Công suất của mạch điện RLC

CÔNG SUẤT CỦA MẠCH RLC

Chủ đề này gồm các vấn đề sau: biểu thức của công suất, mạch điện chứa 1 hoặc 2 thiết bị, đồ thị công suất của dòng điện xoay chiều khi có sự thay đổi của thiết bị

A. LÍ THUYẾT

1. Biểu thức của công suất

Cho mạch điện xoay chiều có biểu thức điện áp và dòng điện

$\left\{ \begin{array}{l}u={{U}_{0}}\cos (\omega t+{{\phi }_{u}})V=U\sqrt{2}\cos (\omega t+{{\phi }_{u}})V\\i={{I}_{0}}\cos (\omega t+{{\phi }_{i}})A=I\sqrt{2}\cos (\omega t+{{\phi }_{i}})A\end{array} \right.$

a. Công suất tức thời:

${{P}_{t}}=u.i=U.I\cos \varphi +U.I\cos \left( {2\omega t+{{\varphi }_{u}}+{{\varphi }_{i}}} \right)$

Nhận xét: Công suất tức thời biến đổi tuần hoàn theo thời gian với tần số ω'= 2ω và T' = T/2

b. Công suất

$P_{M N} = U_{M N} . I . \cos φ$

Với mạch điện RLC không phân nhánh : $P = U_{M N} . I . c o s φ = I^{2} . R_{M N} = \frac{U^{2}}{Z^{2}} . R_{M N} = \frac{U^{2}}{R} . \cos^{2} φ$

c. Hệ số công suất

Với $\cos {{\varphi }_{{\left( {u;i} \right)}}}$ = $\displaystyle \frac{R}{Z}=\frac{{{{U}_{R}}}}{Z}$

=> Trong các mạch điện để giảm thiểu hao phí người ta tăng hệ số công suất của các thiết bị $\cos \varphi \ge 0,85$ .

2. Mạch điện chứa một hoặc hai thiết bị

a. Mạch điện chứa một thiết bị

Mạch chỉ có R

Đặc điểm:

$\varphi =0=>\cos \varphi =1$

$=>P=UI={{I}^{2}}R$

Mạch chỉ có L

Đặc điểm:

$\varphi =\frac{\pi }{2}=>\cos \varphi =0$

=> P = 0

Mạch chỉ có C

Đặc điểm:

$\varphi =\frac{\pi }{2}=>\cos \varphi =0$

=> P = 0

b. Công suất mạch điện chứa hai thiết bị

Mạch RL

Đặc điểm

$\left\{ \begin{array}{l}Z=\sqrt{{{{R}^{2}}+Z_{L}^{2}}}\\\cos \phi =\frac{R}{{\sqrt{{{{R}^{2}}+Z_{L}^{2}}}}}\\\tan \phi =\frac{{{{Z}_{L}}}}{R}\end{array} \right.$ $=>P={{I}^{2}}R$

Mạch RC

Đặc điểm

$\left\{ \begin{array}{l}Z=\sqrt{{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}}\\\cos \phi =\frac{R}{{\sqrt{{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}}}}\\\tan \phi =-\frac{{{{Z}_{C}}}}{R}\end{array} \right.$ $=>P={{I}^{2}}R$

Mạch RrL

(cuộn dây có thêm r ≠ 0)

* Hệ số công suất

$\cos \varphi =\frac{{R+r}}{{\sqrt{{{{{(R+r)}}^{2}}+Z_{L}^{2}}}}}$

* Công suất tỏa nhiệt trên toàn mạch là

$P={{I}^{2}}.(R+r)$ , $I=\frac{U}{{\sqrt{{{{{(R+r)}}^{2}}+Z_{L}^{2}}}}}$

* Công suất tỏa nhiệt trên R là

${{P}_{R}}={{I}^{2}}.R$ , $I=\frac{U}{{\sqrt{{{{{(R+r)}}^{2}}+Z_{L}^{2}}}}}$

Mạch LC

Đặc điểm

$\{\begin{cases} Z = |Z_{L} - Z_{C}| \\ φ = \pm \frac{π}{2} \end{cases}$

=> P =0

c. Đối với mạch điện RLC không phân nhánh

Mạch điện RLC

(Cuộn dây thuần cảm)

P = $\frac{{{{U}^{2}}.R}}{{{{R}^{2}}+{{{\left( {{{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}} \right)}}^{2}}}}$

