Bài toán về biện luận

BÀI TOÁN BIỆN LUẬN THEO W, R, L VÀ C

I/ KĨ NĂNG XỬ LÝ BIỆN LUẬN

1/ BIỆN LUẬN THEO R

2. Biện luận theo L

KIẾN THỨC CƠ BẢN

- Để U_Lmax:

3. Biện luận theo C

KIẾN THỨC CƠ BẢN

Để U_Cmax:

4: Biện luận theo w

KIẾN THỨC CƠ BẢN

- Để U_Cmax

II. BÀI TẬP VÍ DỤ

1. Ví dụ về biện luận theo w

Ví dụ 1 (phương pháp chung): Đặt điện áp xoay chiều $u=100\sqrt{2}\cos \left( {\omega t} \right)$ (có $\omega$ thay đổi được trên đoạn $\left[ {50\pi ;100\pi } \right]$ ) vào hai đầu đoạn mạch có R, L, C mắc nối tiếp. Cho biết $R=100\Omega$ , $L=\frac{1}{\pi }$ (H); $C=\frac{{{{{10}}^{{-4}}}}}{\pi }$ (F). Điện áp hiệu dụng giữa hai đầu tụ điện C có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất tương ứng là

A. $\displaystyle \frac{{200\sqrt{3}}}{3}$ V; 100V. B. 100 $\displaystyle \sqrt{3}$ V; 100V. C. 200V; 100V. D. 200V; 100 $\displaystyle \sqrt{3}$ V.

Hướng dẫn

– Chú ý giới hạn và điều kiện: + Vì $\displaystyle \frac{{2L}}{C}>{{R}^{2}}$ nên U_Cmax khi và chỉ khi ${{\omega }_{C}}=\frac{1}{L}\sqrt{{\frac{L}{C}-\frac{{{{R}^{2}}}}{2}}}$ = 50 $\sqrt{2}$ rad/s với $\displaystyle {{U}_{{{{C}^{{}}}Max}}}=\frac{{2UL}}{{R\sqrt{{4LC-{{R}^{2}}{{C}^{2}}}}}}\underset{{}}{\mathop{{}}}\,$ = $\frac{{200\sqrt{3}}}{3}$ V

+ Vì ${{\omega }_{1}}=50\pi$ rad/s ; ${{\omega }_{2}}=100\pi$ rad/s nằm ở hai phía của ${{\omega }_{c}}$ Với ${{\omega }_{1}}=50\pi$ rad/s => ${{U}_{{C1}}}=100V$

Với ${{\omega }_{2}}=100\pi$ rad/s => ${{U}_{{C2}}}>100V$

=> Đáp án A

Ví dụ 2 (phương pháp chung): Đặt điện áp xoay chiều u = 100 $\displaystyle \sqrt{2}$ coswt (có wthay đổi được trên đoạn [50 $\displaystyle \pi ;100\pi$ ] ) vào hai đầu đoạn mạch có R, L, C mắc nối tiếp. Cho biết R = 300 $\displaystyle \Omega$ , L = $\displaystyle \frac{1}{\pi }$ (H); C = $\displaystyle \frac{{{{{10}}^{{-4}}}}}{\pi }$ (F). Điện áp hiệu dụng giữa hai đầu tụ điện C có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất tương ứng là

A. $\displaystyle \frac{{80\sqrt{5}}}{3}$ V; 50V. B. $\displaystyle \frac{{80\sqrt{5}}}{3}$ V; $\displaystyle \frac{{100}}{3}$ V. C. 80V; $\displaystyle \frac{{100}}{3}$ V. D. 80V; 50V.

Hướng dẫn

– Chú ý giới hạn và điều kiện: + Vì $\frac{{2L}}{C}>{{R}^{2}}$ nên không tồn tại ${{\omega }_{C}}$ Dựa vào biểu thức: $\displaystyle {{U}_{C}}=\frac{U}{{C\sqrt{{{{L}^{2}}{{\omega }^{4}}+({{R}^{2}}-\frac{{2L}}{C}){{\omega }^{2}}+\frac{1}{{{{C}^{2}}}}}}}}=\frac{U}{{C\sqrt{y}}}$

+ Vì ${{\omega }_{1}}=50\pi$ rad/s ; ${{\omega }_{2}}=100\pi$ rad/s nằm ở hai phía của w_c Với ${{\omega }_{1}}=50\pi$ rad/s => ${{U}_{{C\min }}}=\frac{{100}}{3}$ V

Với ${{\omega }_{2}}=100\pi$ rad/s => $\displaystyle {{U}_{{\max }}}=\frac{{80\sqrt{5}}}{3}$ V

=> Đáp án B

Ví dụ 3: (Quan hệ giữa w₁ và w₂): Một đoạn mạch ${{R}^{2}}=\frac{L}{C}$ . Đặt vào hai dầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều với $u=U\sqrt{2}\cos \omega t$ V (với U không đổi , $\omega$ thay đổi được). Khi $\omega ={{\omega }_{1}}$ _; $\omega ={{\omega }_{2}}=9{{\omega }_{1}}$ thì mạch có cùng hệ số công suất , giá trị của hệ số công suất đó là

A. $\displaystyle \frac{3}{{\sqrt{{73}}}}$ B. $\displaystyle \frac{2}{{\sqrt{{13}}}}$ C. $\displaystyle \frac{2}{{\sqrt{{21}}}}$ D. $\displaystyle \frac{4}{{\sqrt{{67}}}}$ .

