Dao động điện từ

ĐẠI CƯƠNG VỀ DAO ĐỘNG ĐIỆN TỪ

Chủ đề này gồm 6 vấn đề: Mạch dao động LC, sự biến thiên, các đại lượng dao động của mạch dao động LC , năng lượng trong mạch dao động, dao động tự do, dao động tắt dần , dao động duy trì, dao động cưỡng bức, sự tương tác giữa dao động điện từ và dao động cơ.

I.LÍ THUYẾT

1. Mach dao động LC

a. Định nghĩa: Gồm một tụ điện mắc nối tiếp với một cuộn cảm thành mạch kín.
• Nếu r rất nhỏ (r = 0): mạch dao động lí tưởng.

b. Cơ sở lý thuyết: Là hiện tượng tự cảm

2. Các công thức của mạch LC

Với $\displaystyle C=\frac{{\varepsilon .S}}{{{{{9.10}}^{9}}.4\pi .d}}$ (e là hằng số điện môi); $L=4\pi {{10}^{{-7}}}\mu \frac{{{{N}^{2}}}}{l}.S$ (µ là độ từ thẩm)

– Chu kỳ và tần số riêng của mạch dao động:

$\omega =\frac{1}{{\sqrt{{LC}}}}$ ; $T=2\pi \sqrt{{LC}}$ và $f=\frac{1}{{2\pi \sqrt{{LC}}}}$

Với $\omega$ là tần số góc riêng (rad/s), T là chu kì riêng (s), f là tần số riêng (Hz )

– Bước sóng của sóng điện từ:
$\displaystyle \lambda =c.T=c.2\pi \sqrt{{LC}}$

Với : c = 3.108m/s tốc độ ánh sáng trong chân không

$\lambda :$ bước sóng của sóng điện từ (m)

3.Các đại lượng dao động của mạch dao động LC.

a/ Công thức q,u, i theo thời gian

– Công thức q theo thời gian:

$\displaystyle q={{Q}_{0}}\cos (\omega t+\phi )$

– Công thức u theo thời gian:

$\displaystyle u=\frac{q}{C}=\frac{{{{Q}_{0}}}}{C}\cos (\omega t+\varphi )={{U}_{0}}\cos (\omega t+\varphi )(V)\,\,$

– Công thức i theo thời gian:

$\displaystyle \begin{array}{l}i=q'=-\omega {{Q}_{0}}\sin (\omega t+\varphi )={{I}_{0}}\cos (\omega t+\varphi +\frac{\pi }{2})(A)\,\,\\v\acute{o}i:\,\,\,{{I}_{0}}=\omega {{Q}_{0}}=\frac{{{{Q}_{0}}}}{{\sqrt{{LC}}}}\end{array}$

– q, i, u biến thiên điêu hòa cùng tần số và có pha:

u cùng pha với q
i sớm pha hơn q : $\frac{\pi }{2}$ ; i sớm pha hơn u : π/2

b. Quan hệ giữa các giá trị cực đại

- ${{I}_{0}}$ với ${{Q}_{0}}$ : ${{I}_{0}}=\omega {{Q}_{0}}$

- ${{Q}_{0}}$ với ${{U}_{0}}$ : ${{Q}_{0}}=C.{{U}_{0}}$

- ${{I}_{0}}$ với ${{U}_{0}}$ : ${{I}_{0}}=\frac{{{{U}_{0}}}}{{\omega L}}={{U}_{0}}\omega C={{U}_{0}}\sqrt{{\frac{L}{C}}}(\frac{1}{2}LI_{0}^{2}=\frac{1}{2}CU_{0}^{2})$

c. Công thức quan hệ của q, u, i cùng tại thời điểm

- u với q: q = C.u

- i với q:

$\frac{{{i}^{2}}}{I_{0}^{2}}+\frac{{{q}^{2}}}{Q_{0}^{2}}=1$ $\Leftrightarrow \frac{{{{i}^{2}}}}{{{{\omega }^{2}}.Q_{0}^{2}}}+\frac{{{{q}^{2}}}}{{Q_{0}^{2}}}=1\Leftrightarrow \frac{{{{i}^{2}}}}{{I_{0}^{2}}}+\frac{{{{q}^{2}}{{\omega }^{2}}}}{{I_{0}^{2}}}=1$

- i với u:

$\frac{{{i}^{2}}}{I_{0}^{2}}+\frac{{{u}^{2}}}{U_{0}^{2}}=1$ $\Leftrightarrow \frac{{{{i}^{2}}}}{{I_{0}^{2}}}+\frac{{{{u}^{2}}.C}}{{I_{o}^{2}.L}}=1\Leftrightarrow \frac{{{{i}^{2}}.L}}{{U_{0}^{2}.C}}+\frac{{{{u}^{2}}}}{{U_{o}^{2}}}=1$

4. Năng lượng trong mạch dao động

Tổng năng lượng điện trường trên tụ điện và năng lượng từ trường trên cuộn cảm gọi là năng lượng điện từ.

– Năng lượng điện trường (ở tụ điện) :(Biến thiên tuần hoàn với chu kì T/2)

$\displaystyle {{W}_{d}}={{W}_{C}}=\frac{1}{2}C{{u}^{2}}=\frac{{{{q}^{2}}}}{{2C}}=\frac{{{{Q}_{0}}^{2}}}{{2C}}{{\cos }^{2}}\omega t=\frac{{{{Q}_{0}}^{2}}}{{4C}}+\frac{{{{Q}_{0}}^{2}}}{{4C}}\cos (2\omega t)$ Þ $\displaystyle {{W}_{C}}_{{Max}}=\frac{1}{2}CU_{0}^{2}=\frac{{Q_{0}^{2}}}{{2C}}=\frac{1}{2}{{Q}_{0}}.{{U}_{0}}$

– Năng lượng từ trường (ở cuộn cảm) :(Biến thiên tuần hoàn với chu kì T/2)

$\displaystyle {{\text{W}}_{t}}\text{=}{{\text{W}}_{L}}=\frac{1}{2}L{{i}^{2}}=\frac{{{{Q}_{0}}^{2}}}{{2C}}{{\sin }^{2}}\omega t=\frac{{{{Q}_{0}}^{2}}}{{4C}}-\frac{{{{Q}_{0}}^{2}}}{{4C}}\cos (2\omega t)=>{{\text{W}}_{{t\max }}}=\frac{1}{2}LI_{0}^{2}$

– Năng lượng điện từ trường:

$\displaystyle \text{W }=\text{ }{{\text{W}}_{L}}+{{W}_{C}}=\frac{1}{2}L{{i}^{2}}+\frac{1}{2}C{{u}^{2}}=\frac{1}{2}L{{i}^{2}}+\frac{1}{2}\frac{{{{q}^{2}}}}{C}=\frac{1}{2}LI_{0}^{2}=\frac{1}{2}CU_{0}^{2}=\frac{1}{2}\frac{{Q_{0}^{2}}}{C}=const$

Quan hệ:

$\displaystyle \frac{{{{W}_{C}}}}{{W_{L}^{{}}}}=\frac{{{{u}^{2}}}}{{U_{0}^{2}-{{u}^{2}}}}$ = $\frac{{{{q}^{2}}}}{{Q_{0}^{2}-{{q}^{2}}}}$ .= $\frac{{I_{0}^{2}-{{i}^{2}}}}{{{{i}^{2}}}}$

$\frac{{{{W}_{C}}}}{W}=$ $\frac{{{{u}^{2}}}}{{U_{0}^{2}}}$ = $\frac{{{{q}^{2}}}}{{Q_{0}^{2}}}$ = $\frac{{I_{0}^{2}-{{i}^{2}}}}{{I_{0}^{2}}}$

$\frac{{{{W}_{L}}}}{W}=$ $\frac{{{{i}^{2}}}}{{I_{0}^{2}}}$ = $\frac{{U_{0}^{2}-{{u}^{2}}}}{{U_{0}^{2}}}$

