Các đại lượng U, I của mạch điện RLC

MẠCH ĐIỆN KHÔNG PHÂN NHÁNH RLC

A/ LÝ THUYẾT

1. Xây dựng:

+ Giả sử trong mạch có dòng điện chạy qua

+ Tại một thời điểm:

i = i_R = i_L = i_C (I_0R = I_0L = I_0C; I_R = I_L = I_C)

u = u_R + u_L + u_C( U $\ne$ U_R + U_L + U_C)

${{u}_{R}}={{I}_{0}}R\cos \left( {\omega t+{{\varphi }_{i}}} \right)$
${{u}_{L}}={{I}_{0}}{{Z}_{L}}\cos \left( {\omega t+{{\varphi }_{i}}+\frac{\pi }{2}} \right)$
${{u}_{C}}={{I}_{0}}{{Z}_{C}}\cos \left( {\omega t+{{\varphi }_{i}}-\frac{\pi }{2}} \right)$

+ Ta có : u = u_R + u_L + u_C

=> $\overrightarrow{U}=\overrightarrow{{{{U}_{R}}}}+\overrightarrow{{{{U}_{L}}}}+\overrightarrow{{{{U}_{C}}}}$

=> $U=\sqrt{{U_{R}^{2}+{{{\left( {U_{L}^{{}}-{{U}_{C}}} \right)}}^{2}}}}$

hoặc ${{U}_{0}}=\sqrt{{U_{{0R}}^{2}+{{{\left( {U_{{0L}}^{{}}-{{U}_{{0C}}}} \right)}}^{2}}}}$

2. Công thức:

+ Tổng trở: Z_AB = $\sqrt{{{{R}^{2}}+{{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}}^{2}}}}$ (Z phụ thuộc vào w, R, L,C )

+ Định luật Ôm: $I = \frac{U_{A B}}{Z_{A B}} (I_{o A B} = \frac{U_{o A B}}{Z_{A B}})$

+ Độ lệch pha:
$\tan \varphi$ = $\frac{{{{U}_{L}}-{{U}_{C}}}}{{{{U}_{R}}}}$ hoặc $\tan \varphi$ = $\frac{{{{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}}}{R}$ ( $-\frac{\pi }{2}\le \phi \le \frac{\pi }{2}$ )

3. Các trường hợp đặc biệt:

Mạch điện khuyết thiết bị

– Mạch điện khuyết thiết bị đó thì coi như trở của thiết bị đó bằng 0

Mạch chứa RL

Mạch chứa RC

Mạch chứa LC

Trở

Z = $\sqrt{{{{R}^{2}}+{{Z}_{L}}^{2}}}$

Z = $\sqrt{{{{R}^{2}}+{{Z}_{C}}^{2}}}$

Z = $\left| {{{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}} \right|$

Độ lệch pha

$\tan \varphi$ = $\frac{{{{Z}_{L}}}}{R}$

=> $0<\varphi <\frac{\pi }{2}$

(u luôn sớm pha hơn i khác $\frac{\pi }{2}$ )

$\tan \varphi$ = $\frac{{-{{Z}_{C}}}}{R}$

=> $0<\varphi <-\frac{\pi }{2}$

(u luôn trễ pha hơn i khác $\frac{\pi }{2}$ )

$\varphi =\pm \frac{\pi }{2}$

$\varphi =\frac{\pi }{2}$ khi ${{Z}_{L}}>{{Z}_{C}}$

$\varphi =-\frac{\pi }{2}$ khi ${{Z}_{L}}<{{Z}_{C}}$

Cuộn dây có điện trở thuần

Coi cuộn dây gồm 1 điện trở mắc với một cuộn dây thuần cảm

+ Tổng trở : Z_AB = $\sqrt{{{{{(R+r)}}^{2}}+{{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}}^{2}}}}$