Mạch điện RrLC

(Cuộn dây không thuần cảm)

+ Công suất tiêu thụ của cả đọan mạch xoay chiều:

$P=UI\cos \varphi$

hay $P={{I}^{2}}(R+r)=\frac{{{{U}^{2}}(R+r)}}{{{{Z}^{2}}}}$

+ Hệ số công suất của cả đọan mạch :

$\cos \varphi =\frac{{R+r}}{Z}$

+Công suất tiêu thụ trên điện trở R:

${{P}_{R}}={{I}^{2}}R=\frac{{{{U}^{2}}.R}}{{{{Z}^{2}}}}$

Với Z =

+Công suất tiêu thụ của cuộn dây:

${{P}_{r}}={{I}^{2}}.r=\frac{{{{U}^{2}}.r}}{{{{Z}^{2}}}}$

+ Hệ số công suất của đọan mạch chứa cuộn dây:

$\cos {{\varphi }_{d}}=\frac{r}{{{{Z}_{d}}}}=\frac{r}{{\sqrt{{{{r}^{2}}+Z_{L}^{2}}}}}$

3. Đồ thị công suất của dòng điện xoay chiều khi có sự thay đổi của thiết bị

Các đồ thị công suất của dòng điện xoay chiều

L,C,=const, R thay đổi.

R,C,=const, Lthay đổi.

R,L,=const, C thay đổi.

R,L,C,=const, f thay đổi.

${{P}_{{\max }}}=\frac{{{{U}^{2}}}}{{2\text{R}}}=\frac{{{{U}^{2}}}}{{2\left| {{{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}} \right|}}$

Khi: $R=\left| {{{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}} \right|$

Dạng đồ thị như sau:

${{P}_{{\max }}}=\frac{{{{U}^{2}}}}{R}$

Khi: ${{Z}_{L}}={{Z}_{C}}=>L=\frac{1}{{{{\omega }^{2}}C}}$

Dạng đồ thị như sau:

${{P}_{{\max }}}=\frac{{{{U}^{2}}}}{R}$

Khi: ${{Z}_{L}}={{Z}_{C}}=>L=\frac{1}{{{{\omega }^{2}}C}}$

Dạng đồ thị như sau:

${{P}_{{\max }}}=\frac{{{{U}^{2}}}}{R}$

Khi: ${{Z}_{L}}={{Z}_{C}}=>f=\frac{1}{{2\pi \sqrt{{LC}}}}$

Dạng đồ thị như sau:

B. BÀI TẬP

DẠNG 1: TÍNH CÔNG SUẤT, HỆ SỐ CÔNG SUẤT

– Công suất: $P=UI\cos \varphi =UI\frac{R}{Z}=\frac{U}{Z}IR={{I}^{2}}.R$

– Hệ số công suất: $\cos \varphi =\frac{R}{Z}$

DẠNG 2 : BÀI TOÁN CỰC TRỊ CÔNG SUẤT CỦA MẠCH RLC

Bài toán 1: Biện luận P theo R

b. Biện luận công suất theo R: Với mạch điện RrLC

Bài toán 2: Biện luận P theo L

– Ứng với một giá trị của P tồn tại 2 giá trị L

$\displaystyle P=\frac{{{{U}^{2}}.R}}{{{{R}^{2}}+{{{(Z_{L}^{{}}-{{Z}_{C}})}}^{2}}}}$

<=>Z_L1 + Z_L2 = 2Z_{L(Cộng hưởng)}

$Q u a n h ệ φ_{1} = - φ_{2} \Leftrightarrow φ_{u_{1}} - φ_{i} = - (φ_{u_{2}} - φ_{i}) \Leftrightarrow φ_{i} = \frac{φ_{u_{1}} + φ_{u_{2}}}{2}$

– Để P, đạt cực đại :

Bài toán 3: Biện luận theo C

– Ứng với một giá trị của P tồn tại 2 giá trị C

$\displaystyle P=\frac{{{{U}^{2}}.R}}{{{{R}^{2}}+{{{(Z_{L}^{{}}-{{Z}_{C}})}}^{2}}}}$

<=>Z_C1 + Z_C2 = 2Z_{C(Cộng hưởng)}

$Q u a n h ệ φ_{1} = - φ_{2} \Leftrightarrow φ_{u_{1}} - φ_{i} = - (φ_{u_{2}} - φ_{i}) \Leftrightarrow φ_{i} = \frac{φ_{u_{1}} + φ_{u_{2}}}{2}$

– Để P, đạt cực đại :

Bài toán 4: Biện luận theo w.

