Giải phương trình số phức

PHƯƠNG TRÌNH SỐ PHỨC

A. Lý thuyết cơ bản

1. Căn bậc hai của số phức

Số phức $\displaystyle \text{w}\,\text{=}\,\text{x}\,\text{+ yi}$ được gọi là một căn bậc hai của số phức $z=a+bi$

$\Leftrightarrow {{\text{w}}^{2}}=z\Leftrightarrow ({{x}^{2}}-{{y}^{2}})+2xyi=a+bi$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}-{{y}^{2}}=a\\2xy=b\end{array} \right.$ .

Nhận xét:

- Một số phức $z$ luôn có hai căn bậc hai là hai số đối nhau $\displaystyle \text{w}$ và $-\text{w}$ .

Tổng quát: Căn bậc $n$ của một số phức luôn có $n$ giá trị.
- Nếu $z=a$ là số thực dương thì $z$ có hai căn bậc hai là $\pm \sqrt{a}$ .
- Nếu $z=a$ là số thực âm thì $z={{i}^{2}}|a|$ có hai căn bậc hai là $\pm i\sqrt{|a|}$ .

2. Phương trình bậc hai ẩn phức

Phương trình bậc hai với hệ số $a,b,c$ thực:
$a{{x}^{2}}+bx+c=0$ có $\Delta ={{b}^{2}}-4ac$ .
- + $\Delta =0$ , phương trình có một nghiệm thực $x=-\frac{b}{2a}$ .
- + $\Delta >0$ , phương trình có 2 nghiệm thực ${{x}_{1,2}}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$ .
- + $\Delta <0$ , ta có $\Delta ={{i}^{2}}|\Delta |\,\Rightarrow \Delta$ có căn bậc hai là $\pm i\sqrt{|\Delta |}$ . Khi đó phương trình có hai nghiệm phức ${{z}_{1,2}}=\frac{-b\pm i\sqrt{|\Delta |}}{2a}$ .
Phương trình bậc hai với hệ số phức:

$A{{x}^{2}}+Bx+C=0$ có $\Delta ={{B}^{2}}-4AC$ .
- + $\Delta =0$ , phương trình có nghiệm kép $x=-\frac{B}{2A}$ .
- + $\Delta \ne 0$ , tìm một căn bậc hai $\displaystyle \text{w}$ của $\Delta$ . Khi đó phương trình có 2 nghiệm ${{x}_{1,2}}=\frac{-B\pm \text{w}}{2A}$ .

Chú ý: Định lí Viet vẫn đúng trên tập số phức.

B. Bài tập

Dạng 1. Tìm căn bậc hai của $z$

A. Phương pháp

Cách 1: Biến đổi $z$ thành bình phương của một tổng hoặc một hiệu.

Cách 2: Giả sử $\displaystyle \text{w}\,\text{=}\,\text{x}\,\text{+ yi}$ là một căn bậc hai của $z$ , khi đó

$\Leftrightarrow {{\text{w}}^{2}}=z\Leftrightarrow ({{x}^{2}}-{{y}^{2}})+2xyi=a+bi$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}-{{y}^{2}}=a\\2xy=b\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-{{y}^{2}}+2xyi=a+bi$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}-{{y}^{2}}=a\\2xy=b\end{array} \right.$

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1.1: Tìm căn bậc hai của các số phức sau:

a) $z=5$ . b) $z=-3$ . c) $z=-1-2\sqrt{6}i$ .

d) $z=1+4\sqrt{3}i$ . e) $z=4+6\sqrt{5}i$ .

Lời giải:

a) Căn bậc hai của $z=5$ là $\pm \sqrt{5}$ .

b) $z=-3=3{{i}^{2}}$ , suy ra $z=-3$ có hai căn bậc hai là $\pm i\sqrt{3}$ .

c) $z=-1-2\sqrt{6}i={{(\sqrt{2})}^{2}}-2\sqrt{2}.\sqrt{3}i+{{(\sqrt{3}i)}^{2}}={{(\sqrt{2}-i\sqrt{3})}^{2}}$ .

