Mặt cầu, hình cầu và khối cầu

A. Lý thuyết cơ bản:

1. Định nghĩa

+ Mặt cầu: $S(O;R)=\left\{ {\left. M \right|OM=R} \right\}$ .
+ Khối cầu: $V(O;R)=\left\{ {\left. M \right|OM\le R} \right\}$ .

2. Vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng:

Cho mặt cầu $S(O;R)$ và mặt phẳng $(P)$ . Gọi $d=d(O;(P))$ .

· Nếu $d<R$ thì $(P)$ cắt $(S)$ theo giao tuyến là đường tròn nằm trên $(P)$ , có tâm $H$ và bán kính $r=\sqrt{{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}}}$ .

· Nếu $d=R$ thì $(P)$ tiếp xúc với $(S)$ tại tiếp điểm $H$ . ((P) được gọi là tiếp diện của $(S)$ ).

· Nếu $d>R$ thì $(P)$ và $(S)$ không có điểm chung.

Khi $d=0$ thì $(P)$ đi qua tâm O và được gọi là mặt phẳng kính, đường tròn giao tuyến có bán kính bằng $R$ được gọi là đường tròn lớn.

3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng

Cho mặt cầu $S(O;R)$ và đường thẳng D. Gọi d = d(O; D).

· Nếu $d<R$ thì D cắt $(S)$ tại 2 điểm phân biệt.

· Nếu $d=R$ thì D tiếp xúc với $(S)$ . (D được gọi tiếp tuyến của (S)).

· Nếu $d>R$ thì D và $(S)$ không có điểm chung.

4. Công thức tính diện tích, thể tích:

Diện tích mặt cầu: $S=4\pi {{R}^{2}}$ .
Thể tích khối cầu: $V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}$ .

5. Mặt cầu ngoại tiếp – nội tiếp

Mặt cầu nội tiếp hình đa diện nếu mặt cầu đó tiếp xúc với tất cả các mặt của hình đa diện.
Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện nếu tất cả các đỉnh của hình đa diện đều nằm trên mặt cầu.
Các trường hợp đặc biệt:

Dạng 1: Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đứng

Phương pháp

Xác định tâm $O,\,O'$ của hai đáy.
Tâm của mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ là trung điểm của $\displaystyle OO'$ .

$\Rightarrow R=IA=\sqrt{{O{{A}^{2}}+O{{I}^{2}}}}$ .

Chú ý: Hình lăng trụ nội tiếp được trong một mặt cầu khi và chỉ khi nó là hình lăng trụ đứng và có đáy là đa giác nội tiếp.

Mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’:

– Tâm là trung điểm của AC’.

– Bán kính $R=\frac{{AC'}}{2}=\frac{{\sqrt{{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}}}{2}$

Khi ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương: $R=\frac{{a\sqrt{3}}}{2}$ .

Ví dụ 1.1 (THPT Chuyên Lê hồng Phong – Nam Định 2017 Lần 2)

Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$ .

A. $\frac{{{a}^{3}}\pi \sqrt{3}}{8}$ . B. $\frac{{{a}^{3}}\pi \sqrt{3}}{2}$ . C. $\frac{{{a}^{3}}\pi }{4}$ . D. $\frac{{{a}^{3}}\pi \sqrt{3}}{4}$ .

Lời giải:

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ là

$R=\frac{{A'C}}{2}=\frac{{\sqrt{{AA{{'}^{2}}+A{{C}^{2}}}}}}{2}=\frac{{\sqrt{{{{a}^{2}}+2{{a}^{2}}}}}}{2}=\frac{{a\sqrt{3}}}{2}$ .

Thể tích cần tìm là $V=\frac{4}{3}\pi .{{R}^{3}}=\frac{4}{3}\pi .{{\left( {\frac{{a\sqrt{3}}}{2}} \right)}^{3}}=\frac{{\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}}{2}$ .

Chọn đáp án B.

Ví dụ 1.2 (Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ Lần 1 số tháng 10.2017)

Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có các cạnh đều bằng $a$ . Tính diện tích $S$ của mặt cầu đi qua 6 đỉnh của hình lăng trụ đó.