Hướng dẫn

$\displaystyle {{\omega }_{1}}.=\frac{1}{{LC}}\,\,\,\Leftrightarrow {{\omega }_{1}}.L=\frac{1}{{{{\omega }_{2}}C}}\,\,\Rightarrow {{\omega }_{1}}.L=\frac{1}{{9{{\omega }_{1}}C}}\,=>{{Z}_{{C1}}}=9.{{Z}_{{L1}}}$

${{R}^{2}}=\frac{L}{C}=\frac{{{{\omega }_{1}}.L}}{{{{\omega }_{1}}.C}}\,\,\Rightarrow {{R}^{2}}={{Z}_{{L1}}}.{{Z}_{{C1}}}=9.Z_{{L1}}^{2}$

=> $\cos {{\varphi }_{1}}=\frac{R}{{\sqrt{{{{R}^{2}}+{{{\left( {{{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}} \right)}}^{2}}}}}}=\frac{{3.{{Z}_{{L1}}}}}{{\sqrt{{9Z_{{{{L}_{1}}}}^{2}+64Z_{{{{L}_{1}}}}^{2}}}}}=\frac{3}{{\sqrt{{73}}}}$

=> Đáp án A

Ví dụ 4 (Khai thác mối quan hệ giữa hai tần số): Một đoạn mạch RLC có cuộn dây thuần cảm, R² $u=U\sqrt{2}\cos \left( {2\pi ft} \right)$ V (với U không đổi , f thay đổi được). Khi ${{f}_{1}}=30Hz;{{f}_{2}}=40Hz$ thì hiệu điện thế giữa hai đầu cuộn dây có cùng một giá trị. Để điện áp hiệu dụng giữa hai đầu cuộn dây có giá trị cực đại thì

A. f = 50Hz B. 20 $\sqrt{3}$ Hz C. 24 $\sqrt{2}$ Hz D. 70Hz

Hướng dẫn

Áp dụng công thức: $\frac{2}{{f_{L}^{2}}}=\frac{1}{{f_{1}^{2}}}+\frac{1}{{f_{2}^{2}}}$ => f_L = 24 $\sqrt{2}$ Hz

=> Đáp án C

Ví dụ 5: (Khai thác quan hệ $\varphi$ ₁ và $\varphi$ ₂):

Đặt vào hai đầu của đoạn mạch RLC một điện áp xoay chiều $u={{U}_{0}}\cos \left( {\omega t+\varphi } \right)$ (trong đó ${{U}_{0}}$ và $\varphi$ không đổi nhưng $\omega$ có thể thay đổi được). Điều chỉnh với ${{\omega }_{1}}=50\pi$ rad/s thì cường độ dòng điện trong mạch có biểu thức $i=I\sqrt{2}\cos \left( {50\pi t+\frac{\pi }{{12}}} \right)$ A , với ${{\omega }_{2}}=100\pi$ rad/s thì cường độ dòng điện trong mạch có biểu thức $i=I\sqrt{2}\cos \left( {50\pi t-\frac{\pi }{4}} \right)$ A. Tìm $\varphi$

A. $\varphi =\frac{\pi }{6}$ B. $\varphi =-\frac{\pi }{6}$ C. $\varphi =\frac{{5\pi }}{{12}}$ D. $\varphi =-\frac{\pi }{{12}}$

Hướng dẫn

Vì w biến đổi và ${{I}_{1}}={{I}_{2}}$ nên ${{\phi }_{u}}=\frac{{{{\phi }_{{{{i}_{1}}}}}+{{\phi }_{{{{i}_{2}}}}}}}{2}=-\frac{\pi }{{12}}$

=> Đáp án D

2. Ví dụ về biện luận theo R

Ví dụ 1: Cho mạch điện gồm cuộn dây có điện trở $r=20\Omega$ và độ tự cảm $L=2H$ , tụ điện có điện dung $C=100\mu F$ và điện trở thuần R thay đổi được mắc nối tiếp với nhau. Đặt vào hai đầu mạch điện một hiệu điện thế xoay chiều $u=240\cos 100t$ V. Khi $R={{R}_{0}}$ thì công suất tiêu thụ trên toàn mạch đạt giá trị cực đại. Khi đó công suất tiêu thụ trên điện thở R là

A. P = 115,2W B. P = 224W C. P = 230,4W D. P = 144W

Hướng dẫn

${{Z}_{L}}=200\Omega ;{{Z}_{C}}=100\Omega$ Thay đổi R để ${{P}_{{mach\max }}}$

Vì $\displaystyle r>\left| {{{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}} \right|$ R+ r = $\left| {{{Z}_{L}}\_{{Z}_{C}}} \right|$ => $R=80\Omega$

<=> $P{}_{{\max }}=\frac{{{{U}^{2}}}}{{2\left| {{{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}} \right|}}$ = $\frac{{{{U}^{2}}}}{{2(r+R)}}=144\,W$

=> Đáp án D

Ví dụ 2: Một đoạn mạch điện xoay chiều gồm một tụ điện có dung kháng ${{Z}_{C}}=200\Omega$ và một cuộn dây mắc nối tiếp. Khi đặt vào hai đầu đoạn mạch trên một điện áp xoay chiều có biểu thức $u=120\sqrt{2}\cos \left( {100\pi t+\frac{\pi }{3}} \right)$ V thì thấy điện áp giữa hai đầu cuộn dây có giá trị hiệu dụng là 120V và sớm pha $\frac{\pi }{2}$ so với điện áp đặt vào mạch. Công suất tiêu thụ của cuộn dây là

A. 72 W. B. 240W. C. 120W. D. 144W.

Hướng dẫn

$P=\frac{{{{U}^{2}}.R}}{{{{R}^{2}}+{{{\left( {{{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}} \right)}}^{2}}}}$ $\overrightarrow{{{{U}_{{RL}}}}}\bot \overrightarrow{U}$

Vì ${{U}_{{RL}}}=U$

=> $\Delta 0MN$ là tam giác vuông cân

=> $R=100\Omega$

=> P = $\frac{{{{U}^{2}}}}{R}.{{\cos }^{2}}\phi$ = 72W

=> Đáp án A

3. Ví dụ về biện luận theo L

Ví dụ: Đặt một điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng U vào hai đầu đoạn mạch AB gồm cuộn cảm thuần có độ tự cảm L thay đổi được, điện trở thuần R và tụ điện có điện dung C mắc nối tiếp theo thứ tự trên. Gọi U_L, U_R và U_{C_}lần lượt là các điện áp hiệu dụng giữa hai đầu mỗi phần tử. Điều chỉnh L để điện áp giữa hai đầu của cuộn dây đạt giá trị cực đại. Hệ thức nào dưới đây là không đúng?

A. $\displaystyle \frac{1}{{U_{R}^{2}}}=\frac{1}{{{{U}^{2}}}}+\frac{1}{{U_{R}^{2}+U_{c}^{2}}}$ B. U_L .U_C = $\displaystyle U_{R}^{2}+U_{C}^{2}$

C. $U_{L}^{2}=U_{R}^{2}+U_{C}^{2}+{{U}^{2}}$ D. $U_{{}}^{2}=U_{L}^{2}+{{U}_{L}}U_{C}^{{}}$

Hướng dẫn

khi thay đổi L để U_Lmax thì ta có giản đồ

( $\overrightarrow{{{{U}_{{RC}}}}}\bot \overrightarrow{{U\,}}$ )

=> $U_{{}}^{2}=U_{L}^{2}+{{U}_{L}}U_{C}^{{}}$

=> Đáp án D.

4. Ví dụ về biện luận theo C

Ví dụ: Trong đoạn mạch RLC không phân nhánh. Cho biết cuộn dây có điện trở thuần $r=20\Omega$ và độ tự cảm $L=\frac{1}{{5\pi }}H$ , tụ điện có điện dung thay đổi được. Đặt vào hai đầu đoạn mạch một hiệu điện thế xoay chiều $\displaystyle u=120\sqrt{2}\cos 100\pi t$ (V). Điều chỉnh C để hiệu điện thế hiệu dụng hai đầu cuộn dây cực đại, giá trị cực đại đó là $40\sqrt{2}$ V thì giá trị của $R$ là

A. 30 $\Omega$ . B. 20 $\Omega$ . C. 40 $\Omega$ . D. 50 $\Omega$ .

Hướng dẫn

${{U}_{{rL}}}=\frac{{U\sqrt{{{{r}^{2}}+Z_{L}^{2}}}}}{{\sqrt{{{{{\left( {R+r} \right)}}^{2}}+{{{\left( {{{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}} \right)}}^{2}}}}}}$ Nên ${{U}_{{rL\max }}}=\frac{{U\sqrt{{{{r}^{2}}+Z_{L}^{2}}}}}{{\sqrt{{{{{\left( {R+r} \right)}}^{2}}}}}}=40\sqrt{2}$ => R = 40W