Do đó $z=-1-2\sqrt{6}i$ có hai căn bậc hai là $\sqrt{2}-i\sqrt{3}$ và $\sqrt{2}+i\sqrt{3}$ .

Cách 2: Giả sử $\displaystyle \text{w}\,\text{=}\,\text{x}\,\text{+ yi}$ là một căn bậc hai của $z=-1-2\sqrt{6}i$ , ta có

${{(x+yi)}^{2}}=-1-2\sqrt{6}i\Leftrightarrow {{x}^{2}}-{{y}^{2}}+2xyi=-1-2\sqrt{6}i$

$\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}-{{y}^{2}}=-1\\2xy=-2\sqrt{6}\end{array} \right.$ $\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y=\frac{-\sqrt{6}}{x}\\{{x}^{2}}-{{\left( \frac{-\sqrt{6}}{x} \right)}^{2}}=-1\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}=2\\y=\frac{-\sqrt{6}}{x}\end{array} \right.$

Hệ phương trình có hai nghiệm $(\sqrt{2};-\sqrt{3});\,(\sqrt{2};\sqrt{3})$ .

Do đó $z=-1-2\sqrt{6}i$ có hai căn bậc hai là $\sqrt{2}-i\sqrt{3}$ và $\sqrt{2}+i\sqrt{3}$ .

d) $z=1+4\sqrt{3}i=1+2.2.\sqrt{3}i$ $={{2}^{2}}+2.2.\sqrt{3}i+{{(i\sqrt{3})}^{2}}={{(2+i\sqrt{3})}^{2}}$

Do đó $z=1+4\sqrt{3}i$ có hai căn bậc hai là $\pm (2+i\sqrt{3})$ .

e) $z=4+6\sqrt{5}i={{3}^{2}}+2.3.\sqrt{5}i+{{(\sqrt{5}i)}^{2}}={{(3+\sqrt{5}i)}^{2}}$

Do đó z có hai căn bậc hai là $3+\sqrt{5}i$ và $3-\sqrt{5}i$ .

Dạng 2. Giải phương trình bậc hai ẩn phức

A. Bài tập ví dụ

Ví dụ 2.1: Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a) ${{z}^{2}}+2z+5=0$ . b) ${{z}^{2}}-4z+20=0$ .

c) $({{z}^{2}}+i)({{z}^{2}}-2iz-1)=0$ . d) ${{z}^{2}}+(1-3i)z-2(1+i)=0$ .

Lời giải:

a) ${{z}^{2}}+2z+5=0$ .

Cách 1: Ta có $\Delta '=-4=4{{i}^{2}}$ . Suy ra phương trình có 2 nghiệm ${{z}_{1,2}}=-1\pm 2i$ .

Cách 2: ${{z}^{2}}+2z+5=0\Leftrightarrow ({{z}^{2}}+2z+1)+4=0$ $\Leftrightarrow {{(z+1)}^{2}}-{{(2i)}^{2}}=0$

$\Leftrightarrow {{(z+1)}^{2}}=4{{i}^{2}}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z+1=2i\\z+1=-2i\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z=-1+2i\\z=-1-2i\end{array} \right.$

b) ${{z}^{2}}-4z+20=0$ .

Cách 1: Ta có $\Delta '=-16=16{{i}^{2}}$ . Suy ra phương trình có 2 nghiệm ${{z}_{1,2}}=2\pm 4i$ .