A. $S=\frac{49\pi {{a}^{2}}}{144}$ . B. $S=\frac{7{{a}^{2}}}{3}$ . C. $S=\frac{7\pi {{a}^{2}}}{3}$ . D. $S=\frac{49{{a}^{2}}}{144}$ .

Lời giải:

Gọi $O$ và $O'$ lần lượt là tâm của $\Delta ABC$ và $\Delta A'B'C'$ .

$\Rightarrow$ Tâm của mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ là trung điểm $I$ của $OO'$ .

$\Rightarrow OI=\frac{1}{2}OO'=\frac{a}{2}$ .

Gọi $H$ là trung điểm của $BC$ . Do $\Delta ABC$ đều nên $AH\bot BC$ .

$\Rightarrow AH=\frac{{a\sqrt{3}}}{2},\,\,OA=\frac{2}{3}AH=\frac{{a\sqrt{3}}}{3}$ .

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ là

$R=AI=\sqrt{{O{{I}^{2}}+O{{A}^{2}}}}=\sqrt{{{{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}}^{2}}+{{{\left( {\frac{{a\sqrt{3}}}{3}} \right)}}^{2}}}}=\frac{{a\sqrt{{21}}}}{6}$ .

Vậy diện tích mặt cầu là

$S=4\pi {{R}^{2}}=4\pi .\frac{{21{{a}^{2}}}}{{36}}=\frac{{7\pi {{a}^{2}}}}{3}$ .

Chọn đáp án C.

Ví dụ 1.3 (Chuyên Vinh 2017 Lần 2) Cho lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có $AB=AC=a,\,\,BC=a\sqrt{3}$ . Cạnh bên $AA'=2a$ . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $AB'C'C$ bằng:

A. $a$ . B. $a\sqrt{5}$ . C. $a\sqrt{3}$ . D. $a\sqrt{2}$ .

Lời giải:

Dễ thấy tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $AB'C'C$ cũng là tâm mặt cầu ngoại tiếp khôi lăng trụ đứng đã cho.

Gọi $O$ là tâm đường trong ngoại tiếp tam giác $ABC$ .

Đường thẳng qua $O$ vuông góc với $(ABC)$ cắt mặt phẳng trung trực của $AA'$ tại $I$ .

Khi đó $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp.

Mặt khác $\cos \widehat{{BAC}}=\frac{{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-B{{C}^{2}}}}{{2AB.AC}}=-\frac{1}{2}\Rightarrow \widehat{{BAC}}={{120}^{0}}$ .

Áp dụng định lí sin trong tam giác $ABC$ ta có

$2{{R}_{{ABC}}}=\frac{{BC}}{{\sin A}}=\frac{{a\sqrt{3}}}{{\sin {{{120}}^{0}}}}=2a\Rightarrow {{R}_{{ABC}}}=OA=a$ .

Do đó $R=IA=\sqrt{{O{{I}^{2}}+O{{A}^{2}}}}=\sqrt{{4{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}}=a\sqrt{5}$ .

Chọn đáp án B.

Nhận xét: Mặt cầu đi qua $n$ điểm thì cũng đi qua $n-k$ điểm còn lại (với $n-k\ge 4$ ).

Ví dụ 1.4: Trong các hình hộp nội tiếp mặt cầu tâm $I$ bán kính $R$ , hình hộp có thể tích lớn nhất bằng

A. $\frac{8}{3}{{R}^{3}}$ . B. $\frac{8}{3\sqrt{3}}{{R}^{3}}$ . C. $\frac{\sqrt{8}}{3\sqrt{3}}{{R}^{3}}$ . D. $\sqrt{8}{{R}^{3}}$ .

Lời giải:

Giả sử hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ nội tiếp mặt cầu tâm $I$ bán kính $R$ .

Do tính đối xứng nên hình hộp nội tiếp khối cầu luôn là hình hộp chữ nhật.