$\displaystyle {{\text{W}}_{C}}=\text{W}({{\text{W}}_{L}}=0)<=>q={{Q}_{0}};u={{U}_{0}};i=0.$

$\displaystyle {{\text{W}}_{C}}={{\text{W}}_{L}}<=>q=\frac{{{{Q}_{0}}}}{{\sqrt{2}}};u=\frac{{{{U}_{0}}}}{{\sqrt{2}}};i=\frac{{{{I}_{0}}}}{{\sqrt{2}}}$

=> Khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp $\displaystyle {{\text{W}}_{C}}={{\text{W}}_{L}}$ là $\frac{T}{4}$

– Khi $\displaystyle {{\text{W}}_{d}}=n{{\text{W}}_{t}}$ ta có:

$i=\pm \frac{{{{I}_{0}}}}{{\sqrt{{n+1}}}};\ u=\pm \frac{{{{U}_{0}}}}{{\sqrt{{1+\frac{1}{n}}}}};\ q=\pm \frac{{{{Q}_{0}}}}{{\sqrt{{1+\frac{1}{n}}}}}$

5. Dao động tự do.Dao động tắt dần .Dao động duy trì. Dao động cưỡng bức

a. Dao động tự do

– Điệu kiện mạch dao động từ do là điện trở bằng không

b. Dao động tắt dần

– Nguyên nhân của dao động tắt dần do tác dụng của điện trở làm tiêu hao năng lượng dưới dạng điện năng

– Dao động tắt nhanh hay chậm phụ thuộc vào điện trở (Điện trở càng lớn nó tắt càng nhanh)

– Công thức của dao động tắt dần:

+ Năng lượng mất mát cho tới khi tắt hẳn: ${{\text{W}}_{{mat}}}={{\text{W}}_{{bandau}}}=\frac{1}{2}C.U_{0}^{2}$

c. Dao động duy trì:

+ Cách duy trì dao động: Dùng một mạch để điều kiển

+ Đặc điểm: dao động với tần số tự do

+ Để duy trì được dao động điện từ ta cần cung cấp cho nó phần năng lượng đúng bằng phần nó đã tiêu hao trong quá trình dao động . Theo định luật Jun – Lenxo ta có mạch cung cấp cần công suất là :

$\displaystyle P={{I}^{2}}R=\frac{{{{\omega }^{2}}{{C}^{2}}U_{0}^{2}}}{2}R=\frac{{U_{0}^{2}RC}}{{2L}}$ .

d. Dao động cưỡng bức:

+ Cách làm:Đặt vào hai đầu của mạch một hiệu điện thế biến thiên điều hòa

+ Đặc điểm: Dao động với tần số bằng tần số của hiệu điện thế ngoài, biên độ phụ thuộc vào 3 yếu tố

+ Điều kiện cộng hưởng: $\Omega =\omega$

6. Sự tương tác giữa dao động điện từ và dao động cơ

Đại lượng cơ	Đại lượng điện	Dao động cơ	Dao động điện
x	q	x” + w²x = 0	q” + w²q = 0
v	i	$\omega =\sqrt{{\frac{k}{m}}}$	$\omega =\frac{1}{{\sqrt{{LC}}}}$
m	L	x = Acos(ωt + ψ)	q = q₀cos(ωt + ψ)
k	$\frac{1}{C}$	v = x’ = –wAsin(ωt + ψ)	i = q’ = –wq₀sin(ωt + ψ)
F	u	${{A}^{2}}={{x}^{2}}+{{(\frac{v}{\omega })}^{2}}$	$q_{0}^{2}={{q}^{2}}+{{(\frac{i}{\omega })}^{2}}$
$\mu$	R	F = -kx = -mw²x	$\displaystyle u=\frac{q}{C}=L{{\omega }^{2}}q$
$\displaystyle {{\text{W}}_{d}}$	W_t(W_L)	W_đ = $\frac{1}{2}$ mv²	W_t = $\frac{1}{2}$ Li²
$\displaystyle {{\text{W}}_{t}}$	W_đ(W_C)	W_t = $\frac{1}{2}$ kx²	W_đ = $\frac{{{{q}^{2}}}}{{2C}}$