Cách 2: ${{z}^{2}}-4z+20=0\Leftrightarrow ({{z}^{2}}-4z+4)+16=0$ $\Leftrightarrow {{(z-2)}^{2}}-{{(4i)}^{2}}=0$

${{(z-2)}^{2}}={{(4i)}^{2}}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z-2=4i\\z-2=-4i\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z=2+4i\\z=2-4i\end{array} \right.$ .

c) $({{z}^{2}}+i)({{z}^{2}}-2iz-1)=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{{z}^{2}}+i=0\\{{z}^{2}}-2iz-1=0\end{array} \right.$

Nếu ${{z}^{2}}+i=0\Leftrightarrow {{z}^{2}}=-i=\frac{1}{2}(-2i)=\frac{1}{2}{{(1-i)}^{2}}={{\left( \frac{1-i}{\sqrt{2}} \right)}^{2}}$

$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}z=\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}i\\z=-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i\end{array} \right.$
Nếu $\displaystyle {{z}^{2}}-2iz-1=0\Leftrightarrow {{z}^{2}}-2iz+{{i}^{2}}=0\Leftrightarrow {{(z-i)}^{2}}=0\Leftrightarrow z=i$ .

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là ${{z}_{1}}=\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}i;\,{{z}_{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i;\,{{z}_{3}}=i$ .

d) ${{z}^{2}}+(1-3i)z-2(1+i)=0$ .

Ta có $\Delta ={{(1-3i)}^{2}}+8(1+i)=2i={{(1+i)}^{2}}$ .

Vậy các nghiệm của phương trình đã cho là $\left[ \begin{array}{l}z=\frac{3i-1+1+i}{2}=2i\\z=\frac{3i-1-1-i}{2}=i-1\end{array} \right.$ .

Ví dụ 2.2 (THPT Chuyên KHTN – Hà Nội) Gọi ${{z}_{1}},\,{{z}_{2}}$ là 2 nghiệm của phương trình ${{z}^{2}}+z+1=0$ . Tính giá trị của $P=z_{1}^{2017}+z_{2}^{2017}$ .

A. $P=1$ . B. $P=-1$ . C. $P=0$ . D. $P=2$ .

Lời giải:

Cách 1: ${{z}^{2}}+z+1=0$ có $\Delta =1-4=-3=3{{i}^{2}}$ .

Suy ra phương trình có nghiệm ${{z}_{1,2}}=\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}=-\frac{1}{2}\pm \frac{i\sqrt{3}}{2}\Rightarrow z_{1}^{3}=z_{2}^{3}=1$ .

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}z_{1}^{2016}=1\\z_{2}^{2016}=1\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}z_{1}^{2017}={{z}_{1}}\\z_{2}^{2017}={{z}_{2}}\end{array} \right.$ $\Rightarrow P={{z}_{1}}+{{z}_{2}}=-1$

Cách 2:

Ta có $z_{1}^{2}+{{z}_{1}}+1=0\,\Rightarrow z_{1}^{3}-1=0\Rightarrow z_{1}^{3}=1$ $\Rightarrow z_{1}^{2016}=1\Rightarrow z_{1}^{2017}={{z}_{1}}$ .

Chứng minh tương tự $z_{2}^{2017}={{z}_{2}}$ .

$\Rightarrow P={{z}_{1}}+{{z}_{2}}=-1$ .

Chọn đáp án B.

Ví dụ 2.3 ( THPT Gia Lộc II) Gọi ${{z}_{1}},\,{{z}_{2}}$ là 2 nghiệm của phương trình $2{{z}^{2}}-3z+2=0$ trên tập số phức. Tính giá trị của biểu thức $P=\sqrt{z_{1}^{2}+{{z}_{1}}{{z}_{2}}+z_{2}^{2}}$ .

A. $P=\frac{\sqrt{5}}{2}$ . B. $P=\frac{5}{\sqrt{2}}$ . C. $P=\frac{3\sqrt{3}}{4}$ . D. $P=\frac{\sqrt{3}}{4}$ .

Lời giải:

Theo định lí Viet có $\left\{ \begin{array}{l}{{z}_{1}}+{{z}_{2}}=\frac{3}{2}\\{{z}_{1}}{{z}_{2}}=1\end{array} \right.$ .

Ta có $P=\sqrt{z_{1}^{2}+{{z}_{1}}{{z}_{2}}+z_{2}^{2}}=\sqrt{{{({{z}_{1}}+{{z}_{2}})}^{2}}-{{z}_{1}}{{z}_{2}}}$ $=\sqrt{\frac{9}{4}-1}=\frac{\sqrt{5}}{2}$ .

Chọn A.

Ví dụ 2.4 (THPT Chuyên Quang Trung – Bình Phước) Cho hai số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn ${{z}_{1}},{{z}_{2}}\ne 0;\,{{z}_{1}}+{{z}_{2}}\ne 0$ và $\frac{1}{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}=\frac{1}{{{z}_{1}}}+\frac{2}{{{z}_{2}}}$ . Tính $\left| \frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}} \right|$ .

A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ . B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ . C. $2\sqrt{3}$ . D. $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

Lời giải:

Cách 1:

Từ giả thiết, ta có $\frac{1}{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}=\frac{1}{{{z}_{1}}}+\frac{2}{{{z}_{2}}}\Leftrightarrow \frac{1}{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}=\frac{2{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}{{z}_{2}}}$ $\Leftrightarrow {{z}_{1}}{{z}_{2}}=(2{{z}_{1}}+{{z}_{2}})({{z}_{1}}+{{z}_{2}})$

$\Leftrightarrow {{z}_{1}}{{z}_{2}}=2z_{1}^{2}+2{{z}_{1}}{{z}_{2}}+{{z}_{1}}{{z}_{2}}+z_{2}^{2}\Leftrightarrow 2z_{1}^{2}+2{{z}_{1}}{{z}_{2}}+z_{2}^{2}=0$

$\Leftrightarrow 2{{\left( \frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}} \right)}^{2}}+2\left( \frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}} \right)+1=0\Leftrightarrow \frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}}=-\frac{1}{2}\pm \frac{i}{2}$
$\Rightarrow \left| \frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}} \right|\,=\,\left| -\frac{1}{2}\pm \frac{i}{2} \right|\,=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Chọn A.

Cách 2: Đặt $x=\frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}}\Rightarrow {{z}_{1}}=x.{{z}_{2}}$ và $\left| \frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}} \right|=\,|x|$ .

Từ giả thiết $\frac{1}{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}=\frac{1}{{{z}_{1}}}+\frac{2}{{{z}_{2}}}\Leftrightarrow \frac{1}{x.{{z}_{2}}+{{z}_{2}}}=\frac{1}{x{{z}_{2}}}+\frac{2}{{{z}_{2}}}$ $\Leftrightarrow \frac{1}{{{z}_{2}}(x+1)}=\frac{1}{{{z}_{2}}}\left( \frac{1}{x}+2 \right)\Leftrightarrow \frac{1}{x+1}=\frac{1}{x}+2$

$\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+2x+1=0\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2}\pm \frac{1}{2}i\Rightarrow |x|\,=\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Chọn A.

Dạng 3. Giải phương trình quy về bậc hai ẩn phức

A. Phương pháp

Đối với dạng này ta thường gặp phương trình bậc 3 hoặc phương trình bậc 4 dạng đặc biệt có thể quy được về bậc hai.

Đối với phương trình bậc 3 (hoặc cao hơn), về nguyên tắc ta cố gắng phân tích vế trái thành nhân tử ( để đưa về phương trình tích) từ đó dẫn đến việc giải phương trình bậc nhất và bậc hai.

Đối với một số phương trình khác, ta có thể đặt ẩn phụ để quy về phương trình bậc hai mà ta đã biết cách giải.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 3.1: Giải các phương trình sau trên tập số phức

a) ${{\left( \frac{iz+3}{z-2i} \right)}^{2}}-3.\frac{iz+3}{z-2i}-4=0$ . b) ${{z}^{3}}-8=0$ . c) $4{{z}^{4}}-3{{z}^{2}}-1=0$ .