Do đó đặt 3 kích thước của hình hộp chữ nhật là $a,b,c$ .

Khi đó thể tích của hình hộp chữ nhật là $V=abc$ .

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương ta có

$\begin{array}{l}a+b+c\ge 3\sqrt[3]{{abc}}\Leftrightarrow {{V}^{2}}={{(abc)}^{2}}\le {{\left( {{{{\left( {\frac{{a+b+c}}{3}} \right)}}^{2}}} \right)}^{3}}\\\Leftrightarrow {{V}^{2}}\le {{\left( {\frac{{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}{3}} \right)}^{3}}={{\left( {\frac{{{{{(2R)}}^{2}}}}{3}} \right)}^{3}}=\frac{{64{{R}^{2}}}}{{27}}\\\Rightarrow V\le \sqrt{{\frac{{64{{R}^{6}}}}{{27}}}}=\frac{{8{{R}^{3}}}}{{3\sqrt{3}}}\end{array}$

Chọn đáp án B.

Dạng 2: Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Phương pháp:

Cách 1 (Nhận biết):
Nếu $n-2$ đỉnh của đa diện nhìn 2 đỉnh còn lại dưới một góc vuông thì tâm của mặt cầu là trung điểm của đoạn thẳng nối hai đỉnh đó.

Cách 2: Để xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

- Tìm tâm O của đáy.
- + Tam giác đều: Giao của 3 đường trung tuyến.
- + Tam giác vuông: Trung điểm của cạnh huyền.
- + Tam giác thường: Giao của 3 đường trung trực (ít gặp).
- + Hình vuông, hình chữ nhật: Giao điểm của 2 đường chéo.
- Dựng trục $d$ là đường thẳng đi qua O và vuông góc với đáy ( $d$ song song với chiều cao của hình chóp).
- Xác định mặt phẳng trung trực $(P)$ của một cạnh bên.
- Giao điểm của $(P)$ và $d$ là tâm của mặt cầu ngoại tiếp.

Bài toán 2.1: Hình chóp có các đỉnh nhìn hai đỉnh còn lại dưới một góc vuông

Ví dụ 2.1.3 (Sở GD Vĩnh Phúc 2017 Lần 2) Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA\bot (ABC),\,AB=1$ , $AC=2$ và $\widehat{BAC}={{60}^{0}}$ . Gọi $M,N$ lần lượt là hình chiếu của $A$ trên $SB,\,SC$ . Tính bán kính $R$ của mặt cầu đi qua các điểm $A,B,C,M,N$ .

A. $R=\sqrt{2}$ . B. $R=\frac{2\sqrt{3}}{3}$ . C. . D. $R=1$ .

Lời giải:

Gọi $K$ là trung điểm của $AC\Rightarrow AK=AB=KC=1$ .

Lại có $\widehat{{BAC}}={{60}^{0}}\Rightarrow \widehat{{ABK}}={{60}^{0}};\,\widehat{{KBC}}={{30}^{0}}$ .

$\Rightarrow \widehat{{ABC}}=90$ (1)

Theo giả thiết $\widehat{{ANC}}={{90}^{0}}$ (2)

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}BC\bot SA\\BC\bot AB\end{array} \right.\Rightarrow BC\bot (SAB)$ .

$\Rightarrow (SBC)\bot (SAB)$ .

$AM\bot SB\Rightarrow AM\bot (SBC)\Rightarrow AM\bot MC$ (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra các điểm $A,B,C,M,N$ nội tiếp đường tròn tâm $K$ , bán kính $KA=KB=KC=KM=KN=\frac{1}{2}AC=1$ .

Chọn đáp án D.

Ví dụ 2.1.4: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $2\sqrt{2}$ , cạnh bên $SA=3$ và $SA\bot (ABCD)$ . Mặt phẳng $(\alpha )$ qua $A$ và vuông góc với $SC$ cắt các cạnh $SB,SC,SD$ lần lượt tại các điểm $M,N,P$ . Tính thể tích $V$ của khối cầu ngoại tiếp tứ diện $CMNP$ .