B. BÀI TẬP

Dạng 1: Bài tập về các đại lượng q, u, i

1. Quan hệ giữa các giá trị cực đại

¨ ${{I}_{0}}$ với ${{Q}_{0}}$ : ${{I}_{0}}=\omega {{Q}_{0}}$

¨ ${{Q}_{0}}$ với ${{U}_{0}}$ : ${{Q}_{0}}=C.{{U}_{0}}$

${{I}_{0}}$ với ${{U}_{0}}$ : ${{I}_{0}}=\frac{{{{U}_{0}}}}{{\omega L}}={{U}_{0}}\omega C={{U}_{0}}\sqrt{{\frac{L}{C}}}(\frac{1}{2}LI_{0}^{2}=\frac{1}{2}CU_{0}^{2})$

2. Biểu thức theo thời gian:

a. Biểu thức

$\displaystyle q={{Q}_{0}}\cos (\omega t+\varphi )$ . .

$\displaystyle u=\frac{q}{C}=\frac{{{{Q}_{0}}}}{C}\cos (\omega t+\varphi )={{U}_{0}}\cos (\omega t+\varphi )(V)\,\,$

b. Công thức quan hệ của q, u, i cùng tại thời điểm

¨ u với q: q = C.u

¨ i với q: $\Leftrightarrow \frac{{{{i}^{2}}}}{{{{\omega }^{2}}.Q_{0}^{2}}}+\frac{{{{q}^{2}}}}{{Q_{0}^{2}}}=1\Leftrightarrow \frac{{{{i}^{2}}}}{{I_{0}^{2}}}+\frac{{{{q}^{2}}{{\omega }^{2}}}}{{I_{0}^{2}}}=1$

¨ i với u: $\Leftrightarrow \frac{{{{i}^{2}}}}{{I_{0}^{2}}}+\frac{{{{u}^{2}}.C}}{{I_{o}^{2}.L}}=1\Leftrightarrow \frac{{{{i}^{2}}.L}}{{U_{0}^{2}.C}}+\frac{{{{u}^{2}}}}{{U_{o}^{2}}}=1$

c. Quan hệ u, i, q khác thời điểm

+ ${{q}_{{{{t}_{1}}}}};{{u}_{{({{t}_{1}}+\frac{T}{4})}}}:\,\,\,$ (Hình vẽ => hai đại lượng này vuông pha) $\frac{{q_{1}^{2}}}{{Q_{0}^{2}}}+\frac{{u_{2}^{2}}}{{U_{0}^{2}}}=1\Leftrightarrow \frac{{q_{1}^{2}}}{{Q_{0}^{2}}}+\frac{{u_{2}^{2}}}{{{{C}^{2}}.\,Q_{0}^{2}}}=1$

Ví dụ : Trong mạch dao động LC có dao động điện từ tự do (dao động riêng) với tần số góc ${{10}^{4}}ra\text{d}/s$ . Điện tích cực đại trên tụ điện là ${{Q}_{0}}={{10}^{{-9}}}C$ Q₀ = 10^-9 C. Khi cường độ dòng điện trong mạch bằng ${{6.10}^{{-6}}}A$ thì điện tích trên tụ điện là

A. q = 8.10^–10 C. B. q = 4.10^–10 C. C. q = 2.10^–10 C. D. q = 6.10^–10 C.

Hướng dẫn

Áp dụng hệ thức liên hệ ta được $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}q={{Q}_{0}}\cos (\omega t)\\i=q'=-\omega {{Q}_{0}}\sin (\omega t)\end{array} \right.=>{{\left( {\frac{q}{{{{Q}_{0}}}}} \right)}^{2}}+{{\left( {\frac{i}{{\omega {{Q}_{0}}}}} \right)}^{2}}=1$