Khi $\omega =\frac{1}{{\sqrt{{LC}}}}$ (f = $\frac{1}{{2\pi \sqrt{{LC}}}}$ ) thì $\displaystyle {{P}_{{m\text{ax}}}}=\frac{{{{U}^{2}}}}{R}$
Với $\omega ={{\omega }_{1}}$ hoặc $\omega ={{\omega }_{2}}$ thì I (P hoặc U_R) có cùng một giá trị ${{\omega }^{2}}=\frac{1}{{LC}}={{\omega }_{1}}.{{\omega }_{2}}$ ()
$Q u a n h ệ φ_{1} = - φ_{2} \Leftrightarrow φ_{u_{1}} - φ_{i} = - (φ_{u_{2}} - φ_{i}) \Leftrightarrow φ_{i} = \frac{φ_{u_{1}} + φ_{u_{2}}}{2}$

Ví dụ biện luận P theo R:

Ví dụ 1: Cho mạch điện như hình vẽ, biết

$L=\frac{1}{\pi }H$ $C=\frac{{{{{2.10}}^{{-4}}}}}{\pi }F,{{u}_{{AB}}}=200\cos 100\pi t$ V.

Giá trị R để công suất tỏa nhiệt trên R là lớn nhất và giá trị công suất khi đó lần lượt là

A. $50\Omega ;400\text{W}$ B. $150\Omega ;400W$

C. $50\Omega ;200W$ D. $150\Omega ;200W$

Hướng dẫn

Ta có: ${{Z}_{L}}=L\omega =100\Omega ,{{Z}_{C}}=\frac{1}{{\omega C}}=50\Omega ;U=100\sqrt{2}V$

Áp dụng công thức ta có: $R=\left| {{{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}} \right|=\left| {100-50} \right|=50\Omega$

$P={{P}_{{\max }}}=\frac{{{{U}^{2}}}}{{2R}}=\frac{{{{{(100\sqrt{2})}}^{2}}}}{{2.50}}=200\text{W}$

=> Đáp án C

Ví dụ 2: Cho mạch điện xoay chiều gồm các phần tử điện R, L, C mắc nối tiếp. Điện áp giữa hai đầu mạch là ${{u}_{{AB}}}=100\sqrt{2}\cos 100\pi t$ V, điện trở R thay đổi, cuộn dây có ${{R}_{0}}=30\Omega$ , $L=\frac{{1,4}}{\pi }H$ , $C=31,8\mu F$ . Điều chỉnh R để công suất tiêu thụ của điện trở R đạt giá trị lớn nhất thì R và P_R có giá trị là

A. $R=30\Omega ;{{P}_{R}}=125W$ . B. $R=50\Omega ;{{P}_{R}}=250W$

C. $R=30\Omega ;{{P}_{R}}=250W$ . D. $R=50\Omega ;{{P}_{R}}=62,5W$

Hướng dẫn

${{Z}_{L}}=\omega L=140\Omega ;{{Z}_{C}}=\frac{1}{{\omega C}}=100\Omega$

Áp dụng công thức trên ta có:

$R=\frac{{R_{0}^{2}+{{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}}^{2}}}}{R}=>R=\sqrt{{{{{30}}^{2}}+{{{(140-100)}}^{2}}}}=50\Omega$

${{P}_{R}}=\frac{{{{U}^{2}}}}{{2(R+{{R}_{0}})}}=\frac{{{{{100}}^{2}}}}{{2(50+30)}}=62,5W$

=> Đáp án D

Ví dụ 3: Mạch RLC nối tiếp, với R là biến trở, cuộn dây thuần cảm. Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp $u=200\cos 100\pi t$ V. Thay đổi R thì thấy khi $R=10\Omega$ và $R=40\Omega$ công suất của mạch có cùng giá trị bằng P. Giá trị R và công suất tiêu thụ của mạch khi đạt giá trị cực đại lần lượt là

A. $20\Omega ;250W$ B. $50\Omega ;400W$ C. $30\Omega ;250W$ D. $20\Omega ;500W$

Hướng dẫn

Áp dụng công thức khi hai giá trị điện trở có cùng công suất: ${{R}_{1}}{{R}_{2}}={{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}$

Mặt khác, khi công suất cực đại với R thay đổi ta lại có:

$R=\left| {{{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}} \right|=\sqrt{{{{R}_{1}}{{R}_{2}}}}=\sqrt{{10.40}}=20\Omega$

Như vậy công suất cực đại: ${{P}_{{\max }}}=\frac{{{{U}^{2}}}}{{2\text{R}}}=\frac{{{{{(100\sqrt{2})}}^{2}}}}{{2.20}}=500W$

=> Đáp án D.

