Phép toán về Logarit

LOGARIT

A. Lý thuyết cơ bản

1. Định nghĩa

Cho hai số dương $a,\,b\,\,(a\ne 1)$ . Số $\alpha$ thỏa mãn đẳng thức ${{a}^{\alpha }}=b$ được gọi là logarit cơ số a của b, kí hiệu là ${{\log }_{a}}b$ .

$\alpha ={{\log }_{a}}b\Leftrightarrow {{a}^{\alpha }}=b.$

2. Tính chất

Cho hai số dương $a,\,b\,\,(a\ne 1)$ . Ta có các tính chất sau đây:

$\begin{array}{l}{{\log }_{a}}1=0,\,\,\,{{\log }_{a}}a=1,\\{{a}^{{{\log }_{a}}b}}=b,\,\,\,\,{{\log }_{a}}({{a}^{\alpha }})=\alpha .\end{array}$

3. Các quy tắc tính logarit:

Cho ba số dương $a,\,b,\,c$ với $a\ne 1$ , ta có:

* Logarit của một tích:

${{\log }_{a}}(bc)={{\log }_{a}}b+{{\log }_{a}}c$

* Logarit của một thương:

${{\log }_{a}}\frac{b}{c}={{\log }_{a}}b-{{\log }_{a}}c$

* Logarit của một lũy thừa:

${{\log }_{a}}{{b}^{\alpha }}=\alpha {{\log }_{a}}b;\,\,\,{{\log }_{a}}\sqrt[n]{b}=\frac{1}{n}{{\log }_{a}}b$ với mọi $\alpha ,\,n$ .

*Đổi cơ số:

${{\log }_{a}}b=\frac{{{\log }_{c}}b}{{{\log }_{c}}a}$ với $c\ne 1$

${{\log }_{a}}b=\frac{1}{{{\log }_{b}}a}\,\,\,\,\,\,(b\ne 1)$

${{\log }_{{{a}^{\alpha }}}}b=\frac{1}{\alpha }{{\log }_{a}}b\,\,\,\,\,(\alpha \ne 0)$

4. Logarit thập phân – Logarit tự nhiên

- Logarit thập phân: là logarit cơ số 10. Kí hiệu: $\log b$ hoặc $\lg b$ .

- Logarit tự nhiên: là logarit cơ số e. Kí hiệu: $\ln b$ .

B. Bài tập

Dạng 1. Tính toán, rút gọn biểu thức có chứa logarit

Ví dụ 1.1: Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $A={{\log }_{9}}15+{{\log }_{9}}18-{{\log }_{9}}10$ . b) $B=2{{\log }_{\frac{1}{3}}}6-\frac{1}{2}{{\log }_{\frac{1}{3}}}400+3{{\log }_{\frac{1}{3}}}\sqrt[3]{45}$ .

c) $C={{\log }_{36}}2-\frac{1}{2}{{\log }_{\frac{1}{6}}}3$ . d) $D={{\log }_{\frac{1}{4}}}\left( {{\log }_{3}}4.{{\log }_{2}}3 \right)$ .

Lời giải:

a) $A={{\log }_{9}}15+{{\log }_{9}}18-{{\log }_{9}}10={{\log }_{9}}\frac{15.18}{10}={{\log }_{9}}{{3}^{3}}=\frac{1}{2}{{\log }_{3}}{{3}^{3}}=\frac{3}{2}$

b) $B=2{{\log }_{\frac{1}{3}}}6-\frac{1}{2}{{\log }_{\frac{1}{3}}}400+3{{\log }_{\frac{1}{3}}}\sqrt[3]{45}={{\log }_{\frac{1}{3}}}\left( \frac{36.45}{20} \right)={{\log }_{\frac{1}{3}}}{{9}^{2}}=-{{\log }_{3}}{{3}^{4}}=-4$

c) $C={{\log }_{36}}2-\frac{1}{2}{{\log }_{\frac{1}{6}}}3=\frac{1}{2}{{\log }_{6}}2+\frac{1}{2}{{\log }_{6}}3=\frac{1}{2}{{\log }_{6}}2.3=\frac{1}{2}$

d) $D={{\log }_{\frac{1}{4}}}\left( {{\log }_{3}}4.{{\log }_{2}}3 \right)=-{{\log }_{4}}\left( {{\log }_{2}}3.{{\log }_{3}}4 \right)=-{{\log }_{4}}\left( {{\log }_{2}}4 \right)$ $=-\frac{1}{2}{{\log }_{2}}2=-\frac{1}{2}$

