Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức
I. Bất đẳng thức
1. Định nghĩa
Các mệnh đề dạng "a > b", "a < b", "a ≥ b", "a ≤ b", với a và b là hai số thực, được gọi là những bất đẳng thức.
2. Chứng minh bất đẳng thức
Chứng minh một bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng.
II. Tính chất của bất đẳng thức
| (1) | Bắc cầu |  |
| (2) | Cộng hai vế với cùng một số |  |
| (3) | Nhân hai vế với cùng một số | - Nếu  thì  - Nếu  thì  |
| (4) | Cộng hai vế của những bất đẳng thức cùng chiều (hệ quả của (1) và (2)) |
 |
| (5) | Chuyển vế (hệ quả của (2)) |  |
| (6) | Nhân hai vế của những bất đẳng thức cùng chiều (hệ quả của (1)) |
 |
| (7) | Nâng hai vế không âm của một bất đẳng thức lên cùng một luỹ thừa nguyên dương |
 |
| (8) | Khai căn hai vế của một bất đẳng thức | +  + ![a>b<=>\sqrt[3]{a}>\sqrt[3]{b}](http://s0.wp.com/latex.php?latex=a%3Eb%3C%3D%3E%5Csqrt%5B3%5D%7Ba%7D%3E%5Csqrt%5B3%5D%7Bb%7D&bg=ffffff&fg=000&s=0 "a>b<=>\sqrt[3]{a}>\sqrt[3]{b}") |
III. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối
IV. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân của hai số không âm (bất đẳng thức Cô-si)
1. Bất đẳng thức Cô-si cho 2 số không âm
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b.
Hệ quả: Với a, b là hai số dương thay đổi, ta có:
i) Nếu tổng a + b không đổi thì tích ab lớn nhất ⇔ a = b
ii) Nếu tích ab không đổi thì tổng a + b nhỏ nhất ⇔ a = b.
2. Bất đẳng thức Cô-si cho 3 số không âm
Đẳng thức này xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
![\forall a>0,b>0,c>0:\frac{a+b+c}{3}\ge \sqrt[3]{abc}](http://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cforall+a%3E0%2Cb%3E0%2Cc%3E0%3A%5Cfrac%7Ba%2Bb%2Bc%7D%7B3%7D%5Cge+%5Csqrt%5B3%5D%7Babc%7D&bg=ffffff&fg=000&s=0 "\forall a>0,b>0,c>0:\frac{a+b+c}{3}\ge \sqrt[3]{abc}")
V. Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki
1. Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki với 4 số thực khác 0
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi ad=bc
2. Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki với 6 số thực khác 0
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi
