần: $T=M{{(1+r)}^{n}}$

Trong đó:

$T$ : Số tiền cả vốn lẫn lãi sau $n$ kì hạn.

$M$ : Tiền gửi ban đầu.

$n$ : Số kỳ hạn tính lãi.

$r:$ Lãi suất định kì, tính theo %.

- Lãi kép gửi định kì

Trường hợp 1: Tiền được gửi vào cuối mỗi tháng.

Cuối tháng thứ nhất cũng là lúc người đó bắt đầu gửi tiền: ${{T}_{1}}=M$ .

Cuối tháng thứ hai, người đó có số tiền là:

$M(1+r)+M=M\left[ (1+r)+1 \right]=\frac{M}{\left[ (1+r)-1 \right]}\left[ {{(1+r)}^{2}}-1 \right]=\frac{M}{r}\left[ {{(1+r)}^{2}}-1 \right]$

Cuối tháng thứ ba: $\frac{M}{r}\left[ {{(1+r)}^{2}}-1 \right](1+r)+\frac{M}{r}.r=\frac{M}{r}\left[ {{(1+r)}^{2}}-1 \right]$ .

Cuối tháng thứ n, người đó có số tiền là: ${{T}_{n}}=\frac{M}{r}\left[ {{(1+r)}^{n}}-1 \right]$ .

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 2.1: Bác Hiếu đầu tư 99 triệu đồng vào một công ti theo thể thức lãi kép với lãi suất $8,25%$ một năm. Hỏi sau 5 năm mới rút tiền lãi thì bác Hiếu thu được bao nhiêu tiền lãi ? (Giả sử rằng lãi suất hàng năm không đổi).

A. $\displaystyle 48,155$ triệu đồng. B. $147,155$ triệu đồng.

C. $58,004$ triệu đồng. D. $8,7$ triệu đồng.

Lời giải:

Sau 5 năm bác Hiếu thu được số tiền lãi là $99[{{(1+\frac{8,25}{100})}^{5}}-1]=48,155$ triệu đồng.

Chọn A.

Ví dụ 2.2: Cô Mai gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn 3 tháng với lãi suất $5,28%$ một quý. Hỏi sau 8 năm cô Mai thu được bao nhiêu tiền (cả vốn lẫn lãi)? (Giả sử rằng lãi suất hàng quý không đổi).

A. $318,355$ triệu đồng. B. $518,881$ triệu đồng.

C. $259,44$ triệu đồng. D. $9,8$ triệu đồng.

Lời giải:

Một kì là 3 tháng, suy ra 8 năm là $\frac{8.12}{3}=32$ kì.

Sau 8 năm cô Mai thu được số tiền là $100{{(1+\frac{5,28}{100})}^{32}}=518,881$ triệu đồng.

Chọn B.

Ví dụ 2.3: Một nguời gửi tiết kiệm với lãi suất 8,4% năm và lãi hàng năm đuợc nhập vào vốn, hỏi sau bao nhiêu năm ngưòi đó thu đuợc gấp đôi số tiền ban đầu?

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

Lời giải:

Gọi số tiền ban đầu là T số tiền (cả gốc lẫn lãi) sau n năm là $T.{{(1+0,084)}^{n}}$ (công thức lãi kép)

$T.{{(1+0,084)}^{n}}=2T\Leftrightarrow n={{\log }_{1+0,084}}2$ . Đáp án D.

Ví dụ 2.4 (Đề minh họa năm 2017) Ông A vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu đồng, với lãi suất $12%$ trên năm. Ông muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách sau: sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ống bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau và trả hết tiền nợ sau đúng ba tháng kể từ ngày vay. Hỏi, theo cách đó, số tiền $m$ mà ông A phải trả cho ngân hàng là bao nhiêu ? Biết rằng, lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian ông A hoàn nợ.

A. $m=\frac{100.{{(1,01)}^{3}}}{3}$ B. $m=\frac{{{(1,01)}^{3}}}{{{(1,01)}^{3}}-1}$

C. $m=\frac{100.1,03}{3}$ D. $m=\frac{120.{{(1,12)}^{3}}}{{{(1,12)}^{3}}-1}$

Lời giải:

Lãi suất $12%$ một năm tương ứng $1%$ một tháng nên $r=0,01$ .

Sau một tháng ông A hoàn nợ 1 lần, các lần hoàn nợ tiếp theo sau đó một tháng. Ông A trả hết nợ sau 3 tháng, tức là ông A hoàn nợ 3 lần.

Gọi $m$ (đồng) là số tiền ông A hoàn nợ mỗi tháng.

Cuối tháng thứ nhất, ông A nợ $100(1+1%)$ (triệu đồng).

Đã trả hết $m$ đồng nên còn nợ $100(1+1%)-m$ (triệu đồng).

Cuối tháng thứ hai ông A còn nợ: $\displaystyle \text{ }\!\![\!\!\text{ }100(1+1%)-m\text{ }\!\!]\!\!\text{ }(1+1%)-m=100{{(1+1%)}^{2}}-m(1+1%)$ .

Cuối tháng thứ ba ông A còn nợ: $[100 (1 + 1 %)^{2} - m (1 + 1 %) - m] (1 + 1 %) - m = 100 (1 + 1 %)^{3} - m (1 + 1 %)^{2} - m = 100 (1 + 1 %)^{3} - m \frac{(1 + 1 %)^{3}}{1 %}$