Ví dụ 4: Một đoạn mạch điện xoay chiều gồm một điện trở thuần R, một cuộn dây có điện trở r và độ tự cảm L, một tụ điện có điện dung C mắc nối tiếp. Các giá trị của r, L, C không đổi, giá trị của điện trở thuần R thay đổi được. Đặt vào hai đầu đoạn mạch AB một điện áp xoay chiều $u=200\sqrt{2}\cos (100\pi t)V$ . Khi $R={{R}_{1}}=50\Omega$ hoặc $R={{R}_{2}}=95\Omega$ thì công suất tiêu thụ của đoạn mạch AB có cùng một giá trị bằng $\frac{{8000}}{{41}}\text{W}$ . Khi $R={{R}_{0}}$ thì công suất của đoạn mạch AB đạt giá trị lớn nhất. Giá trị của là

A. $70\Omega$ B. $80\Omega$ C. $90\Omega$ D. $60\Omega$

Hướng dẫn

${{R}_{{t\text{d}1}}}+{{R}_{{t\text{d}2}}}=\frac{{{{U}^{2}}}}{P}=205<=>{{R}_{1}}+r+{{R}_{2}}+r=205=>2r=205-50-95=>r=30$

${{R}_{{t\text{d}1}}}*{{R}_{{t\text{d}2}}}={{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}<=>(50+30)(95+30)={{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}=>\left| {{{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}} \right|=100$

${{R}_{0}}=\left| {{{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}} \right|-r=100-70=30$

=> Đáp án A.

Ví dụ 5: Cho mạch RLC nối tiếp với cuộn dây thuần cảm được đặt vào nguồn điện xoay chiều $u=200\cos 100\pi t$ V. Biết điện trở $R=10\Omega$ , khi hai giá trị ${{L}_{1}}=0,6H,{{L}_{2}}=0,2H$ thì thấy hai giá trị công suất bằng nhau. Công suất tiêu thụ khi đó là

A. 500W B. 600W C. 800W D. 1000W

Hướng dẫn

Ta có: ${{Z}_{{{{L}_{1}}}}}=30\Omega ,{{Z}_{{{{L}_{2}}}}}=10\Omega$

Áp dụng công thức ta có: ${{Z}_{C}}=\frac{{{{Z}_{{{{L}_{1}}}}}+{{Z}_{{{{L}_{2}}}}}}}{2}=20\Omega$

$P=\frac{{{{U}^{2}}R}}{{{{R}^{2}}+{{{({{Z}_{{{{L}_{1}}}}}-{{Z}_{C}})}}^{2}}}}=1000W$

=> Đáp án D

Ví dụ 6: Mạch điện xoay chiều gồm một cuộn dây mắc nối tiếp với tụ điện. Cuộn dây có điện trở $r=30\Omega$ , độ tự cảm $L=\frac{{0,4}}{\pi }$ H, tụ điện có điện dung C. Biểu thức điện áp tức thời giữa hai đầu đoạn mạch là $u=120\cos 100\pi t$ (V). Với giá trị nào của C thì công suất tiêu thụ của mạch có giá trị cực đại và giá trị công suất cực đại bằng bao nhiêu?

A. $C=\frac{{10}}{{2\pi }}$ F và $\displaystyle {{P}_{{\max }}}=120$ W. B. $C=\frac{{{{{10}}^{{-4}}}}}{{2\pi }}$ F và $\displaystyle {{P}_{{\max }}}=120\sqrt{2}$ W.

C. $C=\frac{{{{{10}}^{{-3}}}}}{{2\pi }}$ F và $\displaystyle {{P}_{{\max }}}=240$ W. D. $C=\frac{{{{{10}}^{{-3}}}}}{\pi }$ F và $\displaystyle {{P}_{{\max }}}=240\sqrt{2}$ W.