Mặt trụ, hình trụ và khối trụ

MẶT TRỤ – HÌNH TRỤ – KHỐI TRỤ

A. Lý thuyết cơ bản

1. Định nghĩa

Mặt trụ: là hình tròn xoay sinh bởi đường thẳng $l$ khi xoay quanh đường thẳng $\Delta$ song song và cách $l$ một khoảng $r$ .

+ $\Delta$ được gọi là trục.

+ $r$ được gọi là bán kính đường tròn đáy.

+ $l$ được gọi là đường sinh của mặt trụ.

Hình trụ:

Khi quay hình chữ nhật $ABCD$ xung quanh đường thẳng chứa một cạnh, chẳng hạn cạnh $AB$ thì đường gấp khúc $ABCD$ tạo thành một hình, hình đó được gọi là hình trụ tròn xoay (gọi tắt là hình trụ).

+ Đường thẳng $AB$ được gọi là trục.

+ Đoạn thẳng $CD$ được gọi là đường sinh.

+ Độ dài đoạn thẳng $AB=CD=h$ được gọi là chiều cao của hình trụ.

+ Hình tròn tâm $A$ , bán kính $r=AD$ và hình tròn tâm $B$ , bán kính $r=BC$ được gọi là hai đáy của hình trụ.

Khối trụ: là phần không gian giới hạn bởi hình trụ tròn xoay kể cả hình trụ.

2. Công thức tính diện tích, thể tích

Diện tích xung quanh của hình trụ: ${{S}_{xq}}=2\pi rh$ .

Diện tích toàn phần của hình trụ: ${{S}_{tp}}=2\pi rh+2\pi {{r}^{2}}=2\pi r(h+r)$ .

Thể tích của khối trụ: $V=Bh=\pi {{r}^{2}}h$ .

3. Thiết diện

Nếu cắt mặt trụ tròn xoay bởi một mp $(\alpha )$ vuông góc với trục $\Delta$ thì ta được đường tròn có tâm trên $\Delta$ và có cùng bán kính với mặt trụ đó.

Cho mp $(\alpha )$ song song với trục $\Delta$ của mặt trụ tròn xoay và cách $\Delta$ một khoảng k.

+ Nếu $k<r$ thì mp $(\alpha )$ cắt mặt trụ theo hai đường sinh ⇒ thiết diện là hình chữ nhật.

+ Nếu $k=r$ thì mp $(\alpha )$ tiếp xúc với mặt trụ theo một đường sinh.

+ Nếu $k>r$ thì mp $(\alpha )$ không cắt mặt trụ.

B. Bài tập

Dạng 1. Tính toán cơ bản của hình trụ: chiều cao, đường sinh, bán kính đáy, diện tích, thể tích

Ví dụ 1.1 (Đề minh họa 2017 Lần 1)

Trong không gian, cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB=1,\,AD=2$ . Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BC$ . Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục $MN$ , ta được một hình trụ. Tính diện tích toàn phần ${{S}_{tp}}$ của hình trụ đó.

A. ${{S}_{tp}}=4\pi$ . B. ${{S}_{tp}}=2\pi$ . C. ${{S}_{tp}}=6\pi$ . D. ${{S}_{tp}}=10\pi$ .

Lời giải:

Quay hình chữ nhật $ABCD$ xung quanh trục $MN$ nên hình trụ có bán kính $r=AM=\frac{AD}{2}=1$ .

Vậy diện tích toàn phần của hình trụ $\displaystyle {{S}_{tp}}=2\pi r(h+r)=2\pi .1.(1+1)=4\pi$ .

Chọn A.

Ví dụ 1.2 (THPT Trực Ninh B – Nam Định 2017) Cho lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng $a$ , hình trụ ngoại tiếp khối tiếp lăng trụ có thể tích bằng

A. $\frac{1}{6}\pi {{a}^{3}}$ . B. $\pi {{a}^{3}}$ . C. $\frac{1}{9}\pi {{a}^{3}}$ . D. $\frac{1}{3}\pi {{a}^{3}}$ .

Lời giải:

Hình trụ ngoại tiếp khối lăng trụ có:

Chiều cao $h=a$ .

Bán kính đường tròn đáy $R=\frac{a\sqrt{3}}{3}$ .

Thể tích của khối trụ đó là $V=\pi {{R}^{2}}h=\frac{\pi {{a}^{3}}}{3}$ .

Chọn D.