$\tan φ_{(u_{A B}; i)} = \frac{Z_{L} - Z_{C}}{R + r}$

+ Trở của cuộn dây: Z_cd = $\displaystyle \sqrt{{{{r}^{2}}+{{Z}_{L}}^{2}}}$

$\tan φ_{(u_{c d}; i)} = \frac{Z_{L}}{r}$

B/ BÀI TẬP VÍ DỤ

Dạng 1: VIẾT BIỂU THỨC HIỆU ĐIỆN THẾ VÀ CƯỜNG ĐỘ DÒNG ĐIỆN

1. Công thức: Đối với mạch không phân nhánh RLC

· Với một đoạn mạch xoay chiều thì biểu thức điện áp hai đầu đoạn mạch và cường độ dòng điện qua mạch có biểu thức:

$u\left( t \right)={{U}_{0}}\cos \left( {\omega t+{{\varphi }_{u}}} \right)=>i\left( t \right)={{I}_{0}}\cos \left( {\omega t+{{\varphi }_{i}}} \right)$

; M,N là hai điểm bất kỳ

Z = gọi là tổng trở của mạch

$\displaystyle U=\sqrt{{U_{R}^{2}+{{{({{U}_{L}}-{{U}_{C}})}}^{2}}}}$

– Độ lệch pha giữa u và i: $\displaystyle \tan \varphi =\frac{{{{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}}}{R}=\frac{{{{U}_{L}}-{{U}_{C}}}}{{{{U}_{R}}}}$

+ Nếu Z_L > Z_C: u sớm pha hơn i

+ Nếu Z_L < Z_C: u trễ pha hơn i

Chú ý: $\displaystyle \overline{Z}=R+({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})i$ ( tổng trở phức $\overline{Z}$ có gạch trên đầu: R là phần thực, (Z_L-Z_C) là phần ảo)

2. Phương pháp dùng máy tính: Thường áp dụng cho bài toán liên quan phương trình u, i và các trở thành phần

Dùng với máy Casio FX-570ES; FX-570ES PLUS;VINACAL-570ES PLUS .

1.Tìm hiểu các đại lượng xoay chiều dạng phức: Xem bảng liên hệ

ĐẠI LƯỢNG ĐIỆN	CÔNG THỨC	DẠNG SỐ PHỨC TRONG MÁY TÍNH FX-570ES
Cảm kháng Z_L	Z_L	Z_Li (Chú ý trước i có dấu cộng là Z_L )
Dung kháng Z_C	Z_C	– Z_C i (Chú ý trước i có dấu trừ là Zc )
Tổng trở:	$\displaystyle {{Z}_{L}}=L.\omega$ ; $\displaystyle {{Z}_{C}}=\frac{1}{{\omega .C}}$ ; $\displaystyle Z=\sqrt{{{{R}^{2}}+{{{\left( {{{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}} \right)}}^{2}}}}$	$\displaystyle \overline{Z}=R+({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})i$ = a + bi ( với a=R; b = (Z_L-Z_C) ) -Nếu Z_L>Z_{C :}Đoạnmạch có tinh cảm kháng -Nếu Z_L<Z_{C :}Đoạnmạch có tinh dung kháng
Cường độ dòng điện	$i={{I}_{0}}\cos \left( {\omega t+\varphi i} \right)$	$i={{I}_{0}}\angle {{\varphi }_{i}}$
Điện áp	$u={{U}_{0}}\cos \left( {\omega t+{{\varphi }_{u}}} \right)$	$u={{U}_{0}}\angle {{\varphi }_{u}}$
Định luật ÔM	$I=\frac{U}{Z}$	$\begin{array}{l}i=\frac{u}{{\overline{Z}}}\Leftrightarrow {{I}_{0}}\angle {{\varphi }_{i}}=\frac{{{{U}_{0}}\angle {{\varphi }_{U}}}}{{\left[ {R+\left( {{{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}} \right).i} \right]}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow \left[ {R+\left( {Z-{{Z}_{C}}} \right).i} \right]=\frac{{{{U}_{0}}\angle {{\varphi }_{U}}}}{{{{I}_{0}}\angle {{\varphi }_{i}}}}\end{array}$
Quan hệ u₁; u₂	u_MN = u_MP +u_PN ${{U}_{1}}=I.{{Z}_{1}}=\frac{{{{U}_{2}}}}{{{{Z}_{2}}}}.{{Z}_{1}}$	${{u}_{{MN}}}={{U}_{{0MP}}}\angle {{\varphi }_{{MP}}}+{{U}_{{0PN}}}\angle {{\varphi }_{{PN}}}$ ${{u}_{{1\,}}}=\,{{I}_{0}}\angle {{\varphi }_{1}}.\left[ {{{R}_{1}}+\left( {{{Z}_{{{{L}_{1}}}}}-{{Z}_{{{{C}_{1}}}}}} \right).i} \right]\,\,=\,\frac{{{{U}_{{02}}}\angle {{\varphi }_{{u2}}}}}{{\left[ {{{R}_{2}}+\left( {{{Z}_{{{{L}_{2}}}}}-{{Z}_{{{{C}_{2}}}}}} \right).i} \right]\,\,}}.\left[ {{{R}_{1}}+\left( {{{Z}_{{{{L}_{1}}}}}-{{Z}_{{{{C}_{1}}}}}} \right).i} \right]$

Dạng 2: Bài toán về giá trị hiệu dụng và độ lệch pha giữa u và i

1.Công thức về trở: Z_AB = $\sqrt{{{{R}^{2}}+{{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}}^{2}}}}$

+ Nếu R₁nt R₂ thì R= R₁ + R₂

+ Nếu L₁ nt L₂ thì Z_L = Z_L1 + Z_L2

+ Nếu C₁ nt C₂ thì Z_C = Z_C1 + Z_C2

2. Quan hệ u, i

– Giá trị cực đại : I = $\frac{{{{U}_{{AB}}}}}{{{{Z}_{{AB}}}}}$ (I = $\displaystyle \frac{{{{U}_{R}}}}{R}$ ; I = $\displaystyle \frac{{{{U}_{L}}}}{{{{Z}_{L}}}}$ ; …… )

– Quan hệ về pha:

$\tan \varphi$ = $\frac{{{{U}_{L}}-{{U}_{C}}}}{{{{U}_{R}}}}$ = $\frac{{{{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}}}{R}$ ( $-\frac{\pi }{2}\le \phi \le \frac{\pi }{2}$ ); $\cos \varphi$ = $\frac{{{{U}_{R}}}}{U}$ = $\frac{R}{Z}$

3. Quan hệ về u₁, u₂

– Giá trị hiệu dụng: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{{U}_{1}}}}{{{{U}_{2}}}}=\frac{{{{Z}_{1}}}}{{{{Z}_{2}}}}\\U=\sqrt{{U_{R}^{2}+{{{\left( {U_{L}^{{}}-{{U}_{C}}} \right)}}^{2}}}}\\\overrightarrow{{{{U}_{{MN}}}}}=\overrightarrow{{{{U}_{{MP}}}}}+\overrightarrow{{{{U}_{{PN}}}}}\end{array} \right.$

(U_R $\notin$ R<=> Z_L = Z_C ; U_RL $\notin$ R <=> 2Z_L = Z_C ; U_RC $\notin$ R <=>2Z_C = Z_L )

– Độ lệch pha: (chuyển về độ lệch pha u, i) $\varphi$ _{(u1; u2)} = $\varphi$ _(u1;i) – $\varphi$ _(u2;i).

Một số trường hợp đặc biệt

+ Cộng hưởng (liên quan đến cùng pha, ngược pha và vuông pha)

+ ${{\varphi }_{1}}={{\varphi }_{2}}=>\tan {{\varphi }_{1}}=\tan {{\varphi }_{2}}$

+ ${{\varphi }_{1}}+{{\varphi }_{2}}=\pm \frac{\pi }{2}=>\tan {{\varphi }_{1}}.\tan {{\varphi }_{2}}=1$ ( $\displaystyle c\text{o}{{\text{s}}^{2}}{{\varphi }_{1}}+c\text{o}{{\text{s}}^{2}}{{\varphi }_{2}}=1$ )

+ ${{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}}=\frac{\pi }{2}=>\tan {{\varphi }_{1}}.\tan {{\varphi }_{2}}=-1$ ( $\displaystyle c\text{o}{{\text{s}}^{2}}{{\varphi }_{1}}+c\text{o}{{\text{s}}^{2}}{{\varphi }_{2}}=1$ )

Các trường hợp khác
- Cách 1: Dùng Giản đồ
- Cách 2: Có ${{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}}=\Delta \varphi$
  
