Bất phương trình mũ và logarit

BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

A. Lý thuyết cơ bản

1. Bất phương trình mũ cơ bản

Bất phương trình mũ cơ bản có dạng ${{a}^{x}}>b$ (hoặc ${{a}^{x}}\ge b,{{a}^{x}}<b,{{a}^{x}}\le b$ ) với $a>0,a\ne 1$ .

Xét bất phương trình: ${{a}^{x}}>b$

${{a}^{x}}>b$	Nghiệm
${{a}^{x}}>b$	$a>1$	$0<a<1$
$b\le 0$	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$
$b>0$	$x>{{\log }_{a}}b$	$x<{{\log }_{a}}b$

2. Bất phương trình logarit cơ bản

Bất phương trình logarit cơ bản có dạng ${{\log }_{a}}x>b$ (hoặc ${{\log }_{a}}x<b,{{\log }_{a}}x\ge b,$ ${{\log }_{a}}x\le b$ ) với $a>0,a\ne 1$ .

Xét bất phương trình:

${{\log }_{a}}x>b$	$a>1$	$0<a<1$
Nghiệm	$x>{{a}^{b}}$	$0<x<{{a}^{b}}$

B. Bài tập

Để giải bất phương trình mũ và logarit ta dùng các phương pháp: đưa về cùng cơ số, đặt ẩn phụ, đưa về phương trình tích, mũ hóa và logarit hóa (tương tự như ở bài phương trình mũ và logarit)

Dạng 1. Đưa về cùng cơ số

A. Phương pháp

Ngoài cách sử dụng bất phương trình mũ và logarit có bản, có thể sử dụng các phép biến đổi tương đương sau:

+ ${{a}^{f(x)}}<{{a}^{g(x)}}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a>1\\f(x)<g(x)\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}0<a<1\\f(x)>g(x)\end{array} \right.\end{array} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{array}{l}a>0\\(a-1)\left[ f(x)-g(x) \right]<0\end{array} \right.$ .

+ ${{a}^{f(x)}}\le {{a}^{g(x)}}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a>1\\f(x)<g(x)\end{array} \right.\\a=1\\\left\{ \begin{array}{l}0<a<1\\f(x)>g(x)\end{array} \right.\end{array} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{array}{l}a>0\\(a-1)\left[ f(x)-g(x) \right]\le 0\end{array} \right.$ .

+ ${{\log }_{a}}f(x)<{{\log }_{a}}g(x)\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a>1\\0<f(x)<g(x)\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}0<a<1\\f(x)>g(x)>0\end{array} \right.\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0<a\ne 1\\f(x)>0\\g(x)>0\\(a-1)\left[ f(x)-g(x) \right]<0\end{array} \right.$ .

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau:

a) ${{(\sqrt{3}-\sqrt{2})}^{{{x}^{2}}+1}}<{{(\sqrt{3}-\sqrt{2})}^{3x-1}}$ .

b) $\frac{1}{{{2}^{\sqrt{{{x}^{2}}-2x}}}}\le {{2}^{x-1}}$ .

c) ${{(x-3)}^{2{{x}^{2}}-7x}}>1$ .

Lời giải:

a) ${{(\sqrt{3}-\sqrt{2})}^{{{x}^{2}}+1}}<{{(\sqrt{3}-\sqrt{2})}^{3x-1}}$ .

Vì $\sqrt{3}-\sqrt{2}<1$ nên bất phương trình tương đương với

${{x}^{2}}+1>3x-1\Leftrightarrow {{x}^{2}}-3x+2>0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x>2\\x<1\end{array} \right.$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=(-\infty ;1)\cup (2;+\infty )$ .

b) $\frac{1}{{{2}^{\sqrt{{{x}^{2}}-2x}}}}\le {{2}^{x-1}}$ .

$\Leftrightarrow {{(\frac{1}{2})}^{\sqrt{{{x}^{2}}-2x}}}\le {{(\frac{1}{2})}^{1-x}}\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}-2x}\ge 1-x\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}1-x\le 0\\{{x}^{2}}-2x\ge 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}1-x>0\\{{x}^{2}}-2x\ge {{(1-x)}^{2}}\end{array} \right.\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow x\ge 2$ .