Ví dụ 1.3 (Chuyên Vinh 2017 Lần 1) Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB=AD=2a,AA'=3\sqrt{2}a$ . Tính diện tích toàn phần $S$ của hình trụ có hai đáy lần lượt ngoại tiếp hai đáy của hình hộp chữ nhật đã cho.

A. $S=7\pi {{a}^{2}}$ . B. $S=16\pi {{a}^{2}}$ . C. $S=12\pi {{a}^{2}}$ . D. $S=20\pi {{a}^{2}}$ .

Lời giải:

Bán kính của hình trụ là

$r=\frac{BD}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{A{{D}^{2}}+A{{B}^{2}}}=\frac{1}{2}\sqrt{{{(2a)}^{2}}+{{(2a)}^{2}}}=a\sqrt{2}$ .

Diện tích toàn phần của hình trụ là

${{S}_{tp}}=2\pi r(h+r)=2\pi .a\sqrt{2}(3\sqrt{2}a+a\sqrt{2})=16\pi {{a}^{2}}$ .

Chọn B.

Ví dụ 1.4 (THPT Chuyên Quang Trung 2017 Lần 3)

Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay mô hình (như hình vẽ) quanh trục $DF$

A. $\frac{10\pi {{a}^{3}}}{9}$ . B. $\frac{10\pi {{a}^{3}}}{7}$ .

C. $\frac{5\pi {{a}^{3}}}{2}$ . D. $\frac{\pi {{a}^{3}}}{3}$ .

Lời giải:

Ta có $EF=AF.\tan \beta =a.\tan {{30}^{0}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$ .

Khi quay quanh trục $DF$ , tam giác $AEF$ tạo ra một hình nón có thể tích:

${{V}_{1}}=\frac{1}{3}\pi .E{{F}^{2}}.AF=\frac{1}{3}\pi {{\left( \frac{a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}.a=\frac{\pi {{a}^{3}}}{9}$ .

Khi quay quanh trục $DF$ , hình vuông $ABCD$ tạo ra một hình trụ có thể tích

${{V}_{2}}=\pi .D{{C}^{2}}.BC=\pi {{a}^{2}}.a=\pi {{a}^{3}}$ .

Thể tích vật tròn xoay khi quay mô hình (như hình vẽ) quanh trục $DF$ là

$V={{V}_{1}}+{{V}_{2}}=\frac{\pi {{a}^{3}}}{9}+\pi {{a}^{3}}=\frac{10}{9}\pi {{a}^{3}}$ .

Chọn A.

Ví dụ 1.5 (THPT Yên Phong 1 – Bắc Ninh 2017 Lần 2) Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn $(O;R)$ và $(O';R),\,OO'=R\sqrt{2}$ . Một hình nón có đỉnh là $O'$ và đáy là hình tròn $(O;R)$ . Gọi ${{S}_{1}},{{S}_{2}}$ là diện tích xung quanh của hình trụ và hình nón. Tính tỉ số $\frac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}$ .

A. $\frac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$ . B. $\frac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$ . C. $\frac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$ . D. $\frac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}=\frac{\sqrt{6}}{6}$ .

Lời giải:

${{S}_{1}}=2\pi Rh=2\sqrt{2}\pi {{R}^{2}}$ .

Đường sinh hình nón là $l=\sqrt{{{R}^{2}}+{{h}^{2}}}=R\sqrt{3}\Rightarrow {{S}_{2}}=\pi Rl=\sqrt{3}\pi {{R}^{2}}$ .

$\frac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}=\frac{2\sqrt{2}\pi {{R}^{2}}}{\sqrt{3}\pi {{R}^{2}}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$ . Chọn đáp án A.

Ví dụ 1.6 (Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ Lần 1 số tháng 10.2017)

Cho hình lập phương có cạnh bằng $40\,cm$ và một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn nội tiếp hai mặt đối diện của hình lập phương. Gọi ${{S}_{1}},{{S}_{2}}$ lần lượt là diện tích toàn phần của hình lập phương và diện tích toàn phần của hình trụ. Tính $S={{S}_{1}}+{{S}_{2}}\,(c{{m}^{2}})$ .

A. $S=4(2400+\pi )$ . B. $S=2400(4+\pi )$ .

C. $S=2400(4+3\pi )$ . D. $S=4(2400+3\pi )$ .

Lời giải:

Ta có ${{S}_{1}}={{6.40}^{2}}=9600$ .

Bán kính đường tròn nội tiếp hai mặt đối diện của hình lập phương là $r=20\,cm$ ; hình trụ có đường sinh $h=40\,cm$ .

Diện tích toàn phần của hình trụ là ${{S}_{2}}=2\pi {{.20}^{2}}+2\pi .20.40=2400\pi$ .

Vậy $S={{S}_{1}}+{{S}_{2}}=9600+2400\pi =2400(4+\pi )$ .

Chọn đáp án B.

Dạng 2. Bài toán liên quan đến thiết diện của hình trụ

Ví dụ 2.1: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng $R$ , chiều cao bằng $\frac{3R}{2}$ . Mặt phẳng (α) song song với trục của hình trụ và cách trục một khoảng bằng $\frac{R}{2}$ . Diện tích thiết diện của hình trụ với mặt phẳng (α) là

A. $\frac{3{{R}^{2}}\sqrt{3}}{2}$ . B. $\frac{2{{R}^{2}}\sqrt{3}}{3}$ . C. $\frac{3{{R}^{2}}\sqrt{2}}{2}$ . D. $\frac{2{{R}^{2}}\sqrt{2}}{3}$ .

Lời giải:

Thiết diện là hình chữ nhật ABCD.

Vì mặt phẳng (α) song song và cách trục một khoảng bằng $\frac{R}{2}$

nên OH = $\frac{R}{2}$ , AD = $\frac{3R}{2}$

$\Rightarrow CD=2\sqrt{O{{C}^{2}}-O{{H}^{2}}}=R\sqrt{3}$

${{S}_{ABCD}}=AD.CD=R\sqrt{3}.\frac{3R}{2}=\frac{3{{R}^{2}}\sqrt{3}}{2}$

Chọn A.

Ví dụ 2.2: Cho một khối trụ có bán kính đáy bằng a, thiết diện của hình trụ qua trục là hình vuông có chu vi là 8. Thể tích khối trụ có giá trị bằng:

A. $\displaystyle 8\pi$ . B. $\displaystyle 2\pi$ . C. $\displaystyle 4\pi$ . D. $\displaystyle 16\pi$ .

Lời giải:

Thiết diện của hình trụ qua trục là hình vuông => đường kính đáy = chiều cao hình trụ.

=> Thể tích khối trụ = S _đáy. chiều cao $\displaystyle =2\pi$

Đáp án B

Ví dụ 2.3: (THPT Chuyên Lê Quý Đôn – Lai Châu 2017 Lần 3) Cho một hình trụ có bán kính đáy và chiều cao đều bằng $4\,dm$ . Một hình vuông $ABCD$ có hai cạnh $AB$ và $CD$ lần lượt là các dây cung của hai đường tròn đáy. Biết mặt phẳng $(ABCD)$ không vuông góc với mặt đáy của hình trụ. Tính diện tích $S$ của hình vuông $ABCD$ .

A. $S=60\,d{{m}^{2}}$ . B. $S=80\,d{{m}^{2}}$ . C. $S=20\,d{{m}^{2}}$ . D. $S=40\,d{{m}^{2}}$ .

Lời giải:

Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi $(ABCD)$ và đáy hình trụ. Gọi $H,K$ là trung điểm của $AB,CD$ thì $HK=\frac{OO'}{\sin \alpha }=\frac{4}{\sin \alpha }\Rightarrow AB=HK=\frac{4}{\sin \alpha }$ .

Mặt khác, do $AB=CD$ nên $OH=O'K\Rightarrow$ Giao điểm $I$ của $HK$ và $OO'$ là trung điểm của mỗi đường. Suy ra $OH=OI.\cot \alpha =\frac{2\cos \alpha }{\sin \alpha }$ .

Do đó

${{R}^{2}}=O{{H}^{2}}+H{{A}^{2}}\Leftrightarrow 16=\frac{4{{\cos }^{2}}\alpha }{{{\sin }^{2}}\alpha }+\frac{4}{{{\sin }^{2}}\alpha }\Leftrightarrow 4{{\sin }^{2}}\alpha ={{\cos }^{2}}\alpha +1\Leftrightarrow \sin \alpha =\frac{\sqrt{10}}{5}\Rightarrow AB=2\sqrt{10}$

Vậy ${{S}_{ABCD}}=A{{B}^{2}}=40\,(d{{m}^{2}})$ .

Ví dụ 2.4: (THPT Chuyên ĐHSPHN 2017 Lần 5) Cho hình trụ có hai đường tròn đáy là $(O;R)$ và $(O';R)$ , chiều cao $h=\sqrt{3}R$ . Đoạn thẳng $AB$ có hai đầu mút nằm trên hai đường tròn đáy của hình trụ sao cho góc hợp bởi $AB$ và trục của hình trụ là $\alpha ={{30}^{0}}$ . Thể tích khối tứ diện $ABOO'$ là

A. $\frac{3{{R}^{3}}}{2}$ . B. $\frac{3{{R}^{3}}}{4}$ . C. $\frac{{{R}^{3}}}{2}$ . D. $\frac{{{R}^{3}}}{4}$ .

Lời giải:

Gọi $A'$ là hình chiếu của $A$ trên $(O')$ thì

$d\left( A,(OO'B) \right)=d\left( A',(OO'B) \right)\Rightarrow {{V}_{OAO'B}}={{V}_{OA'O'B}}$ .

Do $\widehat{AB,OO'}=\widehat{AB,AA'}=\widehat{A'AB}={{30}^{0}}$ nên

$\begin{array}{l}A'B=AA'.\tan {{30}^{0}}=R\\\Rightarrow d(O,A'B)=\sqrt{{{R}^{2}}-\frac{A'{{B}^{2}}}{4}}=\sqrt{{{R}^{2}}-\frac{{{R}^{2}}}{4}}=\frac{R\sqrt{3}}{2}\\\Rightarrow {{S}_{OA'B}}=\frac{1}{2}d(O,A'B).A'B=\frac{{{R}^{2}}\sqrt{3}}{4}\end{array}$

Do đó ${{V}_{OA'O'B}}=\frac{1}{3}OO'.{{S}_{OA'B}}=\frac{{{R}^{3}}}{4}$ .

Chọn đáp án D.

Dạng 3. Bài toán thực tế liên quan đến hình trụ

Ví dụ 3.1 (Chuyên Vinh 2017 Lần 3)

Một người thợ có một khối đá hình trụ. Kẻ hai đường kính $MN,PQ$ của hai đáy sao cho $MN\bot PQ$ . Người thợ đó cắt khối đá theo các mặt đi qua 3 trong 4 điểm $M,N,P,Q$ để thu được khối đá có hình tứ diện $MNPQ$ . Biết rằng $MN=60\,cm$ và thể tích khối tứ diện $MNPQ$ bằng $30\,d{{m}^{3}}$ . Hãy tìm thể tích của lượng đá bị cắt bỏ (làm tròn kết quả đến 1 chữ số thập phân).

A. $101,3\,d{{m}^{3}}$ . B. $141,3\,d{{m}^{3}}$ .

C. $121,3\,d{{m}^{3}}$ . D. $111,4\,d{{m}^{3}}$ .

Lời giải:

Áp dụng công thức diện tích tứ diện

${{V}_{MNPQ}}=\frac{1}{6}MN.PQ.d(MN;PQ).\sin \widehat{(MN;PQ)}=30\,000\,(c{{m}^{3}})$ .

$\Leftrightarrow \frac{1}{6}{{.60}^{2}}.h=30\,000\Rightarrow h=50\,(cm)$ .

Khi đó lượng bị cắt bỏ là $V={{V}_{T}}-{{V}_{MNPQ}}=\pi {{r}^{2}}h-30=111,4\,d{{m}^{3}}$ . Chọn D.

Ví dụ 3.2: Một thùng hình trụ chứa nước, có đường kính đáy (bên trong) bằng 12,24cm. Mực nước trong thùng cao 4,56cm so với mặt trong của đáy. Một viên bi kim loại hình cầu được thả vào trong thùng nước thì mực nước dâng cao lên sát với điểm cao nhất của viên bi. Bán kính viên bi gần với đáp số nào nhất dưới đây, biết rằng viên bi có đường kính không vượt quá 6cm ?

A. 2,59 cm. B. 2,45 cm. C. 2,86 cm. D. 2,68 cm.

Lời giải:

Gọi R là bán kính của viên bi. Gọi r, h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ.

Thể tích nước khi chưa có viên bi là: $\pi {{r}^{2}}h$

Thể tích nước sau khi có viên bi là: $2\pi {{r}^{2}}R$ vì lúc này chiều cao mực nước bằng điểm cao nhất của viên bi.

Mặt khác, thể tích nước khi này cũng được tính bằng tổng thể tích nước ban đầu và thể tích viên bi, hay $\pi {{r}^{2}}h+\frac{4\pi {{R}^{3}}}{3}\Rightarrow \pi {{r}^{2}}h+\frac{4\pi {{R}^{3}}}{3}=2\pi {{r}^{2}}R$ .

Thay số với $h=4,56;r=6,12,R<6\Rightarrow R\approx 2,588$ . Chọn A.