  => $\frac{{\tan {{\varphi }_{1}}-\tan {{\varphi }_{2}}}}{{1+\tan {{\varphi }_{1}}\tan {{\varphi }_{2}}}}=\tan \Delta \varphi$

Ví dụ về bài toán liên quan tới phương trình u,i

1. Đặt điện áp xoay chiều vào hai đầu đoạn mạch có R, L, C mắc nối tiếp. Biết R = 10Ω, cuộn cảm thuần có $L=\frac{1}{{10\pi }}$ (H), tụ điện có $C=\frac{{{{{10}}^{{-3}}}}}{{2\pi }}$ (F) và điện áp giữa hai đầu cuộn cảm thuần là ${{u}_{L}}=20\sqrt{2}\cos \left( {100\pi t+\frac{\pi }{2}} \right)$ (V). Biểu thức điện áp giữa hai đầu đoạn mạch là

A. $u=40\cos \left( {100\pi t+\frac{\pi }{4}} \right)$ (V). B. $u=40\cos \left( {100\pi t-\frac{\pi }{4}} \right)$ (V)

C. $u=40\sqrt{2}\cos \left( {100\pi t+\frac{\pi }{4}} \right)$ (V). D. $u=40\sqrt{2}\cos \left( {100\pi t-\frac{\pi }{4}} \right)$ (V).

Hướng dẫn

${{Z}_{L}}=10\Omega ;{{Z}_{C}}=20\Omega ;R=10\Omega$

Cách 1: $Z=\sqrt{{{{R}^{2}}+{{{\left( {{{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}} \right)}}^{2}}}}=10\sqrt{2}\Omega$

${{U}_{L}}=I.{{Z}_{L}}=>I=\frac{{{{U}_{L}}}}{{{{Z}_{L}}}}=2\text{A}$ => $U=Z.I=20\sqrt{2}V=>{{U}_{0}}=40V$

$\tan φ_{(u_{A B}, i)} = \frac{Z_{L} - Z_{C}}{R} = 1 \Rightarrow φ_{(u_{A B}, i)} = - \frac{π}{4} φ_{u_{A B}} - φ_{u_{L}} = φ_{(u_{A B}; i)} - φ_{(u_{L}; i)} \Leftrightarrow φ_{u_{A B}} - \frac{π}{2} = - \frac{π}{4} - \frac{π}{2} \Leftrightarrow φ_{u_{A B}} = - \frac{π}{4}$

=> $u=40\cos \left( {100\pi t-\frac{\pi }{4}} \right)$ V.

Cách 2: Dùng máy tính

Bước 1: MODE 2

Bước 2: Chọn chế độ rad : Shift MODE 4

Bước 3: Nhập liệu

$\bar{u_{A B}} = i . \bar{Z_{A B}} = \frac{\bar{u_{L}}}{\bar{Z_{L}}} . \bar{Z_{A B}} = \frac{20 \sqrt{2} ∠ \frac{π}{2}}{10 i} . (10 - 10 i) = 40 ∠ \frac{- π}{4}$

Bước 4: Gọi kết quả: Shift 2 3 = $40 ∠ \frac{- π}{4}$

2. Cho mạch điện xoay chiều gồm R, C ghép nối tiếp, hiệu điện thế hai đầu mạch có dạng ${{u}_{{AB}}}=50\sqrt{2}\cos 100\pi t$ (V) và cường độ dòng điện qua mạch $i=\sqrt{2}\sin \left( {100\pi t+\frac{{5\pi }}{6}} \right)$ (A). R, C có những giá trị nào sau đây?

