Bài toán về 2 dao động. Tổng hợp dao động

TỔNG HỢP DAO ĐỘNG

Chủ đề này gồm có 2 vấn đề: Độ lệch pha giữa hai dao động điều hòa cùng tần số, tổng hợp hai dao động điều hòa

A. LÍ THUYẾT

1. Độ lệch pha giữa hai dao động điều hòa cùng tần số

Xét hai dao động điều hòa ${{x}_{1}}={{A}_{1}}\cos (\omega t+{{\varphi }_{1}})$ và ${{x}_{2}}={{A}_{2}}\cos (\omega t+{{\varphi }_{2}})$ .

Độ lệch pha giữa hai dao động này là

$\Delta \varphi ={{\varphi }_{2}}-{{\varphi }_{1}}$

– Nếu $\Delta \varphi >0$ : Ta nói dao động ${{x}_{2}}$ sớm pha (nhanh pha) hơn dao động ${{x}_{1}}$ hoặc nói gọn là x₁ trễ pha (chậm pha) hơn x₂.

– Nếu $\Delta \varphi <0$ : Ta nói dao động ${{x}_{2}}$ trễ pha (chậm pha) hơn dao động ${{x}_{1}}$ hoặc nói gọn là x1 sớm pha (nhanh pha) hơn x2.

– Nếu $\Delta \varphi =\frac{\pi }{2}+k\pi$ : Ta nói dao động ${{x}_{2}}$ vuông pha với dao động ${{x}_{1}}$ hoặc nói gọn là ${{x}_{2}}$ vuông phavới x₁ .Trường hợp này hai vectơ $\overrightarrow{{{{A}_{1}}}}$ và $\overrightarrow{{{{A}_{2}}}}$ vuông góc nhau.

– Nếu $\Delta \varphi =k2\pi$ : Ta nói dao động ${{x}_{2}}$ cùng pha với dao động ${{x}_{1}}$ hoặc nói gọn là ${{x}_{2}}$ cùng pha với ${{x}_{1}}$ .Trường hợp này hai vecto $\overrightarrow{{{{A}_{1}}}}$ và $\overrightarrow{{{{A}_{2}}}}$ cùng hướng với nhau.

– Nếu $\Delta \varphi =\pi +k2\pi =(2k+1)\pi$ : Ta nói dao động ${{x}_{2}}$ ngược pha với dao động ${{x}_{1}}$ hoặc nói gọn là ${{x}_{2}}$ ngược pha với ${{x}_{1}}$ .Trường hợp này hai vectơ $\overrightarrow{{{{A}_{1}}}}$ và $\overrightarrow{{{{A}_{2}}}}$ ngược hướng với nhau.

2. Tổng hợp hai dao động điều hòa

a. Phương pháp giản đồ Fresnen (Phương pháp giản đồ vec tơ quay):

Để biểu diễn dao động điều hòa $x=A\cos \left( {\omega t+\varphi } \right)$ .

b. Điều kiện:

Tổng hợp dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số

${{x}_{1}}={{A}_{1}}\cos (\omega t+{{\varphi }_{1}})$ và ${{x}_{2}}={{A}_{2}}\cos (\omega t+{{\varphi }_{2}})$

=> $x=A\cos (\omega t+\varphi )$

c. Công thức

– Biên độ: A = $\sqrt{{A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2{{A}_{1}}{{A}_{2}}\cos \Delta \phi }}$

– Pha: $\tan \phi =\frac{{{{A}_{1}}\sin {{\phi }_{1}}+{{A}_{2}}\sin {{\phi }_{2}}}}{{{{A}_{1}}\cos {{\phi }_{1}}+{{A}_{2}}\cos {{\phi }_{2}}}}$

* Nếu $\Delta \varphi =2k\pi ({{x}_{1}},{{x}_{2}}$ cùng pha) $=>{{A}_{{\max }}}={{A}_{1}}+{{A}_{2}}$