Chú ý: Để tránh sai sót khi biến đổi bất phương trình mũ, ta nên chọn cách biến đổi sau:

$\frac{1}{{{2}^{\sqrt{{{x}^{2}}-2x}}}}\le {{2}^{x-1}}\Leftrightarrow {{2}^{-\sqrt{{{x}^{2}}-2x}}}\le {{2}^{x-1}}\Leftrightarrow -\sqrt{{{x}^{2}}-2x}\le x-1$ $\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}-2x}\ge 1-x\Leftrightarrow x\ge 2$ .

c) ${{(x-3)}^{2{{x}^{2}}-7x}}>1$

${{(x-3)}^{2{{x}^{2}}-7x}}>{{(x-3)}^{0}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x-3>0\\(x-3-1)(2{{x}^{2}}-7x)>0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x>3\\(x-4)(2{{x}^{2}}-7x)>0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x>4\\3<x<\frac{7}{2}\end{array} \right.$ .

Bất phương trình có tập nghiệm $S=(3;\frac{7}{2})\cup (4;+\infty )$ .

Ví dụ 2: Giải các bất phương trình sau:

a) ${{\log }_{2}}\left( x+1 \right)-2{{\log }_{4}}\left( 5-x \right)<1-{{\log }_{2}}\left( x-2 \right)$ .

b) ${{\log }_{3}}\sqrt{{{x}^{2}}-5x+6}+{{\log }_{\frac{1}{3}}}\sqrt{x-2}>\frac{1}{2}{{\log }_{\frac{1}{3}}}\left( x+3 \right)$ .

c) ${{\log }_{\frac{1}{3}}}{{\left( {{\log }_{2}}\left( 3x-1 \right) \right)}^{1001}}>0$ .

Lời giải:

a) ${{\log }_{2}}\left( x+1 \right)-2{{\log }_{4}}\left( 5-x \right)<1-{{\log }_{2}}\left( x-2 \right)$ .

Với điều kiện $\displaystyle ~5>x>2$ ta có: BPT $\Leftrightarrow {{\log }_{2}}(x+1)-2{{\log }_{{{2}^{2}}}}(5-x)<{{\log }_{2}}2-{{\log }_{2}}(x-2)$ .

Vậy nghiệm của BPT là $2<x<3$ .

b) ${{\log }_{3}}\sqrt{{{x}^{2}}-5x+6}+{{\log }_{\frac{1}{3}}}\sqrt{x-2}>\frac{1}{2}{{\log }_{\frac{1}{3}}}\left( x+3 \right)$ .

Điều kiện $x>3$ .

Khi đó BPT $\Leftrightarrow \frac{1}{2}{{\log }_{3}}({{x}^{2}}-5x+6)-\frac{1}{2}{{\log }_{3}}(x-2)>-\frac{1}{2}{{\log }_{3}}(x+3)$

$\Leftrightarrow ({{x}^{2}}-5x+6)(x+3)>(x-2)\Leftrightarrow (x-2)({{x}^{2}}-10)>0\Leftrightarrow {{x}^{2}}>10\Leftrightarrow x>\sqrt{10}$ (Do $x>3)$ .

c) ${{\log }_{\frac{1}{3}}}{{\left( {{\log }_{2}}\left( 3x-1 \right) \right)}^{1001}}>0$ .

Điều kiện $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}3x-1>0\\{{({{\log }_{2}}(3x-1))}^{1001}}>0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x>\frac{1}{3}\\{{\log }_{2}}(3x-1)>0\end{array} \right.$

$\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x>\frac{1}{3}\\3x-1>{{2}^{0}}\end{array} \right.\Leftrightarrow x>\frac{2}{3}$ (*).

Khi đó ${{\log }_{\frac{1}{3}}}{{({{\log }_{2}}(3x-1))}^{1001}}>0\Leftrightarrow 1001{{\log }_{\frac{1}{3}}}({{\log }_{2}}(3x-1))>0$

$\Leftrightarrow {{\log }_{\frac{1}{3}}}({{\log }_{2}}(3x-1))>0\Leftrightarrow {{\log }_{2}}(3x-1)<{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{0}}=1\Leftrightarrow 3x-1<{{2}^{1}}\Leftrightarrow x<1$ .

Kết hợp với (*) ta được $\frac{2}{3}<x<1$ thỏa mãn.

Ví dụ 1.3: Tìm $a$ để bất phương trình ${{\log }_{a}}({{x}^{2}}-4x+a+1)>0$ nghiệm đúng với mọi $x$ .

Lời giải:

Bất phương trình tương đương:

$\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a>1\\{{x}^{2}}-4x+a+1>1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}0<a<1\\0<{{x}^{2}}-4x+a+1<1\end{array} \right.\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a>1\\{{x}^{2}}-4x+a>0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(I)\\\left\{ \begin{array}{l}0<a<1\\{{x}^{2}}-4x+a+a>0\\{{x}^{2}}-4x+a<0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,(II)\end{array} \right.$

Bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi khi và chỉ khi $(I)$ đúng với mọi $x$ hoặc $(II)$ đúng với mọi $x$ (loại vì $x=\frac{1}{4}a$ không đúng).

$\Leftrightarrow {{\Delta }_{(I)}}<0\Leftrightarrow 4-a<0\Leftrightarrow a>4$ .

Vậy $a>4$ .

Dạng 2. Đặt ẩn phụ

Ví dụ 2.1: Giải các bất phương trình sau:

a) $\frac{{{2}^{1-x}}-{{2}^{x}}+1}{{{2}^{x}}-1}\le 0$ . b) ${{x}^{{{\log }_{2}}x}}+{{x}^{5{{\log }_{x}}2-{{\log }_{2}}x}}-18<0$ .

c) ${{25}^{1+2x-{{x}^{2}}}}+{{9}^{1+2x-{{x}^{2}}}}\ge {{34.15}^{2x-{{x}^{2}}}}$ . d) ${{(5+\sqrt{21})}^{x}}+{{(5-\sqrt{21})}^{x}}\le {{2}^{x+{{\log }_{2}}5}}$ .

Lời giải:

a) $\frac{{{2}^{1-x}}-{{2}^{x}}+1}{{{2}^{x}}-1}\le 0$ $\Leftrightarrow \frac{\frac{2}{{{2}^{x}}}-{{2}^{x}}+1}{{{2}^{x}}-1}\le 0$ .

Đặt $t={{2}^{x}},\,\,t>0$ . Bất phương trình trở thành:

$\frac{\frac{2}{t}-t+1}{t-1}\le 0\Leftrightarrow \frac{-{{t}^{2}}+t+2}{t(t-1)}\le 0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0<t<1\\t\ge 2\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0<{{2}^{x}}<1\\{{2}^{x}}\ge 2\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x<0\\x\ge 1\end{array} \right.$ .

Vậy bất phương trình có tập nghiệm $(-\infty ;0)\cup \text{ }\!\![\!\!\text{ }1;+\infty )$ .

b) ${{x}^{{{\log }_{2}}x}}+{{x}^{5{{\log }_{x}}2-{{\log }_{2}}x}}-18<0$ .

Điều kiện: $x>0$ .

Phương trình tương đương:

${{x}^{{{\log }_{2}}x}}+\frac{{{({{x}^{{{\log }_{x}}2}})}^{5}}}{{{x}^{{{\log }_{2}}x}}}-18<0\Leftrightarrow {{x}^{{{\log }_{2}}x}}+\frac{32}{{{x}^{{{\log }_{2}}x}}}-18<0$ .

Đặt $t={{x}^{{{\log }_{2}}x}},\,\,t>0$ , bất phương trình trở thành:

$t+\frac{32}{t}-18<0\Leftrightarrow {{t}^{2}}-18t+32<0\Leftrightarrow 2<t<16\Leftrightarrow 2<{{x}^{{{\log }_{2}}x}}<16$

$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}2<{{\log }_{2}}{{x}^{{{\log }_{2}}x}}<{{\log }_{2}}16\Leftrightarrow 1<{{({{\log }_{2}}x)}^{2}}<4$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1<{{\log }_{2}}x<2\\-2<{{\log }_{2}}x<-1\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2<x<4\\\frac{1}{4}<x<\frac{1}{2}\end{array} \right.$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $(\frac{1}{4};\frac{1}{2})\cup (2;4)$ .

c) ${{25}^{1+2x-{{x}^{2}}}}+{{9}^{1+2x-{{x}^{2}}}}\ge {{34.15}^{2x-{{x}^{2}}}}$ .