A. $R=50\Omega ;C=\frac{{{{{10}}^{{-3}}}}}{{5\pi }}F$ B. $R=25\Omega ;C=\frac{{\sqrt{3}{{{.10}}^{{-2}}}}}{{25\pi }}F$

C. $R=25\Omega ;C=\frac{{{{{10}}^{{-2}}}}}{{25\sqrt{3}\pi }}F$ D. $R=50\Omega ;C=\frac{{{{{5.10}}^{{-3}}}}}{\pi }F$

Hướng dẫn

Tổng trở : $Z=\frac{{{{U}_{0}}}}{{{{I}_{0}}}}=50\Omega$

Ta có: $i=\sqrt{2}\sin \left( {100\pi t+\frac{{5\pi }}{6}} \right)=\sqrt{2}\cos \left( {100\pi t+\frac{\pi }{3}} \right)$

Cách 1: Độ lệch pha giữa u và i là : $\varphi ={{\varphi }_{u}}-{{\varphi }_{i}}=-\frac{\pi }{3}$ => $\tan \varphi =\frac{{-{{Z}_{C}}}}{R}=\tan \left( {-\frac{\pi }{3}} \right)=-\sqrt{3}$

=> ${{Z}_{C}}=\sqrt{3}R$

Với $Z=\sqrt{{{{\text{R}}^{2}}+Z_{C}^{2}}}=>Z=2\text{R}=>R=\frac{Z}{2}=\frac{{50}}{2}=25\Omega$

=> ${{Z}_{C}}=25\sqrt{3}$

${{Z}_{C}}=\frac{1}{{\omega C}}=>C=\frac{1}{{\omega {{Z}_{C}}}}=\frac{1}{{100\pi .25\sqrt{3}}}=\frac{{{{{10}}^{{-2}}}}}{{25\sqrt{3}\pi }}F$

=> Đáp án C

Cách 2: Dùng máy tính MODE 2

$\bar{Z} = \frac{\bar{u}}{i} = \frac{50 \sqrt{2} ∠ 0}{\sqrt{2} ∠ \frac{π}{3}} = 25 - 25 \sqrt{3} i$

Ví dụ về bài toán liên quan tới các giá trị u,i

1. Có 3 linh kiện điện tử: điện trở thuần R, tụ điện C và cuộn cảm thuần L. Một nguồn điện có điện áp hiệu dụng và tần số không đổi. Nếu đặt điện áp trên vào hai đầu điện trở R thì cường độ dòng điện hiệu dụng trong mạch là I₁, nếu mắc nối tiếp L và C rồi đặt vào điện áp trên thì cường độ dòng điện hiệu dụng trong mạch là I₂. Nếu mắc R, L và C nối tiếp rồi đặt vào điện áp trên thì cường độ dòng điện hiệu dụng chạy trong mạch là

A. $\sqrt{{{{I}_{1}}{{I}_{2}}}}$ B. $\sqrt{{I_{1}^{2}+I_{2}^{2}}}$ C. $\frac{{{{I}_{1}}{{I}_{2}}}}{{\sqrt{{I_{1}^{2}+I_{2}^{2}}}}}$ D. $\frac{{{{I}_{1}}+{{I}_{2}}}}{2}$

Hướng dẫn

Ta có: Mạch có R: $\displaystyle R=\frac{U}{{{{I}_{1}}}}$ (1)

Mạch có L và C mắc nối tiếp: ${{Z}_{{LC}}}=\frac{U}{{{{I}_{2}}}}$ (2)

Mạch có R, L, C mắc nối tiếp: ${{Z}_{{RLC}}}=\frac{U}{{{{I}_{3}}}}$ (3)

${{Z}_{{RLC}}}=\sqrt{{{{R}^{2}}+Z_{{LC}}^{2}}}$ , thay (1) và (2) vào ta được: ${{Z}_{{RLC}}}=\frac{{U\sqrt{{I_{2}^{2}+I_{1}^{2}}}}}{{{{I}_{1}}{{I}_{2}}}}$

Thay giá trị của ${{Z}_{{RLC}}}$ vào (3) => ${{I}_{3}}=\frac{{{{I}_{1}}{{I}_{2}}}}{{\sqrt{{I_{1}^{2}+I_{2}^{2}}}}}$

=> Đáp án C

2. Mạch điện xoay chiều gồm điện trở thuần R mắc nối tiếp với cuộn dây. Đặt vào hai đầu mạch điện một điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng là 120 $\sqrt{2}$ V. Cường độ dòng điện trong mạch lệch pha π/6 so với điện áp ở hai đầu đoạn mạch và lệch pha π/4 so với điện áp ở hai đầu cuộn dây. Điện áp hiệu dụng ở hai đầu cuộn dây là