_`* Nếu $\Delta \varphi =(2k+1)\pi ({{x}_{1}},{{x}_{2}}$ ngược pha) $=>{{A}_{{\min }}}=\left| {{{A}_{1}}-{{A}_{2}}} \right|$

$=>\left| {{{A}_{1}}-{{A}_{2}}} \right|\le A\le {{A}_{1}}+{{A}_{2}}$

d. Đặc điểm

+ Tần số: bằng tần số của hai dao động thành phần

+ Biên độ: Chỉ phụ thuộc vào biên độ của hai dao động thành phần và độ lệch pha của 2 dao động mà không phụ thuộc vào Tần số

B. BÀI TẬP

1. Bài tập về tổng hợp 2 dao động điều hoà cùng tần số

a. Phương pháp bấm máy tính

Với máy tính Casio fx-570ES

Bước 1: Chuyển máy tính sang chế độ tính toán số phức: Bấm MODE Chọn 2

Bước 2: Chuyển sang đơn vị tính góc là radian: Bấm SHIFT MODE Chọn 4 .

Bước 3: Chuyển chế độ hiển thị Math in/out: Bấm SHIFT MODE Chọn 1.

Bước 4: Nhập liệu

+ Nhập biên độ và pha ban đầu của dao động 1: ${{A}_{1}}\angle {{\varphi }_{1}}$

(Bấm SHIFT (-) (để làm hiện ra dấu góc $\angle$ )

+ Nhập biên độ và pha ban đầu của dao động 2: ${{A}_{2}}\angle {{\varphi }_{2}}$

(Bấm SHIFT (-) (để làm hiện ra dấu góc $\angle$ )

Bước 5: kết quả:

– Bấm =

Kết quả thu được là một số phức dạng a + bi

Ta phải chuyển sang chế độ đọc kết quả theo tọa độ cực:

– Bấm SHIFT 2 3 =

Kết quả có dạng $A\angle \varphi$ trong đó A là biên độ dao động tổng hợp và $\varphi$ là pha ban đầu của dao động tổng hợp.

b. Phương pháp sử dụng công thức

$\displaystyle \overrightarrow{A}\,=\,\overrightarrow{{{{A}_{1}}}}+\overrightarrow{{{{A}_{2}}}}\,=>A=\sqrt{{A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2{{A}_{1}}{{A}_{2}}\underline{{\cos ({{\varphi }_{2}}-{{\varphi }_{1}})}}}}$

$\displaystyle \overrightarrow{{{{A}_{2}}}}\,=\,\overrightarrow{A}-\overrightarrow{{{{A}_{1}}}}\,=>{{A}_{2}}=\sqrt{{A_{{}}^{2}+A_{2}^{2}-2{{A}_{2}}A\underline{{\cos (\varphi -{{\varphi }_{2}})}}}}$

Áp dụng khi làm bài toán ngược liên quan đi tìm pha
Áp dụng để làm bài toán biện luận (coi đại lượng cần cực trị là tham số : Đk $\Delta \ge 0$ )

c. Phương pháp dùng giản đồ (Phương pháp tổng quát nhất)

Bài toán ngược: Đưa về cạnh và góc trong tam giác

Bài toán biện luận

– Áp dụng định luật hàm số sin

+ Điều kiện của ${{A}_{1}}$ để ${{A}_{{2\max }}}$ :

+ Nếu cho ${{A}_{2}}$ , thay đổi ${{A}_{1}}$ để ${{A}_{{\min }}}$ :

${{A}_{{\min }}}=\frac{{{{A}_{2}}}}{{\left| {\sin ({{\varphi }_{1}}-\varphi )} \right|}}$

2. Bài toán về khoảng cách

Khoảng cách giữa hai chất điểm $d={{x}_{1}}-{{x}_{2}}={{D}_{0}}\cos (\omega t+\varphi )$ <=> $\overrightarrow{{\Delta A}}=\overrightarrow{{{{A}_{2}}}}-\overrightarrow{{{{A}_{2}}}}$
Khoảng cách là = $\displaystyle \left| d \right|=\left| {{{D}_{0}}c\text{os}(\omega t+\varphi )} \right|$