A. $V=\frac{64\sqrt{2}\pi }{3}$ . B. $V=\frac{125\pi }{6}$ . C. $V=\frac{32\pi }{3}$ . D. $V=\frac{108\pi }{3}$ .

Lời giải:

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}SC\bot AM\\AM\bot SB\end{array} \right.\Rightarrow AM\bot MC$ .

$\Rightarrow \widehat{{AMC}}={{90}^{0}}$ . Tương tự $\widehat{{APC}}={{90}^{0}}$ .

Lại có $\widehat{{ANC}}={{90}^{0}}$ .

Vậy tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là trung điểm của $AC$ . $C.MNP$

$\Rightarrow R=\frac{{AC}}{2}=2\Rightarrow V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\frac{{32}}{3}\pi$ .

Chọn đáp án C.

Ví dụ 2.1.5: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có $AB=a,\,AC=2a,\,\,AA'=2\sqrt{5}$ và $\widehat{BAC}={{120}^{0}}$ . Gọi $K$ là trung điểm của cạnh $CC'$ . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $A'B'BK$ bằng:

A. $a\sqrt{21}$ . B. $\frac{a\sqrt{21}}{2}$ . C. $\frac{a\sqrt{21}}{4}$ . D. $\frac{a\sqrt{21}}{3}$ .

Lời giải:

$\Delta ABC$ có $B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-2AB.AC.\cos {{120}^{0}}=7{{a}^{2}}$ .

$\begin{array}{l}B{{K}^{2}}=B{{C}^{2}}+C{{K}^{2}}=7{{a}^{2}}+{{(a\sqrt{5})}^{2}}=12{{a}^{2}}\\A'{{K}^{2}}=A'C{{'}^{2}}+C'{{K}^{2}}=4{{a}^{2}}+5{{a}^{2}}=9{{a}^{2}}\\A'{{B}^{2}}=A'{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}=20{{a}^{2}}+{{a}^{2}}=21{{a}^{2}}\end{array}$

Suy ra $A'{{B}^{2}}=A'{{K}^{2}}+B{{K}^{2}}\Rightarrow \Delta A'BK$ vuông tại $K$ .

Ta có $\widehat{{A'KB}}=\widehat{{A'B'B}}={{90}^{0}}$ .

Suy ra 4 điểm $A',\,B',K,B'$ nằm trên mặt cầu ngoại tiếp

Tứ diện $A'B'BK$ có tâm $E$ là trung điểm $A'B$ và bán kính $R=\frac{1}{2}A'B=\frac{{a\sqrt{{21}}}}{2}$ .

Bài toán 2.2: Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy

$\Rightarrow$ Trục của đáy song song với cạnh bên đó

Hình chóp $S.ABC$ có $SA\bot (ABC)$ tam giác $ABC$ đều.

$R=AI=\sqrt{{A{{N}^{2}}+A{{H}^{2}}}}$ .

Hình chóp $S.ABC$ có $SA\bot (ABC)$ , tam giác $ABC$ vuông tại $A$ .

$R=AI=\sqrt{{A{{N}^{2}}+A{{H}^{2}}}}$ .

Hình chóp $S.ABCD$ có $SA\bot (ABCD)$ , $ABCD$ là hình vuông (hình chữ nhật)

$R=AI=SI=SC$ .

Nhận xét: Hình chóp $S.ABCD$ có cạnh bên vuông góc với đáy thì bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó có công thức là:

$R=\sqrt{{{{r}^{2}}+\frac{{{{h}^{2}}}}{4}}}$

Trong đó $r:$ bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy.

$h:$ chiều cao của hình chóp.

Ví dụ 2.2.1 (Chuyên Vinh 2017 Lần 1)

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh

$3a$ , cạnh bên $SC=2a$ và $SC$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính bán kính $R$ của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ .

A. $R=\frac{2a}{\sqrt{3}}$ . B. $R=3a$ . C. $R=\frac{a\sqrt{13}}{2}$ . D. $R=2a$ .

Lời giải:

Gọi $N$ là trung điểm của cạnh $AB$ .