Ví dụ 1.2: Hãy tính:

a) $A={{\log }_{2}}\left( 2\sin \frac{\pi }{12} \right)+{{\log }_{2}}c\text{os}\frac{\pi }{12}$ . b) $B={{\log }_{4}}\left( \sqrt[3]{7}-\sqrt[3]{3} \right)+{{\log }_{4}}\left( \sqrt[3]{49}+\sqrt[3]{21}+\sqrt[3]{9} \right)$ .

c) ${{\log }_{10}}\tan 4+{{\log }_{10}}\cot 4$ . d) D $={{\log }_{4}}x=\frac{1}{3}{{\log }_{4}}216-2{{\log }_{4}}10+4{{\log }_{4}}3$ .

Lời giải:

a) $A={{\log }_{2}}\left( 2\sin \frac{\pi }{12} \right)+{{\log }_{2}}c\text{os}\frac{\pi }{12}={{\log }_{2}}\left( 2\sin \frac{\pi }{12}.c\text{os}\frac{\pi }{12} \right)$ $={{\log }_{2}}\left[ \sin \frac{\pi }{6} \right]={{\log }_{2}}\frac{1}{2}=-1$ .

b) $B={{\log }_{4}}\left( \sqrt[3]{7}-\sqrt[3]{3} \right)+{{\log }_{4}}\left( \sqrt[3]{49}+\sqrt[3]{21}+\sqrt[3]{9} \right)$

$={{\log }_{4}}\left[ \left( \sqrt[3]{7}-\sqrt[3]{3} \right)\left( \sqrt[3]{49}+\sqrt[3]{21}+\sqrt[3]{9} \right) \right]={{\log }_{4}}\left( 7-3 \right)=1$ .

c) C = ${{\log }_{10}}\tan 4+{{\log }_{10}}\cot 4=\log \left( \tan 4.\cot 4 \right)=\log 1=0$

d/ ${{\log }_{4}}x=\frac{1}{3}{{\log }_{4}}216-2{{\log }_{4}}10+4{{\log }_{4}}3=\frac{1}{3}{{\log }_{4}}{{6}^{3}}-{{\log }_{4}}{{10}^{2}}+{{\log }_{4}}{{3}^{4}}$ $={{\log }_{4}}\frac{{{6.3}^{4}}}{{{10}^{2}}}\Rightarrow x=\frac{{{3}^{5}}}{50}$

Ví dụ 1.3: Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $\displaystyle {{\log }_{5}}\underset{n\text{ }c\mathsf{\breve{a}}n}{\mathop{({{\log }_{5}}\sqrt[5]{\sqrt[5]{\sqrt[5]{...\sqrt[5]{5}}}})}}\,$ . b) ${{\log }_{3}}2.{{\log }_{4}}3.{{\log }_{5}}4.{{\log }_{6}}5.{{\log }_{7}}6.{{\log }_{8}}7$ .

Lời giải:

a) Ta có $\displaystyle {{\log }_{5}}\underset{n\text{ }c\mathsf{\breve{a}}n}{\mathop{({{\log }_{5}}\sqrt[5]{\sqrt[5]{\sqrt[5]{...\sqrt[5]{5}}}})}}\,={{\log }_{5}}({{\log }_{5}}{{5}^{{{(\frac{1}{5})}^{n}}}})={{\log }_{5}}{{(\frac{1}{5})}^{n}}={{(\frac{1}{5})}^{n}}$ .

b) $B=({{\log }_{8}}7.{{\log }_{7}}6).{{\log }_{6}}5.{{\log }_{5}}4.{{\log }_{4}}3.{{\log }_{3}}2=({{\log }_{8}}6.{{\log }_{6}}5).{{\log }_{5}}4.{{\log }_{4}}3.{{\log }_{3}}2$

$=({{\log }_{8}}5.{{\log }_{5}}4).{{\log }_{4}}3.{{\log }_{3}}2={{\log }_{8}}4.{{\log }_{4}}3.{{\log }_{3}}2={{\log }_{8}}3.{{\log }_{3}}2$ $={{\log }_{8}}2={{\log }_{{{2}^{3}}}}2=\frac{1}{3}$ .

Ví dụ 1.4 (Đề minh họa 2017 Lần 2) Với các số thực dương $a,b$ bất kì. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. ${{\log }_{2}}(\frac{2{{a}^{3}}}{b})=1+3{{\log }_{2}}a-{{\log }_{2}}b$ . B. ${{\log }_{2}}(\frac{2{{a}^{3}}}{b})=1+\frac{1}{3}{{\log }_{2}}a-{{\log }_{2}}b$ .

C. ${{\log }_{2}}(\frac{2{{a}^{3}}}{b})=1+3{{\log }_{2}}a+{{\log }_{2}}b$ . D. ${{\log }_{2}}(\frac{2{{a}^{3}}}{b})=1+\frac{1}{3}{{\log }_{2}}a+{{\log }_{2}}b$ .

Lời giải:

Ta có ${{\log }_{2}}(\frac{2{{a}^{3}}}{b})={{\log }_{2}}2+{{\log }_{2}}{{a}^{3}}-{{\log }_{2}}b=1+3{{\log }_{2}}a-{{\log }_{2}}b$ .

Chọn A.

Ví dụ 1.5: Giá trị của ${{9}^{2{{\log }_{81}}2+4{{\log }_{3}}2}}$ là

A. 2

B. ${{2}^{3}}$

C. ${{2}^{6}}$

D. ${{2}^{9}}$

Lời giải:

Ta có ${{9}^{2{{\log }_{81}}2+4{{\log }_{3}}2}}={{9}^{2{{\log }_{9}}2+8{{\log }_{9}}2}}={{({{9}^{{{\log }_{9}}2}})}^{9}}={{2}^{9}}$ .

Chọn D.

Ví dụ 1.6 (Chuyên Thái Bình – 2017) Tính giá trị của $T={{\log }_{4}}({{2}^{-2016}}{{.2}^{16}}.\sqrt{2})$

A. $-\frac{3999}{4}$ . B. $-2016$ . C. $\frac{-3999}{2}$ . D. Không xác định.

Lời giải:

$\begin{array}{l}T={{\log }_{4}}({{2}^{-2016}}{{.2}^{16}}.\sqrt{2})={{\log }_{{{2}^{2}}}}({{2}^{-2016}}{{.2}^{16}}.\sqrt{2})=\frac{1}{2}{{\log }_{2}}({{2}^{-2016}}{{.2}^{16}}.\sqrt{2})\\=\frac{1}{2}({{\log }_{2}}{{2}^{-2016}}+{{\log }_{2}}{{2}^{16}}+{{\log }_{2}}\sqrt{2})=\frac{1}{2}(-2016+16+\frac{1}{2})=-\frac{3999}{4}\end{array}$

Chọn A.

Ví dụ 1.7: Cho $a,b>0$ thỏa mãn ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=14ab$ . Khẳng định nào sai ?

A. $2{{\log }_{2}}(a+b)=4+{{\log }_{2}}a+{{\log }_{2}}b$ . B. $\ln \frac{a+b}{4}=\frac{\ln a+\ln b}{2}$ .

C. $2\log \frac{a+b}{4}=\log a+\log b$ . D. $2{{\log }_{4}}(a+b)=4+{{\log }_{4}}a+{{\log }_{4}}b$ .

Lời giải:

Ta có ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=14ab\Leftrightarrow {{(a+b)}^{2}}=16ab$ (*)

Lấy logarit cơ số 2 hai vế của (*) ta được:

$\begin{array}{l}{{\log }_{2}}{{(a+b)}^{2}}={{\log }_{2}}16ab\Leftrightarrow 2{{\log }_{2}}(a+b)={{\log }_{2}}16+{{\log }_{2}}a+{{\log }_{2}}b\\\Leftrightarrow 2{{\log }_{2}}(a+b)=4+{{\log }_{2}}a+{{\log }_{2}}b\end{array}$

Vậy A đúng.

Ta có $\ln \frac{a+b}{4}=\frac{\ln a+\ln b}{2}\Leftrightarrow 2\ln \frac{a+b}{4}=\ln (ab)\Leftrightarrow {{(a+b)}^{2}}=16ab$ . Vậy B đúng.

Ta có $2\log \frac{a+b}{4}=\log a+\log b\Leftrightarrow \log {{(\frac{a+b}{4})}^{2}}=\log (ab)\Leftrightarrow {{(a+b)}^{2}}=16ab$ . Vậy C đúng.

