Mặt nón, hình nón và khối nón

MẶT NÓN – HÌNH NÓN –KHỐI NÓN

A. Lý thuyết cơ bản

1. Định nghĩa mặt nón tròn xoay

Mặt nón tròn xoay:

Cho hai đường thẳng $d$ và $\Delta$ cắt nhau tại điểm $O$ và tạo thành góc $\beta$ với ${{0}^{0}}<\beta <{{90}^{0}}$ . Mặt tròn xoay sinh ra bởi đường thẳng $d$ quay quanh $\Delta$ gọi là mặt nón tròn xoay (gọi tắt là mặt nón). Trong đó:

+ $\Delta$ là trục của mặt nón.
+ $d$ là đường sinh của mặt nón.
+ O là đỉnh của mặt nón.
+ $2\beta$ là góc ở đỉnh.

Hình nón tròn xoay:

Cho $\Delta OIM$ vuông tại $I$ quay quanh cạnh góc vuông $OI$ thì đường gấp khúc $OIM$ tạo thành một hình, gọi là hình nón tròn xoay (gọi tắt là hình nón).

+ $OI$ là đường cao.

+ $OM$ là đường sinh.

+ $IM$ là bán kính đường tròn đáy.

Mặt nón tròn xoay:

Là phần không gian được giới hạn bởi một hình nón tròn xoay kể cả hình nón đó.

2. Công thức tính diện tích và thể tích của khối nón

– Diện tích xung quanh của hình nón: ${{S}_{xq}}=\pi rl$ .

– Diện tích toàn phần của hình nón: ${{S}_{tp}}=\pi r(l+h)$ .

– Thể tích của khối nón: $V=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h$ .

3. Thiết diện

– Mặt phẳng cắt mặt nón theo 2 đường sinh ⇒ Thiết diện là tam giác cân.

– Mặt phẳng cắt đi qua trục của mặt nón ⇒ Thiết diện là tam giác cân có đáy là đường kính của đường tròn đáy.

– Mặt phẳng cắt vuông góc với trục của mặt nón ⇒ Thiết diện là đường tròn.

B. Bài tập

Dạng 1. Tính toán cơ bản của hình nón: chiều cao, đường sinh, bán kính đáy, diện tích, thể tích.

Ví dụ 1.1: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB=a,\,AC=2a$ . Quay mặt phẳng $(ABC)$ quanh cạnh $AB$ , đường gấp khúc $ABC$ tạo thành một khối tròn xoay có thể tích bằng bao nhiêu?

A. $\frac{2\pi {{a}^{3}}}{3}$ . B. $\frac{\pi {{a}^{3}}}{3}$ . C. $4\pi {{a}^{3}}$ . D. $\frac{4\pi {{a}^{3}}}{3}$ .

Lời giải:

Thể tích khối nón là

Chọn D.

Ví dụ 1.2: Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a$ và góc giữa một cạnh bên và đáy bằng ${{60}^{0}}$ , diện tích xung quanh của hình nón đỉnh $S$ và đáy là hình tròn nội tiếp tam giác $ABC$ là

A. $\frac{13\pi {{a}^{2}}}{12}$ . B. $\frac{\pi {{a}^{2}}\sqrt{13}}{12}$ . C. $\frac{\pi {{a}^{2}}}{12}$ . D. $\frac{\pi {{a}^{2}}\sqrt{13}}{\sqrt{12}}$ .

Lời giải:

Vì đáy của hình nón là đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Nên $r=OM=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$

$h=SO=OA.\tan {{60}^{0}}=\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.\sqrt{3}=a$

$l=SH=\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{H}^{2}}}=\frac{a\sqrt{13}}{2\sqrt{3}}$

${{S}_{xq}}=\pi \frac{a\sqrt{3}}{6}.\frac{a\sqrt{13}}{2\sqrt{3}}=\frac{\pi {{a}^{2}}\sqrt{13}}{12}$ . Chọn B.

Ví dụ 1.3: Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$ . Tính thể tích khối nón có đỉnh là tâm $O$ của hình vuông $ABCD$ và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông $A'B'C'D'$ .

A. $\frac{{{a}^{3}}}{12}$ . B. $\frac{\pi {{a}^{3}}}{12}$ . C. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}$ . D. $\frac{{{a}^{3}}\pi \sqrt{3}}{12}$ .

Lời giải:

Khối nón có $h=a;\,r=\frac{a}{2}$ .

Thể tích khối nón nội tiếp hình lập phương

$ABCD.A'B'C'D'$ là

$V=\frac{1}{3}Bh=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\frac{1}{12}\pi {{a}^{3}}$ (đvtt).

Đáp án B.

Ví dụ 1.4: Cho hình nón đỉnh $S$ , đường cao $SO$ , $A;B$ là hai điểm nằm trên đường tròn đáy hình nón sao cho khoảng cách từ O đến $AB$ bằng $a$ . Góc $\widehat{SAO}={{30}^{0}},\widehat{SAB}={{60}^{0}}$ . Khi đó độ dài đường sinh $l$ của hình nón là

A. $a$ . B. $2a$ . C. $a\sqrt{2}$ . D. $2a\sqrt{2}$ .

Lời giải:

$OA=r\,\,(r>0)$ .

Tam giác $SOA$ vuông tại O có $SA=\frac{OA}{\cos {{30}^{0}}}=\frac{2\sqrt{3}r}{3}$ .

Tam giác $AOB$ cân tại O có :

$AB=2AH=2\sqrt{O{{A}^{2}}-O{{H}^{2}}}=2\sqrt{{{r}^{2}}-{{a}^{2}}}$ .

Tam giác $SAB$ đều nên:

$SA=AB\Leftrightarrow \frac{2\sqrt{3}r}{3}=2\sqrt{{{r}^{2}}-{{a}^{2}}}$ $\Leftrightarrow \frac{{{r}^{2}}}{3}={{r}^{2}}-{{a}^{2}}\Leftrightarrow r=\frac{\sqrt{6}a}{2}$ .

Độ dài đường sinh $l=SA=a\sqrt{2}$ .

Chọn C.

Ví dụ 1.5: Khai triển mặt xung quanh của một hình nón ta được hình quạt tròn có bán kính bằng $10cm$ , độ dài cung tròn là $12\pi (cm)$ . Chiều cao của khối nón là

A. $8\sqrt{3}\,\,cm$ . B. $8\sqrt{2}\,\,cm$ . C. $\frac{8\sqrt{3}}{3}\,\,cm$ . D. $8\,\,cm$ .

Lời giải:

Khai triển hình nón ta được hình quạt có bán kính bằng $10cm$ , suy ra đường sinh của hình nón là $l=10\,cm$ (vì bán kính hình quạt chính là độ dài đường sinh của hình nón).

Độ dài cung tròn bằng $L=\varphi R=12\pi$ (với $\varphi$ là góc ở tâm).

Diện tích hình quạt tròn là $A=\frac{1}{2}\varphi {{r}^{2}}=\frac{1}{2}L.R=\frac{1}{2}.12\pi .10=60\pi$ .

Vì diện tích xung quanh của hình nón bằng diện tích của hình quạt tròn nên ${{S}_{xq}}=60\pi$ .

Mà ${{S}_{xq}}=\pi rl\Rightarrow r=\frac{{{S}_{xq}}}{\pi l}=\frac{60\pi }{10\pi }=6\,\,(cm)$ .

Chiều cao của khối nón là $h=\sqrt{{{l}^{2}}-{{r}^{2}}}=\sqrt{{{10}^{2}}-{{6}^{2}}}=8\,\,(cm)$ .

Chọn D.

Ví dụ 1.6: Cho hình tròn tâm S bán kính $R=2$ . Cắt ra $\frac{1}{4}$ hình tròn tồi dán lại để tạo ra mặt xung quanh của một hình nón N. Tính diện tích toàn phần ${{S}_{tp}}$ của hình nón N.

A. $\displaystyle {{S}_{tp}}=3\pi$ . B. $\displaystyle {{S}_{tp}}=\pi \left( 3+2\sqrt{3} \right)$ .

C. $\displaystyle {{S}_{tp}}=\frac{21}{4}\pi$ . D. $\displaystyle {{S}_{tp}}=\pi \left( 3+4\sqrt{3} \right)$ .

Lời giải:

Chu vi hình tròn T ban đầu $\left( 2+2 \right)\pi =4\pi$

Gọi r là bán kính đáy của N.

Chu vi đáy của N là $\frac{3}{4}.4\pi =\left( r+r \right)\pi \Rightarrow r=\frac{3}{2}$

Khi đó ${{S}_{tp}}={{S}_{1}}+{{r}^{2}}\pi =\frac{3}{4}{{S}_{T}}+{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{2}}\pi$ $=\frac{3}{4}.2.2\pi +\frac{9\pi }{4}=\frac{21\pi }{4}$ .

Chọn C

Ví dụ 1.7: Tam giác đều ABC cạnh $a$ quay xung quanh đường cao AH của nó tạo nên một hình nón. Diện tích xung quanh của mặt nón là

A. $\frac{1}{2}\pi {{a}^{2}}$ . B. $2\pi {{a}^{2}}$ . C. $\pi {{a}^{2}}$ . D. $\frac{3}{4}\pi {{a}^{2}}$ .

Lời giải:

Khi quay tam giác đều ABC cạnh $a$ quay xung quanh đường cao AH của nó tạo nên một hình nón có đường cao bằng $AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ và bán kính đáy bằng $r=\frac{a}{2}$ , độ dài đường sinh $l=a$ .

Khi đó ${{S}_{xq\left( N \right)}}=\pi rl=\pi .\frac{a}{2}.a=\frac{\pi {{a}^{2}}}{2}$ . Chọn A.

Dạng 2. Thiết diện của hình nón

Ví dụ 2.1: Cho hình nón có thiết diện đi qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng $a\sqrt{2}$ . Thể tích khối nón bằng:

A. $\frac{\pi {{a}^{3}}}{3}$ . B. $\frac{\pi {{a}^{3}}}{2}$ . C. $\pi {{a}^{3}}$ . D. $\frac{\pi {{a}^{3}}}{6}$ .

Lời giải:

$AB=\sqrt{S{{A}^{2}}+S{{B}^{2}}}=\sqrt{2S{{A}^{2}}}=SA=2a$ .

$SO=\sqrt{S{{A}^{2}}-\frac{A{{B}^{2}}}{4}}=\sqrt{2{{a}^{2}}-\frac{4{{a}^{2}}}{4}}=a$ .

Thể tích khối nón là

$V=\frac{1}{3}SO.\pi {{a}^{2}}=\frac{\pi {{a}^{3}}}{3}$ . Chọn A.

Ví dụ 2.2: Cho hình nón tròn xoay đỉnh $S$ , đáy là đường tròn tâm $O$ , bán kính $R=5$ . Một thiết diện qua đỉnh $SAB$ sao cho tam giác $SAB$ đều, cạnh bằng 8. Khoảng cách từ O đến thiết diện $(SAB)$ là

A. $d=\frac{4}{3}\sqrt{13}$ . B. $d=\frac{3}{4}\sqrt{13}$ . C. $d=3$ . D. $d=\frac{\sqrt{13}}{3}$ .

Lời giải:

$SO\bot (OAB)$ , kẻ $SH\bot AB\Rightarrow OH\bot AB$ .

$AB\bot (SOH)\Rightarrow (SAB)\bot (SOH)$ .

Kẻ $OI\bot SH\Rightarrow OI\bot (SAB)\Rightarrow d=OI$ .

$\Delta SOA$ có $\displaystyle O{{S}^{2}}=64-25=39$ .

$\Delta OHA$ có $O{{H}^{2}}=25-16=9$ .

$\frac{1}{O{{I}^{2}}}=\frac{1}{O{{H}^{2}}}+\frac{1}{S{{O}^{2}}}=\frac{1}{9}+\frac{1}{39}=\frac{16}{117}\Rightarrow OI=\frac{3}{4}\sqrt{13}$ .

Chọn B.

Ví dụ 2.3 (THPT Đông Hà – Quảng Trị 2017 Lần 2)

Một hình nón có bán kính đáy bằng $R$ , góc ở đỉnh bằng ${{60}^{0}}$ . Một thiết diện qua đỉnh của hình nón chắn trên đáy một cung có số đo ${{90}^{0}}$ . Diện tích của thiết diện là

A. $\frac{{{R}^{2}}\sqrt{6}}{2}$ . B. $\frac{{{R}^{2}}\sqrt{3}}{2}$ . C. $\frac{3{{R}^{2}}}{2}$ . D. $\frac{{{R}^{2}}\sqrt{7}}{2}$ .

Lời giải:

Do tam giác $OAB$ cân tại $O$ có góc ở đỉnh là ${{60}^{0}}$ nên

nó là tam giác đều. Do đó $l=2R$ .

Giả sử thiết diện là tam giác $OMN$

$\Rightarrow \Delta OMN$ cân tại O.

Do cung $MN$ là ${{90}^{0}}$ nên $\widehat{MHN}={{90}^{0}}$

Suy ra $MN=\sqrt{H{{M}^{2}}+H{{N}^{2}}}=R\sqrt{2}$ .

Gọi $I$ là trung điểm của $MN$
$\Rightarrow OI\bot MN$ .

$\Rightarrow OI=\sqrt{O{{N}^{2}}-\frac{M{{N}^{2}}}{4}}=\frac{R\sqrt{14}}{2}$ .

$\Rightarrow {{S}_{OMN}}=\frac{1}{2}OI.MN=\frac{1}{2}.\frac{R\sqrt{14}}{2}.R\sqrt{2}=\frac{{{R}^{2}}\sqrt{7}}{2}$ .

Chọn D.

Dạng 3. Bài toán thực tế liên quan đến hình nón

Ví dụ 3.1 (THPT Sông Ray – Đồng Nai 2017)

Bạn An có một đoạn dây kém $AB$ dài $40\,cm$ . Trên đoạn AB, An chọn một vị trí $C$ rồi gấp khúc đoạn kẽm tại vị trí $C$ sao cho ba điểm $A,B,C$ tạo thành một tam giác vuông tại $B$ . An cho đường gấp khúc $ACB$ xoay quanh trục $AB$ để được một hình nón tròn xoay. Xác định độ dài $BC$ để khối nón tròn xoay có thể tích lớn nhất?

A. $14\,cm$ . B. $15\,cm$ .

C. $16\,cm$ . D. $17\,cm$ .

Lời giải:

Đặt $BC=x$ thì $AC=40-x$ . Khối nón tròn xoay có bán kính đáy $r=x$ , độ dài đường sinh $l=40-x$ nên có đường cao $h$ thỏa mãn

${{h}^{2}}={{(40-x)}^{2}}-{{x}^{2}}=1600-80x\Rightarrow x=20-\frac{{{h}^{2}}}{80}$ .

Thể tích khối nón là $V=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\frac{1}{3}\pi h{{\left( 20-\frac{{{h}^{2}}}{80} \right)}^{2}}$ .

Đặt $f(h)=h.{{\left( 20-\frac{{{h}^{2}}}{80} \right)}^{2}}$ thì $f'(h)={{\left( 20-\frac{{{h}^{2}}}{80} \right)}^{2}}-\frac{4{{h}^{2}}}{80}\left( 20-\frac{{{h}^{2}}}{80} \right)$ $=\left( 20-\frac{{{h}^{2}}}{80} \right)\left( 20-\frac{5{{h}^{2}}}{80} \right)$ .

Suy ra thể tích khối nón lớn nhất khi $\frac{{{h}^{2}}}{80}=4\Leftrightarrow x=16$ . Chọn C.

Ví dụ 3.2 (THPT Lý Thánh Tông – Hà Nội 2017 Lần 4)

Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ có $AB=AC=12$ . Lấy một điểm $M$ thuộc cạnh huyền $BC$ và gọi $H$ là hình chiếu của $M$ lên cạnh góc vuông $AB$ . Quay tam giác $AMH$ quanh trục là đường thẳng $AB$ tạo thành mặt nón tròn xoay $(N)$ , hỏi thể tích $V$ của khối tròn xoay $(N)$ lớn nhất là bao nhiêu?

A. $V=\frac{256\pi }{3}$ . B. $V=\frac{128\pi }{3}$ . C. $V=256\pi$ . D. $V=72\pi$ .

Lời giải:

Đặt $BH=x(0<x<12)$ thì $AH=12-x$ và $HM=BH=x$ .

Hình nón $(N)$ có đường cao $h=AH=12-x$ ,

bán kính đáy $r=HM=x$ nên có thể tích

$V=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\frac{\pi }{3}{{x}^{2}}(12-x)$ .

Đặt $f(x)={{x}^{2}}(12-x)=12{{x}^{2}}-{{x}^{3}}\Rightarrow f'(x)=24x-3{{x}^{2}}$ .

Từ đó suy ra $\max f(x)=f(8)=256$ .

Chọn đáp án A.

Ví dụ 3.3 (THPT Chuyên Bảo Lộc – Lâm Đồng 2017)

Từ một miếng tôn cạnh bằng $8\,dm$ , người ta cắt ra một hình quạt tâm $O$ , bán kính $OA=8\,dm$ để cuộn lại thành một chiếc phễu hình nón (khi đó $OA$ trùng với $OB$ ). Chiều cao chiếc phễu đó có số đo gần đúng (làm tròn đến 3 chữ số thập phân) là

A. $7,745\,dm$ . B. $7,747\,dm$ .

C. $7,746\,dm$ . D. $7,748\,dm$ .

Lời giải:

Hình nón được tạo thành có đường sinh là $l=R=8$ , bán kính đáy $r=\frac{R\varphi }{2\pi }=\frac{2\frac{\pi }{2}}{2\pi }=2$ .

Do đó đường cao của hình nón là $h=\sqrt{{{l}^{2}}-{{r}^{2}}}=2\sqrt{15}$ . Chọn C.

Ví dụ 3.4 (Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ Lần 1 số tháng 10.2017)

Người thợ gia công của một cơ sở chất lượng cao X cắt một miếng tôn hình tròn với bán kính $60\,cm$ thành ba miếng hình quạt bằng nhau. Sau đó người thợ ấy quấn và hàn bạ miếng tôn đó để được ba cái phễu hình nón. Hỏi thể tích $V$ của mỗi cái phễu đó bằng bao nhiêu?

A. $V=\frac{16000\sqrt{2}}{3}$ lít. B. $V=\frac{16\sqrt{2}\pi }{3}$ lít.

C. $V=\frac{16000\sqrt{2}\pi }{3}$ lít. D. $V=\frac{160\sqrt{2}\pi }{3}$ lít.

Lời giải:

Đổi $60\,cm=6\,dm$ .

Đường sinh của hình nón tạo thành là $l=6\,dm$ .

Chu vi đường tròn đáy của hình nón tạo thành là $2\pi r=\frac{2\pi .6}{3}=4\pi \,(dm)$ .

Suy ra bán kính đáy của hình nón tạo thành bằng $r=\frac{4\pi }{2\pi }=2\,dm$ .

Đường cao của khối nón tạo thành là $h=\sqrt{{{l}^{2}}-{{r}^{2}}}=\sqrt{{{6}^{2}}-{{2}^{2}}}=4\sqrt{2}$ .

Thể tích của mỗi cái phễu là $V=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\frac{1}{3}\pi {{.2}^{2}}.4\sqrt{2}=\frac{16\sqrt{2}\pi }{3}\,\,d{{m}^{3}}=\frac{16\sqrt{2}\pi }{3}$ lít.