Lời giải:

a) Đặt $\frac{iz+3}{z-2i}=t\Rightarrow {{t}^{2}}-3t-4=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t=-1\\t=4\end{array} \right.$ .

Với $t=4\Rightarrow \frac{iz+3}{z-2i}=4\Leftrightarrow iz+3=4(z-2i)\Leftrightarrow z(i-4)=-3-8i$

$\Rightarrow z=\frac{-3-8i}{i-4}=\frac{(-3-8i)(i+4)}{{{i}^{2}}-16}=\frac{-4-35i}{-17}$ $\Rightarrow z=\frac{4}{17}+\frac{35}{17}i$ .
Với $t=-1\Rightarrow \frac{iz+3}{z-2i}=-1\Leftrightarrow iz+3=2i-z\Leftrightarrow z(i+1)=2i-3$

$\Rightarrow z=\frac{2i-3}{i+1}=\frac{(2i-3)(i-1)}{{{i}^{2}}-1}=\frac{1-5i}{-2}\Rightarrow z=-\frac{1}{2}+\frac{5}{2}i$ .

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phức là ${{z}_{1}}=\frac{4}{17}+\frac{35}{17}i;\,{{z}_{2}}=-\frac{1}{2}+\frac{5}{2}i$ .

b) ${{z}^{3}}-8=0\Leftrightarrow (z-2)({{z}^{2}}+2z+4)=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z=2\\{{z}^{2}}+2z+4=0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z=2\\{{(z+1)}^{2}}=-3\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z=2\\{{(z+1)}^{2}}={{(i\sqrt{3})}^{2}}\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z=2\\z=-1\pm i\sqrt{3}\end{array} \right.$ .

Vậy phương trình có 3 nghiệm phức là ${{z}_{1}}=2;\,{{z}_{2,3}}=-1\pm i\sqrt{3}$ .

c) $4{{z}^{4}}-3{{z}^{2}}-1=0$ .

Đặt ${{z}^{2}}=t$ . Phương trình trở thành $4{{t}^{2}}-3t-1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t=1\\t=-\frac{1}{4}\end{array} \right.$ .

Với $t=1\Rightarrow {{z}^{2}}=1\Leftrightarrow z=\pm 1$ .
Với $t=-\frac{1}{4}\Rightarrow {{z}^{2}}=\frac{{{i}^{2}}}{4}\Leftrightarrow z=\pm \frac{i}{2}$ .

Vậy phương trình có 4 nghiệm phức $z=\pm 1;\,z=\pm \frac{i}{2}$ .

Ví dụ 3.2: Giải các phương trình sau:

a) ${{z}^{3}}+3{{z}^{2}}+3z-63=0$ . b) ${{z}^{4}}-4{{z}^{3}}+7{{z}^{2}}-16z+12=0$ .

c) ${{z}^{4}}-{{z}^{3}}+\frac{{{z}^{2}}}{2}+z+1=0$ .

Lời giải:

a) ${{z}^{3}}+3{{z}^{2}}+3z-63=0\Leftrightarrow (z-3)({{z}^{2}}+6z+21)=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z=3\\{{z}^{2}}+6z+21=0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z=3\\z=-3\pm 2\sqrt{3}i\end{array} \right.$ .

b) Do tổng tất cả các hệ số của phương trình (1) bằng 0 nên (1) có nghiệm $\displaystyle z=1$ .

Phương trình tương đương $(z-1)({{z}^{3}}-3{{z}^{2}}+4z-12)=0$

$\Leftrightarrow (z-1)(z-3)({{z}^{2}}+4)=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z=1\\z=3\\{{z}^{2}}=-4\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z=1\\z=3\\z=\pm 2i\end{array} \right.$

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.

c) ${{z}^{4}}-{{z}^{3}}+\frac{{{z}^{2}}}{2}+z+1=0$ (1)

Do $z=0$ không phải là nghiệm của phương trình (1) nên

$(1)\Leftrightarrow {{z}^{2}}-z+\frac{1}{2}+\frac{1}{z}+\frac{1}{{{z}^{2}}}=0$ $\Leftrightarrow {{(z-\frac{1}{z})}^{2}}-(z-\frac{1}{z})+\frac{5}{2}=0$ .

