Tích vô hướng của hai vectơ - Phần I

I. Giá trị lượng giác của một góc bất kì (từ ${{0}^{0}}$ đến ${{180}^{0}}$ )
1. Định nghĩa
Với mỗi góc α ( ${{0}^{0}}\le a\le {{180}^{0}}$ ), ta xác định được điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{MOx}=a.$ Gọi $\left( x;y \right)$ là toạ độ của M. Khi đó, ta định nghĩa:

$\begin{array}{l}\sin a=y\\\cos a=x\\\tan a=\frac{y}{x}\left( x\ne 0 \right)\\\cot a=\frac{x}{y}\left( y\ne 0 \right)\end{array}$

Các số sinα, cosα, tanα, cotα gọi là các giá trị lượng giác của góc α.
Suy ra:
• $\tan a=\frac{\sin a}{\cos a}$
• $\cot a=\frac{\cos a}{\sin a}.$

2. Hai góc bù nhau khi tổng số đo của chúng bằng ${{180}^{0}}$
Góc bù của góc α là góc ${{180}^{0}}$ - α. Ta có:
sin( ${{180}^{0}}$ - α) = sinα
cos( ${{180}^{0}}$ - α) = -cosα
tan( ${{180}^{0}}$ - α) = -tanα
cot( ${{180}^{0}}$ - α) = -cotα

3. Hai góc phụ nhau khi chúng có số đo lần lượt là α và ${{90}^{0}}$ - α.
sin( ${{90}^{0}}$ - α) = cosα
cos( ${{90}^{0}}$ - α) = sinα
tan( ${{90}^{0}}$ - α) = cotα
cot( ${{90}^{0}}$ - α) = tanα

4. Giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt

Góc	${{0}^{0}}$	${{30}^{0}}$	${{45}^{0}}$	${{60}^{0}}$		${{120}^{0}}$	${{135}^{0}}$	${{150}^{0}}$	${{180}^{0}}$
sin	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
cos	1	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	-1
tan	$0$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$1$	$\sqrt{3}$	\|\|	$-\sqrt{3}$	-1	$-\frac{1}{\sqrt{3}}$	$0$
cot	\|\|	$\sqrt{3}$	$1$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	0	$-\frac{1}{\sqrt{3}}$	-1	$-\sqrt{3}$	\|\|

5. Góc giữa hai vectơ
• Cho hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ đều khác vectơ không, từ một điểm O vẽ các vectơ
$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$ thi số đo của góc $\widehat{AOB}$ được gọi là số đo của góc
giữa hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ hoặc đơn giản là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ .
• $\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right)={{90}^{0}}<=>\overrightarrow{a}\bot \overrightarrow{b}.$
• Nếu $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$ (hoặc $\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$ ) thì $\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right)$ là một góc tuỳ ý.

II. Tích vô hướng của hai vectơ
1. Định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ
$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left| \overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{b} \right|.cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right).$

2. Bình phương vô hướng
• $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a}$ được kí hiệu: ${{\overrightarrow{a}}^{2}}$ và được gọi là bình phương vô hướng của $\overrightarrow{a}$ .
• ${{\overrightarrow{a}}^{2}}=\left| \overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{a} \right|.cos{{0}^{0}}=>{{\overrightarrow{a}}^{2}}={{\left| \overrightarrow{a} \right|}^{2}}$

3. Tính chất của tích vô hướng
Với ba vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ tuỳ ý và số thực k bất kì, ta có :
• $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}.\overrightarrow{a}$ (tính giao hoán)
• $\left( k\overrightarrow{a} \right).\overrightarrow{b}=k\left( \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} \right)$
• $\overrightarrow{a}.\left( \overrightarrow{b}+\overrightarrow{c} \right)=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}$ (tính phân phối đối với phép cộng).
• $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0<=>\overrightarrow{a}\bot \overrightarrow{b}.$

Kết quả:
a)
$\begin{array}{l}{{\left( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right)}^{2}}={{\overrightarrow{a}}^{2}}+2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+{{\overrightarrow{b}}^{2}};\\{{\left( \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right)}^{2}}={{\overrightarrow{a}}^{2}}-2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+{{\overrightarrow{b}}^{2}};\\\left( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right)\left( \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right)={{\overrightarrow{a}}^{2}}-{{\overrightarrow{b}}^{2}}.\end{array}$

b) Độ dài của vectơ và góc giữa hai vectơ :
Cho $\overrightarrow{a}=\left( {{a}_{1}};{{a}_{2}} \right),\overrightarrow{b}\left( {{b}_{1}};{{b}_{2}} \right).$ Ta có :
• $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}={{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}$ (biểu thức toạ độ của tích vô hướng).
• $\left| \overrightarrow{a} \right|=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}$
• $\left\{ \begin{array}{l}A({{x}_{A}};{{y}_{A}})\\B({{x}_{B}};{{y}_{B}})\end{array} \right.=>AB=\sqrt{{{\left( {{x}_{B}}-{{x}_{A}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{B}}-{{y}_{A}} \right)}^{2}}}$
• $\cos \left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right)=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{b} \right|}=\frac{{{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}.\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}$
• $\overrightarrow{a}\bot \overrightarrow{b}<=>{{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}=0.$

4. Công thức hình chiếu
Cho hai vectơ $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$ . Gọi ${{B}^{'}}$ là hình chiếu của B trên đường thẳng OB.
Công thức hình chiếu: $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{O{{B}^{'}}}$ .