Lấy logarit cơ số 4 hai vế của (*) ta được:

$\begin{array}{l}{{\log }_{4}}{{(a+b)}^{2}}={{\log }_{4}}16ab\Leftrightarrow 2{{\log }_{4}}(a+b)={{\log }_{4}}16+{{\log }_{4}}a+{{\log }_{4}}b\\\Leftrightarrow 2{{\log }_{4}}(a+b)=2+{{\log }_{4}}a+{{\log }_{4}}b\end{array}$

Vậy D sai.

Chọn đáp án D.

Ví dụ 1.8 (Chuyên Thái Bình – 2017)

Cho $a,b$ là các số hữu tỉ thỏa mãn ${{\log }_{2}}\sqrt[6]{360}=\frac{1}{2}+a.{{\log }_{2}}3+b.{{\log }_{2}}5$ . Tính $a+b$ .

A. $a+b=5$ .

B. $a+b=0$ .

C. $a+b=\frac{1}{2}$ .

D. $a+b=2$ .

Lời giải:

Ta có ${{\log }_{2}}\sqrt[6]{360}={{\log }_{2}}\sqrt[6]{{{5.2}^{3}}{{.3}^{2}}}=\frac{1}{6}{{\log }_{2}}5+\frac{1}{6}{{\log }_{2}}{{2}^{3}}+\frac{1}{6}{{\log }_{2}}{{3}^{2}}=\frac{1}{6}{{\log }_{2}}5+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}{{\log }_{2}}3$ .

Do đó $a=\frac{1}{3},b=\frac{1}{6}\Rightarrow a+b=\frac{1}{2}$ .

Chọn C.

Ví dụ 1.9 (THPT Đào Duy Từ). Giá trị của biểu thức $P=\frac{{{25}^{{{\log }_{5}}6}}+{{49}^{{{\log }_{7}}8}}-3}{{{3}^{1+{{\log }_{9}}4}}+{{4}^{2-{{\log }_{2}}3}}+{{5}^{{{\log }_{125}}27}}}$ là

A. 10.

B. 9.

C. 8.

D. 12.

Lời giải:

Ta có $P=\frac{{{25}^{{{\log }_{5}}6}}+{{49}^{{{\log }_{7}}8}}-3}{{{3}^{1+{{\log }_{9}}4}}+{{4}^{2-{{\log }_{2}}3}}+{{5}^{{{\log }_{125}}27}}}=\frac{{{({{5}^{2}})}^{{{\log }_{5}}6}}+{{({{7}^{2}})}^{{{\log }_{7}}8}}-3}{{{3.3}^{{{\log }_{{{3}^{2}}}}{{2}^{2}}}}+\frac{{{4}^{2}}}{{{2}^{2{{\log }_{2}}3}}}+{{5}^{{{\log }_{{{5}^{3}}}}{{3}^{3}}}}}$

$=\frac{{{({{5}^{{{\log }_{5}}6}})}^{2}}+{{({{7}^{{{\log }_{7}}8}})}^{2}}-3}{{{3.3}^{{{\log }_{3}}2}}+\frac{16}{{{3}^{2}}}+{{5}^{{{\log }_{5}}3}}}=\frac{{{6}^{2}}+{{8}^{2}}-3}{3.2+\frac{16}{9}+3}=9$

Chọn B.

Dạng 2. Biểu diễn một logarit theo các logarit khác

Phương pháp

Phân tích các logarit cần tính và các logarit đã cho về dạng logarit với cơ số nguyên tố.

Ví dụ 2.1: Hãy biểu diễn theo a các biểu thức sau:

a) ${{\log }_{25}}15$ biết ${{\log }_{15}}3=a$ . b) $\log 40$ biết ${{\log }_{\sqrt{2}}}(\frac{1}{\sqrt[3]{5}})=a$ .

Lời giải:

Ta có $a={{\log }_{15}}3=\frac{1}{{{\log }_{3}}15}=\frac{1}{{{\log }_{3}}(3.5)}=\frac{1}{1+{{\log }_{3}}5}\Rightarrow {{\log }_{3}}5=\frac{1}{a}-1=\frac{1-a}{a}$

Suy ra ${{\log }_{25}}15=\frac{{{\log }_{3}}15}{{{\log }_{3}}25}=\frac{{{\log }_{3}}15}{2{{\log }_{3}}5}=\frac{\frac{1}{a}}{2.\frac{1-a}{a}}=\frac{1}{2(1-a)}$ .

Ta có $a={{\log }_{\sqrt{2}}}(\frac{1}{\sqrt[3]{5}})={{\log }_{{{2}^{\frac{1}{2}}}}}{{5}^{\frac{1}{3}}}=-\frac{2}{3}{{\log }_{2}}5\Rightarrow {{\log }_{2}}5=-\frac{3a}{2}$ .

$\Rightarrow \log 40=\frac{{{\log }_{2}}40}{{{\log }_{2}}10}=\frac{{{\log }_{2}}({{2}^{3}}.5)}{{{\log }_{2}}(2.5)}=\frac{3+{{\log }_{2}}5}{1+{{\log }_{2}}5}=\frac{3-\frac{3a}{2}}{1-\frac{3a}{2}}=\frac{6-3a}{2-3a}$ .

Ví dụ 2.2: Đặt $a={{\log }_{2}}5;\,b={{\log }_{5}}3$ , chọn biểu diễn đúng của ${{\log }_{10}}15$ theo $a$ và $b$ :

A. ${{\log }_{10}}15=\frac{a(b+1)}{a+1}$ . B. ${{\log }_{10}}15=\frac{ab+1}{a+1}$ .

C. ${{\log }_{10}}15=\frac{b+1}{a+1}$ . D. ${{\log }_{10}}15=\frac{a+b}{a+1}$ .

Lời giải:

Ta có ${{\log }_{2}}3={{\log }_{2}}5.{{\log }_{5}}3=ab$ .

${{\log }_{10}}15=\frac{{{\log }_{2}}15}{{{\log }_{2}}10}=\frac{{{\log }_{2}}(3.5)}{{{\log }_{2}}(2.5)}=\frac{{{\log }_{2}}3+{{\log }_{2}}5}{{{\log }_{2}}2+{{\log }_{2}}5}=\frac{ab+a}{1+a}=\frac{a(b+1)}{a+1}$ .

Chọn A.

Ví dụ 2.3 (THPT Hồng Ngự 2 – Đồng Tháp)

Tính ${{\log }_{140}}63$ theo $a={{\log }_{2}}3,\,\,b={{\log }_{3}}5,\,\,c={{\log }_{7}}2$ .

A. $\frac{2ac+1}{abc+2c+1}$ . B. $\frac{2ac+1}{abc+2c-1}$ . C. $\frac{2ac-1}{abc+2c+1}$ . D. $\frac{2ac+1}{abc-2c+1}$ .

Lời giải:

Ta có ${{\log }_{2}}5={{\log }_{2}}3.{{\log }_{3}}5=ab$ và ${{\log }_{2}}7=\frac{1}{c}$ .

${{\log }_{140}}63=\frac{{{\log }_{2}}63}{{{\log }_{2}}140}=\frac{{{\log }_{2}}({{7.3}^{2}})}{{{\log }_{2}}({{2}^{2}}.5.7)}=\frac{2{{\log }_{2}}3+{{\log }_{2}}7}{2+{{\log }_{2}}5+{{\log }_{2}}7}=\frac{2a+\frac{1}{c}}{2+ab+\frac{1}{c}}=\frac{2ac+1}{abc+2c+1}$

Chọn A.

Ví dụ 2.4 (Chuyên Lào cai – 2017). Cho $f(x)=a\ln (x+\sqrt{{{x}^{2}}+1})+b\sin x+6$ với $a,b\in \mathbb{R}$ . Biết rằng $f(\log (\log e))=2$ . Tính giá trị của $f(\log (\ln 10))$ .

A. 10 B. 2 C. 4 D. 8

Lời giải:

Đặt $t=\log (\log e)=\log (\frac{1}{\ln 10})=-\log (\ln 10)\Leftrightarrow \log (\ln 10))=-t$ .

Theo giả thiết có:

$f(t)=a\ln (t+\sqrt{{{t}^{2}}+1})+b\sin t+6=2\Leftrightarrow a\ln (t+\sqrt{{{t}^{2}}+1})+b\sin t=-4$ .

Khi đó $f(\log (\ln 10))=f(-t)=a\ln (-t+\sqrt{{{t}^{2}}+1})+b\sin (-t)+6$

$=a\ln \frac{1}{\sqrt{{{t}^{2}}+1}+t}-b\sin t+6=-(a\ln \frac{1}{\sqrt{{{t}^{2}}+1}+t}+b\sin t)+6=10$ .

Chọn A.

Ví dụ 2.5 (Sở GD – ĐT Yên Bái). Cho $a,b,c$ là các số thực dương khác 1 và thỏa mãn ${{a}^{{{\log }_{3}}7}}=27,\,{{b}^{{{\log }_{7}}11}}=49,\,{{c}^{{{\log }_{11}}25}}=\sqrt{11}$ . Tính giá trị của biểu thức $T={{a}^{\log _{3}^{2}7}}+{{b}^{\log _{7}^{2}11}}+{{c}^{\log _{11}^{2}25}}$ .

A. $T=469$ . B. $T=3141$ . C. $T=2017$ . D. $T=76+\sqrt{11}$ .

Lời giải:

${{({{a}^{{{\log }_{3}}7}})}^{{{\log }_{3}}7}}+{{({{b}^{{{\log }_{3}}11}})}^{{{\log }_{3}}11}}+{{({{c}^{{{\log }_{11}}25}})}^{{{\log }_{11}}25}}={{27}^{{{\log }_{3}}7}}+{{49}^{{{\log }_{7}}11}}+{{(\sqrt{11})}^{{{\log }_{11}}25}}$

$={{7}^{3}}+{{11}^{2}}+{{25}^{\frac{1}{2}}}=469$

Chọn đáp án A.

Dạng 3.So sánh hai logarit

A. Phương pháp

+ Nếu $a>1$ thì ${{\log }_{a}}M>{{\log }_{a}}N\Leftrightarrow M>N>0$ .

+ Nếu $0<a<1$ thì ${{\log }_{a}}M>{{\log }_{a}}N\Leftrightarrow 0<M<N$ .

+ Nếu $0<a<b<1$ hay $1<a<b$ thì:

${{\log }_{a}}x>{{\log }_{b}}x\Leftrightarrow x>1$ .

${{\log }_{a}}x<{{\log }_{b}}x\Leftrightarrow 0<x<1$ .

${{\log }_{a}}b>0\Leftrightarrow a$ và $b$ cùng lớn hơn 1 hoặc cùng nhỏ hơn 1.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 3.1: So sánh các cặp số sau:

a) $m={{\log }_{\sqrt{3}}}\frac{3}{5}$ và $n={{\log }_{\sqrt{3}}}\frac{7}{9}$ . b) $m={{\log }_{\frac{1}{3}}}8$ và $n={{\log }_{115}}2$ .

c) $m={{\log }_{2}}3\$ và $n={{\log }_{3}}11$ . d) $m={{2}^{2{{\log }_{2}}5+{{\log }_{\frac{1}{2}}}9}}$ và $n=\sqrt{8}$ .

e) $m=\frac{1}{2}+\log 3\$ và $n=\ \log 19-\log 2$ .

Lời giải:

a) Vì $\sqrt{3}>1$ nên $\frac{3}{5}<\frac{7}{9}\Rightarrow {{\log }_{\sqrt{3}}}\frac{3}{5}<{{\log }_{\sqrt{3}}}\frac{7}{9}$ .

Vậy $m<n$ .

b) Vì $\frac{1}{3}<1$ nên ${{\log }_{\frac{1}{3}}}8<{{\log }_{\frac{1}{3}}}1=0\Rightarrow m<0$ .

$115>1$ nên ${{\log }_{115}}2>{{\log }_{115}}1=0\Rightarrow n>0$ .

Vậy $m<n$ .

c) Ta có $\left\{ \begin{array}{l}1<{{\log }_{2}}3<2\\{{\log }_{3}}11>{{\log }_{3}}9=2\end{array} \right.\Rightarrow {{\log }_{3}}11>{{\log }_{2}}3$

d) Ta có: $2{{\log }_{2}}5+{{\log }_{\frac{1}{2}}}9={{\log }_{2}}25-{{\log }_{2}}9={{\log }_{2}}\frac{25}{9}\Rightarrow {{2}^{2{{\log }_{2}}5+{{\log }_{\frac{1}{2}}}9}}={{2}^{{{\log }_{2}}\frac{25}{9}}}=\frac{25}{9}$

Nhưng $\frac{25}{9}=\sqrt{\frac{{{25}^{2}}}{{{9}^{2}}}}=\sqrt{\frac{625}{81}}<\sqrt{\frac{648}{81}}=\sqrt{8}\Rightarrow {{2}^{2{{\log }_{2}}5+{{\log }_{\frac{1}{2}}}9}}<\sqrt{8}$ .

e) Ta có : $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{2}+\log 3=\log \sqrt{10}+\log 3=\log 3\sqrt{10}=\log \sqrt{900}\\\log 19-\log 2=\log \frac{19}{2}=\log \sqrt{\frac{361}{4}}\end{array} \right.$