Đặt $y=z-\frac{1}{z}$ , phương trình trở thành ${{y}^{2}}-y+\frac{5}{2}=0\Leftrightarrow 2{{y}^{2}}-2y+5=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y=\frac{1+3i}{2}\\y=\frac{1-3i}{2}\end{array} \right.$ .

Với $y=\frac{1+3i}{2}\Rightarrow z-\frac{1}{z}=\frac{1+3i}{2}\Leftrightarrow 2{{z}^{2}}-(1+3i)z-2=0$ (2)

Ta có $\Delta ={{(1+3i)}^{2}}+16=8+6i={{(3+i)}^{2}}$ .

Phương trình (2) có 2 nghiệm ${{z}_{1}}=1+i,\,{{z}_{2}}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i$ .
Với $y=\frac{1-3i}{2}\Rightarrow z-\frac{1}{z}=\frac{1-3i}{2}\Leftrightarrow 2{{z}^{2}}-(1-3i)z-2=0$ (3)

$\Delta ={{(1-3i)}^{2}}+16=8-6i={{3}^{2}}-2.3.i+{{i}^{2}}={{(3-i)}^{2}}$ .

Phương trình (3) có 2 nghiệm ${{z}_{3}}=1-i;\,{{z}_{4}}=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$ .

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.

Ví dụ 3.3: Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a) ${{z}^{3}}+(2-2i){{z}^{2}}+(5-4i)z-10i=0$ biết phương trình có nghiệm thuần ảo

b) ${{z}^{4}}-2{{z}^{3}}-{{z}^{2}}-2z+1=0$ c) ${{\left( \frac{z-i}{z+1} \right)}^{3}}=8$

Lời giải:

a) Giả sử $z=xi$ là một nghiệm của phương trình . Khi đó, ta có:

$-{{x}^{3}}i-(2-2i){{x}^{2}}+(5-4i)xi-10i=0$

$\Leftrightarrow (-2{{x}^{2}}+4x)+(-{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+5x-10)i=0$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}-2{{x}^{2}}+4x=0\\-{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+5x-10=0\end{array} \right.\Leftrightarrow x=2$ $\Rightarrow x=2i$ là một nghiệm của phương trình. Nên ta biến đổi phương trình đã cho về dạng:

$(z-2i)({{z}^{2}}+2z+5)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z=2i\\{{z}^{2}}+2z+5=0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z=2i\\z=-1\pm 2i\end{array} \right.$ .

b) Vì $z=0$ không là nghiệm của phương trình nên

Phương trình $\Leftrightarrow {{(z+\frac{1}{z})}^{2}}-2(z+\frac{1}{z})-3=0$ $\Leftrightarrow {{z}^{2}}+\frac{1}{{{z}^{2}}}-2(z+\frac{1}{z})-1=0$

Đặt $Z=z+\frac{1}{z}$ , ta có: ${{Z}^{2}}-2Z-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}Z=-1\\Z=3\end{array} \right.$ .

$\bullet \text{ }$ $Z=-1\Leftrightarrow z+\frac{1}{z}=-1\Leftrightarrow {{z}^{2}}+z+1=0\Leftrightarrow z=\frac{-1\pm \sqrt{3}i}{2}$

$\bullet \text{ }$ $Z=3\Leftrightarrow {{z}^{2}}+3z+1=0\Leftrightarrow z=\frac{-3\pm \sqrt{5}}{2}$ .

c) Đặt $Z=\frac{z+i}{z+1}$ , ta có: ${{Z}^{3}}=8\Leftrightarrow (Z-2)({{Z}^{2}}+2Z+4)=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}Z=2\\Z=-1\pm \sqrt{3}i\end{array} \right.$