(sử lí tương tự như tổng hợp dao động)

+ Khoảng cách lớn nhất là ${{D}_{0}}$

3. Bài toán gặp nhau: ${{x}_{1}}={{x}_{2}}$

+ Nếu hai dao động cùng tần số:

Lập biểu thức: $d={{x}_{1}}-{{x}_{2}}={{D}_{0}}\cos (\omega t+\varphi )$
Gặp nhau <=> d = 0

+ Nếu hai dao động cùng biên độ khác tần số thì giải phương trình ${{x}_{1}}={{x}_{2}}$

$\displaystyle \begin{array}{l}A.c\text{os}\left( {{{\omega }_{1}}.t+{{\varphi }_{1}}} \right)=A.c\text{os}\left( {{{\omega }_{2}}.t+{{\varphi }_{2}}} \right)\\\Leftrightarrow c\text{os}\left( {{{\omega }_{1}}.t+{{\varphi }_{1}}} \right)=c\text{os}\left( {{{\omega }_{2}}.t+{{\varphi }_{2}}} \right)\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{{\omega }_{1}}.t+{{\varphi }_{1}}={{\omega }_{2}}.t+{{\varphi }_{2}}+2k\pi (c\text{ }\!\!\grave{\mathrm{u}}\!\!\text{ ng chi }\!\!\hat{\mathrm{e}}\!\!\text{ }u)\\{{\omega }_{1}}.t+{{\varphi }_{1}}=-\left( {{{\omega }_{2}}.t+{{\varphi }_{2}}} \right)+2k\pi (nguoc\,chieu)\end{array} \right.\end{array}$

+ Nếu không rơi vào 2 trường hợp trên thì dùng giản đồ quay

Ví dụ 1:(Bài toán về tổng hợp dao động) Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số

${{x}_{1}}=\cos (2\pi t+\pi )cm;{{x}_{2}}=\sqrt{3}\cos (2\pi t-\frac{\pi }{2})cm$ . Phương trình của dao động tổng hợp

A. $x=2\cos (2\pi t-\frac{{2\pi }}{3})(cm).$ B. $x=4\cos (2\pi t+\frac{\pi }{3})(cm).$

C. $x=2\cos (2\pi t+\frac{\pi }{3})(cm).$ D. $x=4\cos (2\pi t+\frac{{4\pi }}{3})(cm).$

Hướng dẫn

Với máy FX570ES : Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX

Chọn đơn vị đo góc là rad (R): SHIFT MODE 4

=> Đáp án A

Ví dụ 2:(Bài toán biện luận) Hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số có phương trình dao động

${{x}_{1}}={{A}_{1}}\text{cos(}\omega \text{t + }\frac{\pi }{\text{3}})(cm)$ và ${{x}_{2}}={{A}_{2}}c\text{os}(\omega \text{t -}\frac{\pi }{\text{2}}\text{) }(cm)$ . Phương trình dao động tổng hợp của hai dao động này là: $x=6\text{cos(}\omega \text{t + }\varphi )(cm)$ . Biên độ A₁ thay đổi được. Thay đổi ${{A}_{1}}$ để ${{A}_{2}}$ có giá trị lớn nhất. Tìm ${{A}_{{2\max }}}$ ?

A. 16 cm. B. 14 cm. C. 18 cm. D. 12 cm

Hướng dẫn

Ta biểu diễn dao động tổng hợp $\overrightarrow{A}=\overrightarrow{{{{A}_{1}}}}+\overrightarrow{{{{A}_{2}}}}$ như hình vẽ.