$\Leftrightarrow {{25.25}^{2x-{{x}^{2}}}}+{{9.9}^{2x-{{x}^{2}}}}\ge 34.{{(3.5)}^{2x-{{x}^{2}}}}\Leftrightarrow {{25.5}^{2(2x-{{x}^{2}})}}+{{9.3}^{2(2x-{{x}^{2}})}}\ge {{34.3}^{2x-{{x}^{2}}}}{{.5}^{2x-{{x}^{2}}}}$

Chia hai vế của bất phương trình cho ${{3}^{2(2x-{{x}^{2}})}}>0$ ta được:

$25.{{\left( \frac{5}{3} \right)}^{2(2x-{{x}^{2}})}}+9\ge 34.{{\left( \frac{5}{3} \right)}^{2(2x-{{x}^{2}})}}\Leftrightarrow 25{{\left( \frac{5}{3} \right)}^{2(2x-{{x}^{2}})}}-34{{\left( \frac{5}{3} \right)}^{2x-{{x}^{2}}}}+9\ge 0$ .

Đặt $t={{\left( \frac{5}{3} \right)}^{2x-{{x}^{2}}}}$ , điều kiện $0<t\le \frac{5}{3}$ (vì $2x-{{x}^{2}}\le 1$ ) (*)

Bất phương trình trở thành: $25{{t}^{2}}-34t+9\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t\ge 1\\t\le \frac{9}{25}\end{array} \right.$

Kết hợp với điều kiện (*) ta được:

$\left[ \begin{array}{l}1\le t\le \frac{5}{3}\\0<t\le \frac{9}{25}\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1\le {{\left( \frac{5}{3} \right)}^{2x-{{x}^{2}}}}\le \frac{5}{3}\\0<{{\left( \frac{5}{3} \right)}^{2x-{{x}^{2}}}}\le {{\left( \frac{5}{3} \right)}^{-2}}\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0\le 2x-{{x}^{2}}\le 1\\2x-{{x}^{2}}\le -2\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0\le x\le 2\\x\ge 1+\sqrt{3}\\x\le 1-\sqrt{3}\end{array} \right.$ .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $(-\infty ;1-\sqrt{3}\text{ }\!\!]\!\!\text{ }\cup \text{ }\!\![\!\!\text{ }0;2]\cup \text{ }\!\![\!\!\text{ }1+\sqrt{3};+\infty )$ .

d) ${{(5+\sqrt{21})}^{x}}+{{(5-\sqrt{21})}^{x}}\le {{2}^{x+{{\log }_{2}}5}}$ .

Chia hai vế của bất phương trình cho ${{2}^{x}}>0$ ta được:

${{\left( \frac{5+\sqrt{21}}{2} \right)}^{x}}+{{\left( \frac{5-\sqrt{21}}{2} \right)}^{x}}\le 25$ .

Vì $\displaystyle \left( \frac{5+\sqrt{21}}{2} \right)\left( \frac{5-\sqrt{21}}{2} \right)=1$ nên đặt $t={{\left( \frac{5+\sqrt{21}}{2} \right)}^{x}},\,\,t>0$ thì ${{\left( \frac{5-\sqrt{21}}{2} \right)}^{x}}=\frac{1}{t}$ .

Khi đó bất phương trình trở thành:

$\begin{array}{l}t+\frac{1}{t}\le 5\Leftrightarrow {{t}^{2}}-5t+1\le 0\Leftrightarrow \frac{5-\sqrt{21}}{2}\le t\le \frac{5+\sqrt{21}}{2}\\\Rightarrow \frac{5-\sqrt{21}}{2}\le {{\left( \frac{5+\sqrt{21}}{2} \right)}^{x}}\le \frac{5+\sqrt{21}}{2}\Leftrightarrow -1\le x\le 1\end{array}$

Vậy bất phương trình có tập nghiệm $\displaystyle \text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;1]$ .

Ví dụ 2.2: Tập nghiệm của bất phương trình $\displaystyle {{\log }^{2}}_{\frac{1}{2}}x-{{\log }_{2}}\left( 2x \right)-5\ge 0$ .

A. $\displaystyle x\in \left( 0;\frac{1}{4} \right)\cup \left( 9;+\infty \right)$ . B. $\displaystyle x\in \left[ 3;+\infty \right)$ .

C. $\displaystyle x\in \left( -\infty ;\frac{1}{4} \right]\cup \left[ 8;+\infty \right)$ . D. $\displaystyle x\in \left( -\infty ;\frac{1}{4} \right]\cup \left[ 9;+\infty \right)$ .

Lời giải:

ĐK: $x>0$ .

Ví dụ 2.3: Xác định $m$ để bất phương trình $m{{.4}^{x}}-2(m+1){{.2}^{x}}-m+5<0$ nghiệm đúng với mọi $x<0$ .

Lời giải:

Đặt $t={{2}^{x}}$ . Vì $x<0$ nên $t={{2}^{x}}<{{2}^{0}}=1\Rightarrow 0<t<1$ .

Bất phương trình trở thành: $m{{t}^{2}}-2(m+1)t-m+5<0$ (1)

Bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi $x<0\Leftrightarrow$ (1) nghiệm đúng với mọi $0<t<1$ .

$(1)\Leftrightarrow m({{t}^{2}}-2t-1)<2t-5\Leftrightarrow m>\frac{2t-5}{{{t}^{2}}-2t-1}$ (vì ${{t}^{2}}-2t-1<0,\,\forall t\in (0;1)$ .

Xét hàm số $f(t)=\frac{2t-5}{{{t}^{2}}-2t-1}$ với $0<t<1$ .

Ta có $f'(t)=\frac{-2{{t}^{2}}+10t-12}{{{({{t}^{2}}-2t-1)}^{2}}}\Rightarrow f'(t)=0\Leftrightarrow -2{{t}^{2}}+10t-12=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t=1\\t=6\end{array} \right.$ .

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra (1) nghiệm đúng với mọi $0<t<1$ $\Leftrightarrow m>5$ .

Dạng 3. Phương pháp mũ hóa và logarit hóa

Ví dụ 3.1: Giải các bất phương trình sau:

a) ${{3}^{{{x}^{2}}-4x}}<\frac{5}{3}$ .

b) ${{2}^{x}}{{.3}^{x-1}}{{.5}^{x-2}}>12$ .

c) ${{9}^{x}}+{{9}^{x+1}}+{{9}^{x+2}}<{{4}^{x}}+{{4}^{x+1}}+{{4}^{x+2}}$ .

Lời giải:

a) ${{3}^{{{x}^{2}}-4x}}<\frac{5}{3}$ .

Lấy logarit cơ số 3 hai vế của bất phương trình, ta được:

${{\log }_{3}}{{3}^{{{x}^{2}}-4x}}<{{\log }_{3}}\frac{5}{3}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x<{{\log }_{3}}5-1\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x+1-{{\log }_{3}}5<0$ .

Ta có $\Delta '=4-1+{{\log }_{3}}5=3+{{\log }_{3}}5>0$ suy ra bất phương trình có nghiệm

$2-\sqrt{3+{{\log }_{3}}5}<x<2+\sqrt{3+{{\log }_{3}}5}$ .

b) ${{2}^{x}}{{.3}^{x-1}}{{.5}^{x-2}}>12$ .

Lấy logarit cơ số 10 ta được:

$\begin{array}{l}\lg ({{2}^{x}}{{.3}^{x-1}}{{.5}^{x-2}})>\lg 12\Leftrightarrow \lg {{2}^{x}}+\lg {{3}^{x-1}}+\lg {{5}^{x-2}}>\lg 12\\\Leftrightarrow x\lg 2+(x-1)\lg 3+(x-2)\lg 5>\lg 12\end{array}$

$\begin{array}{l}\Leftrightarrow x(\lg 2+\lg 3+\lg 5)>\lg 12+\lg 3+2\lg 5\\\Leftrightarrow x(\lg 2+\lg 3+\lg 5)>2\lg 2+2\lg 3+2\lg 5\\\Leftrightarrow x>2\end{array}$

Vậy bất phương trình có nghiệm $x>2$ .

c) ${{9}^{x}}+{{9}^{x+1}}+{{9}^{x+2}}<{{4}^{x}}+{{4}^{x+1}}+{{4}^{x+2}}$ .

$\Leftrightarrow {{9}^{x}}(1+9+{{9}^{2}})<{{4}^{x}}(1+4+{{4}^{2}})\Leftrightarrow \frac{{{9}^{x}}}{{{4}^{x}}}<\frac{21}{91}\Leftrightarrow {{\left( \frac{9}{4} \right)}^{x}}<\frac{21}{91}\Leftrightarrow x<{{\log }_{\frac{9}{4}}}\frac{21}{91}$ .