Ví dụ 3.5: Từ một khúc gỗ tròn hình trụ có đường kính bằng 40 cm, cần xả thành một chiếc xà có tiết diện ngang là hình vuông và bốn miếng phụ được tô màu xám như hình vẽ dưới đây. Tìm chiều rộng x của miếng phụ để diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là lớn nhất.

A. $\displaystyle x=\frac{3\sqrt{34}-17\sqrt{2}}{2}\,\left( cm \right)$ .

B. $\displaystyle x=\frac{3\sqrt{34}-19\sqrt{2}}{2}\,\left( cm \right)$ .

C. $\displaystyle x=\frac{5\sqrt{34}-15\sqrt{2}}{2}\,\left( cm \right)$ .

D. $\displaystyle x=\frac{5\sqrt{34}-13\sqrt{2}}{2}\,\left( cm \right)$ .

Lời giải:

Diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là $\displaystyle S={{S}_{MNPQ}}+4xy$

Cạnh hình vuông $\displaystyle MN=\frac{MP}{\sqrt{2}}=\frac{40}{\sqrt{2}}=20\sqrt{2}\left( cm \right)$

$\displaystyle \Rightarrow S={{\left( 20\sqrt{2} \right)}^{2}}+4xy=800+4xy$ (1)

Ta có $\displaystyle 2x=AB-MN=AB-20\sqrt{2}<BD-20\sqrt{2}=40-20\sqrt{2}$ $\displaystyle \Rightarrow 0<x<20-10\sqrt{2}$

Lại có $\displaystyle A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}=B{{D}^{2}}={{40}^{2}}\Rightarrow {{\left( 2x+20\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=1600$

$\displaystyle \Rightarrow {{y}^{2}}=800-80x\sqrt{2}-4{{x}^{2}}\Rightarrow y=\sqrt{800-80x\sqrt{2}-4{{x}^{2}}}$

Thế vào $\displaystyle \left( 1 \right)\Rightarrow S=800+4x\sqrt{800-80x\sqrt{2}-4{{x}^{2}}}=800+4\sqrt{800{{x}^{2}}-80{{x}^{3}}\sqrt{2}-4{{x}^{4}}}$

Xét hàm số $\displaystyle f\left( x \right)=800{{x}^{2}}-80{{x}^{3}}\sqrt{2}-4{{x}^{4}}$ , với $\displaystyle x\in \left( 0;20-10\sqrt{2} \right)$ có

$\displaystyle f'\left( x \right)=1600x-240{{x}^{2}}\sqrt{2}-16{{x}^{3}}=16x\left( 100-15x\sqrt{2}-{{x}^{2}} \right)$

Ta có $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x\in \left( 0;20-10\sqrt{2} \right)\\f'\left( x \right)=0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\in \left( 0;20-10\sqrt{2} \right)\\16\text{x}\left( 100-15\text{x}\sqrt{2}-{{x}^{2}} \right)=0\end{array} \right.\Leftrightarrow x=\frac{5\sqrt{34}-15\sqrt{2}}{2}$

Khi đó $\displaystyle x=\frac{5\sqrt{34}-15\sqrt{2}}{2}$ chính là giá trị thỏa mãn bài toán.

Chọn C.

Ví dụ 3.6: Có ba quả bóng hình cầu bán kính bằng nhau và bằng 2cm. Xét hình trụ có chiều cao 4cm và bán kính R (cm) chứa được ba quả bóng trên sao cho chúng đôi một tiếp xúc nhau. Khi đó, giá trị R nhỏ nhất phải là

A. $2\sqrt{3}$ cm. B. 4 cm. C. $\frac{4\sqrt{3}+6}{3}$ cm. D. $\frac{4\sqrt{3}-6}{3}$ cm.

Lời giải:

Vì chiều cao bằng 4cm bằng đường các quả bóng nên các quả bóng sẽ nằm trên một mặt phẳng chứ không chồng hoặc chênh nhau. Xét theo mặt cắt từ trên xuống, 3 quả bóng tạo thành 3 đường tròn bằng nhau và đôi một tiếp xúc. Bài toán đặt ra: Tìm đường tròn có bán kính nhỏ nhất chứa 3 đường tròn đã cho.

Dễ thấy đó là đường tròn tiếp xúc với 3 đường tròn đã cho như hình vẽ.

Lúc này, tâm của đường tròn lớn là tâm của tam giác đều cạnh 4 cm với 3 đỉnh là tâm của 3 đường tròn.

Bán kính đường tròn lớn là : $\frac{2}{3}\times \frac{4\sqrt{3}}{2}+2=\frac{4\sqrt{3}+6}{3}$ . Chọn C