Áp dụng định lí hàm số sin:

$\frac{{{{A}_{2}}}}{{\sin (\varphi +{{\varphi }_{1}})}}=\frac{A}{{\sin \alpha }}=>{{A}_{2}}=\frac{{A\sin (\varphi +{{\varphi }_{1}})}}{{\sin \alpha }}$

Vì $\alpha$ , A không đổi, ${{A}_{{2\max }}}<=>\sin (\varphi +{{\varphi }_{1}})=1$

Lúc đó: ${{A}_{{2\max }}}=\frac{{A\sin (\varphi +{{\varphi }_{1}})}}{{\sin \alpha }}=\frac{{6.1}}{{\sin \frac{\pi }{6}}}=12cm$

Ví dụ 3 (Bài toán về khoảng cách giữa 2 dao động): Hai chất điểm dao động điều hòa trên cùng một trục tọa độ Ox, coi trong quá trình dao động hai chất điểm không va chạm vào nhau. Biết phương trình dao động của hai chất điểm lần lượt là ${{x}_{1}}=4\cos (4t+\frac{\pi }{3})cm;{{x}_{2}}=4\sqrt{2}\cos (4t+\frac{\pi }{{12}})cm.$ Trong quá trình dao động, khoảng cách lớn nhất giữa hai vật là

A. 1cm B. $4(\sqrt{2}-1)cm$ C. $4(\sqrt{2}+1)cm$ D. 4cm

Hướng dẫn

Khoảng cách giữa hai chất điểm $x={{x}_{1}}-{{x}_{2}}$

Sử dụng máy tính cầm tay Casio fx570 – ES, thực hiện phép trừ giữa hai số phức ta có ngay phương trình khoảng cách $x={{x}_{1}}-{{x}_{2}}=4\angle \frac{5}{6}\pi$

$=>{{x}_{{\max }}}=A=4cm$

=> Đáp án D

Ví dụ 4:(Bài toán về gặp nhau) Hai chất điểm M, N dao động điều hòa dọc theo hai đường thẳng song song kề nhau và song song với trục tọa độ Ox. Vị trí cân bằng của M và của N đều ở trên một đường thẳng qua gốc tọa độ và vuông góc với Ox. Phương trình dao động của chúng lần lượt là ${{x}_{1}}=10\cos 2\pi t$ cm và ${{x}_{2}}=10\sqrt{3}\cos (2\pi t+\frac{\pi }{2})$ cm . Hai chất điểm gặp nhau khi chúng đi qua nhau trên đường thẳng vuông góc với trục Ox. Thời điểm lần thứ 2013 hai chất điểm gặp nhau là

A. 16 phút 46,42s B. 16 phút 46,92s

C. 16 phút 47,42s D. 16 phút 45,92s

Hướng dẫn

Cách 1: đặt d = x₁ - x2 = 20 cos(2πt - π/3) (cm;s)

- Hai chất điểm gặp nhau tức là d = 0

Mỗi một chu kì có 2 lần d = 0 nên khoảng thời gian để vật gặp nhau lần thứ 2013 là:

$∆ t = \frac{2013 - 1}{2} T + ∆ t_{l ầ n 1} = 1006 T + ∆ t_{l ầ n 1}$

- Tại thời điểm t = 0 thì d = 10cm và d đang tăng. Kẻ trục thời gian

$∆ t = 1006 T + ∆ t_{l ầ n 1} = 1006 T + \frac{T}{4} + \frac{T}{6} = \frac{12077}{12} s = 16 m i n 46, 42 s$

Cách 2: Ta có: ${{x}_{2}}=10\sqrt{3}\cos (2\pi t+\frac{\pi }{2})cm=-10\sqrt{3}\sin (2\pi t)$

$\begin{array}{l}{{x}_{1}}={{x}_{2}}=>10\cos (2\pi t)=-10\sqrt{3}\sin (2\pi t)\\=>\tan (2\pi t)=-\frac{1}{{\sqrt{3}}}=>2\pi t=-\frac{\pi }{6}+k\pi \end{array}$