Do $\Delta ABC$ đều nên tâm $O$ của đáy cũng là giao điểm ba đường trung tuyến.

$\Rightarrow OC=\frac{2}{3}CN=\frac{2}{3}.\frac{{3a\sqrt{3}}}{2}=a\sqrt{3}$ .

Dựng trục $d$ của đáy là đường thẳng vuông góc với đáy tại tâm $O$ .

Mà $SC\bot (ABC)\Rightarrow d//SC$ .

Dựng mặt phẳng trung trực của đoạn $SC$ , cắt đường thẳng $d$ tại $I$ .

Suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là

$R=CI=\sqrt{{O{{I}^{2}}+O{{C}^{2}}}}=\sqrt{{{{a}^{2}}+{{{(a\sqrt{3})}}^{2}}}}=2a$ .

Chọn đáp án D.

Ví dụ 2.2.2: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ , $SA$ vuông góc với mặt đáy và $SA=a$ . Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ .

A. $\frac{3\pi {{a}^{2}}}{7}$ . B. $\frac{7\pi {{a}^{2}}}{12}$ . C. $\frac{7\pi {{a}^{2}}}{3}$ . D. $\frac{\pi {{a}^{2}}}{7}$ .

Lời giải:

Gọi $O$ là trọng tâm của giác đều $ABC$ và $M,N$ là trung điểm của $BC$ và $SA$ .

$\Rightarrow AO=\frac{2}{3}AM=\frac{{a\sqrt{3}}}{3}$ .

Gọi $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ .

$\Rightarrow IO\bot (ABC)$ và $IN\bot SA\Rightarrow AOIN$ là hình chữ nhật.

$R=IA=\sqrt{{A{{I}^{2}}+{{{\left( {\frac{{SA}}{2}} \right)}}^{2}}}}=\frac{{a\sqrt{{21}}}}{6}$ .

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ là

$S=4\pi {{R}^{2}}=\frac{{7\pi {{a}^{2}}}}{3}$ .

Chọn đáp án C.

Ví dụ 2.2.3: Cho tứ diện $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ , với $AB=3,BC=4$ . Hai mặt bên $(SAB)$ và $(SAC)$ cùng vuông góc với $(ABC)$ và $\displaystyle SC$ hợp với đáy một góc ${{45}^{0}}$ . Thể tích khối cầu ngoại tiếp $S.ABC$ là

A. $V=\frac{5\pi \sqrt{2}}{3}$ . B. $V=\frac{25\pi \sqrt{2}}{3}$ . C. $V=\frac{125\pi \sqrt{3}}{3}$ . D. $V=\frac{125\pi \sqrt{2}}{3}$ .

Lời giải:

Do $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ nên tâm $O$ của đáy là trung điểm của cạnh $AC$ .

Dựng trục $d$ vuông góc với $(ABC)$ tại $O$ .

$\left\{ \begin{array}{l}(SAB)\bot (ABC)\\(SAC)\bot (ABC)\end{array} \right.\Rightarrow SA\bot (ABC)$ $\Rightarrow d//SA$ .

Dựng mặt phẳng trung trực của cạnh $SA$ , cắt $d$ tại $I$ .

$\Rightarrow I$ là tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.

$OA=\frac{{AC}}{2}=\frac{{\sqrt{{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}}}}{2}=\frac{5}{2}$ .

$IO=\frac{1}{2}SA=\frac{1}{2}AC.\tan {{45}^{0}}=\frac{5}{2}$ .

Bán kính mặt cầu là $R=IA=\sqrt{{O{{I}^{2}}+O{{A}^{2}}}}=\sqrt{{{{{\left( {\frac{5}{2}} \right)}}^{2}}+{{{\left( {\frac{5}{2}} \right)}}^{2}}}}=\frac{{5\sqrt{2}}}{2}$ .

Thể tích khối cầu ngoại tiếp $S.ABC$ là $V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\frac{4}{3}\pi .{{\left( {\frac{{5\sqrt{2}}}{2}} \right)}^{3}}=\frac{{125\pi \sqrt{2}}}{3}$ .

Cách 2:

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}BC\bot SA\\BC\bot AB\end{array} \right.\Rightarrow BC\bot SB\Rightarrow \Delta SBC$ vuông tại $B$ .

Lại có $\Delta SAC$ vuông tại $A$ .

Do đó hai đỉnh $A,B$ cùng nhìn cạnh $SC$ dưới một góc vuông, nên tâm $I$ của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$ là trung điểm của cạnh $SC$ .

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là $SI=\frac{1}{2}SC=\frac{{AC}}{{\sin {{{45}}^{0}}}}=\frac{{5\sqrt{2}}}{2}$ .

Thể tích khối cầu ngoại tiếp $S.ABC$ là $V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\frac{4}{3}\pi .{{\left( {\frac{{5\sqrt{2}}}{2}} \right)}^{3}}=\frac{{125\pi \sqrt{2}}}{3}$ .

Chọn đáp án D.

Bài toán 2.3: Hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy

$\Rightarrow$ Chiều cao của hình chóp là chiều cao của mặt bên đó.

Ví dụ 2.3.1: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh bằng 1, mặt bên $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích $V$ của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.

A. $V=\frac{5\sqrt{15}\pi }{18}$ . B. $V=\frac{5\sqrt{15}\pi }{54}$ . C. $V=\frac{4\sqrt{3}\pi }{27}$ . D. $V=\frac{5\pi }{3}$ .

Lời giải:

Gọi $H$ là trung điểm của $AB$ .

Vì $\Delta SAB$ đều nên $SH\bot AB$ .

Mà $(SAB)\bot (ABC)\Rightarrow SH\bot (ABC)$

$\Rightarrow SH$ là đường cao của hình chóp $S.ABC$ .

Gọi $G$ là trọng tâm của $\Rightarrow G$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$ . $\Delta ABC$

Qua $G$ kẻ đường thẳng $d$ song song với $SH$ .

$\Rightarrow d\bot (ABC)$ .

Gọi $K$ là trung điểm của $SC$ , vì $\Delta SHC$ vuông cân tại $H\,\,(SH=HC)\Rightarrow HK$ là đường trung trực ứng với $SC$ .

Gọi $I=d\cap HK$ $\Rightarrow I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ .

Xét hai tam giác đều $\Delta ABC=\Delta SAB$ có độ dài các cạnh bằng 1.

$G$ là trọng tâm $\Delta ABC\Rightarrow CG=\frac{2}{3}CH=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$ .

Xét $\Delta HIG$ vuông tại $G$ , ta có $IG=HG=\frac{{\sqrt{3}}}{6}\Rightarrow IC=\frac{{\sqrt{{15}}}}{6}$ .

Vậy thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp là $V=\frac{4}{3}\pi I{{C}^{3}}=\frac{4}{3}\pi {{\left( {\frac{{\sqrt{{15}}}}{6}} \right)}^{3}}=\frac{{5\pi \sqrt{{15}}}}{{54}}$ .

Chọn đáp án B.

Ví dụ 2.3.2 (Chuyên Quang Trung 2017 Lần 3) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a,\,\widehat{ABC}={{120}^{0}}$ , tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ .

A. $\frac{\sqrt{41}}{6}a$ . B. $\frac{\sqrt{37}}{6}a$ . C. $\frac{\sqrt{39}}{6}a$ . D. $\frac{\sqrt{35}}{6}a$ .

Lời giải:

Do $\widehat{{ABC}}={{120}^{0}}\Rightarrow \widehat{{BAD}}={{60}^{0}}\Rightarrow \Delta ABD$ đều.

$\Rightarrow DA=DB=DC=a$

$\Rightarrow D$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$ .

Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ , $G$ là trọng tâm của $\Delta SAB$ .

Qua $D$ kẻ $d\bot (ABCD)$ và qua $G$ kẻ $d'\bot (SAB)$ .

Gọi $I=d\cap d'$ . Ta có $IA=IB=IC=ID$ .

Khi đó $I$ là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$

có bán kính $R=IA=\sqrt{{A{{D}^{2}}+M{{G}^{2}}}}=\sqrt{{{{a}^{2}}+{{{\left( {\frac{{a\sqrt{3}}}{6}} \right)}}^{2}}}}=\frac{{\sqrt{{39}}}}{6}a$ .

Chọn đáp án C.

Bài toán 2.4: Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau, hình chóp đều

Ví dụ 2.4.1: Hình chóp $S.ABC$ có $SA=SB=SC=a\sqrt{3}$ và có chiều cao $a\sqrt{2}$ . Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ .

A. $S=\frac{9{{a}^{2}}}{2}$ . B. $S=\frac{9\pi {{a}^{2}}}{2}$ . C. $S=\frac{9\pi {{a}^{2}}}{4}$ . D. $S=\frac{9{{a}^{2}}}{4}$ .

Lời giải:

Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ suy ra $SO\bot (ABC)$

Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $SA$ .

Trong tam giác $SAO$ kẻ đường trung trực của

cạnh $SA$ cắt cạnh $SO$ tại $I$ . Khi đó $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ có bán kính $R=SI=\frac{{SA.SM}}{{SO}}=\frac{{3a\sqrt{2}}}{4}$ .

Khi đó $S=\frac{{9\pi {{a}^{2}}}}{2}$ . Chọn B.

Ví dụ 2.4.2 (Chuyên KHTN 2017 Lần 4) Cho một mặt cầu bán kính bằng 1. Xét các hình chóp tam giác đều ngoại tiếp mặt cầu trên. Hỏi thể tích nhỏ nhất của chúng bằng bao nhiêu ?

A. $\min V=8\sqrt{3}$ . B. $\min V=4\sqrt{3}$ . C. $\min V=9\sqrt{3}$ . D. $\min V=16\sqrt{3}$ .

Lời giải:

Gọi cạnh đáy của hình chóp là $a\,(a>0)$ .

Gọi $I$ là tâm của mặt cầu, $H$ là tâm của $\Delta ABC$ , $J$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $(SBC)$ .

$\Rightarrow I\in SH,\,IH=IJ=1$ , $MH=\frac{a}{{2\sqrt{3}}}$ .

Ta có $\Delta SIJ\sim \Delta SMH\Rightarrow \frac{{SI}}{{SM}}=\frac{{IJ}}{{MH}}\Rightarrow MH(SH-IH)=IJ\sqrt{{S{{H}^{2}}+H{{M}^{2}}}}$ .

$\begin{array}{l}M{{H}^{2}}{{(SH-1)}^{2}}=S{{H}^{2}}+H{{M}^{2}}\Leftrightarrow M{{H}^{2}}(S{{H}^{2}}-2SH+1)=S{{H}^{2}}+H{{M}^{2}}\\\Leftrightarrow M{{H}^{2}}.S{{H}^{2}}-2SH.M{{H}^{2}}+M{{H}^{2}}=S{{H}^{2}}+H{{M}^{2}}\end{array}$

$\Leftrightarrow M{{H}^{2}}.SH-SH=2M{{H}^{2}}\Leftrightarrow SH=\frac{{2.M{{H}^{2}}}}{{M{{H}^{2}}-1}}$
$\Rightarrow SH=\frac{{2{{a}^{2}}}}{{{{a}^{2}}-12}}\,\,({{a}^{2}}\ne 12)$

$V=\frac{1}{3}{{S}_{{ABC}}}.SH=\frac{1}{3}.\frac{{{{a}^{2}}\sqrt{3}}}{4}.\frac{{2{{a}^{2}}}}{{{{a}^{2}}-12}}=\frac{{\sqrt{3}}}{6}.\frac{{{{a}^{4}}}}{{{{a}^{2}}-12}}=\frac{{\sqrt{3}}}{6}.\frac{1}{{\frac{1}{{{{a}^{2}}}}-\frac{{12}}{{{{a}^{4}}}}}}$