Thay số với ω = 10⁴ ; i = 6.10^-6 ; Q₀ = 10^-9

→ $\displaystyle =>{{\left( {\frac{q}{{{{{10}}^{{-9}}}}}} \right)}^{2}}+{{\left( {\frac{{{{{6.10}}^{{-6}}}}}{{{{{10}}^{{-5}}}}}} \right)}^{2}}=1=>q={{8.10}^{{-10}}}C$

=> Đáp án A

Dạng 2: Bài tập lập phương trình q,u,i

Bước 1: Tìm ω và I₀;U₀ và Q₀

Bước 2: Tính pha dao động ψ

$t = 0 \{\begin{cases} q = Q_{0} \cos φ_{q} \\ D ấ u q' \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \cos φ_{q} = \frac{q}{Q_{0}} \\ q' > 0 t h ì φ_{q} < 0; q' < 0 t h ì φ_{q} > 0 \end{cases}$

$t = 0 \{\begin{cases} u = U_{0} \cos φ_{u} \\ D ấ u u' \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \cos φ_{u} = \frac{u}{U_{0}} \\ u' > 0 t h ì φ_{u} < 0; u' < 0 t h ì φ_{u} > 0 \end{cases}$ $t = 0 \{\begin{cases} i = I_{0} \cos φ_{i} \\ D ấ u i' \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \cos φ_{i} = \frac{i}{I_{0}} \\ i' > 0 t h ì φ_{i} < 0; i' < 0 t h ì φ_{i} > 0 \end{cases}$

Ví dụ : Một cuộn dây thuần cảm, có độ tự cảm $L=\frac{2}{\pi }H$ mắc nối tiếp với một tụ điện có điện dung $C=3,18\mu F$ . Điện áp tức thời trên cuộn dây có biểu thức

${{u}_{L}}=100\cos (\omega t-\frac{\pi }{6})V$ . Viết biểu thức của cường độ dòng điện trong mạch và điện tích giữa hai bản?

Hướng dẫn

Tần số góc dao động của mạch $\displaystyle \omega =\frac{1}{{\sqrt{{LC}}}}=\frac{1}{{\sqrt{{\frac{2}{\pi }.3,{{{18.10}}^{{-6}}}}}}}\approx 700(ra\text{d}/s)$

* Ta biết rằng điện áp giữa hai đầu cuộn dây cũng chính là điện áp giữa hai đầu tụ điện.

Khi đó, ${{Q}_{0}}=C{{U}_{0}}=3,{{18.10}^{{-6}}}.100=3,{{18.10}^{{-4}}}(C)$

Do u và q cùng pha nên ${{\varphi }_{q}}={{\varphi }_{u}}=-\frac{\pi }{6}=>q=3,{{18.10}^{{-4}}}\cos (700t-\frac{\pi }{6})(C)$

* Ta lại có $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{I}_{0}}=\omega {{Q}_{0}}=700.3,{{18.10}^{{-4}}}=0,22A\\{{\phi }_{i}}={{\phi }_{q}}+\frac{\pi }{2}=-\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{3}\end{array} \right.=>i=0,22\cos (700t+\frac{\pi }{3})(A)$

DẠNG 3: BÀI TẬP VỀ NĂNG LƯỢNG

a. Biểu thức theo thời gian:

– Năng lượng điện trường tập trung trong tụ điện : (Biến thiên tuần hoàn với chu kì T/2)

$W_{C} = \frac{1}{2} C . u^{2} = \frac{1}{2} \frac{q^{2}}{C} = \frac{1}{2} L . I_{0}^{2} - \frac{1}{2} L . i^{2}$

– Năng lượng từ trường tập trung trong cuộn dây : (Biến thiên tuần hoàn với chu kì T/2)

$W_{L} = \frac{1}{2} L . i^{2} = \frac{1}{2} \frac{Q_{0}^{2}}{C} - \frac{1}{2} \frac{q^{2}}{C} = \frac{1}{2} C . U_{0}^{2} - \frac{1}{2} C . u^{2}$

