Đại cương về bất phương trình

I. Khái niệm bất phương trình một ẩn

1. Định nghĩa

Bất phương trình một ẩn (ẩn x) là mệnh đề chứa biến có một trong các dạng:
$f(x)<g(x),f(x)>g(x),f(x)\le g(x),f(x)\ge g(x);$ trong đó $y=f(x),y=g(x)$ là hai hàm số có tập xác định lần lượt là ${{D}_{f}},{{D}_{g}}.$
2. Tập xác định

$D={{D}_{f}}\cap {{D}_{g}}$ được gọi là tập xác định của bất phương trình đã nêu trên.
3. Nghiệm của bất phương trình

+ Số ${{x}_{0}}\in D$ làm cho $f({{x}_{0}})<g({{x}_{0}})$ là một mệnh đề đúng được gọi là một nghiệmcủa bất phương trình $f(x)<g(x).$
+ Giải một bất phương trình là tìm tất cả các nghiệm (tìm tập nghiệm) của bất phương trình đó.
Chú ý: Thông thường ta không cần viết rõ tập xác định D của bất phương trình màchỉ cần đặt điều kiện của x để $f(x)$ và $g(x)$ có nghĩa. Điều kiện đó được gọi là điều kiện xác định của bất phương trình, thường gọi tắt là điều kiện của bất phương trình.

II. Bất phương trình tương đương và phép biến đổi tương đương
1. Định nghĩa

    Hai bất phương trình tương đương nhau nếu chúng có cùng một tập nghiệm.
    Nếu ${{f}_{1}}(x)<{{g}_{1}}(x),{{f}_{2}}(x)<{{g}_{2}}(x)$ tương đương nhau thì ta viết:
                  ${{f}_{1}}(x)<{{g}_{1}}(x)<=>{{f}_{2}}(x)<{{g}_{2}}(x).$
2. Tính chất

Với $y=h(x)$ là hàm số xác định trên D.

Bất phương trình $f(x)<g(x)$ có tập xác định D tương đương với mỗi bất phương trình sau:

$\begin{array}{l}a)f(x)+h(x)<g(x)+h(x);\\b)f(x).h(x)<g(x).h(x),h(x)>0,\forall x\in D;\\c)f(x).h(x)>g(x).h(x),h(x)<0,\forall x\in D;\\d)f(x)<g(x)<=>{{\left[ f(x) \right]}^{3}}<{{\left[ g(x) \right]}^{3}};\\e)f(x)<g(x)<=>{{\left[ f(x) \right]}^{2}}<{{\left[ g(x) \right]}^{2}},f(x)>0,g(x)>0,\forall x\in D.\end{array}$