– Năng lượng toàn phần trong mạch LC là : $W={{W}_{C}}+{{W}_{L}}=\frac{{Q_{0}^{2}}}{{2C}}=const$

$\frac{1}{2}L{{i}^{2}}+\frac{1}{2}C{{u}^{2}}=\frac{1}{2}L{{i}^{2}}+\frac{1}{2}\frac{{{{q}^{2}}}}{C}=\frac{1}{2}LI_{0}^{2}=\frac{1}{2}CU_{0}^{2}=\frac{1}{2}\frac{{Q_{0}^{2}}}{C}$

b. Quan hệ:

$\frac{W_{c}}{W_{L}} = \frac{u^{2}}{U_{0}^{2} - u^{2}} = \frac{q^{2}}{Q_{0}^{2} - q^{2}} = \frac{I_{0}^{2} - i^{2}}{i^{2}}$

$\frac{W_{c}}{W} = \frac{u^{2}}{U_{0}^{2}} = \frac{q^{2}}{Q_{0}^{2}} = \frac{I_{0}^{2} - i^{2}}{I_{0}^{2}}$

$\frac{W_{L}}{W} = \frac{I_{o}^{2} - i^{2}}{I_{0}^{2}} = \frac{Q_{0}^{2} - q^{2}}{Q_{0}^{2}} = \frac{i^{2}}{I_{0}^{2}}$

$\displaystyle {{\text{W}}_{C}}=\text{W}({{\text{W}}_{L}}=0)<=>q={{Q}_{0}};u={{U}_{0}};i=0.$

$\displaystyle {{\text{W}}_{C}}={{\text{W}}_{L}}<=>q=\frac{{{{Q}_{0}}}}{{\sqrt{2}}};u=\frac{{{{U}_{0}}}}{{\sqrt{2}}};i=\frac{{{{I}_{0}}}}{{\sqrt{2}}}$

=> Khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp WC = W_L là T/4

– Khi W_C = nW_L ta có: $i = \pm \frac{I_{0}}{\sqrt{n + 1}}$ ; $u = \pm \frac{U_{0} \sqrt{n}}{\sqrt{n + 1}}$ ; $q = \pm \frac{Q_{0} \sqrt{n}}{\sqrt{n + 1}}$

Ví dụ : Mạch dao động LC lí tưởng với cuộn dây có L=0,2H, tụ điện có điện dung $C=5\mu F$ . Giả sử thời điểm ban đầu tụ điện có điện tích cực đại ${{Q}_{0}}$ . Hỏi sau khoảng thời gian nhỏ nhất bằng bao nhiêu thì năng lượng từ trường gấp 3 lần năng lượng điện trường?

A. $\frac{{\pi {{{.10}}^{{-3}}}}}{3}s$ B. $\frac{{\pi {{{.10}}^{{-3}}}}}{6}s$ C. $\frac{{\pi {{{.10}}^{{-3}}}}}{2}s$ D. $\frac{{\pi {{{.10}}^{{-3}}}}}{4}s$

Hướng dẫn

Ta có: $\displaystyle \text{W}={{\text{W}}_{d}}+{{\text{W}}_{t}}={{\text{W}}_{d}}+3{{\text{W}}_{d}}=4{{\text{W}}_{d}}=>\frac{1}{2}\frac{{Q_{0}^{2}}}{C}=4.\frac{1}{2}\frac{{{{q}^{2}}}}{C}=>q=\pm \frac{{{{Q}_{0}}}}{2}$

Vậy thời gian ngắn nhất để năng lượng từ trường gấp 3 lần năng lượng điện trường chính là thời gian để điện tích của tụ biến thiên từ giá trị $q={{Q}_{0}}$ đến giá trị $q=\frac{{{{Q}_{0}}}}{2}$ lần đầu tiên, cũng tương tự như bài toán vật dao động điều hòa, thời gian vật từ A về $\frac{A}{2}$ bằng $\frac{T}{6}$ nên ta được: